Как найти наибольшее наименьшее значение на промежутке

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Наибольшее и наименьшее значение функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $

План решения

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $

1. Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
2. Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
3. Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
4. Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
5. Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $

Примеры решений

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 – 3x^2 – 4 $ на отрезке $ [0;2] $

Решение

Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 – 3x^2 – 4)’ = 6x^2 – 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 – 6x = 0 $$ $$ 6x(x – 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 – 3 cdot 0^2 – 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 – 3 cdot 1^2 – 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 – 3 cdot 2^2 – 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ M = 0, m = -5 $$

Пример 2

Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $

Решение

Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $.

Ответ

$$ m = 0, M = 1 $$

Экстремумы функции

Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.

Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.

Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.

«Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке» 👇

Правило исследования на экстремум

1. Найти $D(f)$;
2. Найти $f'(x)$;
3. Найти точки, где $f’left(xright)=0$;
4. Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
5. Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
6. Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
7. Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

1. Найти $f'(x)$;
2. Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
3. Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
4. Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
5. Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
6. Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Примеры задач

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №17. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,

2)Определение алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке,

3) Рассмотреть прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Глоссарий по теме

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:

1. Найти область определения функции D(f).
2. Найти производную f‘ (x).
3. Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
4. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b).
5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:

1. Найти производную f‘ (x) стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
2. Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b)и среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x³ – 9x² + 12x – 2 на отрезке [0; 3]

Решение. Действуем в соответствии с алгоритмом.

1) D(f) = (-∞; +∞).

2) f (x) = 6x² – 18x + 12

3) Стационарные точки: х = 1; х = 2.

4) f(0) = -2

f(3) = 7

f(1) = 3

f(2) = 2

5) f_наим.=f(0) = -2

f_наиб.=f(3) = 7.

Ответ: f_наим= -2

f_наиб.= 7.

№2.Найдите два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее.

Решение.

Пусть первое число равно х,

Тогда второе число –

Следовательно,

Произведение этих чисел равно х(16 – х).

Составим функцию:

f(x) = x(16 – x)

x = 8 – единственная стационарная точка на интервале (0; 16), она является точкой максимума.

Следовательно, в этой точке функция F(x) = x(16 – x) принимает наибольшее значение.

Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее, это 8 и 8.

Ответ: 8 и 8

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть
функция у =
f
(х) непрерывна
на отрезке [a,
b]. Как
известно, такая функция на этом отрезке
достигает наибольшего и наименьшего
значений. Эти значения функция может
принять либо во внутренней точке отрезка
[a, b],
либо на границе отрезка.

Для
нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке [a,
b] необходимо:

1)найти
критические точки функции в интервале
(a, b);

2)вычислить
значения функции в найденных критических
точках;

3)
вычислить значения функции на концах
отрезка, то есть при x=
а и х =
b;

4)из
всех вычисленных значений функции
выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции

на
отрезке [0; 3].

Находим
критические точки:

Эти
точки лежат внутри отрезка [0; 3]; y(1)
= ‒ 3; y(2)
= ‒ 4; y(0)
= ‒ 8; y(3)
= 1;

в
точке x =
3 и
в точкеx =
0.

Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.

Функция
y
= f
(x)
называется
выпуклойвверх
на промежутке (a,
b),
если ее график лежит под касательной,
проведенной в любой точке этого
промежутка, и называется выпуклой
вниз (вогнутой),
если ее график лежит над касательной.

Точка,
при переходе через которую выпуклость
сменяется вогнутостью или наоборот,
называется точкой
перегиба.

Алгоритм
исследования на выпуклость и точку
перегиба:

1.
Найдеми критические точки второго рода, то
есть точки в которых вторая производная
равна нулю или не существует.

2.
Нанести критические точки на числовую
прямую, разбивая ее на промежутки. Найти
знак второй производной на каждом
промежутке; если
,
то функция выпуклая вверх, если,
то функция выпуклая вниз.

3.
Если при переходе через критическую
точку второго рода
поменяет знак и в этой точке вторая
производная равна нулю, то эта точка ‒
абсцисса точки перегиба. Найти ее
ординату.

Рис.13

Рис.14

Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.

Определение.
Асимптотой
графика функции называется прямая,
обладающая тем свойством, что расстояние
от любой точки графика до этой прямой
стремится к нулю при неограниченном
удалении точки графика от начала
координат.

Рис.15

Существуют
три вида асимптот: вертикальные,
горизонтальные и наклонные.

Определение.
Прямая
называетсявертикальной
асимптотой графика
функции у =
f (х), если
хотя бы один из односторонних пределов
функции в этой точке равен бесконечности,
то есть

где

‒ точка разрыва функции, то естьне принадлежит области определения.

Пример.

D
(y)
= (‒ ∞; 2)
(2; + ∞)

x=
2 ‒ точка разрыва.

Определение.
Прямая у
= A
называется горизонтальной
асимптотой
графика функции у
= f(х) при
,
если

Пример.

x	0	3	1
y		1	‒ 1

Определение.
Прямая у
= kх
+ b
(k≠
0) называется наклонной
асимптотой
графика функции у
= f (х) при
,
где

Общая схема исследования функций и построения графиков.

Алгоритм
исследования функции у
= f (х):

1.
Найти область определения функцииD
(y).

2.
Найти (если это можно) точки пересечения
графика с осями координат (при x
= 0 и при y
= 0).

3.
Исследовать на четность и нечетность
функции(y
(‒x)
= y
(x)
‒четность;
y(‒x)
= ‒y
(x)
‒нечетность).

4.
Найти асимптоты графика функции.

5.
Найти интервалы монотонности функции.

6.
Найти экстремумы функции.

7.
Найти интервалы выпуклости (вогнутости)
и точки перегиба графика функции.

8.
На основании проведенных исследований
построить график функции.

Пример.
Исследовать
функцию и построить ее график.

1)
D
(y)
=

x
= 4 ‒ точка разрыва.

2)
При x
= 0,

(0;
‒ 5) ‒ точка пересечения с oy.

При
y
= 0,

3)
y(‒
x)=

функция общего вида (ни четная, ни
нечетная).

4)
Исследуем на асимптоты.

а)
вертикальные

б)
горизонтальные

в)
найдем наклонные асимптоты
где

‒уравнение
наклонной асимптоты

5)
В данном уравнении не требуется найти
интервалы монотонности функции.

6)

Эти
критические точки разбивают всю область
определения функции на интервале (˗∞;
˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты
удобно представить в виде следующей
таблицы:

x	(˗∞; ˗2)	˗2	(˗2; 4)	4	(4; 10)	10	(10; +∞)
	+	0	˗	0	˗	0	+
y		max		нет экстр.		min

Из
таблицы видно, что точках
= ‒2‒точка
максимума, в точкех
= 4‒нет экстремума, х
= 10 ‒точка минимума.

Подставим
значение (‒ 3) в уравнение:

9
+ 24 ‒ 20 > 0

0
‒ 20 < 0

25
‒ 40 ‒ 20 < 0

121
‒ 88 ‒ 20 > 0

Максимум
этой функции равен

(‒
2; ‒ 4) ‒ экстремум максимальный.

Минимум
этой функции равен

(10;
20) ‒ экстремум минимальный.

7)
исследуем на выпуклость и точку перегиба
графика функции

8)

x	0	4
y	4	8

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #