Как найти наименьшее значение функции решу егэ

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6. Находим значение функции в концах отрезка,

• затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
• или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее — в левом: .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть  и .

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть  и .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции  — множество действительных чисел.

2. 

3. , если  или

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

2.

3. 

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке [].

1. ОДЗ функции  

2. 

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

, следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке [].

1.  ОДЗ функции :

2. 

3.

, 

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку  принадлежат два числа:  и 

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки  и  производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции  на координатной прямой:

Очевидно, что точка  является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции  на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а  таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции 

Ответ: -1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

    Здравствуйте! В данной заметке ничего нового, это небольшой довесок к статье, где задания такого типа мы уже рассматривали, поэтому никакой теорией вас загружать не буду, всё уже есть в указанной статье и здесь. Рассмотрим ещё три тригонометрические функции, будет полезно.

Подходы к решению заданий данного типа есть разные. Например, для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке:

Одни ребята (СПОСОБ 1) находят нули производной, затем определяют точки максимума (минимума), и  далее с их учётом вычисляют искомое значение;

Другие (СПОСОБ 2) нули производной тоже вычисляют, но далее точки максимума (минимума) не определяют, просто подставляют в функцию значения на границах отрезка и найденные нули производной (принадлежащие интервалу). Затем приозведя вычисления определяют наибольшее (или наименьшее) значение функции, смотря что требуется в условии.

Лично я сторонник второго подхода. Почему?

*Первый тоже хорош, но есть нюансы, о них скажу далее.

Сначала посмотрите на два графика:

Например, дана функция на отрезке, и если построить её график, то он будет выглядеть как изображено на Рис (а). 

При первом способе: если, например, требуется найти наибольшее значение функции на отрезке, то возникает соблазн вычислить значение функции только в точке х₂, упустив точку х₄. В итоге ответ будет неверен.

В случае, когда  график будет выглядеть как показано на Рис (б), ошибки, разумеется, не будет, но в том-то всё и дело, что мы не знаем как выглядит график, ведь он в условии не дан.

При втором способе ошибка полностью исключена, как бы не выглядел график.

Напомню чему равна производная числа, функции х, и  тангенса:

Теперь рассмотрим задания:

26705. Найдите наименьшее значение функции

y = 4tgx– 4x – П + 5  на отрезке   [– П/4; П/4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Заданному интервалу принадлежит только х = 0, вычислим значения функции в точках:  – П/4; 0;  П/4.

Наименьшее значение функции равно 1.

Ответ: 1

26707. Найдите наименьшее значение функции

y =  4x  – 4tgx + 12  на отрезке  [– П/4; 0].

Найдём производную заданной функции:

Найденная производная неположительна на заданном отрезке.

Выражение  4/cos²x   всегда будет больше или равно четырём, так как значение квадрата косинуса находится в пределах от  0  до 1.

Таким образом, выражение:

может приобретать только отрицательные значения или равное нулю.

На основании этого можем сделать вывод, что функция на заданном интервале убывает, следовательно, наименьшим значение функции будет в крайней правой  точке, то есть при х = 0.

*Далеко не все сразу глядя на производную могут сходу определить  какой она имеет знак и сделать вывод о поведении функции на отрезке (возрастание/убывание). Поэтому, в любом случае, можно определить нули производной. Решим:

Заданному отрезку принадлежит только х = 0, это его граница. Но так как вывод о возрастании (убывании) функции нами не сделан, то необходимо вычислить значение производной на обеих границах:

Наименьшее значение функции равно 12.

Ответ: 12

26709. Найдите наибольшее значение функции

y =  14x – 7tgx – 3,5П +11  на отрезке  [– П/3; П/3].

Найдём производную заданной функции:

Найдём нули производной:

Точки  – П/4  и  П/4  принадлежат заданному интервалу.

Значит вычисляем значения функции в точках:  – П/3; – П/4;  П/4;  П/3.

Всегда помним, что в ответе должно быть целое число, значит наибольшее значение функции равно 4.  В ответах 1, 2, 4 целое число не получится, так как присутствует корень и число Пи. Для проверки вычислите эти выражения  приближенно, и вы убедитесь, что они меньше  4.

Ответ: 4

*Примечание. При решении тригонометрических уравнений  результат записан с учётом данного в условии отрезка, поэтому периодичность не отражена.

26703. Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

26706. Найдите наибольшее значение функции

Посмотреть решение

77494. Найдите наибольшее значение функции

Посмотреть решение

77495. Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Что могу ещё добавить?

Информация для тех, кто с темой производной и всё что с ней связано никак «не дружит». Как, например, можно решить следующее задание (да и любое  аналогичное)?

26705. Найдите наименьшее значение функции

y = 4tgx– 4x – П + 5  на отрезке   [– П/4; П/4].

Необходимо взять границы отрезка и все табличные значения углов принадлежащие ему, далее подставить их  в данную функцию и вычислить. После этого определить наименьшее значение не трудно, нужно будет просто выбрать его. Всегда помните, что в ответе должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь. Если в результате получены выражения с числом Пи или корнями, то таковое ответом быть просто не может.

В данном случае нужно взять точки:

И вычислить:

Если, например, будет дан интервал   [– П/3; П/3],  нужно будет взять точки

Понятно, что не во всех заданиях это применимо, например, если будет дан интервал [–3П/2;0], то табличных значений будет многовато. Но в большинстве  подобных примеров такой подход сработает точно.

На этом всё. В будущем так же рассмотрим рациональные функции, не пропустите! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса
— это координата точки по горизонтали.
Ордината
— координата по вертикали.
Ось абсцисс
— горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат
— вертикальная ось, или ось .

Аргумент
— независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения
функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции
— это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции
— точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны
там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны
там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции
на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает
на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции
.

Точка максимума
— это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше
, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке — точка максимума.

Точка минимума
— внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке — точка минимума.

Точка — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции
. В нашем случае это и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции
на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции
— это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции
на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции
на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X
, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X
может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x)
.

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции
, что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции
y=f(x)
на промежутке X
называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки
– это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X
в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X
совпадают с границами области определения функции или интервал X
бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]
.

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на
. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2]
являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y
) и наименьшее (min y
) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6)
.

На интервале
, о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y
) в стационарной точке с абсциссой x=1
, а наименьшее значение (min y
) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3
.

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2
справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2
является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3
. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
.

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок
   .
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке
   (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок
   . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a
   и x=b
   .
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее — они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

• на отрезке
  ;
• на отрезке [-4;-1]
  .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков
и [-4;-1]
.

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2
. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок
.

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
:

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1
, а наименьшее значение – при x=2
.

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки):

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные
и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции
.

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции
я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа
и в точке слева
.

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности
функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция непрерывна в точке справа
, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева
, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной
– изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём
. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса.
…Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)

Согласно второй теореме Вейерштрасса
, непрерывная на отрезке
функция достигает своей точной верхней грани
и своей точной нижней грани

.

Число также называют максимальным значением функции на отрезке
и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке
с пометкой .

В нашем случае:

Примечание

: в теории распространены записи .

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно!
Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции
, наибольшее значение функции
и наименьшее значение функции
– НЕ ТО ЖЕ САМОЕ
, что максимум функции
и минимум функции
. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо
!

Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:

1) Находим значения функции в критических точках
, которые принадлежат данному отрезку
.

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует
, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение
:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

Вычислим значение функции во второй критической точке:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :

Вот теперь всё понятно.

Ответ
:

Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму
:

1

. Находим ОДЗ функции.

2

. Находим производную функции

3

. Приравниваем производную к нулю

4

. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции 0″ title=»f^{prime}(x)>0″>, то функция возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5

. Находим точки максимума и минимума функции
.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-»
.

В точке минимума функции
производная меняет знак с «-» на «+»
.

6

. Находим значение функции в концах отрезка,

• затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  
• или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
  

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для

1
. Задание B15 (№ 26695)

На отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

Ответ: 5.

2

. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .

1. ОДЗ функции title=»x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}»>

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

Следовательно, title=»3/{cos^2{x}}>=3″>, значит, title=»3/{cos^2{x}}-3>=0″>, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

Title=»y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0″>

Ответ: 5.

3
. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

1. ОДЗ функции : title=»x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}»>

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: и

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает
увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки
определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и
по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Если функция y
= f
(x
)
непрерывна на отрезке [a
, b
]
,
то она достигает на этом отрезке наименьшего

и наибольшего значений

. Это
может произойти либо в точках экстремума
, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего

и наибольшего значений функции

,
непрерывной на отрезке [a
, b
]
, нужно
вычислить её значения во всех критических точках
и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее
и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции
f
(x
)
на отрезке [a
, b
]
.
Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a
, b
]
.

Критической точкой

называется точка, в которой
функция определена
, а её
производная
либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических
точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и
на концах отрезка (f
(a
)
и f
(b
)
).
Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке

[a
, b
]
.

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений
функции

.

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 2]
.

Решение. Находим производную данной функции .
Приравняем производную нулю ()
и получим две критические точки: и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке ,
так как точка не
принадлежит отрезку [-1, 2]
. Эти значения функции — следующие: ,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции
(на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке
, а наибольшее
(тоже
красное на графике), равно 9,
— в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком
(а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок),
то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая
на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[
и не имеет
наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо
следующее свойство непрерывных функций.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 3]
.

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю,
что даёт нам одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [-1, 3]
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13,
в точке и наибольшего
значения
, равного 1, в точке
.

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции
не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция —
многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами,
поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).
Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке

.

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения
:

Приравниваем производную нулю, что даёт
одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения
, равного 0,
в точке и в точке
и наибольшего
значения
, равного e
²
, в точке
.

