- Развертка тангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
- Свойства функции y=tgx
- Примеры
п.1. Развертка тангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности на вертикальной касательной, проведенной через точку (1;0), отображаются значения тангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется тангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=tgx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривые продолжатся влево.
В результате получаем график y=tgx для для всех x из области допустимых значений.
График y=tgx называют тангенцоидой.
Часть тангенцоиды c (-fracpi2lt xlt fracpi2) называют главной ветвью тангенцоиды.
п.2. Свойства функции y=tgx
1. Область определения (xnefracpi2+pi k) – множество действительных чисел, кроме точек, в которых (cosx=0).
2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений (yinmathbb{R})
3. Функция нечётная $$ tg(-x)=-tgx $$
4. Функция периодическая с периодом π $$ tg(x+pi k)=tgx $$
5. Функция стремится к (+infty) при приближении слева к точкам (x=fracpi2+pi k).
Приближение к точке a слева записывается как (xrightarrow a-0) $$ lim_{xrightarrowfracpi2+pi k-0} tgx=+infty $$ Функция стремится к (-infty) при приближении справа к точкам (x=fracpi2+pi k).
Приближение к точке a справа записывается как (xrightarrow a+0) $$ lim_{xrightarrowfracpi2+pi k+0} tgx=-infty $$ Нули функции (y_{0}=0) достигаются в точках (x_0=pi k)
6. Функция возрастает на всей области определения.
7. Функция имеет разрывы в точках (x=fracpi2+pi k), через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами (left(-fracpi2+pi k; fracpi2+pi kright)) функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=tgx на заданном промежутке:
a) (left[frac{2pi}{3}; frac{3pi}{2}right)) $$ y_{min}=tgleft(frac{2pi}{3}right)=-sqrt{3}, y_{max}=lim_{xrightarrowfrac{3pi}{2}-0}tgx=+infty $$ б) (left(frac{pi}{2}; piright]) $$ y_{min}=lim_{xrightarrowfrac{pi}{2}+0}tgx=-infty, y_{max}=tg(pi)=0 $$ в) (left[frac{3pi}{4}; frac{7pi}{6}right]) $$ y_{min}=tgleft(frac{3pi}{4}right)=-1, y_{max}=tgleft(frac{7pi}{6}right)=frac{1}{sqrt{3}} $$
Пример 2. Решите уравнение:
a) (tgx=-sqrt{3})
Бесконечное множество решений: (x=frac{2pi}{3}+pi k, kinmathbb{Z})
б) (tgleft(x-fracpi2right)=0)
(x-fracpi2=pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z})
в) (tg(2x)=1)
(2x=fracpi4+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac{pi}{8}+frac{pi k}{2}, kinmathbb{Z})
г) (tgleft(frac{x}{3}-1right)=-1)
(frac{x}{3}-1=-frac{pi}{4}+pi k)
(frac{x}{3}=1-frac{pi}{4}+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=3-frac{3pi}{4}+3pi k, kinmathbb{Z})
Пример 3. Определите чётность функции: a) (y(x)=4tgx+5sinx)
$$ y(-x)=4tg(-x)+5sin(-x)=-4tgx-5sinx=-(4tgx+5sinx)=-y(x) $$ Функция нечётная.
б) (y(x)=tgx-2cosx)
$$ y(-x)=tg(-x)-2cos(-x)=-tgx-2cosx=-(tgx+2cosx)ne left[ begin{array} -y(x)\ y(x) end{array} right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.
в) (y(x)=tg^2x+cos5x)
$$ y(-x)=tg^2(-x)+cos(-5x)=(-tgx)^2+cos5x=tg^2x+cos5x)=y(x) $$ Функция чётная.
г) (y(x)=x^2-tgx)
$$ y(-x)=(-x)^2-tg(-x)=x^2+tgxne left[ begin{array} -y(x)\ y(x) end{array} right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.
Пример 4. Если (tg(7pi-x)=frac34), то чему равны (tgx, ctgx)?
