Как найти наибольшее значение параболы на графике - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ или через координаты вершины параболы: $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

1

Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция – это функция, уравнение которой включает переменную $x^{2}$ . Уравнение может включать или не включать переменную . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.^[1]
2
3
4

Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
5

Реклама

1

Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:^[3]
2
3

Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента . В приведенных выше примерах:
4

Реклама

1
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.^[5]
- Например: $f(x)=2x^{2}-4x+1$ .
2

Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна $f^{{prime }}(x)=2ax+b$ .^[6]
3
Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:^[7]
- $f^{{prime }}(x)=4x-4$
4
5
6

Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере $f(x)=2x^{2}-4x+1$ координаты вершины равны . Коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна .^[10]

Реклама

Советы

Ось симметрии параболы описывается уравнением x=h.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 95 770 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Определение

Наибольшим или наименьшим значением функции в определенной области называют наибольшее или наименьшее значение, которое достигает эта функция на указанной области.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в данной области, нужно решить задачу на экстремум, то есть найти производную заданной функции, приравнять её к нулю и найти точки, в которых производная функции обращается в нуль. Потом из этих точек нужно выбрать только те, которые входят в нашу заданную область. Затем нужно вычислить значение функций в этих точках. Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках заданной области (если это отрезок) и сравнить их со значениями в точках экстремума. Потом можно сделать вывод о наименьшем или наибольшем значении функции в данной области.

Пример 1

Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=x3−6×2+9y=x^3-6x^2+9 на отрезке [−1;2][-1;2].

Решение

Сначала вычисляем производную исходной функции:

y′=3×2−12xy’=3x^2-12x

Затем приравниваем ее к нулевому значению и решаем уравнение:

3×2−12x=03x^2-12x=0

x(3x−12)=0x(3x-12)=0

x1=0x_1=0

x2=4x_2=4

Затем — непосредственный поиск максимального и минимального значений функции на заданном отрезке. Важно отметить, что точка x=4x=4 не входит в заданный отрезок, поэтому значение функции в этой точке вычислять не требуется.

Находим значение функции в точке x1x_1:

f(0)=9f(0)=9

Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках нашего отрезка, то есть в точках x=−1x=-1 и x=2x=2:

f(−1)=−1−6+9=2f(-1)=-1-6+9=2

f(2)=8−24+9=−7f(2)=8-24+9=-7

Получаем, что на заданном отрезке, наименьшее значение функции, которое равно −7-7, достигается в точке x=2x=2 , а наибольшее значение, равное 99, достигается в точке x=0x=0.

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции-параболы y=3x2y=3x^2 на всей области её определения.

Решение

Функция y=3x2y=3x^2 определена на всем интервале от минус бесконечности к плюс бесконечности. Найдем производную этой функции:

y′=6xy’=6x

Приравниваем производную к нулю:

6x=06x=0

x=0x=0

Точка x=0x=0 — единственный экстремум этой функции. В этой точке функция равна f(0)=0f(0)=0. Остается решить максимум это или минимум.

Так как график нашей функции это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку 3>03>0), то точка x=0x=0 — точка минимума этой функции. Следовательно, функция y=3x2y=3x^2 достигает своего минимального значения в точке x=0x=0 равного 00. Максимального значения эта функция не имеет. Оно только приближается к сколь угодно большому числу когда значение аргумента стремится к плюс или минус бесконечности.

Тест по теме “Наибольшие и наименьшие значения функции”

Не можешь разобраться в этой теме?

Обратись за помощью к экспертам

Гарантированные бесплатные доработки

Быстрое выполнение от 2 часов

Проверка работы на плагиат

Источник

Download Article

For a variety of reasons, you may need to be able to define the maximum or minimum value of a selected quadratic function. You can find the maximum or minimum if your original function is written in general form, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , or in standard form, $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Finally, you may also wish to use some basic calculus to define the maximum or minimum of any quadratic function.

1
2

Advertisement
3
4

Find the corresponding f(x) value. Insert the value of x that you just calculated into the function to find the corresponding value of f(x). This will be the minimum or maximum of the function.
5

1

Write your quadratic function in standard or vertex form. The standard form of a general quadratic function, which can also be called the vertex form, looks like this:^[4]
2
3

Identify the minimum or maximum value. When the function is written in standard form, finding the minimum or maximum value is as simple as stating the value of the variable . For the two example functions given above, these values are:
4

1
Start with the general form. Write your quadratic function in general form, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . If necessary, you may need to combine like terms and rearrange to get the proper form.^[7]
- Begin with the sample function $f(x)=2x^{2}-4x+1$ .
2

Use the power rule to find the first derivative. Using basic first-year calculus, you can find the first derivative of the general quadratic function to be $f^{{prime }}(x)=2ax+b$ .^[8]
3
Set the derivative equal to zero. Recall that derivative of a function tells you the slope of the function at that selected point. The minimum or maximum of a function occurs when the slope is zero. Therefore, to find where the minimum or maximum occurs, set the derivative equal to zero. Continue with the sample problem from above:^[9]
- $f^{{prime }}(x)=4x-4$
4
5
6

Report your solution. The solution gives you the vertex of the maximum or minimum point. For this sample function, $f(x)=2x^{2}-4x+1$ , the vertex occurs at . The coefficient is positive, so the function opens upward. Therefore, the minimum value of the function is the y-coordinate of the vertex, which is .^[12]

Practice Problems and Answers

Add New Question

Question

How do you tell if a parabola is maximum or minimum?

