Как найти наибольшее общее делитель двух чисел - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Для этого термина существует аббревиатура «НОД», которая имеет и другие значения, см. Нод.

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел и называется наибольший из их общих делителей^[1]. Пример: для чисел 54 и 24 наибольший общий делитель равен 6.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел или не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел и :

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.

Связанные определения[править | править код]

Наименьшее общее кратное[править | править код]

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел и — это наименьшее натуральное число, которое делится на и (без остатка). Обозначается НОК(m,n) или [m,n] , а в английской литературе .

НОК для ненулевых чисел и всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

Это частный случай более общей теоремы: если $a_{1},a_{2},dots ,a_{n}$ — ненулевые числа, — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

$D=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n}]cdot left({frac {D}{a_{1}}},{frac {D}{a_{2}}},dots ,{frac {D}{a_{n}}}right)$

Взаимно простые числа[править | править код]

Числа и называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме pm 1 . Для таких чисел НОД. Обратно, если НОД то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа $a_{1},a_{2},dots a_{k}$ , где kgeq 2 , называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД(6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Способы вычисления[править | править код]

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД(m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел и на простые множители:

$n=p_{1}^{{d_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{d_{k}}},$

$m=p_{1}^{{e_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{e_{k}}},$

где $p_{1},dots ,p_{k}$ — различные простые числа, а $d_{1},dots ,d_{k}$ и $e_{1},dots ,e_{k}$ — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД(n,m) и НОК[n,m] выражаются формулами:

$(n,m)=p_{1}^{{min(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{min(d_{k},e_{k})}},$

$[n,m]=p_{1}^{{max(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{max(d_{k},e_{k})}}.$

Если чисел более двух: $a_{1},a_{2},dots a_{n}$ , их НОД находится по следующему алгоритму:

$d_{2}=(a_{1},a_{2})$

$d_{3}=(d_{2},a_{3})$

………

$d_{n}=(d_{{n-1}},a_{n})$

— это и есть искомый НОД.

Свойства[править | править код]

Основное свойство: наибольший общий делитель и делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Если делится на , то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
. В общем случае, если , где – целые числа, то .
— общий множитель можно выносить за знак НОД.
Если , то после деления на числа становятся взаимно простыми, то есть, $left({{frac {m}{D}},{frac {n}{D}}}right)=1$ . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
Мультипликативность: если $a_{1},a_{2}$ взаимно просты, то:

$(a_{1}cdot a_{2},b)=(a_{1},b)cdot (a_{2},b)$

left{acdot m+bcdot nmid a,bin mathbb{Z } right}

и поэтому

представим в виде линейной комбинации чисел

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты

— коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы

, порождённая набором ${a_{1},a_{2},dots ,a_{n}}$

, — циклическая и порождается одним элементом: НОД(a₁, a₂, … , a_n).

Вариации и обобщения[править | править код]

Понятие делимости целых чисел естественно обобщается на произвольные коммутативные кольца, такие, как кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Однако, определить НОД(a, b) как наибольший из общих делителей , нельзя, так как в таких кольцах, вообще говоря, не определено отношение порядка. Поэтому в качестве определения НОД берётся его основное свойство:

Наибольшим общим делителем НОД(a, b) называется тот общий делитель, который делится на все остальные общие делители

Для натуральных чисел новое определение эквивалентно старому. Для целых чисел НОД в новом смысле уже не однозначен: противоположное ему число тоже будет НОД. Для гауссовых чисел число различных НОД возрастает до 4.

НОД двух элементов коммутативного кольца, вообще говоря, не обязан существовать. Например, для нижеследующих элементов и кольца не существует наибольшего общего делителя:

a=4=2cdot 2=left(1+{sqrt {-3}}right)left(1-{sqrt {-3}}right),qquad b=left(1+{sqrt {-3}}right)cdot 2.

В евклидовых кольцах наибольший общий делитель всегда существует и определён с точностью до делителей единицы, то есть количество НОД равно числу делителей единицы в кольце.

См. также[править | править код]

Бинарный алгоритм вычисления НОД
Делимость
Алгоритм Евклида
Наименьшее общее кратное

Литература[править | править код]

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.

Примечания[править | править код]

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. страница 857

Источник

Как найти НОД

Нахождение путём разложения на множители
Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:

Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:

48 : 4 = 12

48 делится на 4 без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

Источник

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Источник

Загрузить PDF

Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел – это наибольшее целое число, на которое делится каждое из этих чисел. Например, НОД для 20 и 16 равен 4 (как 16, так и 20 имеют большие делители, но они не являются общими – например, 8 делитель 16, но не делитель 20). Существует простой и системный метод для нахождения НОД, называемый “алгоритм Евклида”. Эта статья расскажет вам, как находить наибольший общий делитель двух целых чисел.

