Как найти наибольший член арифметической прогрессии - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

${displaystyle a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ldots , a_{1}+(n-1)d, ldots ,}$

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d.}$ ^[1]

Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой^[2]:

${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0 , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_n=d$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства[править | править код]

Общий член арифметической прогрессии[править | править код]

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формулам

${displaystyle a_{n}=a_{m}-(m-n)d}$

где $a_{1}$

— первый член прогрессии,

— её разность, a_m

— член арифметической прогрессии с номером

Доказательство формулы общего члена арифметической прогрессии

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_n+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии, а именно:

Заметив закономерность, делаем предположение, что . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех :

База индукции (n=1) :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что для всех .■

Отметим, что в формулах общего члена -й член прогрессии есть линейная функция. Об этом говорит следующая теорема.

Доказательство

Необходимость. Пусть ${displaystyle left{a_{n}right}}$ арифметическая прогрессия. Тогда, как было уже показано, , то есть ${displaystyle a_{n}=nd+a_{1}-d}$ . Так как есть линейная функция и , это значит, что и ${displaystyle b=a_{1}-d}$ , т. е. a_n — линейная функция, где ${displaystyle fleft(nright)=nd+a_{1}-d}$ .

Достаточность. Пусть a_n есть линейная функция, т. е. ${displaystyle a_{n}=acdot x+b}$ . Так как и , то ${displaystyle a_{n}=acdot n+b}$ , тогда ${displaystyle a_{n+1}=acdot left(n+1right)+b}$ .
Рассмотрим ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=left(acdot left(n+1right)+bright)-left(an+bright)}$ .
Отсюда следует, что ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a}$ , где — величина постоянная. Тогда ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+a}$ , а это значит по определению, что ${displaystyle left{a_{n}right}}$ — арифметическая прогрессия.■

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. ${displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}Longleftrightarrow n+m=k+lquad vert ;forall left(n,,m,,k,,lin mathbb {N} right)}$ .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править код]

Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие

${displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2.}$

Доказательство характеристического свойства арифметической прогрессии

Необходимость.

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

$a_n=a_{n-1}+d$

$a_n=a_{n+1}-d$ .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим ${displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ .

Достаточность.

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

База индукции (n=2) :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$

Но по предположению индукции следует, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Получаем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что $a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n geqslant 2 Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

Обозначим эти разности через . Итак, $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ , а отсюда имеем $a_{n+1}=a_n+d$ для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение $a_{n+1}=a_n+d$ , то это есть арифметическая прогрессия.■

Тождество арифметической прогрессии[править | править код]

Доказательство тождества арифметической прогрессии

С помощью формулы общего члена выразим -й, -й, -й члены:

${displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d,quad a_{l}=a_{1}+(l-1)d,quad a_{m}=a_{1}+(m-1)d.}$

Вычитая почленно из первого равенства второе, а из второго третьего, получим:

${displaystyle a_{k}-a_{l}=(k-l)d,quad a_{l}-a_{m}=(l-m)d.}$

Выражая из этих равенств и приравнивая полученные выражения, получим:

${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

По основному свойству пропорции:

${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$

Откуда следует доказываемое тождество:

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$

■

Следствие 1. Всякий член арифметической прогрессии вырази́м^[5] через любую пару других членов.

Доказательство

Преобразовав тождество арифметической прогрессии

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$

к виду

${displaystyle a_{m}={dfrac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}},}$

можно заметить, что -й член есть линейная комбинация двух других членов ( $a_{{k}}$ и ${displaystyle a_{l}}$ ), поскольку оно равносильно

${displaystyle a_{m}={dfrac {l-m}{l-k}}a_{k}+{dfrac {m-k}{l-k}}a_{l}.}$

■

Следствие 2. Для того, чтобы число ${displaystyle a_{m}}$ являлось членом данной арифметической прогрессии с членами $a_{{k}}$ и ${displaystyle a_{l}}$ , необходимо и достаточно, чтобы было натуральным число

${displaystyle m={dfrac {(a_{l}-a_{m})k+(a_{m}-a_{k})l}{a_{l}-a_{k}}}.}$

Формулировка ещё одного признака арифметической прогрессии.

Следствие 3 [критерий]. Числовая последовательность является арифметической прогрессией в том и только в том случае, если выполняется тождество арифметической прогрессии для всех членов данной последовательности. Другими словами, чтобы каждый член был вырази́м через любую пару остальных членов последовательности.

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Longleftrightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}$

Доказательство

Необходимость. Утверждение

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Rightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} }$

очевидно (см. доказательство тождества арифметической прогрессии).

Достаточность. Докажем, что

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Leftarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}$

Равенство

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$

можно преобразовать к виду

${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$

Если все три номера различны, тогда

${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

Обозначим выражение, например, в левой части равенства за , то есть

${displaystyle d={dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}.}$

Откуда можно прийти к следующему предложению:

${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d.}$

Наконец, методом математической индукции, например, по нетрудно убедиться, что данное соотношение описывает именно арифметическую прогрессию.

Действительно, при l=1 (база индукции) получаем формулу общего члена арифметической прогрессии:

${displaystyle a_{k}=a_{1}+{left(k-1right)}d.}$

Предположим истинность утверждения (для ): формула ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ характеризует арифметическую прогрессию. Тогда покажем, что и при l+1 формула верна для арифметической прогрессии (переход, или шаг, индукции). Рассмотрим левую часть формулы

${displaystyle a_{k}=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}$

По предположению индукции ( ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ ) заменим $a_{k}$ на выражение ${displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d}$ . Итак, получим следующее:

${displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}$

Методом тождественных преобразований имеем равносильное предложение

${displaystyle a_{l+1}=a_{l}+d.}$

А это, в свою очередь, рекуррентное соотношение для арифметической прогрессии.

Значит, по принципу математической индукции можно утвердать, что для всякого соотношение ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ верно только и только для членов арифметической прогрессии.

Аналогичные рассуждения проводятся для формулы ${displaystyle d={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}}$ .

Данное следствие целиком и полностью считается доказанным.■

Сумма первых n членов арифметической прогрессии[править | править код]

Сумма первых членов арифметической прогрессии ${displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+ldots +a_{n}}$ может быть найдена по формулам

${displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$

, где $a_{1}$

— первый член прогрессии, a_n

— член с номером

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot ({dfrac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)}$

— где $a_{1}$

— первый член прогрессии, $a_{2}$

— второй член прогрессии ${displaystyle ,a_{n}}$

— член с номером

${displaystyle S_{n}={dfrac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}cdot n}$

, где $a_{1}$

— первый член прогрессии,

— разность прогрессии,

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot n}$

, если

— нечётное натуральное число.

Доказательство
Запишем сумму двумя способами: $S_n=a_1+a_2+a_3+ ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ $S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: $2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$ Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: $a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,ldots,n$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то ${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$ Третья формула для суммы получается подстановкой вместо . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами:

$S_n=a_1+a_2+a_3+ ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$

$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

$a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,ldots,n$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то

${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$

Третья формула для суммы получается подстановкой вместо a_1+a_n . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a_1+a_n в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом выполняется равенство:

${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Примечание: $S_{k}$ — сумма первых членов арифметической прогрессии.

Доказательство
1. Очевидно, что ${displaystyle {dfrac {S_{2n}}{2n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{1}+a_{2n}-left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}={dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ Прибавим к обеим частям $S_{n}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ 2. Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ Это так, поскольку можно написать верное равенство: ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Из него следует, что ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$ 3. Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$ Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии. Значит, действительно ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ 4. А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ 5. Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Доказательство

1. Очевидно, что ${displaystyle {dfrac {S_{2n}}{2n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{1}+a_{2n}-left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}={dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$

Прибавим к обеим частям $S_{n}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$

2. Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Это так, поскольку можно написать верное равенство:

${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$

Из него следует, что ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$

3. Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$
Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$

Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Значит, действительно ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$

4. А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

5. Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных , , выполняется комплементарное свойство сумм:

${displaystyle {dfrac {l-m}{k}}cdot S_{k}+{dfrac {m-k}{l}}cdot S_{l}+{dfrac {k-l}{m}}cdot S_{m}=0.}$

Ещё один признак арифметической прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го[править | править код]

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от до ${displaystyle S_{m,n}=sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+ldots +a_{m}}$ может быть найдена по формулам

${displaystyle S_{m,n}={dfrac {a_{m}+a_{n}}{2}}cdot (m-n+1)}$

, где

— член с номером

— член с номером

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{m,n}={dfrac {2a_{n}+dleft(m-nright)}{2}}cdot left(m-n+1right),}$

где a_n — член с номером , — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.

Произведение членов арифметической прогрессии[править | править код]

Произведением первых членов арифметической прогрессии ${displaystyle left{a_{n}right}}$ называется произведение от $a_{1}$ до a_n , то есть выражение вида ${displaystyle prod limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}cdot a_{2}cdot a_{3}cdot ldots cdot a_{n-2}cdot a_{n-1}cdot a_{n}.}$ Обозначение: $P_{n}$ .

