Как найти наибольшее значение функции в квадрате

Была ли эта статья полезной?

Как решать задачи B15 без производных

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Другими словами, для возрастающей функции Для убывающей функции все наоборот:

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание и монотонно убывает, если Не забывайте про область допустимых значений логарифма:

f ( x ) = log _a x ( a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет и убывает Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только

f ( x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

1. Ветви параболы — могут уходить вверх или вниз Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее или наибольшее значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

1. Отрезок [ a ; b ] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

1. Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле:
2. Найти значение исходной функции в этой точке: Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент

x ₀ = − b /(2 a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке функция принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под логарифмом снова квадратичная функция: График — парабола ветвями вверх,

x ₀ = − b /(2 a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция монотонная, поэтому:

y _min = y (−1) = log ₂ ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = . = log ₂ 8 = 3

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде:

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз Поэтому вершина будет точкой максимума:

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Аргумент логарифма должен быть положительным:

y = log _a f ( x ) ⇒ f ( x ) > 0

Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2 x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 ⇒

Теперь найдем вершину параболы:

Точка принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции а также на концах ОДЗ:

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Внутри логарифма стоит квадратичная функция Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6 x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6 x + 5 x ₀ = − b /(2 a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только

y _min = y (3) = log _0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) =

Минимум/максимум квадратичной функции

Минимум квадратного трехчлена

0.

0.1. Посмотрите картинки, например, здесь

0.2. Общее слово для «максимум» и «минимум» – «экстремум» (как «фрукт» для «яблоко» и «груша»).

0.3. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Возможны опечатки!

1.

1.1 f(x) = x 2 всегда неотрицательна и равна 0 только при x=0. Поэтому f(x) = x 2 имеет минимум при x=0 и этот минимум равен 0.

1.2. f(x) = 5x 2 и вообще f(x) = kx 2 при k >0 – аналогично.

1.3. f(x) = –kx 2 , где k > 0 – аналогично. Только при x=0 будет не максимум, а минимум.

1.4. f(x) = ax 2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=0 функция имеет экстремум (минимум, если a>0; максимум, если a 2 – аналогично п. 1.1. Значения функции положительны, если x не равно p; f(x) = 0, если x=p. Функция имеет минимум при x=p; значение функции в точке минимума равно 0.

2.2. f(x) = 5(x-p) 2 и вообще f(x) = k(x-p) 2 при k >0 – аналогично.

2.3. f(x) = –k(x-p) 2 , где k > 0 – аналогично. Только при x=p будет не максимум, а минимум.

2.4. f(x) = a(x-p) 2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=p функция имеет экстремум (минимум, если a>0; максимум, если a r1. Введем такие обозначения:

s = (r1+r2)/2; d = r2-s

Т.к. s – это среднее для r1 и r2, то

[Кто не уверен – проверьте: s-d = (r1+r2)/2 – (r2- (r1+r2)/2) = и т.д.]

Подставим в формулу s+d вместо r2 и s-d вместо r1. Получим:

(x – (s-d) ) * (x – (s+d) ) = (x-s + d) * (x-s – d) = ((x-s) +d) * ( (x-s) –d) =

[Напоминаю: (a+b)*(a-b) = a 2 – b 2 . Кто забыл – проверьте! ] Итак:

f(x) = (x-r1)*(x-r2) = (x-s) 2 – d 2

Здесь s = (r1+r2)/2; d = r2 – s = r2 – (r1+r2)/2 = (r2-r1)/2 [я пропускаю некоторые вычисления, кто не уверен – перепроверяйте].

Теперь понятно (см. п. 2.4), что наша функция имеет минимум при x = (r1+r2)/2. Значение функции в точке минимума равно – (r2-r1) 2 / 4 . К слову, это значение всегда отрицательное.

Еще кстати (для тех, кто забыл): r1, r2 – корни уравнения (x-r1)*(x-r2)=0.

3.2. f(x) = (x-r1)*(x-r2)+c. Эта функция имеет минимум в той же точке, что и уже знакомая нам функция f(x) = (x-r1)*(x-r2). Т.е. при x = (r1+r2)/2. А вот значение функции в точке минимума будет другое: с – (r2-r1) 2 / 4 .

3.3. f(x) = a*(x-r1)*(x-r2)+c. Умножение на a тоже не влияет на положение точки экстремума (если a>0, это будет минимум, если a 2 / 4

Советую самостоятельно вычислить значение функции в точке экстремума.

