Как найти наибольший отрицательный угол

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Дата: 2018-02-02

14946

Категория: Простейшие уравнения

Метка: ЕГЭ-№5

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:

Решением уравнения cosx=a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон  n  от  –2  до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: –3 и 3, –4  и 4 и так далее. Вычисляем:

При  n = – 2     х₁= 3(– 2) – 4,5 = – 10,5      х₂= 3(– 2) – 5,5 = – 11,5

При  n = – 1     х₁= 3(– 1) – 4,5 = – 7,5        х₂= 3(– 1) – 5,5 = – 8,5

При  n = 0        х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5            х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При  n = 1        х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5            х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При  n = 2        х₁= 3∙2 – 4,5 =  1,5              х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен  –1,5

Ответ:  –1,5

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения sin x = a  являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от  –90^о до 90^о синус которого равен a.

Значит
Выразим x (умножим на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n=0,1,2 …

При  n = 0     х = (– 1)⁰ + 4∙0 + 3 = 4

При  n = 1     х = (– 1)¹ + 4∙1 + 3 = 6

При  n = 2     х = (– 1)² + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при   n=–1    х=(–1)^–1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Ответ: 4

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения tg x = a  является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90^о до 90^о,  тангенс которого равен a.

Значит

Выразим x  (умножим на 6 и разделим на  Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения  n=0,1,2,3 …         Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Ответ: 0,25

        В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили — кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг, угол на круге, синус и косинус этого угла, а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям. Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.

        Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно — правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии — никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол — ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно сам угол. Нет угла — нету и тригонометрических функций, да…

        Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.

        1) Как отсчитываются углы на круге?

        2) В чём они считаются (измеряются)?

        Ответ на первый вопрос — и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это — тема следующего отдельного урока.

        Приступим?

Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.

        У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?

        К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в “минус” (т.е. долг) иногда уходят. Это всё знакомо.

        А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг — вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!

        Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.

        Я нарисую вот такую красивую картинку:

        Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.

        Во-первых, я добавил номера четвертей (или квадрантов). Напоминаю, что четверти всегда нумеруются против часовой стрелки.

        Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее.) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси — они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.

        И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная — это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?

        Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.

        А теперь посмотрим на другую картинку:

        Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак “минус”.) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка — направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки, то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.

        Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)

        Запоминаем:

        1. Начало отсчёта углов — от положительной полуоси ОХ. По часам — “минус”, против часов — “плюс”.

        2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.

        Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг — вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос — в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.

        Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.

        А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да…) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???

        Совершенно верно! Так и есть.) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение, что и отрицательный угол -315°.

        Смотрим на очередной рисунок и всё видим:

        Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° — туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…

        И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?

        Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа “определите наибольший отрицательный угол” и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.

        Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.

        Запоминаем:

        Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.

        А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315°? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45° от 360° — вот и получаем 315°. Мотаем в отрицательную сторону — и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.

        И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) — рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)

        Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!

        Например:

        sin45° = sin(-315°)

        cos120° = cos(-240°)

        tg249° = tg(-111°)

        ctg333° = ctg(-27°)

        И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли… Кстати, прошу заметить, что углы в этих парочках различны. Зато тригонометрические функции у них — одинаковы! Идея ясна?

        А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений — ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.

        Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)

        Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.

Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).

        Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично: у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)

        Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.

        И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов — это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° — это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем… Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) — 55 градусов или же 64 — неважно! Важно, что всё равно где-то около 60°.

        Получаем картинку:

        Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно, без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

        Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° – это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!

        Рисуем:

        Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?

        Запоминаем:

        Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.

        Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)

        Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…

Что делать с углами, большими 360°?

        “А такие разве бывают?” — спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.

        Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое — выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.

        Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот — дошли до 360°.

        Ну и крутим себе дальше!

        Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:

        444°-360° = 84°.

        Итак, 444° – это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.

        Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.

        Вот так:

        Здесь я уж не стал загромождать рисунок — подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)

        Зато я “улиткой” или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия — это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!

        А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)

        А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?

        А почему — нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге — никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?

        Запоминаем:

        Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!

        Например:

        В какую четверть попадает угол 1000°?

        Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот — это 360°, ещё один — уже 720°, третий – 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:

        1000° – 2·360° = 280°

        Значит, положение угла 1000° на круге то же самое, что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.

        Рисуем:

        Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля, отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)

        И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° — разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы — одинаковые!

        Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?

        Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.

        Например:

        В какую четверть попадает угол 31240° ?

        И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!

        Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!

        Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко :)) на калькуляторе.)

        Получим 31240:360 = 86,777777….

        То, что число получилось дробным — не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо.)

        Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…

        В градусах это будет 86·360° = 30960°

        Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:

        31240° – 30960° = 280°

        Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)

        Итак, мораль сей басни такова:

        Если нам задан страшный здоровенный угол, то:

        1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.

        2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.

        3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.

Как работать с отрицательными углами?

        Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону, в минус! По ходу часовой стрелки.)

        Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов — оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

        Картинка станет вот такой:

        При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось — это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…

        Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)

        Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.

        Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?

        Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!

        А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить — в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!

        Например:

        В какую четверть попадает угол -2000°?

        Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:

        5·360° = 1800°

        Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.

        Считаем оставшийся хвостик:

        2000° — 1800° = 200°

        А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)

        -2000° = -1800° – 200°

        Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.

        Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.

        Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:

        Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак “минус” на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов. 

        Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.

        Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!

        А вот теперь — самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие — полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться…

        Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных — всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да…) Именно поэтому обратная задача — найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу — решается неоднозначно. И куда сложнее. В отличие от прямой задачи — по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки, тригонометрические уравнения и неравенства) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)

        Итак, будем считать, что самые-самые азы работы с углами на круге мы с вами освоили. Можно и на вопросы поотвечать. Самостоятельно.)

        1. В какую четверть попадает угол -345°?

        2. В какую четверть попадает угол 666°?

        3. В какую четверть попадает угол 5555°?

        4. В какую четверть попадает угол -3700°?

        Всё хорошо? Поехали дальше.

        5. Какой знак имеет cos999°?

        6. Какой знак имеет ctg999°?

        И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам сюда.

        Ответы:

        1. 1

        2. 4

        3. 2

        4. 3

        5. “+”

        6. “-“

        В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)

        В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число “пи”, научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!

Отрицательный угол в треугольнике

Сумма двух углов. На координатной плоскости $Oxу$ рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.). Пусть произвольный угол $alpha$ (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторото подвижного радиуса-вектора от его начального положения $bar$, совпадающего с положительным направлением оси $Ox$, до его конечного положения $bar$. Примем теперь положение радиуса-вектора $bar$ за начальное и отложим от него произвольный угол $beta$ (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения $bar$ до его конечного положения $bar$. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов $alpha$ и $beta$. (Начальное положение подвижного радиуса-вектора $bar$, конечное положение радиуса-вектора $bar $.)

Разность двух углов.

Под разностью двух углов $alpha$ и $beta$, которую обозначим $alpha – beta$, мы будем понимать такой третий угол $gamma$, который в сумме с углом $beta$ дает угол $alpha$, т. е. $gamma = alpha – beta$, если $beta + gamma = alpha$. Разность двух углов $alpha$ и $beta$ можно трактовать как сумму углов $alpha$ и $- beta$. В самом деле, $[alpha + (- beta)] + beta = alpha$ (рис.). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.

Пример 3. Угол $beta = +780^< circ>$, а угол $beta^ < circ>= -1110^< circ>$. Сумма их $beta + beta^ < circ>= 780^ <circ>+ (- 1110^<circ>) = -330^<circ>$.

В формуле (1) раздела “Углы и дуги, большие $360^<circ>$” предполагалось, что $n$ – любое целое неотрицательное число. Если же предположить, что $n$ – любое целое число (положительное, отрицательное или нуль), то при помощи формулы

где $0^ <circ>leq alpha < 360^<circ>, n = 0, pm 1, pm 2, cdots$ можно будет записать любой угол, как положительный, так и отрицательный.

Пример 4. Угол, равный $-1370^<circ>$, можно записать так:

Здесь $n = -4, alpha = + 70^<circ>$.

Заметим, что все углы $beta_$, записанные при помощи формулы (1), при разных значениях $n$, но одном и том же $alpha$, имеют общие начальную ($bar $) и конечную ($bar$) стороны (рис.). Поэтому построение любого угла $beta_$ сводится к построению соответствующего неотрицательного угла $alpha$ меньшего $360^<circ>$. На рис. углы $beta_ = alpha + 360^ <circ>n$ между собой не отличаются, они различаются лишь процессом вращения радиуса-вектора, который привел к их образованию.

Измерение углов

Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами.

На картинке видны 4 разных угла, образованных пересечением прямых AB и CD

Обычно углы измеряются в градусах, что обозначается как °. Когда объект совершает полный круг, то есть движется из точки D через B, C, A, а затем обратно к D, то говорят что он повернулся на 360 градусов (360°). Таким образом, градус – это $frac<1><360>$ круга.

Углы больше 360 градусов

Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Колесо проходит многие круги, когда автомобиль движется, то есть оно образует угол больше 360°.

Для того, чтобы узнать количество циклов (пройденных кругов) при вращении объекта, мы считаем количество раз, которое нужно прибавить 360 к самому себе, чтобы получить число равное или меньшее, чем данный угол. Точно так же мы находим число, которое мы умножаем на 360, чтобы получить число меньшее, но наиболее близкое к данному углу.

Пример 2
1. Найти количество кругов, описанных объектом, образующем угол
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Решение
a) 380 = (1 × 360) + 20
Объект описал один круг и 20°
Так как $20^ <circ>= frac<20> <360>= frac<1><18>$ круга
Объект описал $1frac<1><18>$ кругов.

b) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Объект описал два круга и 50°
$50^ <circ>= frac<50> <360>= frac<5><36>$ круга
Объект описал $2frac<5><36>$ круга
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^ <circ>= frac<260> <360>= frac<7><9>$ кругов
Объект описал $2frac<7><9>$ кругов

Положительные и отрицательные углы

Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке – положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.

В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.

Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс – х оси)

Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360. Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.

Пример 3
1. Найти соответствующий положительный угол
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) – 670°

2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 – 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 – 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 – 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°

2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 – 360 = – 280°
167° = 167 – 360 = -193°
330° = 330 – 360 = -30°
1300° = 1300 – 360 = 940 (пройден один круг)
940 – 360 = 580 (пройден второй круг)
580 – 360 = 220 (пройден третий круг)
220 – 360 = -140°
Угол равен -360 – 360 – 360 – 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°

Радиан

Радиан – это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга. Это единица измерения угловой величины. Такой угол примерно равен 57,3°.
В большинстве случаев, это обозначается как рад.
Таким образом $1 рад approx 57,3^<circ>$

Радиус = r = OA = OB = AB
Угол BOA равен одному радиану

Поскольку длина окружности задается как $2pi r$, то в окружности $2pi$ радиусов, а значит в целом круге $2pi$ радиан.

Радианы обычно выражаются через $pi$ во избежание десятичных частей в вычислениях. В большинстве книг, аббревиатура рад (rad) не встречается, но читатель должен знать, что, когда речь идет об угле, то он задан через $pi$, а единицами измерения автоматически становятся радианы.

Пример 4
1. Преобразовать 240°, 45°, 270°, 750° и 390° в радианы через $pi$.
Решение
Умножим углы на $frac<pi><180>$.

2. Преобразовать следующие углы в градусы.
a) $frac<5><4>pi$
b) $3,12pi$
c) 2,4 радиан
Решение
$180^ <circ>= pi$
a) $frac<5> <4>pi = frac<5> <4>times 180 = 225^<circ>$
b) $3,12pi = 3,12 times 180 = 561,6^<circ>$
c) 1 рад = 57,3°
$2,4 = frac<2,4 times 57,3> <1>= 137,52$

Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2pi$ радиан

Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2pi$.

Пример 5
1. Преобразовать $-frac<3><4>pi$ и $-frac<5><7>pi$ в позитивные углы в радианах.

Решение
Прибавляем к углу $2pi$
$-frac<3><4>pi = -frac<3><4>pi + 2pi = frac<5><4>pi = 1frac<1><4>pi$

Когда объект вращается на угол больший, чем $2pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.

Пример 6
1. Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах
a) $-10pi$
b) $9pi$
c) $frac<7><2>pi$

Решение
a) $-10pi = 5(-2pi)$;
$-2pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что
объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.

b) $9pi = 4(2pi) + pi$, $pi =$ пол цикла
объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки

c) $frac<7><2>pi=3,5pi=2pi+1,5pi$, $1,5pi$ равно три четверти цикла $(frac<1,5pi><2pi>=frac<3><4>)$
объект прошел один и три четверти цикла против часовой стрелки

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии “на пальцах”.