Свойство произведения:

Число множителей-скобок ${displaystyle {left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ равно ${displaystyle {dfrac {n-1}{2}}}$ , а в самом произведении ${displaystyle a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ их составляет ${displaystyle {dfrac {n+1}{2}}}$ «штук».^[10]

Сходимость арифметической прогрессии[править | править код]

Арифметическая прогрессия расходится при dne 0 и сходится при d=0 . Причём

$lim_{nrightarrowinfty} a_n=left{ begin{matrix} +infty, d>0 \ -infty, d<0 \ a_1, d=0 end{matrix} right.$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел $lim_{nrightarrowinfty} (a_1+(n-1)d)$ , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править код]

Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число a>0 . Тогда последовательность вида $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d .

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: $sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, ngeqslant 2$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: $sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}=sqrt{a^{a_1+(n-2)d}cdot a^{a_1+nd}}=sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, ngeqslant 2$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

$sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, ngeqslant 2$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

$sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}=sqrt{a^{a_1+(n-2)d}cdot a^{a_1+nd}}=sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, ngeqslant 2$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков[править | править код]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию

Тетраэдральные числа образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если $left[a_{{i}}right]_{{1}}^{{n}}$ — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен $P_{{m}}(i)=c_{{m}}i^{{m}}+...+c_{{1}}i+c_{{0}}$ , такой, что для всех выполняется равенство $a_{{i}}=P_{{m}}(i)$ ^[11]

Примеры[править | править код]

${displaystyle T_{n}=sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+ldots +n={frac {n(n+1)}{2}}}$

Формула для разности[править | править код]

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

${displaystyle {mathit {d={frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}}$

Сумма чисел от 1 до 100[править | править код]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

$frac{n(n+1)}2$

то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.

См. также[править | править код]

Геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

Примечания[править | править код]

↑ Такое соотношение называют рекуррентным соотношением первого порядка. Поэтому арифметическая прогрессия есть множество последовательностей, задающихся именно таким образом.
↑ Фильчаков П. Ф. Глава II. Алгебра и элементарные функции. Функции натурального аргумента (§ 75. Арифметическая прогрессия) // Справочник по элементарной математике: для поступающих в вузы : книга / под ред. чл.-кор. АН УССР П. Ф. Фильчакова. — Киев : «Наукова думка», 1972. — С. 303. — 528 с. — 400 000 экз. — УДК 51 (08)^(G).
↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 135. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
↑ Соотношение между любыми тремя членами арифметической прогрессии и их номерами (Мусинов В. А.) // Материалы студенческой научной сессии Института математики и информатики МПГУ. 2021–2022 учебный год : сборник статей / под общ. ред. Е. С. Крупицына. — М.: МПГУ, 2022. — С. 91—93. — 156 с. — ISBN 978-5-4263-1109-1, ББК 22.1я431+32.81я431+22.1р30я431+74.262.21я431+74.263.2я431.
↑ Это означает, что выражаемый член есть комбинация любых двух других членов данной последовательности, причём эта комбинация составлена с помощью арифметических операций и конечного набора символов. Для арифметической последовательности такая комбинация будет линейной.
↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 141. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
↑ Из доказательства необходимости следует, что ${displaystyle S_{n}=an^{2}+bn}$ , поэтому, если ${displaystyle S_{n}=an^{2}+bn+c}$ , то необходимо сделать проверку. Например, если ${displaystyle S_{n}=2n^{2}-n-6}$ — сумма первых членов последовательности, то такая последовательность НЕ является арифметической прогрессией. А последовательность, заданная суммой ${displaystyle S_{n}=2n^{2}-n}$ первых членов, будет арифметической прогрессией.
↑ При произведение $P_{n}$ равно ${displaystyle a_{frac {1+1}{2}}=a_{1}}$ , что безусловно верно.
↑ Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и -м членом.
↑ Пример применения формулы.
Пусть ${displaystyle div left{a_{n}right}:quad underbrace {27} _{a_{1}},;underbrace {20} _{a_{2}},;underbrace {13} _{a_{3}},;underbrace {6} _{a_{4}},;underbrace {-1} _{a_{5}}}$ , где .

По формуле ${displaystyle P_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться ${displaystyle {dfrac {5+1}{2}}=3}$ . Причём первым сомножителем будет ${displaystyle a_{frac {5+1}{2}}=a_{3}=13}$ .

Далее ${displaystyle prod limits _{i=1}^{frac {5-1}{2}}{left(a_{frac {5+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=prod limits _{i=1}^{2}{left(a_{3}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=}$ ${displaystyle ={left(a_{3}^{2}-{left[dright]}^{2}right)}cdot {left(a_{3}^{2}-{left[2dright]}^{2}right)}={left(169-49right)}cdot {left(169-4cdot 49right)}=}$ .

Наконец, ${displaystyle P_{n}=13cdot 120cdot {left(-27right)}=-42120}$ .
↑ Бронштейн, 1986, с. 139.

Литература[править | править код]

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

Ссылки[править | править код]

Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.

Источник

Арифметическая прогрессия — коротко о главном

Определение арифметической прогрессии:

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна ( displaystyle d).

Например:

( {{a}_{1}}=3)
( displaystyle {{a}_{2}}=3+d=7~Rightarrow d=7-3=4)
( displaystyle {{a}_{3}}=7+4=11) и т.д.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (( displaystyle d>0)) и убывающей (( displaystyle d<0)).

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) , где ( displaystyle n)– количество чисел в прогрессии.

Как найти член прогрессии, если известны его соседние члены:

( {{text{a}}_{text{n}}}=frac{{{text{a}}_{text{n}+1}}+{{text{a}}_{text{n}-1}}}{2}) — где ( displaystyle n) – количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии:

1-й способ: ( {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

2-й способ: ( displaystyle {{s}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text{ }7,text{ }-8,text{ }13,text{ }-5,text{ }-6,text{ }0,text{ }ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.

Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

arifmeticheskaya progressiya chisla poryadok

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называется ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle {{a}_{1}},text{ }{{a}_{2}},text{ }…,text{ }{{a}_{10}},text{ }…,text{ }{{a}_{n}}).

arifmeticheskaya progressiya chisla poryadkovyj nomer

Арифметическая прогрессия — определения

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.

Например:

( begin{array}{l}{{a}_{1}}=3\{{a}_{2}}=3+d=7~~~Rightarrow ~d=7-3=4\{{a}_{3}}=7+4=11end{array})

Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

( displaystyle 3;text{ }6;text{ }9;text{ }12;text{ }15;text{ }17ldots )
( displaystyle 1;text{ }12;text{ }23;text{ }34;text{ }45text{ }ldots )
( displaystyle -5;text{ }-1;text{ }3;text{ }7;text{ }11;text{ }15ldots )
( displaystyle -6;text{ }5;text{ }17;text{ }28;text{ }39ldots )

Разобрался? Сравним наши ответы:

Является арифметической прогрессией – 2, 3.

Не является арифметической прогрессией – 1, 4.

Вернемся к заданной прогрессии (( displaystyle 3;text{ }7;text{ }11;text{ }15;text{ }19ldots )) и попробуем найти значение ее 6-го члена.

Существует два способа его нахождения.

Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Способ I

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии ( d=4) , пока не дойдем до ( displaystyle 6)-го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного – всего три значения:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}=11+4=15\{{a}_{5}}=15+4=19\{{a}_{6}}=19+4=23end{array})

Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.

Способ II

А что если нам нужно было бы найти значение ( displaystyle 140)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.

А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.

Это и есть математика!

Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка.

Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.

Что мы знаем?

У нас есть арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, 19 и т.д.
У нас есть номера прогрессии: 1, 2, 3, 4, 5, и т.д.
Мы все время прибавляем 4, значит разница прогрессии d = 4.

Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.

7=3+4 или 7=3+d

Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?

11=3+4+4 или 11=3+d+d

Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.

Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?

15=3+4+4+4 или 15=3+d+d+d

Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.

А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.

Например, посмотрим, из чего складывается значение ( displaystyle 4)-го члена данной арифметической прогрессии:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right)\{{a}_{4}}=3+4left( 4-1 right)=15end{array})

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена ( displaystyle n=6) данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

( begin{array}{l}{{a}_{6}}={{a}_{1}}+dleft( 6-1 right)\{{a}_{6}}=3+4left( 6-1 right)=3+4cdot 5=3+20=23end{array})

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли ( displaystyle d) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) – уравнение арифметической прогрессии.

Кстати, таким образом мы можем посчитать и ( displaystyle 140)-ой член данной арифметической прогрессии (да и ( displaystyle 169)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно).

Попробуй посчитать значения ( displaystyle 140)-го и ( displaystyle 169)-го членов, применив полученную формулу.

( begin{array}{l}…\{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=3+4left( 140-1 right)=3+4cdot 139=3+556=559\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=3+4left( 169-1 right)=3+4cdot 168=3+672=675end{array})

Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.