4. Общий случай.

4.1. f(x) = ax 2 +bx + c. Сводится к 2.4 с помощью выделения полного квадрата

Это означает вот что:

ax 2 +bx + c = a*(x+b/2a) 2 – (b 2 -4ac)/4a

Подробнее – см., например, здесь . Таким образом:

– наша функция имеет экстремум в точке x = -b/2a;

– экстремум будет минимум при a> 0 и максимумом при a 2 -4ac)/4a

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x 2 — 2x + 6 = 0
• x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0. Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений: ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0; ax 2 + c = 0, при b = 0; ax 2 + bx = 0, при c = 0. Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0 Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль. По шагам решение выглядит так: Как решить уравнение ax 2 + с = 0 Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0: перенесем c в правую часть: ax 2 = – c, разделим обе части на a: x 2 = – c/а. Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое: не имеет корней при — c/а 0. В двух словах Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0. Перенесем свободный член в правую часть: Разделим обе части на 8: В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней. Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0 Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0. Решить линейное уравнение: 0,5x = 0,125, х = 0,125/0,5 Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25. Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнение С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Дискриминант: формула корней квадратного уравнения Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так: где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0: вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac; если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет; если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a; если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравнений Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0 Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень Найдем корень Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1 Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0. Найдем дискриминант по формуле D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет. Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Формула корней для четных вторых коэффициентов Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула. Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 – 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 – ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=”705″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png” width=”588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид: где D1 = n 2 – ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно: вычислить D1= n 2 – ac; если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле Формула Виета Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: 2 + 4x + 3 = 0″ height=”215″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE” width=”393″> Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. 2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG” width=”125″> Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: 2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo” width=”112″> Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8. 2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png” width=”117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравнений Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 – 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 – 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентами Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты: Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 – 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: [spoiler title=”источники:”] Минимум/максимум квадратичной функции http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya [/spoiler]

I.
Мотивационно- ориентировочная часть.

1.
Актуализация знаний, умений и навыков.  

 Среди
данных функций выберите квадратичные функции:                                                                      1)
у = – 3х +1;  2) у = – 6х + 23;  3) у = –
0,9 х + 6,5   4) у =;  5 )у = – 8;          6) у = –+ 4х
-8.                                                                                                                         Какая
функция называется квадратичной?                                                          
    При изучении темы «Квадратичная функция и её свойства» вы научились
находить наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции.            

№1.
Определите, наибольшее или наименьшее значение принимает функция.   Найдите
его.  (Слайды 2,3)

                                                                                       

                                                                                  
                                                          – Что определяет,
наибольшее или наименьшее значение принимает квадратичная функция?

Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции при х.                   (Слайд 4)

№2. Не
выполняя построения графика, определите наибольшее или наименьшее значение
принимает функция. Найдите его.

а) у =+ 4х +11; б) у = 3х – 1.   (Слайд 5)

– Как
можно определить наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции?

Выделяют
два способа нахождения наибольшего (наименьшего) значения квадратичной
функции

-по
графику функции,

-по
формуле вершины параболы.

2.
Обобщение и систематизация знаний.

–
Наибольшее или наименьшее значение принимает квадратичная функция при a0? при a?

В какой
точке функция достигает наибольшее значение? Наименьшее значение?

Сформулируйте
теорему. (Слайд 6)

При афункция принимает наименьшее значение                                  при х = = –b/2a. Наибольшего
значения нет. Область значений: . При афункция принимает наибольшее значение                                   при х =
= –b/2a. Наименьшего
значения нет. Область значений: .

3.Мотивация.                           
                                                                                                 Задачи,
требующие определить условия, при которых некоторая величина  принимает
наибольшее или наименьшее значение, часто встречается в технике,
естествознании, повседневной практической деятельности людей. Например, каких
размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объём
быть наибольшим?  В каком месте следует построить мост через реку, чтобы
дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?
Такие задачи имеют большое практическое значение и решаются с помощью
математики.

–
Определите и сформулируйте цели урока.

4.
Постановка учебной задачи.

Я
предлагаю вам решить задачу Дидоны.                                                                 Дидона
– основательница города Карфагена и его первая царица.

(Слайд
7).

№3. Задача
Дидоны.                                                                                                                          Согласно
легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими
спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных
жителей место для своего нового поселения.  Ей согласились уступить участок
земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона
разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и, разложив их, сумела ограничить
гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было бы покрыть
шкурой целиком.

