Как найти наименьшее значение произведения

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин.
  (задания для учащихся 8-9 классов, углубленное изучение математики)
  Чупрова О.С.
  Комсомольск-на-Амуре
  МБОУ лицей №1
  2012 год

• 

  2 слайд

  Алгоритм изучения темы
  Знакомство с понятиями прикладных задач математики.
  Схема решения оптимизационных задач.
  Теоремы, применяемые при решении таких задач.
  Методы решения оптимизационных задач:
  применение некоторых теорем;
  использование свойств квадратного трехчлена;
  применение неравенства Коши.

• 

  3 слайд

  Знакомство с понятиями прикладных задач математики.

  Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений какой-либо величины, часто применяемые в практической деятельности, называются оптимизационными. Для правильного решения таких задач необходимо выполнить их переформулировку, стремясь формализировать условия, первоначально заданные в описательной форме.

• 

  4 слайд

  Схема решения оптимизационных задач
  Проанализировав условие задачи, определить, наибольшее или наименьшее значение какой величины требуется найти (т.е. какую величину нужно оптимизировать).
  Принять за независимую переменную одну из неизвестных величин и обозначить её буквой x. Определить её границы изменения.
  Задать функцию y=f(x).
  Найти средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения х.
  Интерпретировать результат для рассматриваемой задачи.

• 

  5 слайд

  Пример решения оптимизационных задач.
  Число 36 записать в виде произведения двух натуральных чисел, сумма которых наименьшая.
  Пусть х – первый множитель, тогда 𝟑𝟔 х – второй множитель, где 1<x<36.
  Составим функцию f(x)=х+ 36 х .
  Анализируя, приходим к выводу, что при х=6 составленная функция принимает наименьшее значение (6+6=12)
  Ответ: 36=6·6

• 

  6 слайд

  Теоремы и следствия из них для решения оптимизационных задач .
  Теорема 1 Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей
  (если множители могут иметь равные значения). Т.е. max xy=¼ (х+у) 𝟐
  Следствие. Произведение двух положительных сомножителей х и у, связанных соотношением mx+ny=a, где m,n-положительные числа, будет наибольшим при mx=ny=a, т.е. при x=a/m; y=a/n.
  Теорема 2 Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.
  Следствие. Если произведение ху постоянно, то mx+ny, где m,n-положительные числа, имеет наименьшее значение при mx=ny.

• 

  7 слайд

  Доказательство теорем
  Теорема 1 Рассмотрим равенство, которое следует из формул сокращенного умножения, т.е.
  ху = 1 4 ((х+у) 2 – (х−у) 2 ).(По условию х+у- постоянно). Произведение ху будет наибольшее при наименьшем значении (х−у) 2 , т.е. при х=у. Отметим, что
  ху = 1 4 (х+у) 2 .
  Теорема 2 Из тождества (х+у) 2 = (х−у) 2 +4ху ясно, что (х+у) 2 , а значит и х+у будет наибольшим, если х-у=0.
  Теоремы 1 и 2 могут быть обобщены на большее число слагаемых.
  Теорема 3 произведение нескольких переменных положительных сомножителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшее значение при равенстве сомножителей (если только множители могут принимать равные значения).
  Теорема 4 Если произведение положительных сомножителей х 𝟏, х 𝟐, …, х 𝐧 постоянно, то их сумма будет наибольшей, если они равны между собой.

• 

  8 слайд

  Решение оптимизационных задач с применением доказанных теорем
  Задача №1 Найти наибольшее значение функции y=x³(a-x), если 0<x<a.
  Решение
  Т.к. сумма x³+a-х не является постоянной, то перепишем функцию в виде у = 1 3 (х·x·x(3a-3x))
  Функция принимает наибольшее значение в том случае, если функция z= х·x·x(3a-3x) принимает наибольшее значение. Найдем сумму сомножителей: х+х+х+3a-3х=3a – не зависит от х, поэтому является постоянной. По теореме 3 функция z=x³(3a-3x)( а, значит, у= 1 3 z) принимает наибольшее значение в том случае, если х=3a-3x. Это получается при х= a 4 .
  Mаx y=y( a 4 ) = ( a³ 4 ) ·(a- a 4 ) = 3 a 4 256 .

• 

  9 слайд

  Задача №2. Даны две параллельные прямые и точка А между ними, служащая вершиной прямого угла прямоугольного треугольника, у которого две другие вершины лежат на каждой из прямых. Какое положение должен занимать треугольник, чтобы его площадь была наибольшей?
  1) Пусть ДЕ- перпендикуляр к
  данным прямым. Обозначим
  АД=а, АЕ=b, ЕС=х. Рассмотрим ∆ АВС,
  удовлетворяющий условию задачи.
  2) Построим математическую
  модель задачи. Пусть ЕС=х.
  Т.к. ∆ АВС – прямоугольный и проведен перпендикуляр, то
  ∠ЕСА+ ∠ ЕАС=90° и ∠ ЕАС+ ∠ BAД=90°, поэтому ∠ ЕСА= ∠ BAД и ∠ ЕАС= ∠ АВД =>∆EAC≈∆ДАВ, поэтому АС ЕС = АВ АД => АС х = АВ а => АС² х = АС·АВ а
  Отсюда S АВС =½AC·AB=½ а·АС² х = а 2х (b²+x²)= а 2 ( b² х +х).
  Т.к. а и b- постоянные, то S АВС будет наибольшим, если b² х +х будет принимать наибольшее значение. Т.о. требуется найти такое х>0, где у= b² х +х принимает наибольшее значение. Т.к. b² х ·х =b²(не зависит от х). Отсюда min S будет при х=b, т.е.ВД=а. Т.о. наибольшее значение площади будет тогда и только тогда, когда ∆EAC и ∆ДАВ равнобедренные и прямоугольные.
  А
  Е
  С
  В
  Д

• 

  10 слайд

  Теорема об использовании свойств квадратного трехчлена
  Преобразуем квадратичную функцию y=аx²+bx+c = а(x²+ bx а ) +с =
  а(x²+ 2 b 2а х + b² 4а² – b² 4а² )+с = а(х+ b 2а )² + 4ас−b² 4а .
  Отсюда следует теорема: а) если а>0, то функция y=аx²+bx+c при х=- b 2а принимает наименьшее значение, равное 4ас−b² 4а ;
  б)если а<0, то функция y=аx²+bx+c при х=- b 2а принимает наибольшее значение, равное 4ас−b² 4а .

• 

  11 слайд

  Решение задач с использованием свойств квадратного трехчлена
  Пример №1 Найти наименьшее и наибольшее значения функции у= 𝟐х 𝟏+х² .
  решение
  Дана не квадратичная функция. Поэтому рассмотрим более общую задачу: найти множество значений функции Т.е. переформулируем задание: «При каких у уравнение
  у= 𝟐х 𝟏+х² относительно х имеет решение?”.
  (у= 𝟐х 𝟏+х² )<=>(x²y-2x+y=0).
  У=0 только при х=0. Пусть у≠0. Квадратное уравнение
  уx²-2x+y=0 в этом случае имеет решение тогда и только тогда, когда D≥0.
  (D≥0) <=>(4-4уу ≥0) <=>((y²≤1) <=>(-1 ≤y≤1) . Тогда множество значений данной функции совпадает с отрезком[-1;1]. Отсюда получаем: min y=y(-1)=-1; max y=y(1)=1.

• 

  12 слайд

  Пример №2. На плоскости даны три точки А,В,С, не лежащие на одной прямой. Найти на прямой ВС такую точку М, сумма квадратов расстояний которой до А,В и С была бы наименьшей.
  Решение.
  Проведем АД⊥ ВС и введем
  обозначения АД=а, ВД=b, ДС=с
  (а, b и с считать неизвестными)
  МД=х, у=АМ²+BM²+CM², отсюда АМ²= АД²+MД²=x²+а²; ВМ²=(ВД-МД)²=(b-x)²; МС²=(c+x)². Получили выражение для у:
  y=(a²+x²)+(b-x)²+(c+x)²=3x²-2(b-c)x+b²+c² – это квадратичная функция. Преобразуем её: У=3(х – (b−c)² 3 )²+ a²+b²+c² – (b−c)² 3 .
  При х= (b−c)² 3 функция имеет наименьшее значение,
  равное a²+b²+c² – (b−c)² 3 .
  А
  В
  С
  Д
  М

• 

  13 слайд

  Классическое неравенство Коши

  Теорема. Если а₁, а₂, …, а n −неотрицательные числа, то
  а₁+а₂+ …+ а n n ≥ n а₁·а₂·… ·а n , при этом равенство выполняется тогда и только тогда, когда а₁=а₂=…= а n .
  Частный случай: а+в 2 ≥ ав .

• 

  14 слайд

  Применение неравенства Коши

  Из всех равновеликих треугольников найти треугольник наименьшего периметра.
  Пусть х, у, z – стороны треугольника, тогда имеет место : x+y+z= 3 4 ( x+y+z 3 + x+y−z 1 + x−y+z 1 + −x+y+z 1 ). Каждое из выражений в скобках положительно, поэтому к числам x+y+z 3 ; x+y−z 1 ; x−y+z 1 ; −x+y+z 1 применим неравенство Коши при n=4. Получим:
  x+y+z≥3∙ 4 x+y+z 3 · x+y−z 1 · x−y+z 1 · −x+y+z 1 = =3· 1 3 · x+y+z 2 · x+y−z 2 · x−y+z 2 · −x+y+z 2 = 3· 1 3 S = 3 S
  Отсюда следует, что наименьшее значение периметра равно 𝟑 S и достигается при х=у=z.

• 

  15 слайд

  Решить самостоятельно.
  Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? (ответ: 2Р 4+𝜋 ; 2Р 4+𝜋 ).
  Найти наименьшее значение функции у= х х²+1 , х>0. (ответ: min y=-1/2 при х=-1).
  Найти наименьшее значение функции у= х² – 6х + 5. (ответ: min y=-4 при х=3).
  Через точку М, лежащую внутри заданного угла, проводятся различные прямые. Определить ту из прямых, которая отсекает от сторон угла треугольник наименьшей площади. (ответ: min S=- (max z)² = у(3)= -4).
  Используя неравенство Коши, найти: а)наименьшее значение функции у=х+ 4 х , где х>0; б) наибольшее значение функции
  у= 2х 1+х² ( ответ: а) при х=2 min y=4 ; б) max y=1 при х=1)

• 

  16 слайд

  Используемая литература.
  И.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ для 9 класса. М. Просвещение. 1983.
  В.В. Мельников и др. Начала анализа. М. Наука. 1990.
  Н.И. Зильберберг. Алгебра и начала анализа в 10 классе. Для углубленного изучения математики. Псков. 1994.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 262 023 материала в базе

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»

• Курс повышения квалификации «Экономика и право: налоги и налогообложение»

• Курс повышения квалификации «Введение в сетевые технологии»

• Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по подбору и оценке персонала (рекрутинг)»

• Курс повышения квалификации «Финансы: управление структурой капитала»

• Курс повышения квалификации «Психодинамический подход в консультировании»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности специалиста оценщика-эксперта по оценке имущества»

• Курс повышения квалификации «Финансовые инструменты»

• Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика музейного дела и охраны исторических памятников»

• Курс профессиональной переподготовки «Стратегическое управление деятельностью по дистанционному информационно-справочному обслуживанию»