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку
принадлежит отрезку . Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения
, равного ,
в точке и наибольшего
значения
, равного , в точке
.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений
функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют
не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении
прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое
явление или процесс.

Пример 8.
Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x
— сторона основания, h
— высота резервуара,
S
— площадь его поверхности без крышки, V
— его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных .
Чтобы выразить S
как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что ,
откуда . Подставив
найденное выражение h
в формулу для S
:

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в
]0, +∞[
, причём

.

Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, — единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением
. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9.
Из пункта A
, находящегося на линии железной
дороги, в пункт С
, отстоящий от неё на расстоянии l
, должны переправляться грузы.
Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна ,
а по шоссе она равна . К
какой точке М
линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из
А
в С
была наиболее экономичной (участок АВ
железной дороги предполагается
прямолинейным)?

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает
увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки
определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и
по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Если функция y
= f
(x
)
непрерывна на отрезке [a
, b
]
,
то она достигает на этом отрезке наименьшего

и наибольшего значений

. Это
может произойти либо в точках экстремума
, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего

и наибольшего значений функции

,
непрерывной на отрезке [a
, b
]
, нужно
вычислить её значения во всех критических точках
и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее
и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции
f
(x
)
на отрезке [a
, b
]
.
Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a
, b
]
.

Критической точкой

называется точка, в которой
функция определена
, а её
производная
либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических
точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и
на концах отрезка (f
(a
)
и f
(b
)
).
Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке

[a
, b
]
.

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений
функции

.

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 2]
.

Решение. Находим производную данной функции .
Приравняем производную нулю ()
и получим две критические точки: и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке ,
так как точка не
принадлежит отрезку [-1, 2]
. Эти значения функции — следующие: ,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции
(на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке
, а наибольшее
(тоже
красное на графике), равно 9,
— в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком
(а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок),
то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая
на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[
и не имеет
наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо
следующее свойство непрерывных функций.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 3]
.

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю,
что даёт нам одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [-1, 3]
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13,
в точке и наибольшего
значения
, равного 1, в точке
.

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции
не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция —
многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами,
поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).
Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке

.

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения
:

Приравниваем производную нулю, что даёт
одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения
, равного 0,
в точке и в точке
и наибольшего
значения
, равного e
²
, в точке
.

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку
принадлежит отрезку . Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения
, равного ,
в точке и наибольшего
значения
, равного , в точке
.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений
функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют
не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении
прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое
явление или процесс.

Пример 8.
Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x
— сторона основания, h
— высота резервуара,
S
— площадь его поверхности без крышки, V
— его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных .
Чтобы выразить S
как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что ,
откуда . Подставив
найденное выражение h
в формулу для S
:

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в
]0, +∞[
, причём

.

Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, — единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением
. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9.
Из пункта A
, находящегося на линии железной
дороги, в пункт С
, отстоящий от неё на расстоянии l
, должны переправляться грузы.
Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна ,
а по шоссе она равна . К
какой точке М
линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из
А
в С
была наиболее экономичной (участок АВ
железной дороги предполагается
прямолинейным)?

Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение
и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции
прибыли, а именно определить ее наибольшее значение
и разработать стратегию его достижения.

Инструкция

Исследование поведения любой всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение
функции
либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.

Исходя из , наибольшим является значение
функции
y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.

Чтобы определить наибольшее значение
функции
, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и , а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение
на некотором интервале с граничными значениями А и В.

Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции
. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.

Найдите производную функции
и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.

Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят скобки. Вычислите значения функции
при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: , (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.

Задача на этом этапе

Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса
— это координата точки по горизонтали.
Ордината
— координата по вертикали.
Ось абсцисс
— горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат
— вертикальная ось, или ось .

Аргумент
— независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения
функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции
— это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции
— точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны
там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны
там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции
на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает
на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции
.

Точка максимума
— это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше
, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке — точка максимума.

Точка минимума
— внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке — точка минимума.

Точка — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции
. В нашем случае это и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции
на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции
— это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции
на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции
на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму
:

1

. Находим ОДЗ функции.

2

. Находим производную функции

3

. Приравниваем производную к нулю

4

. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции 0″ title=»f^{prime}(x)>0″>, то функция возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5

. Находим точки максимума и минимума функции
.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-»
.

В точке минимума функции
производная меняет знак с «-» на «+»
.

6

. Находим значение функции в концах отрезка,

• затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  
• или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
  

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для

1
. Задание B15 (№ 26695)

На отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

Ответ: 5.

2

. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .

1. ОДЗ функции title=»x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}»>

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

Следовательно, title=»3/{cos^2{x}}>=3″>, значит, title=»3/{cos^2{x}}-3>=0″>, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

Title=»y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0″>

Ответ: 5.

3
. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

1. ОДЗ функции : title=»x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}»>

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: и

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции
одной переменной f(x) с оформлением решения в Word
. Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций
:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f» 0 (x *) = 0 — это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

То точка x * — локальный (глобальный) максимум.