Числовая окружность
В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac<π><2>, frac<π><3>, frac<7π><4>, 10π, -frac<29π><6>)) разбирается в этой статье .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:
Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac<π><2>),(-frac<π><2>),(frac<3π><2>), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).
Главное свойство числовой окружности
Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
Такая вот математическая полигамия.
И следствие из этого правила:
Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .
В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .
Что надо запомнить про числовую окружность:
ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Мордкович Учебник, Задачник Базовый уровень §5 – 4
Авторы: А.Г. Мордкович , П. В. Семенов .
Издательство: Мнемозина 2015-2020
Тип: Задачник, Базовый уровень
Подробный решебник (ГДЗ) по Алгебре за 10‐11 (десятый‐одиннадцатый) класс Учебник, Задачник – готовый ответ §5 – 4. Авторы учебника: Мордкович, Семенов, Базовый уровень. Издательство: Мнемозина 2015-2020.
Похожие ГДЗ
ГДЗ Задачник алгебра 10 класс Мордкович А.Г. базовый и углубленный уровень
ГДЗ Задачник алгебра 11 класс Мордкович А.Г. базовый и углубленный уровень
ГДЗ учебник алгебра 10 класс Мордкович А.Г. базовый уровень
ГДЗ учебник алгебра 11 класс Мордкович А.Г. базовый уровень
Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами:
Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами М(0?
Алгебра | 10 – 11 классы
Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами М(0.
5 ; корень из 3 деленный на 2)с объяснением.
Рисуешь числовую окружность радиусом, равным 1 и на оси х отмечаешь точку с координатой 0, 5 через эту точку проводишь вертикальную линию вверх до пересечения с окружностью.
Автоматически получаешь точку с у – координатой √3 / 2.
Теперь давай посчитаем, какому углу она соответствует.
Если разделить верхнюю половину окружности на 3 части, то твоя точка как раз совпадёт с 1 / 3 полуокружности.
Поскольку полуокружность соответсвует углу, равному π(180 градусов), то твоя точка соответствует π / 3 (60°).
Это если отсчитывать от оси х в положительную сторону (против часовой стрелки).
А если отсчитывать в отрицательную сторону (по часовой стрелке, то мы пройдём 1 / 2 окружности и ещё 2 / 3 её.
Половина окружности (я уже говорила) соответствует π, а 2 / 3 соответствует 2π / 3, и всё это со знаком ” – “!
Всего получается – π – 2π / 3 = – 5π / 3 ( – 300°)
Ответ : наименьший положительный угол π / 3 (60°) наибольший отрицательный угол – 5π / 3 ( – 300°).
Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения sin( – x) = 1 / 2?
Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения sin( – x) = 1 / 2.
Отрицательное или положительное будет число при деление : 1?
Отрицательное или положительное будет число при деление : 1.
Отрицательное на положитнльное число 2.
Отрицательное на отрицательное?
Найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения косинус( – х) = корень из 3 поделить на 2?
Найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения косинус( – х) = корень из 3 поделить на 2.
Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения : cosx cos3x + 0?
Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения : cosx cos3x + 0.
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числуа)2пи / 3б)3пи / 4Объясните как, пожалуйста)?
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу
Объясните как, пожалуйста).
Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения 3tgx – (корень из 3) = 0?
Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения 3tgx – (корень из 3) = 0.
Найдите точку на числовой окружности , которая будет соответствовать заданному числу – (25пи) / 4?
Найдите точку на числовой окружности , которая будет соответствовать заданному числу – (25пи) / 4.
Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cosx = √3 / 2?
Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cosx = √3 / 2.
На числовой окружности отмечена точка , соответствующая числу – 35п / 4 Определите , какому еще числу соответствует эта точка?
На числовой окружности отмечена точка , соответствующая числу – 35п / 4 Определите , какому еще числу соответствует эта точка.
Найдите сумму наименьшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений неравенства?
Найдите сумму наименьшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений неравенства.
На этой странице находится ответ на вопрос Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами М(0?, из категории Алгебра, соответствующий программе для 10 – 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Алгебра. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
[spoiler title=”источники:”]
http://megaresheba.ru/publ/reshebnik/algebra/zadachnik_10_11_klass_mordkovich_2009/34-1-0-1103/5-nomer-4
http://algebra.my-dict.ru/q/1900820_najdite-naimensee-polozitelnoe-i-naibolsee-otricatelnoe/
[/spoiler]
как найти наименьшее положительное число, которым соответствует точка с координатами
Ученик
(46),
закрыт
11 лет назад
Сергей Аракелян
Профи
(584)
11 лет назад
Точно не уверен, но думаю так: точка М (1/2;корень из 3/2) соответствует числу Пи/6 => Пи/6 – наименьшее из из положительных. Наибольшее отрицательное число (из отрицательных чисел больше то, которое по модулю меньше) это -11Пи/6 (если считать от точки А (координаты (1;0) или начала отсчета) по часовой стрелке) . ПО аналогии можно провести эту операцию с другими точками.
Источник: Личный опыт
Рисуешь числовую окружность радиусом, равным 1 и на оси х отмечаешь точку с координатой 0,5 через эту точку проводишь вертикальную линию вверх до пересечения с окружностью. Автоматически получаешь точку с у-координатой √3/2.
Теперь давай посчитаем, какому углу она соответствует.
Если разделить верхнюю половину окружности на 3 части, то твоя точка как раз совпадёт с 1/3 полуокружности. Поскольку полуокружность соответсвует углу, равному π(180 градусов), то твоя точка соответствует π/3 (60°).
Это если отсчитывать от оси х в положительную сторону (против часовой стрелки).
А если отсчитывать в отрицательную сторону (по часовой стрелке, то мы пройдём 1/2 окружности и ещё 2/3 её. Половина окружности (я уже говорила) соответствует π, а 2/3 соответствует 2π/3, и всё это со знаком “-“!!
Всего получается -π- 2π/3 = -5π/3 (-300°)
Ответ: наименьший положительный угол π/3 (60°)
наибольший отрицательный угол -5π/3 (-300°)
Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами М(0.
5 ; корень из 3 деленный на 2)с объяснением.
На этой странице находится ответ на вопрос Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами М(0?, из категории
Алгебра, соответствующий программе для 10 – 11 классов. Чтобы посмотреть
другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов
подберите похожие вопросы и ответы в категории Алгебра. Ответ, полностью
соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого
интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе.
Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не
только просмотреть, но и прокомментировать.
В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac{π}{2}, frac{π}{3}, frac{7π}{4}, 10π, -frac{29π}{6})) разбирается в этой статье.
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам, расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:
Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π): ( frac{π}{2}),(-frac{π}{2}),(frac{3π}{2}),(2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье).
Главное свойство числовой окружности
Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
Такая вот математическая полигамия.
И следствие из этого правила:
Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
(t_0+2πn), (n∈Z),
где (t_0) – любое значение это точки.
Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео.
В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь.
Что надо запомнить про числовую окружность:
Смотрите также:
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом