Как найти наибольшую кинетическую энергию электронов

2018-07-08   

Воспользовавшись формулой $dn = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} h^{3} } sqrt{E}dE$, найти при $T = 0$:

а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна $n$;

б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия $T_{max}$.

Решение:

(a) Из формулы

$dn = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} hbar^{3} } sqrt{E} dE$

максимальное значение $E_{max}$ из $E$ определяется в терминах $n$ на

$n = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} hbar^{3} } int_{0}^{E_{max}} sqrt{E} dE = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} hbar^{3} } frac{2}{3}E_{max}^{3/2}$

или $E_{max}^{3/2} = left ( frac{ hbar^{2} }{ 2m} right )^{3/2} (3 pi^{2} n )$

$E_{max} = frac{ hbar^{2} }{2m} (3 pi^{2} n )^{2/3}$

(б) Среднее значение кинетической энергии $langle E rangle$ является

$langle E rangle = frac{ int_{0}^{E_{max} } Edn}{ int_{0}^{E_{max} } dn } = frac{ int_{0}^{E_{max} } E^{3/2} dE}{ int_{0}^{E_{max} } sqrt{E} dE } = frac{ frac{2}{5} E_{max}^{5/2} }{ frac{2}{3} E_{max}^{3/2} } = frac{3}{5} E_{max}$

Условие задачи:

Определить максимальную кинетическую энергию электронов, вылетающих из калия при его освещении лучами с длиной волны 345 нм.

Задача №11.2.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(lambda = 345) нм, (E_к-?)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного кванта (hnu) идет на совершение работы выхода (A_{вых}) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону (E_к). Поэтому:

[hnu = {A_{вых}} + {E_к};;;;(1)]

Работа выхода электрона (A_{вых}) из калия – это табличная величина, равная 2,26 эВ.

В этой формуле (h) – это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Частоту колебаний (nu) можно выразить через скорость света (c), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны (lambda) по следующей формуле:

[nu = frac{c}{lambda};;;;(2)]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

[frac{{hc}}{lambda } = {A_{вых}} + {E_к}]

Откуда искомая максимальная кинетическая энергия электронов (E_к) равна (приведем под общий знаменатель):

[{E_к} = frac{{hc}}{lambda } – {A_{вых}}]

[{E_к} = frac{{hc – {A_{вых}}lambda }}{lambda }]

Посчитаем численный ответ (напоминаем, что 1 эВ = 1,6·10^-19 Дж):

[{E_к} = frac{{6,62 cdot {{10}^{ – 34}} cdot 3 cdot {{10}^8} – 2,26 cdot 1,6 cdot {{10}^{ – 19}} cdot 345 cdot {{10}^{ – 9}}}}{{345 cdot {{10}^{ – 9}}}} = 2,14 cdot {10^{ – 19}};Дж = 1,34;эВ]

Ответ: 1,34 эВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.2.11 Для некоторого металла фотоэффект имеет место, в частности, при длине волны 300 нм
11.2.13 Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, вырываемых с поверхности
11.2.14 Максимальная кинетическая энергия электронов, вырываемых с поверхности цезия