На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно осуществить поиск и определить оптимальное значение какого-либо параметра или количество. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Обычно нами строится выражение этих значений в рамках некоторого интервала x, который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [a; b], так и открытый интервал (a; b), (a; b], [a; b), бесконечный интервал (a; b), (a; b], [a; b) либо бесконечный промежуток -∞; a, (-∞; a], [a; +∞), (-∞; +∞).
В этом материале мы расскажем, как найти наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x)y=f(x), чтобы вам не нужно было искать это самостоятельно онлайн.
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений: какое значение называют максимальным и минимальным?.
Наибольшее значение функции y=f(x) на некотором промежутке x – это значение max y=f(x0)x∈X, которое при любом значении xx∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).
Минимальное значение функции y=f(x) на некотором промежутке x– это значение minx∈Xy=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(Xf(x)≥f(x0).
Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее наибольшее число, которое она может принимать на известном интервале при абсциссе x0, а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x0.
Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0.
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или то, что больше всего, значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы можем определить наибольшее или найти наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с интервалом, не имеющим конца. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения (мало и много). В этих случаях определить или найти наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (max y и min y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [-6;6].
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [1;6] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [-3;2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале
Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает max y (наибольшее значение) и min y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (-6;6).
Если мы возьмем интервал [1;6), то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x, равном 6, если бы x=6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5.
На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (-3;2], а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.
Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности
На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь max y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1. Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y=3.
Если мы возьмем интервал x∈2; +∞, то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2, то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x=2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y=3. Именно этот случай изображен на рисунке 8.
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить, чтобы найти наибольшее значение функции на некотором отрезке или как найти наименьшее значение функции.
- Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
- Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
- Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
- Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x=a и x=b.
- У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Условие: задана функция y=x3+4×2. Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [1;4] и [-4;-1].
Решение:
Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0. Иными словами, D(y): x∈(-∞; 0)∪0; +∞. оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y’=x3+4×2’=x3+4’·x2-x3+4·x2’x4==3×2·x2-(x3-4)·2xx4=x3-8×3
Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].
Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x3-8×3=0. У него есть только один действительный корень, равный 2. Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [1;4].
Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x=1, x=2 и x=4:
y(1)=13+412=5y(2)=23+422=3y(4)=43+442=414
Мы получили, что наибольшее значение функции max yx∈[1; 4]=y(2)=3 будет достигнуто при x=1, а наименьшее min yx∈[1; 4]=y(2)=3 – при x=2.
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
y(-1)=(-1)3+4(-1)2=3
Значит, max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.
Ответ: Для отрезка [1;4] – max yx∈[1; 4]=y(2)=3, min yx∈[1; 4]=y(2)=3, для отрезка [-4;-1] – max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.
См. на рисунке:
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнавать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
- Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
- Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
- Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0, решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
- Если интервал имеет вид [a;b), то нам надо вычислить значение функции в точке x=a и односторонний предел limx→b-0f(x).
- Если интервал имеет вид (a;b], то нам надо вычислить значение функции в точке x=b и односторонний предел limx→a+0f(x).
- Если интервал имеет вид (a;b), то нам надо вычислить односторонние пределы limx→b-0f(x),limx→a+0f(x).
- Если интервал имеет вид [a; +∞), то надо вычислить значение в точке x=a и предел на плюс бесконечности limx→+∞f(x).
- Если интервал выглядит как (-∞; b], вычисляем значение в точке x=b и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x).
- Если -∞; b, то считаем односторонний предел limx→b-0f(x) и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x)
- Если же -∞; +∞, то считаем пределы на минус и плюс бесконечности limx→+∞f(x), limx→-∞f(x).
- В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4-8 в первой части материала.
Условие: дана функция y=3e1x2+x-6-4. Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах -∞; -4, -∞; -3, (-3;1], (-3;2), [1;2), 2; +∞, [4; +∞).
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный (квадратичный) трехчлен, который не должен обращаться в 0:
x2+x-6=0D=12-4·1·(-6)=25×1=-1-52=-3×2=-1+52=2⇒D(y): x∈(-∞; -3)∪(-3; 2)∪(2; +∞)
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
y’=3e1x2+x-6-4’=3·e1x2+x-6’=3·e1x2+x-6·1×2+x-6’==3·e1x2+x-6·1’·x2+x-6-1·x2+x-6′(x2+x-6)2=-3·(2x+1)·e1x2+x-6×2+x-62
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x=-12. Это стационарная точка, которая находится в интервалах (-3;1] и (-3;2).
Вычислим значение функции при x=-4 для промежутка (-∞; -4], а также предел на минус бесконечности:
y(-4)=3e1(-4)2+(-4)-6-4=3e16-4≈-0.456limx→-∞3e1x2+x-6=3e0-4=-1
Поскольку 3e16-4>-1, значит, max yx∈(-∞; -4]=y(-4)=3e16-4. Это не дает нам возможности однозначно определяться с наименьшим значением функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение -1, поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.
Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к -3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:
limx→-3-03e1x2+x-6-4=limx→-3-03e1(x+3)(x-3)-4=3e1(-3-0+3)(-3-0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→-∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1
Значит, значения функции будут расположены в интервале -1; +∞
Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x=-12, если x=1. Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к -3 с правой стороны:
y-12=3e1-122+-12-6-4=3e425-4≈-1.444y(1)=3e112+1-6-4≈-1.644limx→-3+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1-3+0+3(-3+0-2)-4==3e1(-0)-4=3e-∞-4=3·0-4=-4
У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке max yx∈(3; 1]=y-12=3e-425-4. Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до -4.
Для интервала (-3;2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:
y-12=3e1-122+-12-6-4=3e-425-4≈-1.444limx→-3+03e1x2+x-6-4=-4limx→2-03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2-0+3)(2-0-2)-4==3e1-0-4=3e-∞-4=3·0-4=-4
Значит, max yx∈(-3; 2)=y-12=3e-425-4, а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом -4.
Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение функция примет при x=1, а найти наименьшее невозможно.
На промежутке (2; +∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка -1; +∞.
limx→2+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2+0+3)(2+0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→+∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1
Вычислив, чему будет равно значение функции при x=4, выясним, что max yx∈[4; +∞)=y(4)=3e114-4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y=-1.
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.
Наибольшее и наименьшее значение функции
Как найти?
Постановка задачи
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $
План решения
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $
- Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
- Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
- Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
- Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
- Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 – 3x^2 – 4 $ на отрезке $ [0;2] $ |
| Решение |
|
Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 – 3x^2 – 4)’ = 6x^2 – 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 – 6x = 0 $$ $$ 6x(x – 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 – 3 cdot 0^2 – 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 – 3 cdot 1^2 – 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 – 3 cdot 2^2 – 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M = 0, m = -5 $$ |
| Пример 2 |
| Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $ |
| Решение |
|
Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $. |
| Ответ |
| $$ m = 0, M = 1 $$ |
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задание 12.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму:
1. Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 
, то функция 
возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции 
, то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции.
В точке максимума функции производная меняет знак с “+” на “-“.
В точке минимума функции производная меняет знак с “-” на “+”.
6. Находим значение функции в концах отрезка,
- затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
- или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию 
. График этой функции выглядит так:
В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.
1. Рассмотрим функцию на отрезке ![{x}{in}delim{[}{-1;0}{]}](https://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_991.5_8d4ac2719ab1423f162f9779293da981.png "{x}{in}delim{[}{-1;0}{]}")
Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: 
, а наименьшее – в левом: 
.
2. Рассмотрим функцию на отрезке ![{x}{in}delim{[}{-1;1}{]}](https://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_991.5_fbae2bb0d6eaada0859d11280c8d6a23.png "{x}{in}delim{[}{-1;1}{]}")
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее – в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и 
и выбрать из них наименьшее.
3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке ![{x}{in}delim{[}{-1;2}{]}](https://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_991.5_3bae536560f42bd0f0875793dd5a92e2.png "{x}{in}delim{[}{-1;2}{]}")
, то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть и 
.
Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть 
и .
Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:
1. ОДЗ функции – множество действительных чисел.
2. 
3. 
, если 
или 
Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание – убывание, можно схематично изобразить ее график:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике
1. Задание B15 (№ 26695)
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке ![[-{pi}/2;0]](https://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980.5_9a7375f1961203c68e53ad122ab84a77.png "[-{pi}/2;0]")
.
1. Функция определена при всех действительных значениях х
2. 
3. 
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
y(0)=5
Ответ: 5.
2. Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [
].
1. ОДЗ функции 
2. 
Производная равна нулю при 
, однако, в этих точках она не меняет знак:
, следовательно, 
, значит, 
, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при 
.
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
у(0)=5
Ответ: 5.
3. Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [
].
1. ОДЗ функции :
2. 
3. 
, 
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку ![delim{[}{-{pi}/3;{pi}/3}{]}](https://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_982_e5f186d35c95dd888150972e98bd371a.png "delim{[}{-{pi}/3;{pi}/3}{]}")
принадлежат два числа: 
и 
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: 
. При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка 
является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с “-” на “+”), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, 
.
Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а 
таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции
Ответ: -1
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Образовательные задачи урока.
- повторить необходимые и достаточные условия
существования точек экстремума, понятия:
стационарные и критические точки; - ввести алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке - сформировать умение решать задачи на
нахождение наибольшего и наименьшего значения
степенной функции на отрезке с помощью
производной. - разобрать прототипы задач № 1 В14
экзаменационной работы в формате ЕГЭ. - Продолжить формирование общеучебных умений и
навыков: навыков самоконтроля, умения писать
необходимом темпе.
Воспитательные задачи:
- cодействовать в ходе урока формированию
основных мировоззренческих идей (материальность
мира, познаваемость мира и его закономерностей,
обусловленность развития науки потребностям
производства); - cодействовать воспитанию у учащихся таких
нравственных качеств, как коллективизм; - cодействовать профилактике утомляемости
школьников, используя разнообразные виды работы
на уроке.
I. Организационный момент. Приветствие.
Проверка готовности класса к уроку. Выявление
отсутствующих.
II. Актуализация знаний учащихся.
Повторить с учащимися основные понятия прошлых
уроков: точки экстремума, каково достаточное
условие точек экстремума, стационарные точки и
критические точки (учащихся отвечают с места)
Повторить таблицу производных основных
функций и основные правила нахождения
III. Изучение нового материала.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке
(учащиеся записывают себе в тетрадь).
Пусть функция 
непрерывна и дифференцируема на
отрезке 
, то
для нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке нужно:
- найти производную функции, найти стационарные
точки (решаем уравнение, приравнивая производную
к нулю) - среди полученных стационарных точек выбрать те,
которые принадлежат отрезку
- найти значение в стационарных точках и в концах
отрезка, то есть
и 
. - среди полученных значений выбрать наибольшее
или наименьшее.
и 
.Записать схему нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке в
тетради (учитель оформляет схему на доске):
Пусть
непрерывна на 
и дифференцируема. Тогда, для нахождения 
или 
:
- Находим
находим 
- Проверяем принадлежность отрезку
- Находим
, , . - Среди полученных значений выбираем
или . - Записываем ответ (Акцентировать внимание, что в
ответе должно быть записано либо целое число,
либо конечная десятичная дробь).
находим 
отрезку 
, 
, 
.Пример № 1. Найти наименьшее значение функции
на отрезке 
. (Учитель
совместно с учащимися записывает решение на
доске последовательно проговаривая каждый пункт
алгоритма).
Решение:
Ответ: 
Пример № 2. Найти наибольшее значение
функции 
на
отрезке 
Решение:
Ответ: 23
Пример № 3. Найдите наименьшее значение
функции 
на
отрезке 
.
Решение:
Ответ: -3
Пример № 4. Найдите наибольшее
значение функции 
на отрезке 
.
Решение:
Упростим функцию 
Ответ: 1
IV. Закрепление материала.
- Найдите наименьшее значение функции
на отрезке 
- Найдите наименьшее значение функции
на отрезке - Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
на отрезке 
на отрезке 
на отрезке 
V. Итоги урока.
- Повторить алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке. - Выставить отметки за урок.
VI. Домашнее задание:
- Найдите наименьшее значение функции
на отрезке 
- Найдите наибольшее значение функции
на отрезке - Найдите наибольшее значение функции
на отрезке - Найдите наименьшее значение функции
на отрезке - Найти наибольшее значение функции
на отрезке 
на отрезке 
на отрезке 
на отрезке 
на отрезке 
на отрезке 
Урок № 2. “Нахождение наибольшего и
наименьшего значения функций 
и 
на отрезке 
.
Тип урока: комбинированный.
Образовательные задачи:
- обеспечить повторение в ходе урока алгоритма
нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции на отрезке; - продолжить формирования навыка применения
этого алгоритма при решении второго типа задач
экзаменационных вариантов ЕГЭ; - продолжить формирование общеучебных умений и
навыков: навыков самоконтроля, умения в
необходимом темпе читать и писать, анализировать
условия задачи.
Воспитательные задачи:
- содействовать в ходе урока формированию
основных мировоззренческих идей (материальность
мира, познаваемость мира и его закономерностей,
обусловленность развития науки потребностям
производства); - содействовать воспитанию у учащихся таких
нравственных качеств, как коллективизм. умение
слушать товарищей; - содействовать профилактике утомляемости
школьников.
I. Организационный момент. Приветствие.
Проверка готовности класса к уроку. Выявление
отсутствующих.
II. Проверка домашнего задания. Фронтальная
проверка домашнего задания. Если у большинства
учащихся возникли вопросы, разобрать на доске
решение конкретного задания, если лишь у
некоторых, объяснить в индивидуальном порядке,
предварительно схематично обговорив решение у
доски.
III. Актуализация знаний. Повторить еще раз
алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке с оформлением схемы
на доске.
Повторить следующие формулы для дальнейшего
изучения материала:
, 
, 
Решить на повторение примеры (1 учащийся пишет
решение на доске с комментариями по решению,
остальные записывают себе в тетради).
IV. Решение новых прототипов задач (разбирает
решение учитель)
Пример № 1. Найти наименьшее значение
функции 
на
отрезке 
Решение
Ответ: –1
Пример № 2. Найти наименьшее значение
функции 
на
отрезке 
Решение. Преобразуем и упростим функцию 
, используя
свойство логарифмов 
Ответ: -6
V. Закрепление материала (самостоятельное
решение задач учащимися у доски).
Пример № 3. Найти наибольшее значение функции
на отрезке 
Решение.
Ответ: 51
Пример № 4. Найти наименьшее значение функции
на отрезке 
Решение.
(
, так как 
)
Ответ: 4
Пример № 5. Найти наименьшее значение функции
на отрезке 
Решение
Ответ: -1
Пример № 6. Найти наибольшее значение функции
на отрезке 
Решение:
Ответ: 1
Пример № 7: Найдите наибольшее значение
функции 
на
отрезке 
Решение
Ответ: 36
VI. Итоги урока.
- Повторить алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке. - Проговорить основные алгоритмы решения тех
примеров, которые изучены на уроке.
VII. Домашнее задание по вариантам.
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №17. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,
2)Определение алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке,
3) Рассмотреть прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений
Глоссарий по теме
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:
- Найти область определения функции D(f).
- Найти производную f‘ (x).
- Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
- Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b).
- Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.
- Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
- Если наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]:
- Найти производную f‘ (x) стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу (a; b).
- Найти f(a), f(b) и значения функции в стационарных точках, принадлежащих интервалу (а; b)и среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 2 на отрезке [0; 3]
Решение. Действуем в соответствии с алгоритмом.
1) D(f) = (-∞; +∞).
2) f
(x) = 6x2 – 18x + 12
3) Стационарные точки: х = 1; х = 2.
4) f(0) = -2
f(3) = 7
f(1) = 3
f(2) = 2
5) fнаим.=f(0) = -2
fнаиб.=f(3) = 7.
Ответ: fнаим= -2
fнаиб.= 7.
№2.Найдите два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее.
Решение.
Пусть первое число равно х, 
Тогда второе число – 
Следовательно, 
Произведение этих чисел равно х(16 – х).
Составим функцию:
f(x) = x(16 – x)
x = 8 – единственная стационарная точка на интервале (0; 16), она является точкой максимума.
Следовательно, в этой точке функция F(x) = x(16 – x) принимает наибольшее значение.
Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее, это 8 и 8.
Ответ: 8 и 8