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
• Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
• Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
• Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1	√3	–
ctg	–	√3	1	Принцип повтора знаков тригонометрических функций Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны. Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно. Тригонометрический круг Углы в радианах Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π . Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций. [spoiler title=”источники:”] http://www.math10.com/ru/geometria/ugli/izmerenie-uglov/izmerenie-uglov.html http://matematika.club/articles/trigonometry/ [/spoiler]

Привет, самый лучший ученик во Вселенной!

Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Мы решим 39(!) примеров, от самых простых, до самых сложных.

И станем на шаг ближе к заветной цели – сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Поехали!

Тригонометрические уравнения — коротко о главном

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ – с использованием формул.

Второй способ – через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Чтобы уметь решать тригонометрические уравнения необходимо знать как минимум следующее:

• что такое синус, косинус, тангенс, котангенс;
• какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности;
• какие из этих функций нечётные, а какие – чётные;
• знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

Если ты что-то не знаешь, повтори следующие разделы:

• Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа
• Тригонометрическая окружность
• Формулы тригонометрии

Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

Простейшие тригонометрические уравнения

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

( displaystyle frac{2}{2{x}-11}=frac{1}{3})

тригонометрическим?

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции ( displaystyle left( sin x,cos x,tg x,ctg x right)) в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

( displaystyle sin2x+3x=2)

И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (( displaystyle 3x)).

Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.

Но вернёмся к вопросу: «Что же такое тригонометрические уравнения?»

Тригонометрические уравнения –это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

• ( displaystyle 6co{{s}^{2}}x+5sin{x}-7=0)
• ( displaystyle sinpi sqrt{x}=-1)
• ( displaystyle frac{3}{5}sinx+frac{4}{5}cosx=1) и т.д.

Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

• ( displaystyle sinfleft( x right)=a)
• ( displaystyle cosfleft( x right)=a)
• ( displaystyle tgfleft( x right)=a)
• ( displaystyle ctgfleft( x right)=a)

Где ( displaystyle a) – некоторое постоянное число.

Например: ( displaystyle 0,5;~1;~-1;pi ; ~1-sqrt{3};~1000) и т. д.

( displaystyle fleft( x right)) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной ( displaystyle x), например ( displaystyle fleft( x right)=x,~fleft( x right)=2-x,~fleft( x right)=frac{pi x}{7}) и т. д.

Такие уравнения называются простейшими!

Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии«

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

Как часто тригонометрические уравнения встречаются на ЕГЭ?

Тригонометрические уравнения могут встретиться до четырех раз в заданиях ЕГЭ. Это может быть:

• Задача №5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени);
• Задача №10 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка);
• Задача №12 (она на производную, но в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ)
• Задача №13 – даёт 2 первичных балла – (решение тригонометрического уравнения средней или высокой сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!)

Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 первичных баллов из 32!

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.

Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

• ( displaystyle text{sinx}=text{a}),
• ( displaystyle text{cosx}=text{a}),
• ( displaystyle text{tgx}=text{a}),
• ( displaystyle text{ctgx}=text{a}).

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

Уравнения вида: ( displaystyle sinfleft( x right)=a), ( displaystyle cosfleft( x right)=a) имеют смысл только тогда, когда ( displaystyle -1le text{a}le 1)

Уравнения вида: ( displaystyle text{tgx}=text{a}), ( displaystyle text{ctgx}=text{a}) имеют смысл уже при всех значениях ( displaystyle text{a}).

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

( displaystyle sinx=1000)

( displaystyle cosleft( 3{x}-sinleft( x right) right)=2)

( displaystyle sinleft( 2{{x}^{2}}-2x+1 right)=-3)

Корней не имеют!!!

Почему?

Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!!

Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.

( displaystyle A)	( displaystyle a)	( displaystyle -1)	( displaystyle 0)	( displaystyle 1)
( displaystyle sin x=A)	( displaystyle {{left( -1 right)}^{n}}arcsin alpha +pi n)	( displaystyle -frac{pi }{2}+2pi n)	( displaystyle pi n)	( displaystyle frac{pi }{2}+2pi n)
( displaystyle cos x=A)	( displaystyle pm arccos alpha +2pi n)	( displaystyle pi +2pi n)	( displaystyle frac{pi }{2}+pi n)	( displaystyle 2pi n)
( displaystyle tgx=A)	( displaystyle arctgalpha +pi n)	( displaystyle -frac{pi }{4}+pi n)	( displaystyle pi n)	( displaystyle frac{pi }{4}+pi n)
( displaystyle ctgx=A)	( displaystyle arcctgalpha +pi n)	( displaystyle frac{3pi }{4}+pi n)	( displaystyle frac{pi }{2}+pi n)	( displaystyle frac{pi }{4}+pi n)

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

У меня бы возникли вот какие:

Что такое ( displaystyle n) и что такое, например ( displaystyle arcsinalpha ~left( arccosalpha ,~arctgalpha ,~arcctgalpha right))?

Отвечаю на все по порядку:

( displaystyle n) – это любое целое число ( displaystyle left( 0,text{ }1,text{ }-1,text{ }2,text{ }-2,text{ }ldots .text{ } right)).

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!!

И число ( displaystyle n) и служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо ( displaystyle n) можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: ( displaystyle nin Z) – что означает, что ( displaystyle n) – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, ( displaystyle arcsinalpha ) надо как «угол, синус которого равен ( displaystyle alpha )«

• ( displaystyle arcsinalpha)– угол, синус которого равен ( displaystyle alpha)
• ( displaystyle arccosalpha)– угол, косинус которого равен ( displaystyle alpha)
• ( displaystyle alpha)( displaystyle arctgalpha)– угол, тангенс которого равен ( displaystyle alpha)
• ( displaystyle alpha)( displaystyle arcctgalpha) – угол, котангенс которого равен ( displaystyle alpha)

Например,

• ( displaystyle arcsin left( 0 right)=0,)
• ( displaystyle arccos left( frac{sqrt{2}}{2} right)=frac{pi }{4},)
• ( displaystyle arctgleft( 1 right)=frac{pi }{4},)
• ( displaystyle arcsin left( 0,5 right)=frac{pi }{6},)
• ( displaystyle arccos left( frac{sqrt{3}}{2} right)=frac{pi }{6},)
• ( displaystyle arctgleft( sqrt{3} right)=frac{pi }{3})

то есть,

Алгоритм вычисления арксинусов и других «арок»

• Смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число
• Смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса или котангенса
• Смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус, косинус, тангенс, котангенс равен числу, стоящему под аркой
• Записываем ответ

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

( displaystyle arccos left( frac{sqrt{3}}{2} right))

Решение:

• Под аркой число ( displaystyle frac{sqrt{3}}{2})
• Арка для функции – косинус!
• Косинус какого угла равен ( displaystyle frac{sqrt{3}}{2})? Угла ( displaystyle frac{pi }{6}) (или ( displaystyle 30) градусов!)
• Тогда ( displaystyle arccos left( frac{sqrt{3}}{2} right)=frac{pi }{6})

Сам посчитай:

• ( displaystyle arctgleft( frac{1}{sqrt{3}} right))
• ( displaystyle arcsin left( frac{sqrt{3}}{2} right))

Ответы:

( displaystyle frac{pi }{6}) и ( displaystyle frac{pi }{3}).

Если «арка» берется от отрицательного числа?

Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.

Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

• ( displaystyle text{arcsin}left( -alpha right)=-text{arcsin}alpha )
• ( displaystyle text{arctg}left( -alpha right)=-text{arctg}alpha )

И внимание!!!

• ( displaystyle text{arcctg}left( -alpha right)=text{ }!!pi!!text{ }-text{arcctg}alpha )
• ( displaystyle text{arccos}left( -alpha right)=text{ }!!pi!!text{ }-text{arccos}alpha )

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

Решение 11-ти простейших тригонометрических уравнений

Уравнение 1. ( displaystyle sinleft( x right)=0,5)

Запишу по определению:

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( 0,5 right)+pi n,~nin Z)

Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса.

Уравнение 2. ( displaystyle sinleft( x right)=-frac{sqrt{3}}{2})

Снова по определению:

Тогда запишу

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( -frac{sqrt{3}}{2} right)+pi n,~nin Z)

Так оставлять нельзя! Вначале вынесу «минус» из арксинуса!

Уравнение 3. ( displaystyle sinleft( x right)=frac{pi }{2})

Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( frac{pi }{2} right)+pi n,~nin Z)

Или того хуже:

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}cdot 1+pi n,~nin Z)

Так как ( displaystyle sin left( frac{pi }{2} right)=1)

Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?

А подвох вот в чем:

Уравнение 4. ( displaystyle sinleft( x right)=-0,1)

По определению:

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( -0,1 right)+pi n,~nin Z)

Или вынесем минус (как в примере 2):

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}arcsin left( 0,1 right)+pi n,~nin Z)

На этом стоп! Такого числа как 0,1 нет в таблице значений тригонометрических функций, поэтому оставим всё как есть:

Ответ: ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}arcsin left( 0,1 right)+pi n,~nin Z)

Уравнение 5. ( displaystyle cosleft( x right)=1)

И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)

( displaystyle x=pm arccos1+2pi n,~nin Z)

Чему равен угол, косинус которого равен ( displaystyle 1)?

Этот угол равен( displaystyle 0)!

( displaystyle x=pm 0+2pi n,~nin Z)

Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.

( displaystyle x=2pi n,~nin Z)

Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!

Ответ: ( displaystyle x=2pi n,~nin Z)

Уравнение 6. ( displaystyle cosleft( x right)=-frac{1}{sqrt{2}})

По определению:

( displaystyle x=pm arccos left( -frac{1}{sqrt{2}} right)+2pi n,~nin Z)

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

( displaystyle x=pm left( pi -arccos left( frac{1}{sqrt{2}} right) right)+2pi n,~nin Z)

Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!

Теперь арккосинус.

Не во всех таблицах есть значение ( displaystyle frac{1}{sqrt{2}}), но во всех есть ( displaystyle frac{sqrt{2}}{2})!!!

А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!

Уравнение 7. ( displaystyle cosleft( x right)=frac{pi }{4})

( displaystyle cosleft( x right)=frac{pi }{4})

Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:

( displaystyle frac{pi }{4}=frac{3,14}{4}<1)

Тогда по определению:

( displaystyle x=pm arccos left( frac{pi }{4} right)+2pi n,~nin Z)

Но из этого никак не следует, что ( displaystyle arccos left( frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} right)=frac{sqrt{2}}{2})!!!!!! 

Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!!

Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как ( displaystyle frac{sqrt{2}}{2})?!

Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!

Ответ: ( displaystyle x=pm arccos left( frac{pi }{4} right)+2pi n,~nin Z)

Уравнение 8. ( displaystyle cosleft( x right)=-sqrt{2})

Всё просто: ( displaystyle -sqrt{2}<-1)

… и решений данное уравнение не имеет.

Уравнение 9. ( displaystyle tgleft( x right)=sqrt{2})

Запишем по определению:

( displaystyle x=arctgsqrt{2}+pi n,~nin Z)

( displaystyle arctgsqrt{2}) – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным.

Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.

Уравнение 10. ( displaystyle ctgleft( x right)=-sqrt{3})

Снова по определению:

( displaystyle x=arсctgleft( -sqrt{3} right)+pi n,~nin Z)

Без проблем выносим минус из арккотангенса:

Уравнение 11. ( displaystyle ctgleft( x right)=1)

По формуле: ( displaystyle x=arcctg1+pi n,~nin Z).

Котангенс какого угла равен ( displaystyle 1)?

Это угол ( displaystyle frac{pi }{4}).

Ответ: ( displaystyle x=frac{pi }{4}+pi n,~nin Z).

Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки.

Решение 3-х более сложных уравнений

Уравнение 12. Най­ди­те корни урав­не­ния: ( displaystyle cosfrac{8pi x}{6}=frac{sqrt{3}}{2}). В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

( displaystyle cost=frac{sqrt{3}}{2})

То мы бы записали вот такой ответ:

( displaystyle t=pm arccosfrac{sqrt{3}}{2}+2pi n,~nin Z)

Или (так как ( displaystyle arccosfrac{sqrt{3}}{2}=frac{pi }{6}))

( displaystyle t=pm frac{pi }{6}+2pi n,~nin Z)

Но теперь в роли ( displaystyle t) у нас выступаем вот такое выражение: ( displaystyle t=frac{8pi x}{6})

Тогда можно записать:

( displaystyle frac{8pi x}{6}=pm frac{pi }{6}+2pi n)

Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто ( displaystyle x), без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при ( displaystyle x): для этого домножим наше равенство на ( displaystyle 6):

( displaystyle frac{6cdot 8pi x}{6}=6cdot left( pm frac{pi }{6}+2pi n right))

( displaystyle 8pi x=pm frac{6pi }{6}+12pi n)

( displaystyle 8pi x=pm pi +12pi n)

Теперь избавимся от ( displaystyle pi ), разделив на него обе части:

( displaystyle 8x=pm 1+12n)

Теперь избавимся от восьмёрки:

( displaystyle frac{8x}{8}=pm frac{1}{8}+frac{12n}{8})

( displaystyle x=pm frac{1}{8}+frac{3n}{2})

Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)

( displaystyle x=frac{1}{8}+frac{3n}{2})

или

( displaystyle x=-frac{1}{8}+frac{3n}{2})

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать ( displaystyle n).

Рассмотрим вначале первую серию:

Уравнение 13. Найдите корни уравнения: ( displaystyle cosfrac{pi left( {x}-7 right)}{3}=frac{1}{2}). В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

( displaystyle frac{pi left( {x}-7 right)}{3}=pm arccosfrac{1}{2}+2pi n,~nin Z)

( displaystyle frac{pi left( {x}-7 right)}{3}=pm frac{pi }{3}+2pi n,~nin Z)

Теперь снова выражаем ( displaystyle x) слева:

Умножаем обе стороны на ( displaystyle 3)

( displaystyle frac{3pi left( {x}-7 right)}{3}=pm frac{3pi }{3}+2cdot 3pi n,~nin Z)

( displaystyle pi left( {x}-7 right)=pm pi +6pi n,~nin Z)

Делим обе стороны на ( displaystyle pi)

( displaystyle frac{pi left( {x}-7 right)}{pi }=pm frac{pi }{pi }+frac{6pi n}{pi },~nin Z)

( displaystyle ~{x}-7=pm 1+6n,~nin Z)

Всё, что осталось, – это перенести ( displaystyle 7) вправо, изменив её знак с минуса на плюс.

( displaystyle x=7pm 1+6n,~nin Z)

У нас опять получается 2 серии корней, одна с ( displaystyle +1), а другая с ( displaystyle -1).

( displaystyle x=8+6n,~nin Z)

или

( displaystyle x=6+6n,~nin Z)

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:

Уравнение 14. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle tgfrac{pi x}{4}=-1). В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

( displaystyle frac{pi x}{4}=arctgleft( -1 right)+pi n)

( displaystyle frac{pi x}{4}=-arctgleft( 1 right)+pi n)

( displaystyle frac{pi x}{4}=-frac{pi }{4}+pi n)

Как и раньше, выражаем ( displaystyle x) в левой части:

( displaystyle frac{4pi x}{4}=-frac{4pi }{4}+4pi n)

( displaystyle pi x=-pi +4pi n)

( displaystyle frac{pi x}{pi }=-frac{pi }{pi }+frac{4pi n}{pi })

( displaystyle x=-1+4n)

Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить ( displaystyle n=0). И корень этот равен ( displaystyle -1).

Ответ: ( displaystyle -1)

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

Решение 3-х примеров для самостоятельной работы

• Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle sinfrac{pi x}{3}=0,5). В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
• Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle tgfrac{pi left( {x}-6 right)}{6}=frac{1}{sqrt{3}}). В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
• Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle sinfrac{pi left( 2{x}-3 right)}{6}=-0,5). В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения! Сверься с решениями и ответами:

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ СЛОЖНОСТИ

В этой части статьи я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и объясню, как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

• Тригонометрические уравнения для начального уровня (см. выше)
• Формулы тригонометрии

Рекомендую тебе прежде ознакомиться с ними, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтива. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед.

Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

• Решение уравнения
• Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач повышенной сложности показывает, что они как правило делятся на вот такие 4 категории.

Четыре категории задач повышенной сложности

• Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
• Уравнения, сводящиеся к виду ( displaystyle tgx=a).
• Уравнения, решаемые заменой переменной.
• Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов, то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа, то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни.

Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в разделе для продвинутых, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящихся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа, это:

• Формулы приведения
• Синус, косинус двойного угла

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам.

Уравнения, сводящиеся к разложению с помощью синуса двойного угла:

Уравнение 18. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle sin2x=text{sin}left( frac{pi }{2}+x right)). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ -frac{7pi }{2},-frac{5pi }{2} right])

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

( displaystyle sin left( frac{pi }{2}+x right)=cosx)

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

( displaystyle sin2x=cosx)

Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

( displaystyle sin2x=2sinxcosx)

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

( displaystyle 2sinxcosx=cosx)

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на ( displaystyle cosx), получаю простейшее уравнение ( displaystyle 2sinx=1) и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

Запомни!

Никогда нельзя сокращать обе части тригонометрического уравнения на функцию, содержащую неизвестную! Таки образом ты теряешь корни!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

( displaystyle 2sinxcosx-cosx=0)

( displaystyle cosxleft( 2sinx-1 right)=0)

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

( displaystyle cosx=0) или ( displaystyle 2sinx=1)

Первое уравнение имеет корни:

( displaystyle x=frac{pi }{2}+pi n).

А второе:

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{6}+pi n)

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни. 

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения

Уравнение 19. Решите уравнение ( displaystyle 2si{{n}^{2}}x=cos left( frac{3pi }{2}-x right)). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ -frac{5pi }{2},-pi right]).

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

( displaystyle cos left( frac{3pi }{2}-x right)=-sinx)

( displaystyle 2si{{n}^{2}}x=-sinx)

Опять не вздумай сокращать!

( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinx=0)

( displaystyle sinxleft( 2sinx+1 right)=0)

Откуда:

( displaystyle sinx=0) или ( displaystyle 2sinx+1=0,~sinx=-frac{1}{2})

Первое уравнение имеет корни:

( displaystyle x=pi n)

А второе:

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}frac{pi }{6}+pi n)

Теперь снова поиск корней.

Уравнение 20. Решите уравнение ( displaystyle sqrt{2}sin left( frac{3pi }{2}-x right)cdot sinx=cosx)
Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие промежутку ( displaystyle left[ frac{pi }{2},frac{3pi }{2} right]).