1

Опустите любые знаки минус.
2
Выучите терминологию: при делении 32 на 5,
- 32 – делимое
- 5 – делитель
- 6 – частное
- 2 – остаток
3

Определите большее из чисел. Оно будет делимым, а меньшее число – делителем.
4

Запишите такой алгоритм: (делимое) = (делитель) * (частное) + (остаток)
5

Поставьте большее число на место делимого, а меньшее – на место делителя.
6

Найдите, сколько раз большее число делится на меньшее, и запишите результат вместо частного.
7

Найдите остаток и впишите его в соответствующую позицию в алгоритме.
8

Запишите алгоритм снова, но (A) запишите предыдущий делитель как новое делимое, а (B) предыдущий остаток как новый делитель.
9

Повторяйте предыдущий шаг до тех пор, пока остаток не равен 0.
10

Последний делитель и будет наибольшим общим делителем (НОД).
11

Например, найдем НОД для 108 и 30:
12

Обратите внимание, как числа 30 и 18 из первой строки образуют вторую строку. Затем 18 и 12 образуют третью строку, а 12 и 6 образуют четвертую строку. Кратные 3, 1, 1 и 2 не используются. Они представляют собой число раз, которые делимое делится на делитель, и поэтому уникальны для каждой строки.

Реклама

1

Опустите любые знаки минус.
2
Найдите простые множители чисел. Представьте их так, как показано на рисунке.
- Например, для 24 и 18:
  - 24- 2 x 2 x 2 x 3
  - 18- 2 x 3 x 3
- Например, для 50 и 35:
  - 50- 2 x 5 x 5
  - 35- 5 x 7
3
Найдите общие простые множители.
- Например, для 24 и 18:
  - 24- 2 x 2 x 2 x 3
  - 18- 2 x 3 x 3
- Например, для 50 и 35:
  - 50- 2 x 5 x 5
  - 35- 5 x 7
4
Перемножьте общие простые множители.
- Для 24 и 18 перемножьте 2 и 3 и получите 6. 6 – наибольший общий делитель 24 и 18.
- Для 50 и 35 нечего перемножать. 5 – единственный общий простой множитель, он и является НОДом.
5

Сделано!

Реклама

Советы

Один из способов записать это: <делимое>mod<делитель> = остаток; НОД (a,b) = b, если mod b = 0, и НОД(a,b) = НОД (b, a mod b) в противном случае.
В качестве примера найдем НОД (-77,91). Во-первых, используйте 77 вместо -77: НОД (-77,91) преобразуется в НОД (77,91). 77 меньше 91, поэтому мы должны поменять их местами, но рассмотрим то, как действует алгоритм, если мы не сделаем этого. При вычислении 77 mod 91 мы получим 77 (77 = 91 х 0 + 77). Так как это не нуль, рассматриваем ситуацию (b, a mod b), то есть НОД (77,91) = НОД (91,77). 91 mod 77 = 14 (14 является остатком). Это не нуль, поэтому НОД (91,77) становится НОД (77,14). 77 mod 14 = 7. Это не нуль, поэтому НОД (77,14) становится НОД (14,7). 14 mod 7 = 0 (так как 14/7 = 2 без остатка). Ответ: НОД (-77,91) = 7.
Описанный метод очень полезен при упрощении дробей. В описанном выше примере: -77/91 = -11/13, так как 7 является наибольшим общим делителем -77 и 91.
Если а и b равны нулю, то любое отличное от нуля число является их делителем, поэтому в этом случае НОД не существует (математики просто считают, что наибольший общий делитель 0 и 0 равен 0).

