Как найти наибольшее целое значение удовлетворяющее неравенству

Наибольшее решение неравенства

При изучении темы «Линейные неравенства» встречаются задания, в которых требуется найти наибольшее решение неравенства либо наибольшее целое (или натуральное) решение неравенства.

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства :

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства :

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

3) Найти наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Как показывает практика, произведение дополнительного множителя и числителя лучше записывать с помощью скобок. Если перед дробью стоит знак «минус», числитель также лучше заключить в скобки. Такая запись позволяет избежать ошибок, связанных с раскрытием скобок.

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

4) Определить наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 6. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Наибольшее значение в данном случае указать нельзя (x=9 не входит в решение).

Ответ: неравенство не имеет наибольшего значения.

Решение неравенств

Шаг 1. Введите неравенство

Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.

Примеры

Неравенства с модулем

С кубом (неравество третьей степени)

С кубическим корнем

С натуральным логарифмом

Иррациональные с квадратным корнем

С четвёртой степенью

Решение с целыми числами

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e – основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности – знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 – 5&6/5y +1/7y^2
Результат: ( 3frac<1> <3>- 5frac<6> <5>y + frac<1><7>y^2 )

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить неравенство

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), frac<1> <3>) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а – b положительна, т.е. а – b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и b > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй – более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d – положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, quad ax

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
( ax^2+bx+c >0 ) и ( ax^2+bx+c 0 ) или ( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 ) ) или ниже оси x (если решают неравенство
( ax^2+bx+c

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х – 3)(х – 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5) ) и ( (5; +infty) )

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х – 3)(х – 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

( (-infty; -2) )	( (-2; 3) )	( (3; 5) )	( (5; +infty) )
x+2	–	+	+	+
x-3	–	–	+	+
x-5	–	–	–	+

Отсюда ясно, что:
если ( x in (-infty;-2) ), то f(x) 0;
если ( x in (3;5) ), то f(x) 0.

Мы видим, что в каждом из промежутков ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5), ; (5; +infty) ) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x₁)(x-x₂) . (x-x_n),
где x–переменная, а x₁, x₂, . x_n – не равные друг другу числа. Числа x₁, x₂, . x_n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -4; ; 0 right) cup left( 0,5; ; +infty right) )
или
( -4 0,5 )

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -infty; ; 1 right) cup left[ 4; ; +infty right) )
или
( x

[spoiler title=”источники:”]

http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/neravenstva/

http://www.math-solution.ru/math-task/inequality

[/spoiler]

Дата:
11.04.18     Предмет: алгебра

Класс:  8 «Б»

Тип урока: урок
комплексного применения знаний и способов действий

Тема	Нахождение наибольшего целого решения неравенств
Цель	Коррекция и контроль знаний по теме « Квадратные неравенства»
Задачи	Образовательные: способствовать усвоению способов решения квадратных неравенств; продолжить работу по отработке умений применять алгоритм решения квадратных неравенств и формирование навыков само – и взаимоконтроля. Воспитательные: содействовать воспитанию у обучающихся трудолюбия и усидчивости, сознательной дисциплины на уроке. Развивающие: развитие способности повышения уровня самостоятельности мышления.
УУД	Личностные: формирование воли и настойчивости в достижении цели. Регулятивные: формирование умений выдвигать версии решения проблемы, ставить цель, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно; контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности. Коммуникативные: формирование умений высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, отвечать на поставленные вопросы и согласовывать действия с партнером. Познавательные: формирование мыслительных операций в ходе поиска решения заданий, применения понятия квадратных неравенств, алгоритма решения; умения работать с анаграммой.
Планируемые результаты	Предметные 1)     Знать: алгоритм решения квадратных неравенств 2)     Уметь: решать квадратные неравенства
Основные понятия	Квадратное неравенство, алгоритм, квадратное уравнение.
Формы урока	Фронтальная, парная, индивидуальная.
Средства обучения	Проектор, презентация, учебник, индивидуальные карточки.
Учебник	Алгебра 8, под ред. А.Г. Мордкович в 2-х частях. – М: Мнемозина, 2013.