Например:

( displaystyle begin{array}{l}4;text{ }6;text{ }8;text{ }10;text{ }12\-2;text{ }4;text{ }10;text{ }16;text{ }20end{array})

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.

Например:

( displaystyle begin{array}{l}12;text{ }10;text{ }8;text{ }6;text{ }4\4;text{ }0;text{ }-4;text{ }-8;text{ }-12.end{array})

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.

Проверим это на практике.

Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: ( displaystyle 13;text{ }8;text{ }4;text{ }0;text{ }-4.)

Проверим, какое получится ( displaystyle 4)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

( {{text{a}}_{text{n}}}={{text{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right))

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение ( displaystyle d) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

( displaystyle d=8-13=-5)

( {{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right))

Так как ( displaystyle d=-5), то:
( {{a}_{4}}=13-5left( 4-1 right)=13-15=-2)

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.

Попробуй самостоятельно найти ( displaystyle 140)-ой и ( displaystyle 169)-ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

( begin{array}{l}{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=13-5left( 140-1 right)=13-5cdot 139=13-695=-682\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=13-5left( 169-1 right)=13-5cdot 168=13-840=-827end{array})

Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)

Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.

Допустим, нам дано такое условие:

( displaystyle 4;text{ }x;text{ }12ldots ) — арифметическая прогрессия, найти значение ( displaystyle x).

Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Пусть ( displaystyle {{a}_{1}}=4), а ( displaystyle {{a}_{3}}=12), тогда:

( displaystyle begin{array}{l}{{a}_{3}}={{a}_{1}}+dleft( 3-1 right)\12=4+2d~~Rightarrow ~d=frac{12-4}{2}=4\{{a}_{2}}=x={{a}_{1}}+d\{{a}_{2}}=x=4+4=8end{array})

Абсолютно верно.

Получается, мы сначала находим ( displaystyle d), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое ( displaystyle x).

Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа ( displaystyle 4024;~x;6072)?

Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.

А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?

Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как ( {{text{a}}_{text{n}}}), формула его нахождения нам известна – это та самая формула, выведенная нами в начале:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)), тогда:

предыдущий член прогрессии это ( {{a}_{n}}-d): ( {{a}_{n-1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d)
последующий член прогрессии это ( {{a}_{n}}+d): ( {{a}_{n+1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)+d)

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d+{{{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right)+text{d}=2left( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right) right)text{ }!!~!!text{ })

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.

Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на ( 2).

( {{a}_{n}}=frac{{{a}_{n+1}}+{{a}_{n-1}}}{2}) – свойство членов арифметической прогрессии.

Попробуем посчитать значение ( x), используя выведенную формулу:

( x=frac{4+12}{2}=8)

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.

Посчитай значение ( x) для прогрессии ( displaystyle 4024;~x;6072) самостоятельно, ведь это совсем несложно.

( x=frac{4024+6072}{2}=5048)

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все!

Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс…

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 40) (по другим источникам до ( displaystyle 100)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из ( displaystyle 6)-ти членов: ( displaystyle 6;text{ }8;text{ }10;text{ }12;text{ }14;text{ }16…)

Нам необходимо найти сумму данных ( displaystyle 6) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ( displaystyle 100) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть ( frac{6}{2}=3).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна ( 22), а подобных равных пар ( 3), мы получаем, что общая сумма равна:

( displaystyle Stext{ }=text{ }22cdot 3text{ }=text{ }66).

Таким образом, формула для суммы первых ( displaystyle n) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

В некоторых задачах нам неизвестен ( displaystyle n)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу ( displaystyle n)-го члена. ( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Что у тебя получилось?

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма ( displaystyle 40) чисел, начиная от ( displaystyle 1)-го, и сумма ( displaystyle 100) чисел начиная от ( displaystyle 1)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма ( displaystyle 100 ) членов равна ( displaystyle 5050), а сумма ( displaystyle 40 ) членов ( displaystyle 820).

Так ли ты решал?

( {{S}_{40}}=frac{left( 1+40 right)cdot 40}{2}=frac{41cdot 40}{2}=frac{1640}{2}=820)
( {{S}_{100}}=frac{left( 1+100 right)cdot 100}{2}=frac{101cdot 100}{2}=5050)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется ( displaystyle 6) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

( displaystyle 6;text{ }5;text{ }4;text{ }3;text{ }2; 1).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\~~{{S}_{6}}=frac{left( 6+1 right)cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=21\~end{array})

Способ 2.

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n)

( {{S}_{n}}=frac{2cdot 6+1left( 6-1 right)}{2}cdot 6=frac{12+5cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=frac{42}{2}=21)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму ( displaystyle n)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из ( displaystyle 6) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из ( displaystyle 60)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – ( displaystyle 1830) блоков:

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\{{S}_{60}}=frac{left( 60+1 right)cdot 60}{2}=frac{61cdot 60}{2}=61cdot 30=1830.end{array})

Источник

Прогрессия — это последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Содержание:

Числовая последовательность

В жизни мы часто встречаемся с функциями, областью определения которых является множество натуральных чисел. Например, стоимость проезда в пригородном транспорте зависит от дальности поездки и задается функцией

Функция стоимости проезда задана таблично, областью определения функции является множество натуральных чисел В таком случае говорят, что рассматривается функция натурального аргумента, или числовая последовательность.

Примером числовой последовательности является последовательность положительных четных чисел: 2; 4; 6; 8; … . Число 2 — первый член последовательности, число 4 — второй и т. д. Ясно, что на 5-м месте будет число 10 (пятый член последовательности), а на 100-м — число 200 (сотый член последовательности).

Еще один пример — последовательность чисел, обратных натуральным числам: На месте запишется число которое является членом данной последовательности.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными. Например, последовательность двузначных чисел 10; 11; …; 99 является конечной, так как содержит конечное число членов. А последовательность нечетных натуральных чисел — бесконечная.

Определение числовой последовательности

Определение:

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, т. е. зависимость, при которой каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число.

Числа, образующие последовательность (значения функции), называются членами последовательности. Они записываются буквами с индексами, обозначающими номер члена последовательности: — первый член последовательности, — второй член последовательности, член последовательности. Последовательность с членом обозначается Для обозначения последовательности можно использовать любую букву латинского алфавита. Например, последовательность имеет вид

Если — последовательность нечетных натуральных чисел

Последовательности, так же как и функции, могут быть заданы различными способами.

Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы ее члена. Например, последовательность четных натуральных чисел можно задать с помощью формулы а последовательность чисел, обратных натуральным числам, задается формулой

С помощью формулы члена можно найти любой член последовательности.

Например, пусть последовательность задана формулой тогда

Чтобы найти некоторый член последовательности с помощью формулы члена, нужно вместо п подставить в формулу натуральное число, равное номеру искомого члена (индексу в его обозначении).

Для задания последовательностей часто используется рекуррентный способ (от лат. recurrentis — возвращающийся). Он заключается в вычислении следующих членов последовательности по предыдущим.

Например, условия и определяют бесконечную последовательность: т. е.

Пример №1

Найдите несколько членов последовательности где

Решение:

Запишем несколько членов этой последовательности в ряд: 1; 1; 2; 3; 5; … .

Полученную последовательность чисел называют последовательностью Фибоначчи по имени итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180—1240).

Формула n-го члена последовательности

Пример №2

Последовательность задана формулой члена Найдите:

Решение:

Пример №3

Последовательность задана формулой члена Является ли членом этой последовательности число:

а) -2; б) -7?

Решение:

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, нужно определить, имеет ли натуральные корни уравнение:

а) значит, число -2 не является членом последовательности;

б) значит, число -7 является членом последовательности с номером 5.

Пример №4

Для каких членов последовательности заданной формулой члена выполняется неравенство ?

Решение:

Подставим в неравенство выражение для члена, получим Решение полученного квадратного неравенства есть отрезок [-4; 1], выберем из этого отрезка только натуральные числа, получим . Значит, данное неравенство выполняется только для первого члена последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности

Пример №5

Запишите 5 первых членов последовательности , если

Решение:

Пример №6

Запишите несколько первых членов последовательности , если

Задайте эту последовательность формулой члена.

Решение:

Получим следующую последовательность: 8; -8; 8; -8; …. На нечетных местах этой последовательности стоят члены, равные числу 8, а на четных — числу -8, значит, формула члена имеет вид

Арифметическая прогрессия

Рассмотрим задачу. В горной местности температура воздуха летом при подъеме на каждые 100 м в среднем понижается на 0,7 °С. У подножия горы температура равна 26 °С. Найдите температуру воздуха на высоте 100 м; 200 м; 300 м.

Решение:

Температура воздуха на высоте 100 м равна 26 °С – 0,7 °С = 25,3 °С. На высоте 200 м температура будет равна 25,3 °С – 0,7 °С = 24,6 °С, а на высоте 300 м — 24,6 °С – 0,7 °С = 23,9 °С.

Ответ: 25,3 °С; 24,6 °С; 23,9 °С.

Решая задачу, мы получили последовательность 26; 25,3; 24,6; … . Каждый член этой последовательности равен предыдущему, сложенному с числом -0,7. Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются арифметическими прогрессиями (от лат. progression — движение вперед).

Определение арифметической прогрессией

Определение:

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, т. е.

Число называется разностью арифметической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать арифметическую прогрессию , достаточно задать ее первый член и разность

Например, если то получится арифметическая прогрессия 3; 7; 11; 15; … .

Если то арифметическая прогрессия имеет вид 2; -1; -4; -7; -10; … .

Если то все члены арифметической прогрессии равны между собой: -7; -7; -7; -7; … .

Чтобы вычислить любой член арифметической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена арифметической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — арифметическая прогрессия с разностью то, используя определение, получим верные равенства:

Сложим эти равенства:

После упрощения получим:

Так как число слагаемых равно , то равенство примет вид

Получили формулу члена арифметической прогрессии

Формула члена арифметической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член , номер члена и разность прогрессии

Пример №7

Последовательность — арифметическая прогрессия, Найдите 100-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 249,5.

Пример №8

Последовательность — арифметическая прогрессия, Является ли членом этой прогрессии число: а) 168; б) 201?

Решение:

а) По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение Решив его, получим, что — корень уравнения. Так как 67 — натуральное число, то число 168 является членом этой прогрессии с номером 67.

б) Подставим значения в формулу члена и получим уравнение Решим его: Так как корень уравнения 80,2 — не натуральное число, то число 201 не является членом этой прогрессии.

Ответ: а) число 168 является членом этой прогрессии; б) число 201 не является членом этой прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним)

членов, т. е. при

при

Доказательство. В арифметической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий члены, т. е. и :

Найдем их среднее арифметическое:

Справедливо и обратное утверждение:

если в последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним) членов, то последовательность является арифметической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, т. е. . Тогда ,

значит, разность каждого ее члена с предыдущим членом есть одно и то же число. Обозначим его получим при любом натуральном , следовательно, Значит, по определению последовательность — арифметическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством арифметической прогрессии:

числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Пример №9

Проверьте, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее арифметическое этих членов:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии последовательность является арифметической прогрессией.

Решение арифметической прогрессии

Пример №10

Последовательность 2; 12; 22; … является арифметической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является арифметической прогрессией, то найдем ее разность Тогда каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с числом 10: 2; 12; 22; 32; 42;….

Пример №11

Известны члены арифметической прогрессии: Найдите разность этой прогрессии.

Решение:

Найдем разность арифметической прогрессии:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Пример №12

Последовательность — арифметическая прогрессия. Найдите двадцатый член прогрессии, если

Решение:

По формуле члена арифметической прогрессии получим:

Пример №13

Запишите формулу члена для арифметической прогрессии -15,5; -14,9; -14,3; … и найдите ее двадцатый член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной арифметической прогрессии, подставив в формулу значения для и :

Подставим в формулу члена данной арифметической прогрессии и найдем ее двадцатый член:

Пример №14

В арифметической прогрессии известно, что Число 16 является членом этой прогрессии. Найдите его номер.

Решение:

Так как то По условию Воспользуемся формулой тогда

Пример №15

В арифметической прогрессии Найдите разность прогрессии и ее первый член.

Решение:

По условию

Решим систему уравнений

Вычтем из второго уравнения первое, получим откуда Подставим в первое уравнение системы, получим

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример №16

Найдите восьмой член арифметической прогрессии если

Решение:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии т. е.

Пример №17

При каком значении последовательность является арифметической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим задачу. Двое друзей решили улучшить знание английского языка и каждый день учить на 3 новых слова больше, чем в предыдущий. Сколько слов выучит каждый из друзей за 10 дней, если они начнут с одного слова?

Для решения этой задачи нужно найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии у которой

Возникает вопрос: как найти эту сумму, не вычисляя всех десяти членов прогрессии?

В общем виде эта задача приводит к необходимости вывода формулы суммы первых членов арифметической прогрессии:

Для того чтобы вывести эту формулу, докажем свойство: суммы двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, равны между собой и равны сумме первого и последнего ее членов, т. е.

В общем виде:

Доказательство:

Преобразуем слагаемые в левой части равенства, воспользовавшись формулой члена:

Тогда получим:

С помощью доказанного свойства найдем, например, сумму всех натуральных чисел от 1 до 50.

Натуральные числа от 1 до 50 составляют арифметическую прогрессию 1; 2; 3; …; 50. Первый член этой прогрессии равен 1, последний равен 50. Всего в этой прогрессии 50 членов.

Поскольку то и и и (рис. 94), то искомая сумма равна

Выведем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии.

Обозначим через и запишем эту сумму дважды: с первого члена до и с члена до первого:

Сложим эти два равенства и получим:

По свойству заменим каждую сумму в скобках на

Число всех таких пар сумм равно значит, удвоенная искомая сумма равна:

т. е. — формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

Идея такого доказательства принадлежит выдающемуся немецкому математику К. Гауссу (1777—1855).

Формулу суммы первых членов арифметической прогрессии можно записать и в другом виде. Для этого по формуле члена арифметической прогрессии выразим через и и получим:

Если известен первый член прогрессии и разность, то удобно использовать формулу

Применим эту формулу к задаче о количестве выученных иностранных слов и получим: Каждый из друзей выучил по 145 новых слов.

Пример №18

Найдите сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии 3; 7; 11; 15; … .

Решение:

В этой прогрессии первый член равен 3, а разность Применим формулу суммы

для и получим:

Ответ: 5050.

Пример №19

В арифметической прогрессии Найдите сумму 85 первых членов арифметической прогрессии.

Решение:

Применим формулу суммы и получим:

Ответ: 1785.

Пример №20

Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен -2, а разность прогрессии равна 0,4.

Решение:

Воспользуемся формулой

так как то

Пример №21

Найдите сумму 4 + 7 + 10+ … + 100, если ее слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии.

Решение:

Последовательность 4, 7, 10, …, 100 является арифметической прогрессией, в которой По формуле члена арифметической прогрессии найдем количество членов этой прогрессии:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии п и найдем искомую сумму:

Пример №22

Найдите количество членов арифметической прогрессии, зная, что их сумма равна 430, первый член прогрессии равен -7, а разность прогрессии равна 3.

Решение:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии Так как ,то составим и решим уравнение:

Так как — натуральное число, то

Пример №23

В арифметической прогрессии Найдите сумму членов этой прогрессии с четвертого по семнадцатый включительно.

Решение:

Найдем и Поскольку то составим систему уравнений

Решим полученную систему способом сложения:

Тогда

Примем четвертый член данной прогрессии за первый член некоторой другой прогрессии, тогда семнадцатый член данной прогрессии станет четырнадцатым (17 – 4 + 1 = 14) членом новой прогрессии. Искомая сумма равна:

Пример №24

Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5.

Решение:

Первое число в последовательности всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5, — это число 18. Каждое следующее число равно предыдущему, сложенному с числом 26. Последнее четное число, которое при делении на 13 дает в остатке 5, — это число 278. Поскольку рассматриваются только четные числа, то разность прогрессии равна 26. Найдем номер числа прогрессии, равного 278: откуда

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим задачу. Вкладчик положил в банк 1000 р. на

депозит, по которому сумма вклада увеличивается ежегодно на 5 %. Какая сумма будет у него через 1 год, 2 года, 6 лет?

Решение:

Начальная сумма в 1000 р. через год увеличится на 5 % и составит 105 % от 1000 р. Найдем 105 % = 1,05 от 1000 р.: 1000 • 1,05 = 1050 (р.).

Через два года сумма вклада станет равной (р.), через три года — (р.) и т. д. Получим числовую последовательность:

Через шесть лет сумма будет равна

Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются геометрическими прогрессиями.

Определение геометрической прогрессии

Определение:

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно задать ее первый член , и знаменатель

Например, если то получится геометрическая прогрессия 3; 6; 12; 24; … .

Если то получится геометрическая прогрессия, знаки членов у которой чередуются, так как знаменатель прогрессии является отрицательным числом: 3; -6; 12; -24; … .

Если то геометрическая прогрессия имеет

вид

Если то все члены геометрической прогрессии равны между собой: 3; 3; 3; 3; … .

Чтобы вычислить любой член геометрической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена геометрической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — геометрическая прогрессия и — ее знаменатель, то по определению верны равенства:

Перемножим эти равенства между собой:

Разделим обе части равенства на произведение и получим

Так как число множителей равно то равенство примет вид

Получили формулу члена геометрической прогрессии.

Формула члена геометрической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии.

Пример №25

Последовательность — геометрическая прогрессия, Найдите 8-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 4374.

Пример №26

Последовательность — геометрическая прогрессия, Является ли число 320 членом этой прогрессии?

Решение:

По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение

Решим это уравнение:

Так как 8 — натуральное число, то число 320 является членом этой прогрессии с номером 8.

Ответ: число 320 является членом этой прогрессии.

Заказать решение задач по высшей математике

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

В геометрической прогрессии модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, т. е. при

или при

Доказательство:

В геометрической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий (соседние) члены, т. е. и :

Найдем среднее пропорциональное (среднее геометрическое) соседних с членов геометрической прогрессии. Для этого перемножим равенства и получим:

Выполним преобразования в правой части равенства:

откуда получим, что

или

Справедливо и обратное утверждение:

если в последовательности чисел, отличных от нуля, модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, то последовательность является геометрической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов, т. е. .

Тогда значит, т. е. частное от деления каждого члена последовательности на предшествующий ему член есть одно и то же число, отличное от нуля. Обозначим его получим при любом натуральном следовательно, Значит, по определению последовательность — геометрическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством геометрической прогрессии:

числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов:

Пример №27

Проверьте, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее пропорциональное этих членов:

По характеристическому свойству геометрической прогрессии последовательность является геометрической прогрессией.

Решение геометрической прогрессии

Пример №28

Последовательность 2; 10; 50; … является геометрической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является геометрической прогрессией, то найдем ее знаменатель Тогда каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на число 5: 2; 10; 50; 250; 1250; 6250; ….

Пример №29

Известны члены геометрической прогрессии:

Найдите знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Так как знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого ее члена к предыдущему, то

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Пример №30

Последовательность — геометрическая прогрессия. Найдите пятый член этой прогрессии, если

Решение:

По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №31

Запишите формулу члена для геометрической прогрессии -216; 36; -6; … и найдите ее седьмой член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной геометрической прогрессии, подставив в формулу значения для и

Подставим в формулу члена данной геометрической прогрессии и найдем ее седьмой член:

Пример №32

Найдите номер члена геометрической прогрессии 0,1; 0,3; …, равного 218,7.

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Известно, что По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №33

Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии если

Решение:

По условию

Составим систему уравнений

Разделим второе уравнение на первое и получим:

Подставим это значение в первое уравнение системы и получим

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Пример №34

Найдите сорок девятый член геометрической прогрессии, если сорок восьмой ее член равен 4, а пятидесятый ее член равен 9.

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии и получим Тогда или

Пример №35

При каком значении последовательность является геометрической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является геометрической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Немало легенд связано с геометрической прогрессией.

Наиболее известная из них рассказывает об изобретателе шахмат.

По легенде, когда создатель шахмат показал свое изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у правителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зерен на каждой следующей клетке (рис. 96).

Правитель быстро согласился и приказал казначею выдать мудрецу нужное количество зерна. Однако когда казначей показал расчеты, то оказалось, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять все пшеницей.

Число зерен, которое попросил мудрец, равно сумме членов геометрической прогрессии т. е.

Выведем формулу, по которой можно находить сумму первых членов геометрической прогрессии.

Обозначим сумму первых членов геометрической прогрессии через тогда:

Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии и получим:

Вычтем из второго равенства первое и получим:

т. e. Выразим из этого равенства при и получим формулу суммы первых членов геометрической прогрессии

Если то все члены прогрессии равны первому члену, и сумму первых прогрессии членов такой геометрической прогрессии можно найти по формуле

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Вычислим по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии число зерен, которое запросил в награду мудрец, т. е. сумму

Первый член геометрической прогрессии знаменатель количество членов прогрессии равно 64.

Тогда

Такого количества пшеницы человечество не собрало за всю свою историю.

Пример №36

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии в которой

Решение:

Применим формулу суммы для

получим

Ответ: 511,5.

Пример №37

Найдите сумму двенадцати первых членов геометрической прогрессии 3; -6; 12; -24; … .

Решение:

Подставим в формулу значения

Ответ. -4095.

Пример №38

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии если

Решение:

Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

тогда

По формуле найдем

Пример №39

Сумма членов геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если

Решение:

Подставим в формулу значения и найдем

Пример №40

В геометрической прогрессии известно, что Найдите

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Подставим в формулу члена геометрической прогрессии и найдем первый член прогрессии:

По формуле найдем сумму трех первых членов геометрической прогрессии:

Пример №41

В геометрической прогрессии известно, что Найдите сумму п первых членов этой прогрессии.

Решение:

Зная, что третий член геометрической прогрессии равен 16, а ее знаменатель равен 2, по формуле найдем первый член прогрессии: Воспользуемся формулой члена геометрической прогрессии и найдем

По формуле суммы первых членов геометрической прогрессии найдем

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной периодической дроби. Например, — конечная десятичная дробь. Бесконечная периодическая десятичная дробь получается в случае, когда деление «не заканчивается», например

Вы рассматривали правило записи конечной десятичной дроби в виде обыкновенной дроби (например, ит. п.).

Выясним, как бесконечную периодическую десятичную дробь записать в виде обыкновенной дроби.

Рассмотрим, например, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) = 0,7777… . Определим, какой обыкновенной дроби равно это число.

Запишем дробь 0,(7) в виде суммы разрядных слагаемых:

В данном случае необходимо найти сумму бесконечного числа слагаемых.

Слагаемые этой суммы являются членами бесконечной

геометрической прогрессии со знаменателем Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Определение. Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель

Например, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессий, так как

Геометрическая прогрессия также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, поскольку

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее обозначают буквой и находят по формуле

Покажем идею вывода формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию у которой Сумма первых членов данной прогрессии вычисляется по формуле Запишем эту формулу в виде

Представим, что п неограниченно возрастает (говорят, что стремится к бесконечности, и записывают ). Поскольку то при неограниченном увеличении числа степень стремится к нулю, а значение разности стремится к единице. Значит, при неограниченном увеличении числа сумма стремится к числу что можно записать в виде при

Число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии у которой Таким образом,

Обозначим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии буквой и получим формулу:

Вычислим по этой формуле сумму разрядных слагаемых:

Слагаемые этой суммы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию первый член которой равен

а знаменатель равен

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Так как то можем найти сумму этой бесконечной прогрессии. Подставим в формулу и получим:

Значит,

Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) можно записать в виде обыкновенной дроби , т. е.

Таким же способом можно любую бесконечную периодическую десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби.

Чтобы записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, нужно:

Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.
Выделить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Указать первый член , и найти знаменатель этой прогрессии
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле
Вычислить сумму первых слагаемых и найденного значения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Запишите в виде обыкновенной дроби число

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Пример №42

В бесконечной геометрической прогрессии Является ли эта прогрессия бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии: Так как то данная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №43

Является ли бесконечно убывающей геометрическая прогрессия:

а)

б)

в)

Решение:

а) Каждый член этой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число Так как то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

б) Поскольку, то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

в) Знаменатель прогрессии Так-как то прогрессия не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №44

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой

Решение:

По формуле получим:

Пример №45

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии Найдите первый член этой прогрессии.

Решение:

В формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии подставим и получим Решим полученное уравнение:

Пример №46

Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь 15,2(3) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Единичная окружность – в тригонометрии
Определение синуса и косинуса произвольного угла
Определение тангенса и котангенса произвольного угла
Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
Наибольшее и наименьшее значения функции
Раскрытие неопределенностей
Дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональные неравенства

Источник

Арифметическая прогрессия: что это такое?

5 января 2017

Тренировочные задачи
Ответы и решения

Да, да: арифметическая прогрессия — это вам не игрушки 🙂

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

1; 2; 3; 4; …
15; 20; 25; 30; …
$sqrt{2}; 2sqrt{2}; 3sqrt{2};…$

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число.

Судите сами. Первый набор — это просто идущие подряд числа, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Во втором случае разница между рядом стоящими числами уже равна пяти, но эта разница всё равно постоянна. В третьем случае вообще корни. Однако $2sqrt{2}=sqrt{2}+sqrt{2}$, а $3sqrt{2}=2sqrt{2}+sqrt{2}$, т.е. и в этом случае каждый следующий элемент просто возрастает на $sqrt{2}$ (и пусть вас не пугает, что это число — иррациональное).

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. Сама величина, на которую отличаются числа, называется разностью прогрессии и чаще всего обозначается буквой $d$.

Обозначение: $left( {{a}_{n}} right)$ — сама прогрессия, $d$ — её разность.

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Во-вторых, сама последовательность может являться как конечной, так и бесконечной. К примеру, набор {1; 2; 3} — это, очевидно, конечная арифметическая прогрессия. Но если записать что-нибудь в духе {1; 2; 3; 4; …} — это уже бесконечная прогрессия. Многоточие после четвёрки как бы намекает, что дальше идёт ещё довольно много чисел. Бесконечно много, например.:)

Ещё хотел бы отметить, что прогрессии бывают возрастающими и убывающими. Возрастающие мы уже видели — тот же набор {1; 2; 3; 4; …}. А вот примеры убывающих прогрессий:

49; 41; 33; 25; 17; …
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; …
$sqrt{5}; sqrt{5}-1; sqrt{5}-2; sqrt{5}-3;…$

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

Определение. Арифметическая прогрессия называется:

возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего;

убывающей, если, напротив, каждый последующий элемент меньше предыдущего.

Кроме того, существуют так называемые «стационарные» последовательности — они состоят из одного и того же повторяющегося числа. Например, {3; 3; 3; …}.

Остаётся лишь один вопрос: как отличить возрастающую прогрессию от убывающей? К счастью, тут всё зависит лишь от того, каков знак числа $d$, т.е. разности прогрессии:

Если $d gt 0$, то прогрессия возрастает;
Если $d lt 0$, то прогрессия, очевидно, убывает;
Наконец, есть случай $d=0$ — в этом случае вся прогрессия сводится к стационарной последовательности одинаковых чисел: {1; 1; 1; 1; …} и т.д.

Попробуем рассчитать разность $d$ для трёх убывающих прогрессий, приведённых выше. Для этого достаточно взять любые два соседних элемента (например, первый и второй) и вычесть из числа, стоящего справа, число, стоящее слева. Выглядеть это будет вот так:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$sqrt{5}-1-sqrt{5}=-1$.

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

[left( {{a}_{n}} right)=left{ {{a}_{1}}, {{a}_{2}},{{a}_{3}},… right}]

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

[{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=dRightarrow {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d]

Короче говоря, чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно знать $n-1$-й член и разность $d$. Такая формула называется рекуррентной, поскольку с её помощью можно найти любое число, лишь зная предыдущее (а по факту — все предыдущие). Это очень неудобно, поэтому существует более хитрая формула, которая сводит любые вычисления к первому члену и разности:

[{{a}_{n}}={{a}_{1}}+left( n-1 right)d]

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Задача №1. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии $left( {{a}_{n}} right)$, если ${{a}_{1}}=8,d=-5$.

Решение. Итак, нам известен первый член ${{a}_{1}}=8$ и разность прогрессии $d=-5$. Воспользуемся только что приведённой формулой и подставим $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

[begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+left( n-1 right)d; \ & {{a}_{1}}={{a}_{1}}+left( 1-1 right)d={{a}_{1}}=8; \ & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+left( 2-1 right)d={{a}_{1}}+d=8-5=3; \ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+left( 3-1 right)d={{a}_{1}}+2d=8-10=-2. \ end{align}]

Ответ: {8; 3; −2}

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен. Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике.

Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.

Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:

[{{a}_{7}}=-40;quad {{a}_{17}}=-50.]

Далее распишем 7-й и 17-й члены через формулу $n$-го члена прогрессии:

[left{ begin{align} & {{a}_{7}}={{a}_{1}}+6d \ & {{a}_{17}}={{a}_{1}}+16d \ end{align} right.]

[left{ begin{align} & {{a}_{1}}+6d=-40 \ & {{a}_{1}}+16d=-50 \ end{align} right.]

Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:

[begin{align} & {{a}_{1}}+16d-left( {{a}_{1}}+6d right)=-50-left( -40 right); \ & {{a}_{1}}+16d-{{a}_{1}}-6d=-50+40; \ & 10d=-10; \ & d=-1. \ end{align}]

Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:

[begin{matrix} {{a}_{1}}+6d=-40;quad d=-1 \ Downarrow \ {{a}_{1}}-6=-40; \ {{a}_{1}}=-40+6=-34. \ end{matrix}]

Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:

[begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=-34-1=-35; \ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+2d=-34-2=-36. \ end{align}]

Готово! Задача решена.

Ответ: {−34; −35; −36}

Обратите внимание на любопытное свойство прогрессии, которое мы обнаружили: если взять $n$-й и $m$-й члены и вычесть их друг из друга, то мы получим разность прогрессии, умноженную на число $n-m$:

[{{a}_{n}}-{{a}_{m}}=dcdot left( n-m right)]

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Решение. Поскольку ${{a}_{5}}=8,4$, ${{a}_{10}}=14,4$, а нужно найти ${{a}_{15}}$, то заметим следующее:

[begin{align} & {{a}_{15}}-{{a}_{10}}=5d; \ & {{a}_{10}}-{{a}_{5}}=5d. \ end{align}]

Но по условию ${{a}_{10}}-{{a}_{5}}=14,4-8,4=6$, поэтому $5d=6$, откуда имеем:

[begin{align} & {{a}_{15}}-14,4=6; \ & {{a}_{15}}=6+14,4=20,4. \ end{align}]

Ответ: 20,4

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?

Решение. Итак, ${{a}_{1}}=-38,5$, ${{a}_{2}}=-35,8$, откуда сразу находим разность:

[d={{a}_{2}}-{{a}_{1}}=-35,8-left( -38,5 right)=38,5-35,8=2,7]

Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.

Попробуем выяснить: до каких пор (т.е. до какого натурального числа $n$) сохраняется отрицательность членов:

[begin{align} & {{a}_{n}} lt 0Rightarrow {{a}_{1}}+left( n-1 right)d lt 0; \ & -38,5+left( n-1 right)cdot 2,7 lt 0;quad left| cdot 10 right. \ & -385+27cdot left( n-1 right) lt 0; \ & -385+27n-27 lt 0; \ & 27n lt 412; \ & n lt 15frac{7}{27}Rightarrow {{n}_{max }}=15. \ end{align}]

Ответ: 15

Последняя строчка требует пояснения. Итак, нам известно, что $n lt 15frac{7}{27}$. С другой стороны, нас устроят лишь целые значения номера (более того: $nin mathbb{N}$), поэтому наибольший допустимый номер — это именно $n=15$, а ни в коем случае не 16.

Задача №5. В арифметической прогрессии ${{}_{5}}=-150,{{}_{6}}=-147$. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии.

Это была бы точь-в-точь такая же задача, как и предыдущая, однако нам неизвестно ${{a}_{1}}$. Зато известны соседние члены: ${{a}_{5}}$ и ${{a}_{6}}$, поэтому мы легко найдём разность прогрессии:

[d={{a}_{6}}-{{a}_{5}}=-147-left( -150 right)=150-147=3]

Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:

[begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+left( n-1 right)cdot d; \ & {{a}_{5}}={{a}_{1}}+4d; \ & -150={{a}_{1}}+4cdot 3; \ & {{a}_{1}}=-150-12=-162. \ end{align}]

Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:

[begin{align} & {{a}_{n}}=-162+left( n-1 right)cdot 3 gt 0; \ & -162+3n-3 gt 0; \ & 3n gt 165; \ & n gt 55Rightarrow {{n}_{min }}=56. \ end{align}]

Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.

Ответ: 56

Обратите внимание: в последнем задании всё свелось к строгому неравенству, поэтому вариант $n=55$ нас не устроит.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Рассмотрим несколько последовательных членов возрастающей арифметической прогрессии $left( {{a}_{n}} right)$. Попробуем отметить их на числовой прямой:

Члены арифметической прогрессии на числовой прямой

Я специально отметил произвольные члены ${{a}_{n-3}},…,{{a}_{n+3}}$, а не какие-нибудь ${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, {{a}_{3}}$ и т.д. Потому что правило, о котором я сейчас расскажу, одинаково работает для любых «отрезков».

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

[begin{align} & {{a}_{n-2}}={{a}_{n-3}}+d; \ & {{a}_{n-1}}={{a}_{n-2}}+d; \ & {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d; \ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}+d; \ end{align}]

Однако эти равенства можно переписать иначе:

[begin{align} & {{a}_{n-1}}={{a}_{n}}-d; \ & {{a}_{n-2}}={{a}_{n}}-2d; \ & {{a}_{n-3}}={{a}_{n}}-3d; \ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \ & {{a}_{n+3}}={{a}_{n}}+3d; \ end{align}]

Ну и что с того? А то, что члены ${{a}_{n-1}}$ и ${{a}_{n+1}}$ лежат на одном и том же расстоянии от ${{a}_{n}}$. И это расстояние равно $d$. То же самое можно сказать про члены ${{a}_{n-2}}$ и ${{a}_{n+2}}$ — они тоже удалены от ${{a}_{n}}$ на одинаковое расстояние, равное $2d$. Продолжать можно до бесконечности, но смысл хорошо иллюстрирует картинка

Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра

Что это значит для нас? Это значит, что можно найти ${{a}_{n}}$, если известны числа-соседи:

[{{a}_{n}}=frac{{{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}}}{2}]

Мы вывели великолепное утверждение: всякий член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов! Более того: мы можем отступить от нашего ${{a}_{n}}$ влево и вправо не на один шаг, а на $k$ шагов — и всё равно формула будет верна:

[{{a}_{n}}=frac{{{a}_{n-k}}+{{a}_{n+k}}}{2}]

Т.е. мы спокойно можем найти какое-нибудь ${{a}_{150}}$, если знаем ${{a}_{100}}$ и ${{a}_{200}}$, потому что ${{a}_{150}}=frac{{{a}_{100}}+{{a}_{200}}}{2}$. На первый взгляд может показаться, что данный факт не даёт нам ничего полезного. Однако на практике многие задачи специально «заточены» под использование среднего арифметического. Взгляните:

Задача №6. Найдите все значения $x$, при которых числа $-6{{x}^{2}}$, $x+1$ и $14+4{{x}^{2}}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Поскольку указанные числа являются членами прогрессии, для них выполняется условие среднего арифметического: центральный элемент $x+1$ можно выразить через соседние элементы:

[begin{align} & x+1=frac{-6{{x}^{2}}+14+4{{x}^{2}}}{2}; \ & x+1=frac{14-2{{x}^{2}}}{2}; \ & x+1=7-{{x}^{2}}; \ & {{x}^{2}}+x-6=0. \ end{align}]

Получилось классическое квадратное уравнение. Его корни: $x=2$ и $x=-3$ — это и есть ответы.

