Как найти наименьшее общее делимое дроби

Как находить наименьший общий делитель

Сложение и вычитание натуральных дробей возможно только в том случае, когда они имеют одинаковый знаменатель. Чтобы не усложнять расчеты при приведении их единому знаменателю, найдите наименьший общий делитель знаменателей и производите расчет.

Вам понадобится

• – умение раскладывать число на простые множители;
• – умение производить действия с дробями.

Инструкция

Запишите математическое действие по сложению дробей. Затем, найдите их наименьшее общее кратное. Для этого произведите следующую последовательность действий: 1. Представьте каждый из знаменателей в виде произведения простых чисел (простое число, это такое число, которое без остатка делится только на 1 и само себя, например 2, 3, 5, 7 и т.д.).2. Сгруппируйте все простые делители, которые выписаны, указав их степени. 3. Выберите наибольшие степени каждого из этих простых множителей, которые встречаются в этих числах. 4. Перемножьте выписанные степени.

Например, общим знаменателем для дробей со знаменателями 15, 24 и 36 будет число, которое рассчитайте таким образом: 15=3•5; 24=2^3•3;36=2^3•3^2.Впишите наибольшие степени всех простых делителей этих чисел: 2^3•3^2•5=360.

Поделите общий знаменатель на каждый и знаменателей складываемых дробей. На получившееся число умножьте их числители. Под общей чертой дроби напишите наименьше общее делимое, которое является одновременно наименьшим общим знаменателем. В числителе сложите числа, которые получились в результате умножения каждого числителя на частное наименьшего общего делимого на знаменатель дроби. Сумма всех числителей и поделенная на наименьший общий знаменатель и будет искомым числом.

Например, чтобы сложить дроби 4/15, 7/24 и 11/36 поступите так. Найдите наименьший общий знаменатель, который равен 360. Затем поделите 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Число 4, которое является числителем первой дроби, умножьте на 24 (4•24=96), число 7 на 15 (7•15=105), число 11 на 10 (11•10=110). Затем сложите эти числа (96+105+110=301). Получим результат 4/15+7/24+11/36=301/360.

Источники:

• как найти наименьшее число

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Обыкновенные дроби состоят из числителя – верхней части, и знаменателя – нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 1114, 1714, 914 имеют одинаковый знаменатель 14. Другими словами, они приведены к общему знаменателю.

Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.

Очевидно, что дроби 45 и 34 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 45 на 4, а числитель и знаменатель дроби 34  умножим на 5. Вместо дробей 45 и 34 получим соответственно 1620 и 1520.

Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель дробей – это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.

Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 16 и 35. Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5. Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.

Рассмотрим пример.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.

Приведем еще один пример.

Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю (пример)

Чтобы привести несколько дробей к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Пример: приведем к наименьшему общему знаменателю дроби 3/4 и 5/6.

1) Находим наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6. Это 12. То есть 12 – минимальное число, на которое делятся без остатка и 4, и 6.

2) Делим 12 на знаменатель каждой из двух дробей, чтобы найти их дополнительные множители:

12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2.

Таким образом, дополнительным множителем дроби 3/4 является 3, дроби 5/6 – 2.

3) Чтобы в знаменателе обеих дробей было число 12, надо умножить их числители и знаменатели на их дополнительные множители.

Нашли общий знаменатель двух дробей – число 12.

В дроби 3/4 делим 12 на знаменатель 4 и полученный результат умножаем на числитель 3:

Мы получили числитель. Итак, в числителе у нас 9, в знаменателе 12:

В дроби 5/6 делим 12 на 6 и полученный результат умножаем на 5:

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей. (см. тему «Нахождение наименьшего общего кратного»: 5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел ).

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20:5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20:4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20).

Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8:4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8).

Данные дроби не являются несократимыми.

Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 ·5=16·5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80:16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80:20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80).

Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30:5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30:6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30:15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Дроби могут иметь множество общих знаменателей.

Могут иметь общие знаменатели: 4, 8, 12, 16 и т.д.:

В множестве чисел, являющихся общим знаменателем данных дробей существует наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем.

Таким образом, из всех общих знаменателей 4, 8, 12, 16 дробей:

наименьшим общим знаменателем будет знаменатель 4, так как число 4 – наименьшее натуральное число из чисел 4, 8, 12, 16.

Определение наименьшего общего знаменателя

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число из всех общих знаменателей данных дробей.

Наименьший общий знаменатель будет равен 36.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) этих знаменателей.

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Шаг 1

Найти наименьший общий знаменатель.

Шаг 2

Найти дополнительный множитель.

Шаг 3

Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Шаг 4

Записать полученные дроби с новым знаменателем.

Пример 1

Привести дроби к общему знаменателю и наименьшему общему знаменателю::

Действие 1

Найдем общий знаменатель для рассматриваемых дробей.

Чтобы найти общий знаменатель, перемножим знаменатели:

Дополнительный множитель к первой дроби:

Дробь примет вид:

Дополнительный множитель ко второй дроби:

Дробь примет вид:

Дополнительный множитель к третьей дроби:

Дробь примет вид:

Итак, были дроби:

Запишем полученные дроби с общим знаменателем:

Действие 2

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:

1. Найти наименьший общий знаменатель. Чтобы найти наименьший общий знаменатель, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) этих дробей. Оно и будет наименьшим общим знаменателем.
2. Найти дополнительный множитель. Для этого наименьший общий знаменатель разделим на знаменатели данных дробей.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Записать полученные дроби с новым знаменателем.

Шаг 1

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нужно знаменатели дробей разложить на множители.

Разложим их знаменатели на множители:

Запишем знаменатели как произведение множителей:

Из одинаковых простых множителей выберем тот множитель, который стоит в наибольшей степени, т. е.:

Наименьший общий знаменатель у этих дробей: 36.

Шаг 2

Находим дополнительные множители для этих дробей. Для этого 36 делим на 12, 3, 18 (знаменатели этих дробей):

Шаг 3

Умножим числители и знаменатели этих дробей на дополнительные множители:

Таким образом эти дроби привели к наименьшему общему знаменателю.

Ответ

приведенные к общему знаменателю:

приведенные к наименьшему общему знаменателю:

Пример 2

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби:

Решение

Шаг 1

Найдем наименьший общий знаменатель. Для этого определим НОК. Чтобы найти НОК, разложим знаменатели на простые множители.

Представим знаменатели в виде произведения множителей:

Из одинаковых простых множителей выберем тот множитель, который стоит в наибольшей степени, т. е.:

Наименьший общий знаменатель 90.

Шаг 2

Найдем дополнительные множители для этих дробей. Для этого 90 делим на 18, 45 (знаменатели этих дробей):

Шаг 3

Умножим числители и знаменатели этих дробей на дополнительные множители:

Таким образом эти дроби привели к наименьшему общему знаменателю.

Ответ

приведенные к наименьшему общему знаменателю имеют вид:

Как привести дробь к НОЗ

Чтобы можно было выполнять операции сложения, вычитания и сравнения между простыми дробями, у них должны быть одинаковые знаменатели.

Если знаменатели дробей различны (именно так чаще и бывает), дроби следует привести к общему знаменателю.

Общим знаменателем называют число, кратное каждому из первоначальных знаменателей исходных дробей.

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) называют наименьший из всех возможных знаменателей или наименьшее общее кратное знаменателей исходных дробей.

Правило приведения двух дробей к НОЗ:

• находим наименьшее общее кратное(НОК) знаменателей;
• для каждой дроби назодим дополнительный множитель — число, на которое следует умножить знаменатель дроби, чтобы получить НОК знаменателей (для этого следует разделить НОК на знаменатель каждой из дробей);
• умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный делитель.

ПРИМЕР: Найти НОЗ дробей 18/81 и 13/45.

Дополнительный множитель для дроби 18/81 будет равен 5; для дроби 13/45 равен 9.

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 5, а второй — на 9, после чего получаем две дроби с одинаковыми знаменателями: 90/405 и 117/405.

Задача 1: Что больше 14/19 или 27/33.

• НОК(19;33) = 627
• 627/19 = 33
• 627/33 = 19
• 14 · 33 = 462
• 27 · 19 = 513
• 14/19 = 462/627
• 27/33 = 513/627
• 462 Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:

»

Дата публикации: 29.05.2019

Для того, чтобы находить общий знаменатель
при
сложении
и
вычитании дробей с разными
знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу «a» — это число, которое
само делится на число «a» без остатка.

Числа кратные 8
(то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка):
это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей
этого же числа. Делителей —
конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое
   для обоих чисел.
2. Кратное числа «a»
   обозначаем большой буквой «К».

   К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

К (8) = {8, 16, 24, 32, …}

НОК (6, 8) = 24

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

1. Разложить данные числа на простые множители.
   Подробнее правила разложения на
   простые множители вы можете прочитать в теме
   как найти наибольший общий делитель (НОД).
   
2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение
   самого большого из чисел, а под ним —
   разложение остальных чисел.

   Запомните!
   

   Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

   60 = 2 · 2 · 3 · 5

   24 = 2 · 2 · 2 · 3

3. Подчеркнуть в разложении
   меньшего числа (меньших чисел) множители,
   которые не вошли в разложение бóльшего числа
   (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
   
   НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
4. Полученное произведение записать в ответ.
   
   Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в
разложение 24
(самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из
разложения числа 16.

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

   Например, НОК (60, 15) = 60

2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее
   кратное равно произведению этих чисел.

   Пример.

   НОК (8, 9) = 72

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Нахождение наименьшего общего знаменателя бывает нужно для сложения, вычитания и сравнения дробей.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, которое нацело делится и на первый, и на второй знаменатель двух дробей.

Правило нахождения наименьшего знаменателя следующее:

Наименьший знаменатель

Для того, чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей, нужно найти методом подбора наименьшее общее число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель. После этого нужно умножить каждую дробь на такое число, чтобы в знаменателе этих дробей получилось найденное нами наименьшее общее число.

Пример 1

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 56frac{5}{6} и 34frac{3}{4}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 6, и на 4. Это число 12. Далее умножаем каждую дробь на такие числа, чтобы в знаменателе получилось 12. Первую дробь умножаем на 2, а вторую на 3:

56=5⋅26⋅2=1012frac{5}{6}=frac{5cdot2}{6cdot2}=frac{10}{12}

34=3⋅34⋅3=912frac{3}{4}=frac{3cdot3}{4cdot3}=frac{9}{12}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 12.

Ответ

12

Пример 2

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 521frac{5}{21} и 27frac{2}{7}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 21, и на 7. В этом случае это – один из знаменателей, число 21. Далее нужно умножить вторую дробь на такое число, чтобы в знаменателе получилось 21. Умножаем вторую дробь на 3:

27=2⋅37⋅3=621frac{2}{7}=frac{2cdot3}{7cdot3}=frac{6}{21}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 21.

Ответ

21

Решение задач по алгебре онлайн от экспертов Студворк!

Тест по теме “Наименьший общий знаменатель”