Об этой статье

Эту страницу просматривали 12 019 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

The Greatest Common Divisor (GCD) of two whole numbers, also called the Greatest Common Factor (GCF) and the Highest Common Factor (HCF), is the largest whole number that’s a divisor (factor) of both of them. For instance, the largest number that divides into both 20 and 16 is 4. (Both 16 and 20 have larger factors, but no larger common factors — for instance, 8 is a factor of 16, but it’s not a factor of 20.) In grade school, most people are taught a “guess-and-check” method of finding the GCD. Instead, there is a simple and systematic way of doing this that always leads to the correct answer. The method is called “Euclid’s algorithm.” If you want to know how to truly find the Greatest Common Divisor of two integers, see Step 1 to get started.^[1]

1

Drop any negative signs.
2
Know your vocabulary: when you divide 32 by 5,^[2]
- - 32 is the dividend
  - 5 is the divisor
  - 6 is the quotient
  - 2 is the remainder (or modulo).
Advertisement
3

Identify the larger of the two numbers. That will be the dividend, and the smaller the divisor.^[3]
4

Write out this algorithm: (dividend) = (divisor) * (quotient) + (remainder)^[4]
5

Put the larger number in the spot for dividend, and the smaller number as the divisor.^[5]
6

Decide how many times the smaller number will divide into the larger number, and drop it into the algorithm as the quotient.
7

Calculate the remainder, and substitute it into the appropriate place in the algorithm.^[6]
8

Write out the algorithm again, but this time A) use the old divisor as the new dividend and B) use the remainder as the new divisor.
9

Repeat the previous step until the remainder is zero.
10

The last divisor is the greatest common divisor.
11

Here is an example, where we are trying to find the GCD of 108 and 30:
12

Notice how the 30 and the 18 in the first line shift positions to create the second line. Then, the 18 and 12 shift to create the third line, and the 12 and 6 shift to create the fourth line. The 3, 1, 1, and 2 that follow the multiplication symbol do not reappear. They represent how many times the divisor goes into the dividend, so they are unique to each line.

1

Drop any negative signs.^[7]
2
Find the prime factorization of the numbers, and list them out as shown.^[8]
- Using 24 and 18 as the example numbers:
  - 24- 2 x 2 x 2 x 3
  - 18- 2 x 3 x 3
- Using 50 and 35 as the example numbers:
  - 50- 2 x 5 x 5
  - 35- 5 x 7
3
Identify all common prime factors.
- Using 24 and 18 as the example numbers:
  - 24- 2 x 2 x 2 x 3
  - 18- 2 x 3 x 3
- Using 50 and 35 as the example numbers:
  - 50- 2 x 5 x 5
  - 35- 5 x 7
4
Multiply the common factors together.^[9]
- In the case of 24 and 18, multiply 2 and 3 together to get 6. Six is the greatest common factor of 24 and 18.
- In the case of 50 and 35, there is nothing to multiply. 5 is the only common factor, and therefore the greatest.
5

Finished.

Add New Question

Question

How do I find the gcd of three integers?

Find all of the divisors of each of the integers, and note the largest one that’s common to all three.
Question

How do I round off 93,678,563 to the nearest 10,000?

Look at the digit in the 1,000’s place: it’s 8, so you round up to 93,680,000.
Question

What is a multiplicative inverse?

A multiplicative inverse is the reciprocal of a number.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

One way to write this, using the notation <dividend> mod <divisor> = the remainder is that GCD(a,b) = b if a mod b = 0, and GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) otherwise.
As an example, let’s find GCD(-77,91). First, use 77 instead of -77, so GCD(-77,91) becomes GCD(77,91). Now, 77 is less than 91, so we should swap them, but let’s see how the algorithm takes care of that if we don’t. When we calculate 77 mod 91, we get 77 (since 77 = 91 x 0 + 77). Since that’s not zero, we switch (a, b) for (b, a mod b) and that gives us: GCD(77,91) = GCD(91,77). 91 mod 77 gives 14 (remember, that means 14 is the remainder). Since that’s not zero, swap GCD(91,77) for GCD(77,14). 77 mod 14 gives 7 which is not zero, so swap GCD(77,14) for GCD(14,7). 14 mod 7 is zero, since 14 = 7 * 2 with no remainder, so we stop. And that means: GCD(-77,91) = 7.
This technique is very useful when reducing fractions. By the above example, the fraction -77/91 reduces to -11/13 because 7 is the greatest common divisor of -77 and 91.

Show More Tips

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 601,632 times.

Did this article help you?

Источник

Связанные определения[править | править код]

Наименьшее общее кратное[править | править код]

Взаимно простые числа[править | править код]

Способы вычисления[править | править код]

Свойства[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

Как найти НОД

Нахождение путём разложения на множители

Алгоритм Евклида

Как найти НОД?

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Частный случай или взаимно простые числа

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

About This Article

Did this article help you?

Вам также может понравиться

Как найти произведение матрицы онлайн калькулятор

Как найти беспроводную мышку дома

Как составить меню для ребенка 7 месяцев на искусственном вскармливании

Добавить комментарий Отменить ответ