Ответ: −3; 2.

Задача №7. Найдите значения $$, при которых числа $-1;4-3;{{}^{2}}+1$ составляют арифметическую прогрессию (в указанном порядке).

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

[begin{align} & 4x-3=frac{x-1+{{x}^{2}}+1}{2}; \ & 4x-3=frac{{{x}^{2}}+x}{2};quad left| cdot 2 right.; \ & 8x-6={{x}^{2}}+x; \ & {{x}^{2}}-7x+6=0. \ end{align}]

Снова квадратное уравнение. И снова два корня: $x=6$ и$x=1$.

Ответ: 1; 6.

Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?

Допустим, в задаче №6 мы получили ответы −3 и 2. Как проверить, что эти ответы верны? Давайте просто подставим их в исходное условие и посмотрим, что получится. Напомню, что у нас есть три числа ($-6{{}^{2}}$, $+1$ и $14+4{{}^{2}}$), которые должны составлять арифметическую прогрессию. Подставим $x=-3$:

[begin{align} & x=-3Rightarrow \ & -6{{x}^{2}}=-54; \ & x+1=-2; \ & 14+4{{x}^{2}}=50. end{align}]

Получили числа −54; −2; 50, которые отличаются на 52 — несомненно, это арифметическая прогрессия. То же самое происходит и при $x=2$:

[begin{align} & x=2Rightarrow \ & -6{{x}^{2}}=-24; \ & x+1=3; \ & 14+4{{x}^{2}}=30. end{align}]

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

Попробуем выразить «левый хвост» через ${{a}_{n}}$ и $d$, а «правый хвост» через ${{a}_{k}}$ и $d$. Это очень просто:

[begin{align} & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \ & {{a}_{k-1}}={{a}_{k}}-d; \ & {{a}_{k-2}}={{a}_{k}}-2d. \ end{align}]

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

[begin{align} & {{a}_{n}}+{{a}_{k}}=S; \ & {{a}_{n+1}}+{{a}_{k-1}}={{a}_{n}}+d+{{a}_{k}}-d=S; \ & {{a}_{n+2}}+{{a}_{k-2}}={{a}_{n}}+2d+{{a}_{k}}-2d=S. end{align}]

Проще говоря, если мы рассмотрим в качестве старта два элемента прогрессии, которые в сумме равны какому-нибудь числу $S$, а затем начнём шагать от этих элементов в противоположные стороны (навстречу друг другу или наоборот на удаление), то суммы элементов, на которые мы будем натыкаться, тоже будут равны $S$. Наиболее наглядно это можно представить графически:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.

Решение. Запишем всё, что нам известно:

[begin{align} & {{a}_{1}}=66; \ & d=? \ & {{a}_{2}}cdot {{a}_{12}}=min . end{align}]

Итак, нам неизвестна разность прогрессии $d$. Собственно, вокруг разности и будет строиться всё решение, поскольку произведение ${{a}_{2}}cdot {{a}_{12}}$ можно переписать следующим образом:

[begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=66+d; \ & {{a}_{12}}={{a}_{1}}+11d=66+11d; \ & {{a}_{2}}cdot {{a}_{12}}=left( 66+d right)cdot left( 66+11d right)= \ & =11cdot left( d+66 right)cdot left( d+6 right). end{align}]

Для тех, кто в танке: я вынес общий множитель 11 из второй скобки. Таким образом, искомое произведение представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $d$. Поэтому рассмотрим функцию $fleft( d right)=11left( d+66 right)left( d+6 right)$ — её графиком будет парабола ветвями вверх, т.к. если раскрыть скобки, то мы получим:

[begin{align} & fleft( d right)=11left( {{d}^{2}}+66d+6d+66cdot 6 right)= \ & =11{{d}^{2}}+11cdot 72d+11cdot 66cdot 6 end{align}]

Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:

график квадратичной функции — парабола
Обратите внимание: минимальное значение эта парабола принимает в своей вершине с абсциссой ${{d}_{0}}$. Конечно, мы можем посчитать эту абсциссу по стандартной схеме (есть же формула ${{d}_{0}}={-b}/{2a};$), но куда разумнее будет заметить, что искомая вершина лежит на оси симметрии параболы, поэтому точка ${{d}_{0}}$ равноудалена от корней уравнения $fleft( d right)=0$:

[begin{align} & fleft( d right)=0; \ & 11cdot left( d+66 right)cdot left( d+6 right)=0; \ & {{d}_{1}}=-66;quad {{d}_{2}}=-6. \ end{align}]

Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:

[{{d}_{0}}=frac{-66-6}{2}=-36]

Что даёт нам обнаруженное число? При нём требуемое произведение принимает наименьшее значение (мы, кстати, так и не посчитали ${{y}_{min }}$ — от нас это не требуется). Одновременно это число является разностью исходной прогрессии, т.е. мы нашли ответ.:)

Ответ: −36

Задача №9. Между числами $-frac{1}{2}$ и $-frac{1}{6}$ вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Решение. По сути, нам нужно составить последовательность из пяти чисел, причём первое и последнее число уже известно. Обозначим недостающие числа переменными $x$, $y$ и $z$:

[left( {{a}_{n}} right)=left{ -frac{1}{2};x;y;z;-frac{1}{6} right}]

Отметим, что число $y$ является «серединой» нашей последовательности — оно равноудалено и от чисел $x$ и $z$, и от чисел $-frac{1}{2}$ и $-frac{1}{6}$. И если из чисел $x$ и $z$ мы в данный момент не можем получить $y$, то вот с концами прогрессии дело обстоит иначе. Вспоминаем про среднее арифметическое:

[y=frac{-frac{1}{2}-frac{1}{6}}{2}=-frac{4}{2cdot 6}=-frac{1}{3}]

Теперь, зная $y$, мы найдём оставшиеся числа. Заметим, что $x$ лежит между числами $-frac{1}{2}$ и только что найденным $y=-frac{1}{3}$. Поэтому

[x=frac{-frac{1}{2}-frac{1}{3}}{2}=-frac{5}{6cdot 2}=-frac{5}{12}]

Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:

[z=frac{-frac{1}{3}-frac{1}{6}}{2}=-frac{3}{6cdot 2}=-frac{1}{4}]

Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.

Ответ: $-frac{5}{12}; -frac{1}{3}; -frac{1}{4}$

Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Решение. Ещё более сложная задача, которая, однако, решается по той же схеме, что и предыдущие — через среднее арифметическое. Проблема в том, что нам неизвестно, сколько конкретно чисел надо вставить. Поэтому положим для опредлённости, что после вставки всего будет ровно $n$ чисел, причём первое из них — это 2, а последнее — 42. В этом случае искомая арифметическая прогрессия представима в виде:

[left( {{a}_{n}} right)=left{ 2;{{a}_{2}};{{a}_{3}};…;{{a}_{n-1}};42 right}]

Далее распишем сумму первого, второго и последнего из вставленных чисел:

[{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56]

Заметим, однако, что числа ${{a}_{2}}$ и ${{a}_{n-1}}$ получаются из стоящих по краям чисел 2 и 42 путём одного шага навстречу друг другу, т.е. к центру последовательности. А это значит, что

[{{a}_{2}}+{{a}_{n-1}}=2+42=44]

Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:

[begin{align} & {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56; \ & left( {{a}_{2}}+{{a}_{n-1}} right)+{{a}_{3}}=56; \ & 44+{{a}_{3}}=56; \ & {{a}_{3}}=56-44=12. \ end{align}]

Зная ${{a}_{3}}$ и ${{a}_{1}}$, мы легко найдём разность прогрессии:

[begin{align} & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=12-2=10; \ & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=left( 3-1 right)cdot d=2d; \ & 2d=10Rightarrow d=5. \ end{align}]

Осталось лишь найти остальные члены:

[begin{align} & {{a}_{1}}=2; \ & {{a}_{2}}=2+5=7; \ & {{a}_{3}}=12; \ & {{a}_{4}}=2+3cdot 5=17; \ & {{a}_{5}}=2+4cdot 5=22; \ & {{a}_{6}}=2+5cdot 5=27; \ & {{a}_{7}}=2+6cdot 5=32; \ & {{a}_{8}}=2+7cdot 5=37; \ & {{a}_{9}}=2+8cdot 5=42; \ end{align}]

Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:

[begin{align} & {{a}_{1}}=62;quad d=14; \ & {{a}_{n}}=62+left( n-1 right)cdot 14. \ end{align}]

Ноябрь — это 11-й месяц в году, поэтому нам нужно найти ${{a}_{11}}$:

[{{a}_{11}}=62+10cdot 14=202]

Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.