Jake Adams

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Jake Adams is an academic tutor and the owner of Simplifi EDU, a Santa Monica, California based online tutoring business offering learning resources and online tutors for academic subjects K-College, SAT & ACT prep, and college admissions applications. With over 14 years of professional tutoring experience, Jake is dedicated to providing his clients the very best online tutoring experience and access to a network of excellent undergraduate and graduate-level tutors from top colleges all over the nation. Jake holds a BS in International Business and Marketing from Pepperdine University.

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Expert Answer

Support wikiHow by
unlocking this expert answer.

First solve for a. If the value of a is a positive number, you’ll have an upward-facing parabola and you’ll need to find its minimum value. If a is a negative number, you’ll have a downward-facing parabola and you’ll need to find its maximum value.
Question

How do you tell if a parabola is up or down?

Jake Adams

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Jake Adams is an academic tutor and the owner of Simplifi EDU, a Santa Monica, California based online tutoring business offering learning resources and online tutors for academic subjects K-College, SAT & ACT prep, and college admissions applications. With over 14 years of professional tutoring experience, Jake is dedicated to providing his clients the very best online tutoring experience and access to a network of excellent undergraduate and graduate-level tutors from top colleges all over the nation. Jake holds a BS in International Business and Marketing from Pepperdine University.

Academic Tutor & Test Prep Specialist

Expert Answer

Support wikiHow by
unlocking this expert answer.

You can remember this concept by thinking about smiles and frowns. If someone is positive they smile, and if someone is negative, they frown. Similarly, a positive number will have an upward-facing parabola, and a negative number will have a downward-facing parabola.
Question

How do I graph a quadratic function?

First, create a data table with multiple experimental values for x. Sub in those x coordinates and get y coordinates. Plot these along the x and y axis and join the dots with a smooth curve.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

The parabola’s axis of symmetry is x = h.

References

About This Article

Article SummaryX

To find the maximum or minimum value of a quadratic function, start with the general form of the function and combine any similar terms. For example, if you’re starting with the function f(x) = 3x + 2x – x^2 + 3x^2 + 4, you would combine the x^2 and x terms to simplify and end up with f(x) = 2x^2 + 5x + 4. Now figure out which direction the parabola opens by checking if a, or the coefficient of x^2, is positive or negative. If it’s positive, the parabola opens upward. If it’s negative, the parabola opens downward. In the function f(x) = 2x^2 + 5x + 4, the coefficient of x^2 is positive, so the parabola opens upward. Next, find the x value of the vertex by solving -b/2a, where b is the coefficient in front of x and a is the coefficient in front of x^2. In the function f(x) = 2x^2 + 5x + 4, b = 5 and a = 2. Therefore, you would divide -5 by 2 times 2, or 4, and get -1.25. Finally, plug the x value into the function to find the value of f(x), which is the minimum or maximum value of the function. The function f(x) = 2x^2 + 5x + 4 would become f(-1.25) = 2(-1.25)^2 + 5(-1.25) + 4, or f(-1.25) = 0.875. If the parabola opens upward, your answer will be the minimum value. If the parabola opens downward, your answer is the maximum value. In this example, since the parabola opens upward, f(-1.25) = 0.875 is the minimum value of the function. If you want to learn how to use standard or vertex form for your formula, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,389,620 times.

Reader Success Stories

FantageGamer

Apr 13, 2017

“Unlike other sites or even YouTube videos, this website will break it down for you like you’re a six-year-old.…” more

Did this article help you?

Источник

Главная

» 2015 » Октябрь » 1 » Как найти максимум или минимум квадратичной функции

03:35

Как найти максимум или минимум квадратичной функции

3 методика:Квадратичная функция вида y = ax2 + bx + cКвадратичная функция вида y = a(x-h)2 + kПримеры

Координата «у» вершины параболы и есть максимум или минимум квадратичной функции (график которой – парабола).

Шаги

Метод 1 из 3: Квадратичная функция вида y = ax2 + bx + c

1
Определите, что вы ищите – максимум или минимум, так как вы не можете искать сразу оба значения.

Метод 2 из 3: Квадратичная функция вида y = a(x-h)2 + k

1
В случае квадратичной функции вида y = a(x-h)2 + k коэффициент «k» и есть максимум или минимум функции.
- «k» является максимумом, если коэффициент «а» – отрицательный; «k» является минимумом, если коэффициент «а» – положительный.

