Дано: два числа 180 и 180.
Найти: НОД и НОК этих чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) целых чисел 180 и 180 — это наибольшее из их общих делителей, т.е наибольшее число, на которое оба делятся без остатка.
Как найти НОД 180 и 180:
- разложить 180 и 180 на простые множители;
- выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
- найти их произведение.
Отсюда:
1. Раскладываем 180 и 180 на простые множители:
180 | 2 |
90 | 2 |
45 | 3 |
15 | 3 |
5 | 5 |
1 |
180 | 2 |
90 | 2 |
45 | 3 |
15 | 3 |
5 | 5 |
1 |
2. Выбираем одинаковые множители. В нашем случае это: 2, 2, 3, 3, 5
3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180
Ответ: НОД (180; 180) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180.
Нахождение НОК 180 и 180
Наименьшее общее кратное (НОК) целых чисел 180 и 180 — это наименьшее натуральное число, которое делится на 180 и на 180 без остатка.
Как найти НОК 180 и 180:
- разложить 180 и 180 на простые множители;
- выбрать одну группу множителей;
- добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
- найти их произведение.
Отсюда:
1. Раскладываем 180 и 180 на простые множители:
180 | 2 |
90 | 2 |
45 | 3 |
15 | 3 |
5 | 5 |
1 |
180 | 2 |
90 | 2 |
45 | 3 |
15 | 3 |
5 | 5 |
1 |
2. Берем множители из первого разложения, добавляем к ним отсутствующие множители со второго разложения и вычисляем произведение.
Ответ: НОК (180; 180) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180
Калькулятор нахождения НОД и НОК
Смотрите также
Выберите количество чисел для нахождения НОД
2 числа3 числа4 числа5 чисел6 чисел
Введите числа
Разложим числа 180 и 180 на простые множители
Подчеркнём общие множители
Наибольший общий делитель чисел 180 и 180
Перемножим общие множители
НОД(180, 180) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
Ссылка на результат
https://calc-best.ru/matematicheskie/teoriya-chisel/nod?numbers=180_180
Как найти НОД двух чисел с помощью разложения на простые множители
1) Каждое число нужно разложить на простые множители
2) Потом подчеркнуть множители которые встречаются в обоих числах
3) Перемножить все общие множители
4) Результатом умножения общих множителей будет НОД
Разберём пример
Найдём НОД(16,32)
Разложим числа
16 = 2 × 2 × 2 × 2
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Подчеркнём общие множители
16 = 2 × 2 × 2 × 2
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Перемножим общие множители
НОД(16, 32) = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Похожие калькуляторы
Задача: напишите все делители числа 180.
Решение:
Делителем числа 180 называют натуральное число на которое 180 делится без остатка. Для нахождения всех делителей воспользуемся следующим алгоритмом:
- разложим 180 на простые множители;
- найдём все возможные произведения полученных множителей (перемножим полученные значения между собой) и добавим их к ранее найденным;
- добавим единицу (т.к. единица является делителем любого числа).
Таким образом:
1. Раскладываем 180 на простые множители:
180 | 2 |
90 | 2 |
45 | 3 |
15 | 3 |
5 | 5 |
1 |
180 = 22 · 32 · 5
Подробнее о том, как расскладывать число на простые множители, смотрите тут.
2. Перемножим между собой полученные множители (2, 2, 3, 3, 5). Получаем:
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 2 · 3 = 12
3 · 3 = 9
2 · 3 · 3 = 18
2 · 2 · 3 · 3 = 36
2 · 5 = 10
2 · 2 · 5 = 20
3 · 5 = 15
2 · 3 · 5 = 30
2 · 2 · 3 · 5 = 60
3 · 3 · 5 = 45
2 · 3 · 3 · 5 = 90
2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180
3. Получаем 3 набора значений:
- 2, 3, 5 — простые числа из 1-го пункта;
- 4, 6, 12, 9, 18, 36, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180 — произведения из 2-го пункта;
- 1 — единица, которая является делителем любого числа.
Объединяем и получаем делители для числа 180:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
Ответ:
- Делители числа 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180;
- Количество делителей: 18.
Смотрите также:
- Смотрите также
- Калькуляторы
- Последние примеры
Оцените материал:
Загрузка…
Калькулятор онлайн.
Нахождение (вычисление) НОД и НОК
Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.
Пример: для чисел 6 и 9 наибольший общий делитель равен 3.
Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю.
В школьной программе обозначается так: НОД(m, n)
Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел.
Чаще всего НОД используется для сокращения дроби – если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить
числитель и знаменатель данной дроби.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
В школьной программе обозначается так: НОК(m, n)
Пример: НОК(16, 20) = 80
Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.
С помощью данной математической программы вы можете найти (вычислить) НОД и НОК двух целых чисел.
Программа нахождения НОД и НОК не только выводит ответ задачи, но и отображает процесс вычисления НОД и НОК двух чисел.
Вводить можно только целые положительные числа.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа
Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют
наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.
Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.
Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.
Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа
(т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a и b.
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на
простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения
второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.
Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных
чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.
Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа),
они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные
числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э.
Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли
нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше,
в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует
ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на
протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа
от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через
одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались
невычеркнутыми только простые числа.
Калькулятор “Наибольший общий делитель”
Какой наибольший общий делитель у чисел 180 и 270?
Ответ: НОД чисел 180 и 270 это 90
(девяносто)
Нахождение наибольшего общего делителя для чисел 180 и 270 используя перечисление всех делителей
Первый способ нахождения НОД для чисел 180 и 270 – это перечисление всех делителей для обоих чисел и выбор из них наибольшего общего:
Все делители числа 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
Все делители числа 270: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270
Следовательно, наибольший общий делитель для чисел 180 и 270 это 90
Нахождение наибольшего общего делителя для чисел 180 и 270 используя разложение чисел на простые множители
Второй способ нахождения наибольшего общего делителя для числе 180 и 270 – это перечисление всех простых множителей для чисел и перемножение общих.
Простые множители числа 180: 2, 2, 3, 3, 5
Простые множители числа 270: 2, 3, 3, 3, 5
Как мы видим, у чисел есть общие простые множители: 2, 3, 3, 5
Для нахождения НОД необходимо их перемножить: 2 × 3 × 3 × 5 = 90
Поделитесь текущим расчетом
https://calculat.io/ru/number/greatest-common-factor-of/180–270
<a href=”https://calculat.io/ru/number/greatest-common-factor-of/180–270″>Наибольший общий делитель 180 и 270 – Calculatio</a>
О калькуляторе “Наибольший общий делитель”
Данный калькулятор поможет найти наибольший общий делитель двух чисел. Например, он может помочь узнать какой наибольший общий делитель у чисел 180 и 270? Выберите первое число (например ‘180’) и второе число (например ‘270’). После чего нажмите кнопку ‘Посчитать’.
Наибольший общий делитель (НОД) для двух чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит каждое из целых чисел с нулевым остатком.
Калькулятор “Наибольший общий делитель”
Таблица наибольших общих делителей
Число 1 | Число 2 | НОД |
---|---|---|
165 | 270 | 15 |
166 | 270 | 2 |
167 | 270 | 1 |
168 | 270 | 6 |
169 | 270 | 1 |
170 | 270 | 10 |
171 | 270 | 9 |
172 | 270 | 2 |
173 | 270 | 1 |
174 | 270 | 6 |
175 | 270 | 5 |
176 | 270 | 2 |
177 | 270 | 3 |
178 | 270 | 2 |
179 | 270 | 1 |
180 | 270 | 90 |
181 | 270 | 1 |
182 | 270 | 2 |
183 | 270 | 3 |
184 | 270 | 2 |
185 | 270 | 5 |
186 | 270 | 6 |
187 | 270 | 1 |
188 | 270 | 2 |
189 | 270 | 27 |
190 | 270 | 10 |
191 | 270 | 1 |
192 | 270 | 6 |
193 | 270 | 1 |
194 | 270 | 2 |