И снова формула приведения:

( displaystyle ~sin left( frac{3pi }{2}-x right)=-cosx)

( displaystyle -sqrt{2}cosxsinx=cosx)

( displaystyle -sqrt{2}cosxsinx-cosx=0)

( displaystyle sqrt{2}cosxsinx+cosx=0)

( displaystyle cosxleft( sqrt{2}sinx+1 right)=0)

( displaystyle cosx=0) или ( displaystyle sqrt{2}sinx+1=0)

( displaystyle sinx=-frac{1}{sqrt{2}})

Первая серия корней:

( displaystyle x=frac{pi }{2}+pi n).

Вторая серия корней:

Уравнение 20. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1)
Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ -5pi ,-4pi right])

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

( displaystyle 2cdot 2sinxcosx=4cosx-sinx+1)

( displaystyle 4sinxcosx-4cosx+sinx-1=0)

( displaystyle 4cosxleft( sinx-1 right)+left( sinx-1 right)=0)

( displaystyle left( 4cosx+1 right)left( sinx-1 right)=0)

тогда ( displaystyle 4cosx+1=0) или ( displaystyle left( sinx-1 right)=0)

( displaystyle cosx=-frac{1}{4}) или ( displaystyle sinx=1)

( displaystyle x=pm left( pi -arccosfrac{1}{4} right)+2pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{2}+pi n)

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!

Что я могу сделать?

Я могу прикинуть, что так как ( displaystyle frac{1}{4}<0,5), то ( displaystyle arccosfrac{1}{4}>frac{pi }{3}).

( displaystyle frac{pi }{2}>arccosfrac{1}{4}>frac{pi }{3})

Составим таблицу: промежуток: ( displaystyle left[ -5pi ;~-4pi right])

Уравнение 21. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle sin2x-2sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4sqrt{3}sinx=0). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку ( displaystyle ~left[ -frac{pi }{2},pi right]).

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

( displaystyle 2sinxcosx-2sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4sqrt{3}sinx=0)

Сократим на 2:

( displaystyle sinxcosx-sqrt{3}si{{n}^{2}}x+2cosx-2sqrt{3}sinx=0)

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

( displaystyle sinxleft( cosx-sqrt{3}sinx right)+2left( cosx-sqrt{3}sinx right)=0)

( displaystyle left( sinx+2 right)left( cosx-sqrt{3}sinx right)=0)

( displaystyle sinx+2=0) или ( displaystyle cosx-sqrt{3}sinx=0)

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

( displaystyle cosx-sqrt{3}sinx=0)

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать…

Уравнения, сводящиеся к виду tgx=a

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа.

Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

( displaystyle text{acosx}+text{bsinx}=0text{ }!!~!!text{ }left( text{a},text{b}ne 0 right))

Решается делением обеих частей на косинус:

( displaystyle text{a}frac{text{cosx}}{text{cosx}}+text{b}frac{text{sinx}}{text{cosx}}=0)

( displaystyle text{a}+text{btgx}=0)

( displaystyle text{tgx}=-frac{text{a}}{text{b}})

Таким образом, решить уравнение вида

( displaystyle text{acosx}+text{bsinx}=0 )

все равно, что решить

( displaystyle text{tgx}=-frac{text{a}}{text{b}})

Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры.

Разбор 3-х примеров для закрепления материала

Уравнение 22. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle sinx+si{{n}^{2}}frac{x}{2}=co{{s}^{2}}frac{x}{2}). Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ -2pi ,-frac{pi }{2} right]).

Решение:

Ну совсем простое. Перенесем ( displaystyle si{{n}^{2}}frac{x}{2}) вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

( displaystyle sinx=co{{s}^{2}}frac{x}{2}-si{{n}^{2}}frac{x}{2})

( displaystyle sinx=cosx)

Ага! Уравнение вида:

 ( displaystyle acosx+bsinx=0).

Делю обе части на ( displaystyle cosx)

( displaystyle frac{sinx}{cosx}=frac{cosx}{cosx})

( displaystyle tgx=1)

( displaystyle x=frac{pi }{4}+pi n)

Делаем отсев корней:

Уравнение 23. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle cosx={{left( cosfrac{x}{2}-sinfrac{x}{2} right)}^{2}}-1). Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку ( displaystyle left[ frac{pi }{2},2pi right]).

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

( displaystyle cosx=co{{s}^{2}}frac{x}{2}-2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}+si{{n}^{2}}frac{x}{2}-1)

Основное тригонометрическое тождество:

( displaystyle co{{s}^{2}}frac{x}{2}+si{{n}^{2}}frac{x}{2}=1)

Синус двойного угла:

( displaystyle 2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}=sinx)

Окончательно получим:

Уравнение 24. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle sqrt{3}sin2x+3cos2x=0). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},3pi right]).

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на ( displaystyle cos2x):

( displaystyle sqrt{3}tg2x+3=0)

( displaystyle sqrt{3}tg2x=-3)

( displaystyle tg2x=-frac{3}{sqrt{3}})

( displaystyle 2x=-frac{pi }{3}+pi n)

( displaystyle x=-frac{pi }{6}+frac{pi n}{2})

Отсев корней:

( displaystyle n)	( displaystyle x=-frac{pi }{6}+frac{pi n}{2})
( displaystyle 3)	( displaystyle -frac{pi }{6}+frac{3pi }{2}) — маленький недолет на ( displaystyle frac{pi }{6})
( displaystyle 4)	( displaystyle -frac{pi }{6}+2pi =frac{11pi }{6}) — попал!
( displaystyle 5)	( displaystyle -frac{pi }{6}+frac{5pi }{2}=frac{7pi }{3}) — снова в яблочко!
( displaystyle 6)	( displaystyle -frac{pi }{6}+3pi =frac{17pi }{6}) — и снова удача на нашей стороне!
( displaystyle 7)	( displaystyle -frac{pi }{12}+frac{7pi }{2}) — на сей раз уже перелет!

Ответ: ( displaystyle frac{11pi }{6};frac{14pi }{6};frac{17pi }{6}).

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену!

На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

Уравнение 25. Решить уравнение: ( displaystyle 4co{{s}^{4}}x-4co{{s}^{2}}x+1=0). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ -2pi ,-pi right]).

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

( displaystyle t=co{{s}^{2}}x)

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

Уравнение 26. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle 6si{{n}^{2}}x+sin2x=2). Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},frac{5pi }{2} right]). 