(Слайд
8).

II.
Операционно-познавательная часть.

1.Моделирование.

Ученики
обсуждают план решения задачи в группах, выстраивают модель решения задачи.

 Если
учесть, что Дидона выбрала участок, прилегающий к берегу моря, то на языке
математики задача (в частном случае) звучит так: предположим, что береговая
линия – прямая, ограниченный воловьими ремешками участок – прямоугольник, тогда
надо найти прямоугольник, имеющий наибольшую площадь.

2. Решение
учебно-познавательной
задачи.                                                          Пусть b – длина
воловьих ремешков,

 – меньшая сторона,

 – большая сторона

 

=                                                                                                                                          

 

Наибольшую
площадь будет иметь прямоугольник со сторонами b/4 и b/2.

(Слайд
9).

– Как
должен располагаться этот прямоугольный участок по отношению к берегу:
примыкать к нему меньшей или большей стороной?

3.
Осознание общего способа действий.

–
Составьте алгоритм решения задачи.

Таким образом,
чтобы решить задачу на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции,
нужно

1.Составить
математическую модель
задачи.                                                                                                   
2. Задать квадратичную
функцию.                                                                                                              
3.Найти наибольшее (наименьшее) значение квадратичной
функции.                                                    4.Полученный
ответ соотнести с вопросом задачи.

(Слайд
10).

4.
Применение.

–
Знаете, какая геометрическая задача на нахождение наибольшего (наименьшего)
значения квадратичной функции является самой
древней?                                                              №4.
Какой из всех прямоугольников данного периметра имеет наибольшую площадь?

Решение
этой задачи было известно ещё математикам Древней
Греции.                                    

 –
Предлагаю решить эту задачу
самостоятельно.                                                    Учитель
направляет деятельность учеников, даёт индивидуальные консультации.

Решение.                                                                      
                                                 Пусть х –  сторона
прямоугольника, р –
периметр,                                                      тогда     – вторая
сторона.                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                                                                                             ;                                                                                                                                                                                         
– первая сторона прямоугольника
;                                                                                                        –  вторая
сторона.                                                                                                                         
Ответ: квадрат со стороной.

(Слайд
11).

– Кто
успешно справился с задачей?                                                 
                                –  У кого возникли трудности?
Какие?                                                              Обобщим
полученный результат. Замените слова «стороны прямоугольника» словами «два
положительных числа», «периметр» – «сумма чисел»,                 «площадь»
–  «произведение». Сформулируйте следствие из теоремы.

(Слайд12).

 Применим
полученные знания к решению физической задачи.

№5.
Расстояние между пунктами А и В, расположенными на прямой магистрали, 9км. 
Из А в В выходит автомашина со скоростью 40 км/ч, одновременно из В в том же
направлении выезжает мотоциклист с постоянным ускорением 32 км/ч. Определите
наибольшее расстояние, которое может быть между автомашиной и мотоциклистом в
течение первых двух часов движения.

(Слайд
13).

Учитель
предлагает составить математическую модель задачи. Организует индивидуальную
работу учащихся, по необходимости – работу консультантов.

Решение.               
                                                                                                       Машина
находится от пункта А на расстоянии 40t
км,                                             мотоциклист на расстоянии (16+9)км.

S==  =16

 Расстояние
между ними   у =/16+9 – 40t/

=5/4

=16

Ответ:
16км.

(Слайд
14).

III.Рефлексивно
– оценочная часть.

1.Подведение
итогов.

– Что
нового вы узнали на уроке? Чему научились?

– Какие
цели были поставлены в начале урока? Удалось ли их достичь?

2.Самооценка
усвоения материала.

Оцените
по 5-бальной шкале свой вклад в решение общей учебной задачи.

3.Планирование
дальнейшей деятельности в изучении темы.

На двух
последующих уроках мы будем применять теорему о наибольшем (наименьшем)
значении функции при решении заданий с параметрами.

4.Задание
на дом.

1.
Докажите теорему и следствие из неё.

2. №6. 
Докажите, что из всех треугольников данного периметра наибольшую площадь
имеет равносторонний.

4.
Творческое задание. Представьте решение задачи практического содержания на
нахождение наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции.

(Слайд
15).

Учитель
выставляет оценки, благодарит обучающихся за работу.

5.
Рефлексия.

В конце урока обучающимся
предложено
ответить на вопросы. (Слайд 16).