Метод 3 из 3: Примеры

1
Найдите максимум или минимум функции f(x) = x2 + x + 1.
- так как а=1, то вы ищите минимум. Подставляете b=1 и c=1 в формулу (c – b2/4a) и находите, что минимум данной функции равен 3/4.
2
Найдите максимум или минимум функции f(x) = -2(x-1)2 + 3.
- так как а=-2, то вы ищите максимум, который равен значению коэффициента k. Ответ: максимум данной функции равен 3.

Советы

Ось симметрии параболы: х = h.
Значение коэффициента «k» соответствует максимальному или минимальному значению функции.

Категория: Вопросы и ответы |
Просмотров: 3240 |

| Рейтинг: 0.0/0

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.

[

Регистрация

Вход

]

Источник

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Квадратичная функция

Часто квадратичную функцию применяют при решении различных задач, которые сводятся к нахождению тех или иных наибольших или наименьших значений. Но перед рассмотрением таких задач стоит напомнить, какая функция является квадратичной и как найти наибольшее/наименьшее значение.

Определение 1

Функция, имеющая вид $y=ax^2+bx+c$, где $a$ не равняется нулю, называется квадратичной функцией.

График такой функции принято называть параболой. Отметим, что если $a >0$ то ее ветви будут направлены вверх и ее вершина будет принимать минимальное значение, а если $a

Наибольшее и наименьшее значение

Определение 2

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)le f(x’)]

Определение 3

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)ge f(x’)]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

Найти $f'(x)$;
Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Приведем пример на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]:$fleft(xright)=x^3-3x^2-45x+225$

Решение.

$f’left(xright)=3x^2-6x-45$;
$f’left(xright)=0$;

[3x^2-6x-45=0] [x^2-2x-15=0] [x=5, x=-3]
$f'(x)$ существует на всей $D(f)$;
$5in left[0,6right]$;
Значения:

[fleft(0right)=225] [fleft(5right)=50] [fleft(6right)=63]
Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$

Ответ: $max=225, min=50$.

«Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений» 👇

Рассмотрим далее задачи на использование наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции.

Примеры задач

Пример 2

По перекрестным дорогам движутся два автомобиля в сторону перекрестка. Каждому автомобилю до перекрестка ехать по $50$ км. Автомобили движутся со скоростями $30$ и $40$ км/ч, соответственно. Найти, когда автомобили будут друг от друга на наименьшем расстоянии и на каком.

Решение.

Изобразим ситуацию на рисунке (рис. 1).

Рисунок 1.

Пусть наименьшее расстояние между автомобилями будет в момент времени $t$.

В это время одному автомобилю до перекрестка остается ехать

[50-30t км]

А второму

[50-40t км]

Расстояние между ними, по теореме Пифагора, будет равняться

[Sleft(tright)={(50-30t)}^2+{(50-40t)}^2=2500-3000t+{900t}^2+2500-4000t+{1600t}^2={2500t}^2-7000t+5000]

Найдем наименьшее значение такой функции

[t=-frac{b}{2a}=-frac{-7000}{5000}=frac{7}{5}=1,4] [Sleft(tright)=2500cdot frac{49}{25}-7000cdot frac{7}{5}+5000=4900-9800+5000=100]

Ответ: $1$ ч $24$ мин, $100$ км.

Пример 3

Найти на графике функции $y=x+2$ точку, которая дает наименьшую сумму квадратов расстояний от него до точки $(8,0)$ и $(1,0)$.

Решение.

Рассмотрим рисунок:

Рисунок 2.

Обозначим абсциссу искомой точки через $x$. Точка искомая точка имеет вид $(x,x+1)$.

Найдем расстояние до точки $(8,0)$: $sqrt{{(8-x)}^2+{(x+1)}^2}$

Найдем расстояние до точки $(1,0)$: $sqrt{{(1-x)}^2+{(x+1)}^2}$

Получаем, сумма равна

[Sleft(xright)={(8-x)}^2+{(x+1)}^2+{(1-x)}^2+{(x+1)}^2=64-16x+x^2+1+2x+x^2+1-2x+x^2+1+2x+x^2=4x^2+18x+67]

Наименьшее значение

[x=-frac{18}{8}=-frac{9}{4}=-2,25] [y=frac{81}{4}-frac{162}{4}+frac{268}{4}=frac{187}{4}=46,75]

Ответ: $(-2,25;46,75)$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 13.07.2022

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Тест по теме “Наибольшие и наименьшие значения функции”

Practice Problems and Answers

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Как найти максимум или минимум квадратичной функции

Шаги

Метод 1 из 3: Квадратичная функция вида y = ax2 + bx + c

Метод 2 из 3: Квадратичная функция вида y = a(x-h)2 + k

Метод 3 из 3: Примеры

Советы

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Квадратичная функция

Наибольшее и наименьшее значение

Примеры задач

Вам также может понравиться

Как найти квалифицированную работу

Как найти компанию для фитнеса

Как составить мой идеальный

Добавить комментарий Отменить ответ