Решение:

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

( displaystyle sin2x=2sinxcosx)

А заодно и

( displaystyle 2=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x)

Тогда мое уравнение примет вид:

( displaystyle 6si{{n}^{2}}x+2sinxcosx=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x)

( displaystyle 4si{{n}^{2}}x+2sinxcosx-2co{{s}^{2}}x=0)

( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinxcosx-co{{s}^{2}}x=0)

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на ( displaystyle co{{s}^{2}}x):

( displaystyle 2frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}+frac{sinxcosx}{co{{s}^{2}}x}-frac{co{{s}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}=0)

( displaystyle 2t{{g}^{2}}x+tgx-1=0)

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно ( displaystyle tgx)!

Сделаем замену ( displaystyle t=tgx), тогда получим:

( displaystyle 2{{t}^{2}}+t-1=0)

Уравнение имеет следующие корни:

( displaystyle {{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=frac{1}{2})

Отсюда:

( displaystyle tgx=-1).

( displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi n)

Или

( displaystyle tgx=frac{1}{2}).

( displaystyle x=arctgfrac{1}{2}+pi n)

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь!

Производим отбор корней на промежутке ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},frac{5pi }{2} right]).

Нам также нужно учитывать, что:

Уравнение 27. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle frac{1}{t{{g}^{2}}x}+frac{3}{sinx}+3=0). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку ( displaystyle left[ 2pi ,frac{7pi }{2} right]).

Решение:

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

( displaystyle t{{g}^{2}}x=frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x})

( displaystyle frac{co{{s}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+frac{3}{sinx}+3=0)

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

( displaystyle frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+frac{3}{sinx}+3=0)

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

( displaystyle frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+frac{3sinx}{si{{n}^{2}}x}+frac{3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0)

( displaystyle frac{1-si{{n}^{2}}x+3sinx+3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0)

( displaystyle frac{2si{{n}^{2}}x+3sinx+1}{si{{n}^{2}}x}=0)

Теперь я могу перейти к уравнению:

( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+3sinx+1=0)

Но при ( displaystyle si{{n}^{2}}xne 0) (то есть при ( displaystyle xne pi n)).

Теперь все готово для замены: ( displaystyle t=sin x)

Уравнение 28. Решите уравнение ( displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8sin left( frac{3pi }{2}+x right)+1=0)
Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ -3pi ,-frac{3pi }{2} right]).

Работаем по формулам приведения:

( displaystyle sin left( frac{3pi }{2}+x right)=-cosx)

Подставляем в уравнение:

( displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8left( -cosx right)+1=0)

Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:

( displaystyle 4left( 1-co{{s}^{2}}x right)-8cosx+1=0)

( displaystyle -4co{{s}^{2}}x-8cosx+5=0)

( displaystyle 4co{{s}^{2}}x+8cosx-5=0)

Теперь легко сделать замену:

( displaystyle t=cosx)

( displaystyle 4{{t}^{2}}+8t-5=0)

( displaystyle {{t}_{1}}=-frac{5}{2},{{t}_{2}}=frac{1}{2})

Ясно, что ( displaystyle {{t}_{1}}=-frac{5}{2}) — посторонний корень, так как уравнение ( displaystyle cosx=-frac{5}{2}) решений не имеет.

Уравнение 30. Ре­ши­те урав­не­ние ( displaystyle t{{g}^{2}}x+left( 1+sqrt{3} right)tgx+sqrt{3}=0)
Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку ( displaystyle left[ frac{5pi }{2},4pi right]).

Здесь замена видна сразу: ( displaystyle t=tgx)

( displaystyle {{t}^{2}}+left( 1+sqrt{3} right)t+sqrt{3}=0)

( displaystyle {{t}_{1}}=-1,~{{t}_{2}}=-sqrt{3})

Тогда ( displaystyle tgx=-1) или ( displaystyle tgx=-sqrt{3})

( displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi n)

или

( displaystyle x=-frac{pi }{3}+pi n)

Отбор корней на промежутке ( displaystyle left[ frac{5pi }{2},4pi right]):

( displaystyle n)

( displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi n)

( displaystyle x=-frac{pi }{3}+pi n)

( displaystyle 3)

( displaystyle x=frac{11pi }{4}) — подходит!

( displaystyle x=frac{8pi }{3}) — подходит!

( displaystyle 4)

( displaystyle x=frac{15pi }{4}) — подходит!

( displaystyle x=frac{11pi }{3}) — подходит!

( displaystyle 5)

( displaystyle x=frac{19pi }{4}) — много!

( displaystyle x=frac{14pi }{3}) — тоже много!

Ответ: ( displaystyle frac{11pi }{4}; frac{8pi }{3}; frac{15pi }{4}; frac{11pi }{3})

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели».

Как решать подобные задания мы рассмотрим далее в разделе для продвинутого уровня.

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ СЛОЖНОСТИ

Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности и знаменателя

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа.

Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным. 

Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями на ЕГЭ (и получить за них максимальное количество баллов!).

Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку.

Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Уравниние 31. Решить уравнение ( displaystyle frac{2si{{n}^{2}}x+sinx}{2cosx-sqrt{3}}=0~) и найти те корни, которые принадлежат отрезку ( displaystyle left[ -frac{3pi }{2},0 right]).

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему

( displaystyle left{ begin{array}{l}2si{{n}^{2}}x+sinx=0\2cosx-sqrt{3}ne 0end{array} right.)

Решим каждое из уравнений:

( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinx=0)

( displaystyle sinxleft( 2sinx+1 right)=0)

( displaystyle sinx=0) или ( displaystyle sinx=-frac{1}{2})

( displaystyle x=pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}frac{pi }{6}+pi n)

А теперь второе:

( displaystyle 2cosx-sqrt{3}ne 0)

( displaystyle xne pm frac{pi }{6}+2pi n)

или ( displaystyle xne frac{pi }{6}+2pi n), ( displaystyle xne -frac{pi }{6}+2pi n)

Теперь давай посмотрим на серию:

Уравнение 32. Решите уравнение: ( displaystyle left( sinx-frac{sqrt{3}}{2} right)sqrt{3{{x}^{2}}-7x+4}=0)

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

( displaystyle sinx=frac{sqrt{3}}{2})

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{3}+pi n)

( displaystyle 3{{x}^{2}}-7x+4=0)

( displaystyle {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=frac{4}{3})

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

( displaystyle 3{{x}^{2}}-7x+4ge 0)

Решение этого неравенства:

Уравнение 33. ( displaystyle left( 2{{x}^{2}}-5x+2 right)sqrt{cosx-sqrt{3}sinx}=0)

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

( displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+2=0)

( displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=0,5)

Теперь второе уравнение:

( displaystyle cosx-sqrt{3}sinx=0)

( displaystyle tgx=frac{1}{sqrt{3}})

( displaystyle x=frac{pi }{6}+pi n)

Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

( displaystyle cos2-sqrt{3}sin2)

Число ( displaystyle 2) надо понимать как ( displaystyle 2) радианы.