Т.к. период тангенса равен π, получаем: begin{gather*} tg(7pi-x)=tg(-x)=-tgx=frac34Rightarrow tgx=-frac34\ ctgx=frac{1}{tgx}=-frac43 end{gather*} Ответ: (-frac34, -frac43)
Функция тангенса: формула, свойства, график
Содержание:
- Что такое тангенс
- Что такое функция тангенса: формула
- Свойства функции
- Как построить график
- Примеры решения задач
Что такое тангенс
Тангенсом какого-либо острого угла (alpha (tg alpha)) называют величину, выражающую отношение противоположного катета (а) к прилегающему катету (b) в треугольнике с углом 90°, то есть: (tg alpha = frac{a}{b})
Понятие тангенса угла можно проиллюстрировать таким образом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Источник: microexcel.ru
Пример 1
Рассмотрим наглядный пример. Предположим, что катеты в треугольнике из определения тангенса имеют следующие значения: a = 3 b = 4 В таком случае справедливо записать выражение для расчета тангенса угла: (tg alpha = frac{a}{b} = frac{3}{4} = 0,75)
Что такое функция тангенса: формула
При решении задач можно нередко встретить примеры с тригонометрическими функциями, в том числе, функцией тангенса. Эта функция обладает специфическими свойствами, которые значительно упрощают вычисления. Запись имеет следующий вид:
(у = tg х)
Здесь х обозначает аргумент тригонометрической функции и играет роль независимой переменной, а у определяет непосредственно функцию, то есть зависимую переменную.
Свойства функции
С помощью знаний свойств функций в тригонометрии достаточно просто решать самые сложные и громоздкие примеры. Перечислим закономерности, характерные для функции тангенса:
- Функция тангенса определяется в области ((xnefracpi2+pi k)), то есть на множестве, в состав которого включены действительные числа, за исключением точек, характеризующихся нулевым значением для косинуса.
- Функция на графике не имеет ограничений в верхней и нижней части, поэтому ее область значений можно записать как (yinmathbb{R}).
- Функция тангенса является нечетной, что целесообразно записать в виде соотношения (tg(-x)=-tgx).
- Тригонометрическая функция тангенса является периодической, а ее период составляет pi. Таким образом:(tg(x+pi k)=tgx) .
- Стремление функции (к +infty) можно наблюдать при сближении с левой стороны с точками (x=fracpi2+pi k). Приближение к точке, обозначенной за a, слева формулируют таким образом: (xrightarrow) (a-0 lim_{xrightarrowfracpi2+pi k-0} tgx=+infty) .
- Стремление функции (к -infty) можно наблюдать при сближении с правой стороны с точками (x=fracpi2+pi k). Приближение к точке, обозначенной за а, справа следует зафиксировать как (xrightarrow) (a+0 lim_{xrightarrowfracpi2+pi k+0} tgx=-infty).
- Нули рассматриваемой функции (y_{0}=0) определены точками (x_0=pi k).
- Возрастание функции можно наблюдать на всей области, где она определена.
- Функция разрывается в точках (x=fracpi2+pi k), которые пересечены вертикальными асимптотами. На отрезках между ними функция не прерывается, то есть (left(-fracpi2+pi k; fracpi2+pi kright).)
- Функция не обладает максимальными и минимальными значениями.
Как построить график
Как и любую другую тригонометрическую функцию, тангенс достаточно просто изобразить в системе координат. Графическое изображение функции тангенса в обобщенном виде представлено на рисунке ниже:
Источник: microexcel.ru
Построить график функции тангенса несложно. Нужно лишь последовательно выполнять действия согласно стандартному алгоритму:
- определить контрольные точки для построения;
- начертить плавную кривую линию на плоскости координат;
- для выбранного промежутка построить значения, которые расположены симметрично по отношению к началу координат;
- так как для значений функции характерны повторы с некоторым периодом, то целесообразно скопировать график для каждого из промежутков области определения;
- в результате получен график под названием тангенсоида.
Примеры решения задач
Задача 1
Требуется путем применения свойств тригонометрической функции, изученных в теоретическом разделе, записать область определения для следующей функции: (y=text{tg}left( 2x+frac{pi }{3} right))
Решение
Зная, что функция тангенса не может быть определена в точках при нулевом значении косинуса, запишем справедливое соотношение и выполним необходимые преобразования:
(cos left( 2x+frac{pi }{3} right)=0)
(2x+frac{pi }{3}ne frac{pi }{2}+pi n,nin Z)
(xne frac{pi }{12}+frac{pi n}{2},nin Z)
В результате получена область, в которой определена функция из условия задания:
(D(y)=left( -frac{pi }{12}+frac{pi n}{2},frac{pi }{12}+frac{pi n}{2} right),nin Z)
Ответ: (D(y):xin left( -frac{pi }{12}+frac{pi n}{2},frac{pi }{12}+frac{pi n}{2} right),nin Z)
Задача 2
Дано уравнение, решение которого требуется найти: (sin 2x-sqrt{3}cos 2x=0)
Решение
Выполним преобразования исходного соотношения. В результате получим:
(sin 2x=sqrt{3}cos 2x)
После деления всех частей записи на выражение (cos 2x) соотношение изменится таким образом:
(text{tg}2x=sqrt{3})
При этом ОДЗ для полученного выражения примет следующий вид:
(left( -frac{pi }{4}+frac{pi n}{2},frac{pi }{4}+frac{pi n}{2} right),nin Z.)
Далее целесообразно приступить к решению уравнения:
(2=frac{pi }{3}+pi n,nin Z)
(x=frac{pi }{6}+frac{pi n}{2},nin Z)
Заметим, что корни, которые получились по итогам расчетов, соответствуют ОДЗ. Можно записать ответ.
Ответ: (x=frac{pi }{6}+frac{pi n}{2},nin Z)
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Найдем производную заданной функции:
Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является
Ответ: 5.
Тригонометрические функции
Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение имеет корни Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?
Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n . Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — Поэтому для начала берем а затем до тех пор, пока соответствующий корень не «вылезет» за пределы Аналогично, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.
Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.
Задача. Найдите точку максимума функции, принадлежащую
y = sin x − 5 x sin x − 5cos x + 1
y ’ = (sin x − 5 x sin x − 5cos x + 1)’ = . =
Затем решаем уравнение:
y ’ = 0;
(1 − 5 x ) cos x = 0;
.
x 1 = 0,2;
x 2 = π /2 + πn , n ∈ Z .
С корнем все понятно, а вот формула требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные
Но π /2 > π /3, поэтому корень не входит в исходный отрезок. Кроме того, поэтому нет смысла рассматривать
Но − π /2 < − π /3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни
Получается, что на отрезке лежит только корень Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:
Чтобы удостовериться, что справа производная действительно отрицательная, достаточно подставить в производную значение Мы же просто отметим, производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно, это точка максимума.
Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
y = 4 tg x − 4 x + π − 5
y ’ = (4tg x − 4 x + π − 5)’ =
Затем решаем уравнение:
y ’ = 0 ⇒ 4/cos 2 x − 4 = 0 ⇒ . ⇒
Снова выделим из этой формулы корни, подставляя
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π . поэтому надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = − π . тоже вычеркиваем.
Из всего многообразия корней остался лишь один: Поэтому вычисляем значение функции для Имеем:
y (0) = 4tg 0 − 4 · 0 + π − 5 = π − 5;
y ( π /4) = 4tg π /4 − 4 · π /4 + π − 5 = 1;
y (− π /4) = 4tg (− π /4) − 4 · (− π /4) + π − 5 = . =
Теперь заметим, Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно,
Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел в бланк ответов можно записать лишь единицу.
Действительно, как написать в бланке, скажем, А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.
Случай пустого множества решений
Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.
Однако будьте предельно внимательны, поскольку такие задачи встречаются в ЕГЭ крайне редко. Если в процессе решения выясняется, что корней нет, лучше еще раз проверить все выкладки. И только когда убедитесь, что ошибок нет, можно расслабиться: вам досталась легкая задача!
Задача. Найдите наименьшее значение функции
y = 7sin x − 8 x + 5
Сначала находим производную:
y ’ = (7sin x − 8 x + 5)’ =
Попробуем решить уравнение:
y ’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 =
Но значения cos x всегда лежат Поэтому корней нет.
Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:
y (−3 π /2) = 7sin (−3 π /2) − 8 · (−3 π /2) + 5 = . =
y(0) = 7sin 0 − 8 · 0 + 5 = 5.
Поскольку число 1 в бланк ответов не записать, остается лишь
, часть 1 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве
(основные определения)
Пусть X – некоторое множество, входящее в область определения D ( f ) функции y = f (x) .
Определение 1. Значение f (x0) функции y = f (x) в точкеназывают наибольшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство
Наибольшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
Определение 2. Значение f (x0) функции y = f (x) в точке называют наименьшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство
Наименьшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
Определение 3. Наибольшее значение функции на множестве X часто называют максимальным значением функции f (x) на множестве X или максимумом функции f (x) на множестве X . Наименьшее значение функции на множестве X часто называют минимальным значением функции f (x) на множестве X или минимумом функции f (x) на множестве X .
Пример 1. Минимальным значением функции y = x 2 на множестве является число 0 (рис. 1).
Максимального значения функция y = x 2 на множестве не имеет.
Пример 2. Максимальным значением функции y = – x 2 на множестве является число 0 (рис. 2).
Минимального значения функция y = – x 2 на множестве не имеет.
Пример 3. Функция y = x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 3).
Пример 4. Функция y = arctg x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 4).
Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса
Как мы видели в примерах 1 — 4, даже такие хорошо известные функции, как
не имеют наибольших или наименьших значений на множестве. Однако, если бы в качестве множества X мы взяли произвольный отрезок, то ситуация стала бы принципиально иной, что вытекает из следующей теоремы.