№	Этап	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	ЭОР	Время (мин)
1.	Орг. момент	Проверяет готовность к уроку	Приветствуют учителя
		Сегодня наш урок начнем с анаграммы: ЕВАНРЕОНВТС; ТКВДРАА; ШЕРНЕЕИ. Какие слова зашифрованы? Свяжите эти слова с темой урока и сформулируйте ее? Какую цель ставим перед собой? Открываем тетради, записываем число, тему урока. У каждого на столе лежит карта результативности, подпишите ее, здесь вы сегодня будете фиксировать свои результаты. Карта результативности И.Ф. Баллы 1.      Д.З 2.      Теория 3.      Познал сам, помоги другому 4.      Работа в группе 5.      Работа в паре Количество баллов, отметка 6.      С/р ИТОГ:	Обучающиеся разгадывают слова зашифрованные (неравенство, квадрат, решение); формулируют тему урока, цель урока, открывают тетради, записывают  число и тему урока. (Решение квадратных неравенств; повторить все, что знаем о квадратных неравенствах и методах их решения.)	Слайд 1,2,3	2
2.	Проверка дом. задания	Решение домашнего задания оформлено на отдельном листе.	Обучающиеся сверяются перед уроком и оценивают себя. Отмечают количество баллов в карте результативности. 3 б – три неравенства 2 б – два неравенства 1 б – одно неравенство		0,5
3.	Актуализация знаний	У каждого на парте лежит карточка с вопросами, нужно ответить на эти вопросы и обсудить в парах. 1.       Какие неравенства называются квадратными? 2.       Что значит решить неравенство? 3.       Какие способы для решения квадратных неравенств вы знаете? 4.       Какой это способ: Определить направление ветвей параболы; найти точки пересечения с осью ох; построить эскиз графика и определить промежутки, где функция положительна, а где отрицательна? 5.       Какой это способ: найти корни соответствующего квадратного уравнения; отметить на координатной прямой; определить знак неравенства на каждом из получившихся числовых промежутках;  записать ответ? 6.       Верно, ли изображено решение квадратного неравенства, при условии, что корни квадратного трехчлена найдены верно? x2-6x-7 > 0 7.       Верно, ли изображено решение квадратного неравенства, при условии, что корни квадратного трехчлена найдены верно? -x2-6x-5 < 0 8.       Верно, ли изображено решение квадратного неравенства, при условии, что корни квадратного трехчлена найдены верно?   Ответ: 9.       Строгие неравенства – это неравенства, в которых знак …. Нестрогие неравенства – это неравенства, в которых знак…	Отвечают на вопросы, обсуждают в парах, сверяются c классом при фронтальном опросе и оценивают себя. Один вопрос – 1б.		5
4.	Систематизация и обобщение знаний	Познал сам , помоги другому 1. На доске записаны 5 неравенств: 1. 4x2+3x-1 < 0 2. 25-x2 > 0 3. 3x+2 > 5x 4. x2+2x-3  ≤0 5. x2 +2x≤8 выбрать строгие квадратные неравенства, решить их и найдите наибольшее целое решение. Под какими номерами ? (три человека работают у доски). Почему не выбрали неравенство №3, 4,5?. 2. Работа в группе Найдите наибольшее целое отрицательное значение х, удовлетворяющее неравенству х2 – 5х+ 6 < 0. Найди ошибку	1. Все ученики решают три неравенства, сверяются с доской. Фиксируют результат в карте (1 неравенство 1б.) Т.к оно линейное; нестрогое. 2. Один ученик проговаривает и записывает решение неравенства у доски. Все обучающиеся фиксируют свои результаты. (2б) 3. Обучающиеся решают самостоятельно, помог однокласснику (3б).		18
	Физкультминутка				0,5
5.	Домашнее задание	Промежуточный итог: 18-20 б –«5» 14-17 б –«4» 10-13 б –«3» Инструктаж по дом. зад.	Промежуточный итог: обучающиеся оценивают себя по карте результативности. Проговаривают в парах 2 алгоритма решения кв. неравенств (по вариантам).  № 34.37 (учебник).		2
6.	Самостоятельная работа	Работа в паре 1 вариант 1.      Решить неравенство методом интервалов: (x+2)(x-7) ≥ 0 2.      Решить неравенство и найдите наибольшее целое решение: (х + 1)(5 – х) > 0 2 вариант 1.      Решить неравенство методом интервалов: (x-3)(x-4) ≥ 0 2.      Решить неравенство и найдите наибольшее целое решение: (х – 1)(х – 5) ≤ 0.	Решают индивидуально; сверяют ответы по ключу (слайд 4);  тетради сдают на проверку.	Слайд 4	15
	Рефлексия	Своей работой на уроке я Не доволен/ доволен Урок для меня показался Коротким/ длинным За урок я Не устал/ устал Моё настроение стало Хуже/ лучше Материал урока мне был НЕ понятен/ понятен Бесполезен/ полезен Скучен/ интересен Домашнее задание мне кажется Трудным/ лёгким Чему учились на уроке? Выполнили цель, которую ставили перед собой? Предлагает оценить свою работу:  карточка, где нужно почеркнуть вариант ответа на вопрос. Проводит опрос по карточке.	Отвечают на вопросы учителя, делают выводы о достигнутых результатах. Отвечают в карточках на вопросы, подчеркивая ответ и озвучивают результаты.		2

Школа-лицей
№5

Открытый
урок

на
тему:  «Нахождение наибольшего целого решения неравенств»

Класс:  8б

Учитель: Тансыкбаева Г.М.