Ответ: 202

Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?

Решение. Всё то же самое:

$begin{align} & {{a}_{1}}=216;quad d=4; \ & {{a}_{n}}=216+left( n-1 right)cdot 4. \ end{align}$

Декабрь — это последний, 12-й месяц в году, поэтому ищем ${{a}_{12}}$:

[{{a}_{12}}=216+11cdot 4=260]

Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.

Ответ: 260

Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.

Смотрите также:

Формула n-го члена арифметической прогрессии
Нахождение элементов арифметической прогрессии
Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
Как считать логарифмы еще быстрее
Задача B5: метод узлов
Сфера, вписанная в куб

Источник

На этой странице вы узнаете

Как правильно расставить шары для бильярда в начале игры?
Как Карл Гаусс удивил своего учителя по математике?

Считаем ли мы овец перед сном, добавляем по монетке в копилку или достаем сухарик из упаковки — каждый раз мы интуитивно применяем законы математики, которые рассмотрим в этой статье.

Понятие арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия является видом «Числовых последовательностей».

У арифметической прогрессии есть особенность: каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. В последовательности 1, 2, 3, 4 и так далее — члены отличаются друг от друга на единицу.

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии.

Разность прогрессии — то число, на которое отличаются члены прогрессии друг от друга. Разность прогрессии обозначается буквой d.

Арифметическую прогрессию можно задать формулой.

a_n+1 = a_n + d

Например, если мы хотим найти третий член арифметической прогрессии, то нужно воспользоваться формулой: a₃ = a₂ + d

Однако бывает, что известны только первый член прогрессии и ее разность. Как быть в этом случае?

Разберемся на примере. Допустим, мы читаем книгу. Количество прочитанных страниц может быть задано с помощью арифметической прогрессии, в которой разность прогрессии и первый ее член равны 1.

Мы прочитали 10 страниц. Десятая страница будет десятым членом прогрессии. Это 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 страниц, если считать их по отдельности.

Выделим первую страницу отдельно: 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 1 + 9 = 1 + 1 * 9

Теперь заменим десятый член прогрессии, первый член прогрессии и ее разность на буквенные обозначения: a₁₀ = a₁ + 9 * d.

Заметим, что множитель перед d на один меньше, чем порядковый номер искомого члена прогрессии. Тогда получаем: a₁₀ = a₁ + (10 — 1) * d

Мы можем вывести формулу для n-го члена прогрессии. А выглядит она так.

a_n = a₁ + d(n — 1)

Как правильно расставить шары для бильярда в начале игры?

Вспомним расстановку шаров в бильярде. Они ставятся в пять рядов, причем в первом ряду один шар, а в пятом — пять.

Тогда, чтобы правильно разместить 15 шаров, нужно воспользоваться арифметической прогрессией. В каждом следующем ряду будет на один шар больше, следовательно, во втором ряду имеем 1 + 1 = 2 шара, в третьем ряду 2 + 1 = 3 шара, а в четвертом 3 + 1 = 4.

Расставленные таким образом шары образуют форму треугольника.

Допустим, мы хотим купить джинсы. В магазине представлены три ценовых категорий, которые отличаются друг от друга на одинаковую сумму. Мы знаем, что самые дешевые джинсы стоят 1000 рублей, а самые дорогие 3000 рублей. Как найти, сколько стоят джинсы во второй ценовой категории?

Попробуем найти разность арифметической прогрессии.

Джинсы во второй категории будут стоить 1000 + d, а чтобы найти стоимость третьей категории, нужно прибавить разность прогрессии ко второй категории. Получаем 1000 + d + d = 1000 + 2d.

Мы знаем, что самые дорогие джинсы стоят 3000 рублей. Получаем уравнение 1000 + 2d = 3000, откуда можем выразить разность прогрессии:

(d = frac{3000 — 1000}{2} = 1000)

Тогда джинсы во второй ценовой категории будут стоить 1000 + 1000 = 2000 рублей.

Можно ли как-то найти это значение, не прибегая к таким большим рассуждениям? Для этого достаточно найти среднее арифметическое двух соседних членов.

(a_n = frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2})

Докажем это. Если рассмотреть член а_n, то член до него будет равен a_{n — 1} = a_n — d, а член после него a_{n + 1} = a_n + d. Тогда их среднее арифметическое равно (frac{a_{n — 1} + a_{n+1}}{2} = frac{a_n — d + a_n + d}{2} = frac{2a_n}{2} = a_n).

Проверим на нашей задаче.

(a_2 = frac{a_1 + a_3}{2} = frac{1000 + 3000}{2} = frac{4000}{2} = 2000). Все верно.

Чтобы найти разность прогрессии, достаточно вычесть из любого члена прогрессии предыдущий к нему.

d = a_n+1 — a_n

Найдем сумму всех членов арифметической прогрессии. Разумеется, их можно сложить: a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n. Но тогда нужно вычислять все члены прогрессии, а их может быть очень много.

В этом случае используется формула суммы арифметической прогрессии. Ее удобство в том, что используются только первый и последний член прогрессии.

(S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n)

Немного преобразуем формулу:

(S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n = frac{a_1 + a_1 + d(n — 1)}{2} * n = frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} * n) — это формула суммы членов арифметической прогрессии через первый член и ее разность.

Решим небольшую задачу. Марина решила сделать картину из страз. По схеме у нее есть 15 рядов, в каждом из которых страз на три больше, чем в предыдущем. В первом ряду 6 страз. Сколько всего страз понадобится, чтобы выложить эти ряды?

Воспользуемся формулой арифметической прогрессии. Но прежде найдем, сколько страз в последнем, пятнадцатом ряду:

a₁₅ = 6 + 3 * (15 + 1) = 6 + 3 * 14 = 6 + 42 = 48

Тогда по формуле суммы арифметической прогрессии всего Марине понадобится:

(S_{15} = frac{6 + 48}{2} * 15 = frac{54}{2} * 15 = 27 * 15 = 405) страз.

Как Карл Гаусс удивил своего учителя по математике?

Карл Гаусс — немецкий математик, живший в 18–19 веках. На одном из уроков математики учитель задал сложить все цифры от 1 до 100.

Карл Гаусс заметил, что суммы чисел с противоположных сторон одинаковые: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Всего таких сумм получилось 50. Следовательно, быстро вычислить сумму этих цифр можно было как произведение 101 * 50.

Такой способ работает для любой арифметической прогрессии.
Внимательно посмотрим на сумму арифметической прогрессии. Пусть a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100. Тогда получаем:
(S_{100} = frac{1 + 100}{2} * 100 = 101 * 50), то есть Карл Гаусс использовал сумму арифметической прогрессии, сам того не зная.

Виды арифметических прогрессий

Существует всего три вида арифметической прогрессии.

1. Возрастающая арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии — положительное число, то есть d > 0, а каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.

Прогрессия 2, 4, 6, 8 является возрастающей.

2. Убывающая арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии — отрицательное число, то есть d < 0, а каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.

Примером убывающей арифметической прогрессии может служить 100, 95, 90, 85 и так далее.

3. Стационарная арифметическая прогрессия.

В этой арифметической прогрессии разность будет равна 0, то есть d = 0. Следовательно, члены прогрессии не будут отличаться друг от друга.

Например, прогрессия 3, 3, 3, 3, 3 будет являться стационарной.

Фактчек

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии.
Разность арифметической прогрессии — это число, на которое отличаются члены прогрессии.
Чтобы найти n-ый член прогрессии, необходимо воспользоваться одной из трех формул: a_n+1 = a_n + d, a_n = a₁ + d(n — 1) или (a_n = frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}).
Чтобы найти разность прогрессии, достаточно из любого члена прогрессии вычесть предыдущий ему член прогрессии.
По формуле (S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n) можно найти сумму n членов прогрессии.
Арифметическая прогрессия может быть убывающей, возрастающей или стационарной.

Проверь себя

Задание 1.
Какая прогрессия является арифметической?

3, 7, 11, 15
1, 1, 2, 3, 5
2, 4, 8, 16
1, 4, 16, 25

Задание 2.
Первый член арифметической прогрессии равен 10, а ее разность равна -5. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии.

Семнадцатого члена такой арифметической прогрессии не существует
0
−70
−75

Задание 3.
Пятый член арифметической прогрессии равен 16, а седьмой член равен 20. Найдите шестой член арифметической прогрессии.

2
18
17,5
Невозможно найти шестой член арифметической прогрессии.

Задание 4.
Каждый день Миша катается на велосипеде, причем с каждым разом увеличивает расстояние на 2 км. В первый день он проехал 3 км. Сколько всего км проедет Миша за пять дней?

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 2 4. — 4

Источник