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, а также точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Доказательство теоремы Вейерштрасса выходит за рамки школьного курса математики и здесь не приводится.
Примеры решения задач
| y = 2x 3 + 3x 2 – 36x + 30 | (1) |
Из формулы (2) получаем, что критическими точками функции (1) являются точки x = – 3 , x = 2, причем только точка x = 2 принадлежит отрезку [–2, 4] . Вычисляя значения функции (1) в критической точке x = 2, а также на концах отрезка x = – 2 и x = 4 , получим:
| y (2) = – 14 , |
| y (– 2) = 98 , |
| y (4) = 62 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно 98 , а наменьшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно – 14 .
на отрезке [–1, 27] .
Решая уравнение y’ = 0 , получим
Заметим также, что производная (4) функции (3) не существует в точке x = 0 . Следовательно, у функции (3) есть три критические точки: x = 0, и , причем все эти точки лежат на отрезке [–1, 27] . Вычисляя значения функции (3) в критических точках x = 0, и , а также на концах отрезка x = – 1 и x = 27 , получим:
| y (0) = 0 , |
| y (– 1) = – 1 , |
| y (27) = 99 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно 99 , а наменьшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно – 1 .
Решение. Для того, чтобы найти критические точки функции (5), перепишем правую часть формулы (5), используя определение модуля:
В точке x = 0 производная функции (5) не существует. Критическими точками являются точки
Все критические точки принадлежат отрезку [–1, 6] . Вычисляя значения функции (5) в критических точках x = 0, x = 3, x = 5, а также на концах отрезка x = – 1 и x = 6 , получим:
| y (0) = – 4 , |
| y (3) = – e 3 , |
| y (5) = e 5 , |
| y (– 1) = – 5e , |
| y (6) = 2e 6 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно 2e 6 , а наменьшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно – e 3 .
| y = (x – 27) e 28 – x | (6) |
на отрезке [23, 40] .
Решая уравнение y’ = 0 , получаем, что функция (6) имеет единственную критическую точку x = 28 , причем эта точка лежит на отрезке [23, 40] . При переходе через точку x = 28 производная функции (7) меняет знак с «+» на «–» , откуда вытекает, что точка x = 28 является точкой максимума функции (6) на множестве . Следовательно, точка x = 28 является точкой максимума функции (6) и на отрезке [23, 40] . Найдем значение функции (6) в точке x = 28 :
Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике
Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.
Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:
Нахождение точек максимума и минимума функций
Исследование сложных функций
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
Нахождение точек максимума и минимума функций
1. Найдите точку максимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю. Получим:
Исследуем знаки производной.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю.
Определим знаки производной.
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Исследование сложных функций
3. Найдите точку максимума функции
Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.
при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .
Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при
4. Найдите абсциссу точки максимума функции
Напомним, что абсцисса — это координата по
Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции
Это вершина квадратичной параболы
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.
Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.
6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому
и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.
7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.
Мы применили формулу для логарифма произведения. при
Если то Если , то
Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке
8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции
Приравняем производную к нулю:
Найдем знаки производной на отрезке
При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и
Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.
9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].
Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:
Найдем производную функции
При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.
По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки
В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при
11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.
Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.
Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при
Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при
Объяснение и обоснование
Напомним, что . Таким образом, областью определения функции y=будут все значения аргумента, при которых , то есть все значения x, kZ. Получаем
Этот результат можно получить и геометрически. Значения тангенса – это ордината соответствующей точки на линии тангенсов (рис.91). Поскольку точки Aи B единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии тангенсов, мы не сможем найти значение тангенса дляx, kZ.
Для всех других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии тангенсов и ее ординату — тангенс. Следовательно, все
Значенияx входят в область определения функции y=tgx.
Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) ординаты соответствующих т
очек на линии тангенсов принимают
все значения до +, поскольку для любого действительного числа
мы можем указать соответствующую точку на оси ординат, а значит, и соответствующую точку на оси тангенсов. Учитывая, что точка О лежит
внутри окружности, а точка вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая имеет с окружностью хотя бы одну общую точку
(на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа
найдется аргумент х, такой, что tan x равен данному действительному числу.
Поэтому область значений функции y= tg x – все действительные числа,
то есть R. Это можно записать так: E (=tgx) = R. Отсюда следует, что наибольшего и наименьшего значений функция tan x не имеет.
Как было показано в § 13, тангенс — нечетная функция:tg(-x)=tg x, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.
Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
Поэтому при построении графика
этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной π,
а потом полученную линию перенести параллельно вправо и влево вдоль оси
Ox на расстоянияkT = πk, где k — любое натуральное число.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,
напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение
y = tg 0 = 0, то есть график функции y = tg x проходит через начало координат.
На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x,
при которых tg x, то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z.
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции тангенс положительны (то есть ордината соответствующей точкилинии тангенсов положительна) в І и ІІІ четвертях. Следовательно, tgx > 0 при
а также, учитывая период, при всех
Значения функции тангенс отрицательны (то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов отрицательна) во ІІ и ІV четвертях. Такимобразом,
Промежутки возрастания и убывания.
Учитывая периодичность функции tgx (период T = π), достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной π,
например на промежутке . Если x (рис. 92), то при увеличении аргумента x (x2>x1) ордината соответствующей точки линии
тангенсов увеличивается (то есть tgx2>tgx1). Таким образом, на этом
промежутке функция tgx возрастает. Учитывая периодичность функции
tgx, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков
Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график
функции y = tg x. Учитывая периодичность этой функции (с периодом π),
сначала построим график на любом промежутке длиной π, например на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся также тем, что значение тангенса — это ордината соответствующей точки
линии тангенсов. На рисунке 93 показано построение графика функции
y = tg x на промежутке.
Далее, учитывая периодичность тангенса (с периодом π), повторяем вид
графика на каждом промежутке длиной π (то есть параллельно переносим
график вдоль оси Ох на πk, где k — целое число).
Получаем график, приведенный на рисунке 94, который называется тангенсоидой.
14.4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = ctg x И ЕЕ ГРАФИК
Объяснение и обоснование
Так как =, то областью определения котангенса будут все значения аргумента, при которых sin х ≠ 0, то есть x ≠ πk, k ∈ Z. Такимобразом,
D (ctg x): x ≠ πk, k ∈ Z.
Тот же результат можно получить, используя геометрическую иллюстрацию. Значение котангенса — это абсцисса соответствующей точки на линии
котангенсов (рис. 95).
.png)
Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА
и ОВ, параллельных линии котангенсов, мы не можем найти значение котангенса для x = πk, k ∈ Z. Длядругихзначенийаргументамыможемнайтисоответствующуюточкуна линии котангенсов и ее абсциссу — котангенс. Поэтому все значения x ≠ πk входят в область определения функции у = ctg х.
Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) абсциссы соответствующих точек на линии котангенсов принимают все значения от –× до +×, поскольку для любого действительного числа мы можем указать соответствующую точку на оси абсцисс, а значит, и соответствующую точку Qх на оси котангенсов. Учитывая, что точка О лежит внутри окружности, а точка Qх — вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая ОQх имеет с окружностью хотя бы одну общую точку (на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа найдется аргумент х, такой, что сtg x равен данному действительному числу. Таким образом, область значений функции y = ctg x — все действительные числа, то есть R.
Это можно записать так: E (ctgx) = R.Из приведенных рассуждений также вытекает, что наибольшего и наименьшего значений функция ctgxне имеет.
Как было показано в § 13, котангенс — нечетная функция: ctg (-x) = -ctgx, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
Там же было обосновано, что котангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом T= : ctg (x+ ) = ctg x, поэтому через промежутки длиной п вид графика функции ctgxповторяется.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oyзначение x= 0. Но ctg0 не существует, значит, график функции y= ctg x не пересекает ось Oy.
На оси Оx значение y= 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых ctgx, то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D(рис. 95), то есть при
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения функции котангенс положительны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов положительна) в I и III четвертях (рис. 96). Тогда ctgx> 0 при всех . Учитывая период, получаем, что ctgx> 0 при всех
Значения функции котангенс отрицательны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов отрицательна) во II и IV четвертях, таким образом, ctgx< 0 при .
Промежутки возрастания и убывания
Учитывая периодичность функции ctg x (наименьший положительный период T = ), достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке (0; ). Если (0; ) (рис. 97), то при увеличении аргумента x (x2>x1) абсцисса соответствующей точки линии котангенсов уменьшается (то есть ctgx2<ctgx1), следовательно, на этом промежутке функция ctg x убывает. Учитывая периодичность функции y= ctgx, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков
Проведенное исследование позволяет построить график функции y= ctg x аналогично тому, как был построен график функции y= tg x. Но график функции у = ctg x можно получить также с помощью геометрических преобразований графика функции у = tg х. По формуле, приведенной на с. 172, , то есть Поэтому график функции у = ctg x можно получить из графика функции у = tg х параллельным переносом вдоль оси Ох на (− ) и симметричным отображением полученного графика относительно оси Ох. Получаем график, который называется котангенсоидой (рис. 98).