Так как ( displaystyle 1) радиана – это примерно ( displaystyle 57) градусов, то ( displaystyle 2) радианы – порядка ( displaystyle 114) градусов. Это угол второй четверти.

Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение

( displaystyle cos2-sqrt{3}sin2)?

Оно меньше нуля!

( displaystyle cos2-sqrt{3}sin2<0)

А значит ( displaystyle 2) – не является корнем уравнения.

Теперь черед ( displaystyle frac{1}{2}).

( displaystyle cosfrac{1}{2}-sqrt{3}sinfrac{1}{2})

Сравним это число с нулем.

Уравнение 34. ( displaystyle left( 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3 right)sqrt{-6sinx}=0)

Решение:

( displaystyle 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3=0)

( displaystyle t=cosx)

( displaystyle 4{{t}^{2}}-4t-3=0)

( displaystyle {{t}_{1}}=-0,5;{{t}_{2}}=1,5) – корень ( displaystyle {{t}_{2}}) не годится, ввиду ограниченности косинуса

( displaystyle cosx=-0,5)

( displaystyle x=pm frac{2pi }{3}+2pi n)

Теперь второе:

Уравнение 35. ( displaystyle frac{cos2x+sinx}{sqrt{text{sin}left( x-frac{pi }{4} right)}}=0)

Ну, ничего не поделаешь – поступаем так, как и раньше.

( displaystyle cos2x+sinx=0)

( displaystyle 1-2si{{n}^{2}}x+sinx=0)

( displaystyle 2si{{n}^{2}}x-sinx-1=0)

( displaystyle t=sinx)

( displaystyle 2{{t}^{2}}-t-1=0)

( displaystyle {{t}_{1}}=-0,5,{{t}_{2}}=1)

( displaystyle sinx=-0,5) или ( displaystyle sinx=1)

( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}frac{pi }{6}+pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{2}+pi n)

Теперь работаем со знаменателем:

( displaystyle text{sin}left( x-frac{pi }{4} right)ge 0)

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

Уравнение 36. ( displaystyle sqrt{9-{{x}^{2}}}cosx=0)

Первое уравнение: ( displaystyle 9-{{x}^{2}}=0)

( displaystyle x=3) или ( displaystyle x=-3)

ОДЗ корня:

( displaystyle 9-{{x}^{2}}ge 0)

( displaystyle xin left[ -3;3 right])

Второе уравнение:

Уравнение 37. ( displaystyle frac{2si{{n}^{2}}x-sinx}{2cosx-sqrt{3}}=0)

( displaystyle 2si{{n}^{2}}x-sinx=0)

( displaystyle sinxleft( 2sinx-1 right)=0)

( displaystyle sinx=0) или ( displaystyle sinx=0,5)

( displaystyle x=pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{6}+pi n)

Но ( displaystyle 2cosx-sqrt{3}ne 0)

( displaystyle cosxne frac{sqrt{3}}{2})

( displaystyle xne pm frac{pi }{6}+2pi n)

Рассмотрим ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{6}+pi n). 

Если ( displaystyle n) – четное, то

( displaystyle x=frac{pi }{6}+2pi k) – не подходит!

Если ( displaystyle n) – нечетное, ( displaystyle n=2k+1): 

( displaystyle x=-frac{pi }{6}+2pi k+pi =frac{5pi }{6}+2pi k) – подходит!

Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:

( displaystyle x=pi n) или ( displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n)

Отбор корней на промежутке ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},3pi right]):

( displaystyle n)	( displaystyle 1)	( displaystyle 2)	( displaystyle 3)
( displaystyle x=pi n)	( displaystyle pi )— не подходит	( displaystyle 2pi ) – подходит	( displaystyle 3pi ) – подходит
( displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n)	( displaystyle frac{5pi }{6}+2pi =frac{17pi }{6}) – подходит	( displaystyle frac{5pi }{6}+4pi ) – много	много

Ответ: ( displaystyle 3pi ), ( displaystyle 2pi ), ( displaystyle frac{17pi }{6}).

Уравнение 38. ( displaystyle left( 2co{{s}^{2}}x-cosx right)sqrt{-11tgx}=0)

( displaystyle 2co{{s}^{2}}x-cosx=0)

( displaystyle cosxleft( 2cosx-1 right)=0)

( displaystyle cosx=0~)или ( displaystyle 2cosx-1=0)

Так как ( displaystyle tgx=frac{sinx}{cosx}), то при ( displaystyle cosx=0~) тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!

( displaystyle 2cosx-1=0)

( displaystyle cosx=0,5)

( displaystyle x=pm frac{pi }{3}+2pi n)

Вторая часть:

( displaystyle -11tgx=0)

( displaystyle x=pi n)

В то же время по ОДЗ требуется, чтобы

( displaystyle tgxle 0)

Проверяем найденные в первом уравнении корни:

( displaystyle tgleft( pm frac{pi }{3}+2pi n right)le 0)

Если знак ( displaystyle +):

( displaystyle tgleft( frac{pi }{3}+2pi n right)le 0)

( displaystyle frac{pi }{3}+2pi n) – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!

Если знак ( displaystyle —):

( displaystyle tgleft( -frac{pi }{3}+2pi n right)le 0)

( displaystyle -frac{pi }{3}+2pi n) – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ: ( displaystyle x=pi n), ( displaystyle x=-frac{pi }{3}+2pi n).

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

Подготовка к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Введите целое значение угла

Идет расчет …

Как найти наименьший положительный (отрицательный) угол

Для преобразования угла большего или меньшего 360° градусов, необходимо значение данного угла разделить на 360 с остатком.

В результате деления с остатком – неполное частное будет соответствовать числу полных оборотов, а остаток от деления значению угла.

---

Приведем примеры:

Пример 1. Найдем наименьший положительный угол для угла 1267° градусов.
Разделим 1267 на 360 с остатком:

Следовательно, наименьший положительный угол равен 187° градусов.

Пример 2. Найдем наименьший отрицательный угол для угла -745° градусов.
Разделим 745 на 360 с остатком:

Следовательно, наименьший отрицательный угол равен -25° градусов.