Как найти наибольший объем правильной треугольной пирамиды

Не надо бояться размышлений и труда.
Пусть х высота, опущенная на центр основания со стороной а. Тогда от центра основания до стороны основания
расстояние р =корень (12-х^2) по Пифагору., и это треть высоты основания.
Площадь основания S=(a/2)*3p.
Объем V=Sx/3 =(a/2)*3px/3= (a/2)px=(a/2)x*корень (12-х^2)
Максимум объема достигается, когда производная объема равна нулю.
Производная объема (a/2)* (12-2x^2)/корень (12-x^2) =0
то есть (12-2x^2)= 0
x=корень (6)
При этом сторона а хотя и выглядит независимым масштабирующим множителем, но на самом деле она тоже зависит
от р.
а=2p*корень (3), Значит а зависит и от х.
V= (a/2)*px=p*корень (3)*px=корень (3)*x*p^2 = корень (3)*х*(12-x^2)= корень (3)*корень (6)*(12-6)=18*корень (2)=25,456.
Заметим, что апофема меняла положение от горизонтального до вертикального, становясь высотой при нулевом объёме.

Во второй задаче апофема меняет кроме положения и длину. Вначале она равна р = 6/ (4+2V3), а становясь вертикально, она станет равна 3.
Нужно так же составить уравнение объема в зависимости от переменной апофемы ( или от высоты, или через р, или через а), производную объема приравнять к нулю, чтобы найти при каком значении этой переменной объем максимален.
А затем найти и сам объем.

Юля ПавловаГений (70042)

4 года назад

Максимальный объем V(8/9)=0,942809 у пирамиды, все рёбра которой равны b=2.
Полусторона а=3-b; радиус вписанной окружности основания R=(3-b)/V3=1/V3
апофема h=V(b^2-a^2)=V3;
Высота z=V(h^2-R^2)=V(8/3)=1,632993

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема пирамиды

1. Общая формула

Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.

• ABCD – основание;
• E – вершина;
• h – высота, перпендикулярная основанию.

2. Объем правильной треугольной пирамиды

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):

Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a², где а – длина его стороны.

Следовательно, формулу объема можно представить в виде:

4. Объем правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):

С учетом этого, объем фигуры считается так:

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см² (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:

Главной характеристикой любой геометрической фигуры в пространстве является ее объем. В данной статье рассмотрим, что собой представляет пирамида с треугольником в основании, а также покажем, как находить объем треугольной пирамиды – правильной полной и усеченной.

Что это – треугольная пирамида?

Каждый слышал о древних египетских пирамидах, тем не менее они являются четырехугольными правильными, а не треугольными. Объясним, как получить треугольную пирамиду.

Возьмем произвольный треугольник и соединим все его вершины с некоторой одной точкой, расположенной вне плоскости этого треугольника. Образованная фигура будет называться треугольной пирамидой. Она показана на рисунке ниже.

Вам будет интересно:Кашмирский конфликт: участники, причины, ход событий

Как видно, рассматриваемая фигура образована четырьмя треугольниками, которые в общем случае являются разными. Каждый треугольник – это стороны пирамиды или ее грань. Эту пирамиду часто называют тетраэдром, то есть четырехгранной объемной фигурой.

Помимо сторон, пирамида также обладает ребрами (их у нее 6) и вершинами (их 4).

Правильная пирамида с треугольным основанием

Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

• ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
• боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.

Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

Формулы объема треугольной пирамиды

Определить объем совершенно любой пирамиды с произвольным n-угольником в основании можно с помощью следующего выражения:

V = 1/3 × So × h

Здесь символ So обозначает площадь основания, h – это высота фигуры, проведенная к отмеченному основанию из вершины пирамиды.

Поскольку площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны a на апофему ha, опущенную на эту сторону, то формула объема треугольной пирамиды может быть записана в следующем виде:

V = 1/6 × a × ha × h

Для треугольной пирамиды общего типа определение высоты является непростой задачей. Для ее решения проще всего воспользоваться формулой расстояния между точкой (вершиной) и плоскостью (треугольным основанием), представленной уравнением общего вида.

Для правильной пирамиды формула объема имеет конкретный вид. Площадь основания (равностороннего треугольника) для нее равна:

So = √3/4 × a2

Подставляем ее в общее выражение для V, получаем:

V = √3/12 × a2 × h

Частным случаем является ситуация, когда у тетраэдра все стороны оказываются одинаковыми равносторонними треугольниками. В этом случае определить его объем можно, только исходя из знания параметра его ребра a. Соответствующее выражение имеет вид:

V = √2/12 × a3

Усеченная пирамида

Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.

Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.

Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:

V = √3/12 × h × (A2 + a2 + A × a)

Здесь h – высота фигуры, A и a – длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.

Решение задачи

Чтобы приведенная информация в статье была понятнее для читателя, покажем на наглядном примере, как пользоваться некоторыми из записанных формул.

Пусть объем треугольной пирамиды равен 15 см3. Известно, что фигура является правильной. Следует найти апофему ab бокового ребра, если известно, что высота пирамиды составляет 4 см.

Поскольку известны объем и высота фигуры, то можно воспользоваться соответствующей формулой для вычисления длины стороны ее основания. Имеем:

V = √3/12 × a2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см

Апофему ab можно рассчитать, если рассмотреть соответствующий прямоугольный треугольник внутри пирамиды. Катетами треугольника являются 1/3 длины высоты основания и высота пирамиды, гипотенузой будет искомая апофема. Тогда:

ab = √(h2 + a2 / 12) = √(16 + 25,982 / 12) = 8,5 см

Рассчитанная длина апофемы фигуры получилась больше ее высоты, что справедливо для пирамиды любого типа.

Онлайн-калькулятор объема пирамиды

У пирамиды есть ребра. Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань — это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.

Типы пирамид

Различают следующие типы пирамид.

1. Прямоугольная — у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
2. Правильная — ее основание — какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
3. Тетраэдр — пирамида, у которой в основании лежит треугольник.

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды находится несколькими способами.

По площади основания и высоте пирамиды

Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема тетраэдра

Формула объема пирамиды как определитель

Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.

Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:

a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:

Не знаете, где можно оформить заказ контрольных работ недорого? Наши эксперты помогут вам с решением работ по объемам фигур!

Тест по теме “Объем пирамиды”