Как найти наименьший множитель числа

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2·7·7·23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2,7,7,23.

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30, тогда получим 2,3,5. Запись примет вид 30=2·3·5. Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144=2·2·2·2·3·3.

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z, относящемуся к целым числам, представляется  в виде произведения а и b, где z делится на а и на b. Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1, то его разложение на множители p1, p2, …, pn принимает вид a=p1, p2, …, pn_. Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p1, который встречается s1 раз и так далее pn – sn раз. Таким образом разложение примет вид a=p₁^s₁·a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11,его канонический вид будет 609 840=24·32·5·7·112. При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pn чисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn. При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z. При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.  Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом.

Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 87:2=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87:3=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000.

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

• нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=a:p1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1 и следуем к пункту, находящемуся ниже;
• нахождение простого делителя p2 числа a1 при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1:p2_, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2_, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2_, причем производим переход к следующему шагу;
• перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2 по формуле a3=a2:p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3_, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3 и производим переход к следующему шагу;
• производится нахождение простого делителя pn числа an-1 при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1:pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn_.

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.

Если необходимо произвести разложение на множители 10, то по таблице видно: 2·5=10. Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10.

Если необходимо произвести разложение числа 48, то  по таблице видно: 48=6·8. Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6=2·3 и 8=2·4. Тогда полное разложение отсюда получается как 48=6·8=2·3·2·4. Каноническая запись примет вид 48=24·3.

При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100. Отсюда получаем, что 3 400=34·100, где 100 можно разделить на 10, то есть записать в виде 100=10·10, а значит, что 3 400=34·10·10. Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5. Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400=23·52·17.

Когда мы находим простые множители, необходимо использовать признаки делимости и таблицу умножения. Если представить число 75 в виде произведения множителей, то необходимо учитывать правило делимости на 5. Получим, что 75=5·15, причем 15=3·5. То есть искомое разложение пример вид произведения 75=5·3·5.

Была ли эта статья полезной?

Разложение натурального числа на простые множители

Перед тем как приступить к рассмотрению принципа разложения чисел, сформулируем определение простого множителя числа.

Первые несколько простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Числа, содержащие более двух множителей, называются составными числами. Число 1 не простое и не составное.

Простые числа могут использоваться по ряду причин. Например, некоторые типы криптографии будут использовать простые числа. Для каждого простого числа, например: «p», существует простое число, которое больше p, называемое p ‘. Это математическое доказательство, которое было продемонстрировано в древние времена греческим математиком Евклидом, подтверждает идею о том, что не существует «наибольшего» простого числа. По мере того, как набор натуральных чисел N = {1, 2, 3, …} продолжается, простые числа, как правило, становятся менее частыми, и их значение труднее найти.

Если, рассмотреть составное число, то можно сделать вывод, что его можно преобразовать и представить в виде простых чисел.

Рассмотрим пример разложения чисел:

[4=2 cdot 2]

[6=2 cdot 3]

[8=2 cdot 2 cdot 2]

При разложении числа могут повторяться, как в третьем примере. Чтобы исключить повтор, их лучше всего скомпоновать и представить в виде степени.

Пример: 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

Рассмотрим другой пример разложения числа на множители. Возьмем число 609840 и распишем его на составные множители.  

Запишем следующее выражение: [609840=2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 3 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 11 ], преобразуем его в канонический вид и получим пример: [609840=2^{4} cdot 3^{2} cdot 5 cdot 7 cdot 11^{2}].

Применяя каноническое уравнение, можно определить значение всех делителей и их количество.

Основные свойства простых чисел:

Существует несколько свойств простых чисел. Большая часть из них считается доказанной, остальную часть, так и оставили недоказанной.

Среди доказанных свойств, можно выделить следующие:

1. Множество простых числовых значений, является бесконечным. Иными словами, простые числа не имеют наибольшего значения.
2. Если значение p – минимальный простой делитель числа n. Из этого следует доказательство, p2 ≤ n.

В случае, если   p — делитель составного числа n, тогда должен быть другой делитель q, для числового значения n.

Значение n, должно быть представлено, как произведение числовых множителей p и q.

Делителей меньше значения p не должно быть, так как данный множитель является наименьшим простым делителем.  Из данного условия составим неравенство:

 [q geq p . Rightarrow p cdot p leq p cdot q, text { т. e. } p 2 leq p q text { или } p 2 leq n .]

Данное свойство, принято использовать для проверки на простой множитель.

Если есть простой делитель любого составного числа, и квадрат числа является меньшим или равен ему.  В этом случае не требуется определять другие делители.  Для того чтобы доказать, что проверяемое значение является простым.

Достаточно будет провести проверку на делимость значения n на простые делители p [Rightarrow]p2 ≤ n.

Из данного значения n нужно извлечь корень и обязательно округлить его до целого числа. Затем нужно перебрать все делители до числа, полученного при вычислении. Если не один из них не подходит, значит простых делителей не существует, следовательно, проверяемое число —  простое.

---

Пример:

Проверим число 37. Вычислим квадратный корень этого числа и округлим до целого значения. [sqrt{37} approx 6]

Далее нужно проверить значения на признак делимости, а именно на 2,3,4,5,6. После проверки, делаем вывод, что ни одно из значений 37 не делится. Из этого следует, что данное значение является простым.

Натуральные значения, выражаются в виде суммы из двадцати слагаемых.

«Теорема Ферма» Когда число p является простым и значение n  на него нельзя разделить[Rightarrow]np — 1 — 1 всегда делится на p.

---

Пример:

Число 34 нельзя разделить на 3. Однако 343-1 — 1 = 342 — 1 = 1156 — 1 = 1155[Rightarrow]делится на 3.

Недоказанные свойства простых чисел:

• Любое из четного значения, можно представить в виде суммы двух и более простых чисел. Например: 18=10+8, 65=11+54, 108=70+38.
• Каждое максимальное значение нечетного числа, возможно расписать в виде суммы трех и более простых чисел.
• Максимальные значения простых чисел, можно выразить как сумма четырех нечетных значений.
• Четное значение можно расписать как разность двух и более простых значений.

---

Составим алгоритм, для разложения на простые множители чисел:

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

Чтобы разложить число на простые множители нужно знать несколько основных правил и действий.

• Число, которое нужно расписать на множители, нужно проверить по таблице простых чисел. А именно, определить не является ли оно простым.
• В случае, если число не является простым, пользуемся таблицей и подбираем самое наименьшее значение. Оно должно равняться числу, на которое можно поделить значение. Деление должно быть без остатка.
• Далее проверяем, по этой же таблице, простых чисел, полученное значение. Оно не должно быть простым.
• Если условие соблюдается, то поочередно подбираем наименьшее значение из таблицы. При делении на данное значение, вычисленное частное должно делиться без дробного остатка.
• Повторяем последние два пункта до тех пор, пока окончательный ответ, не будет равняться единичному значению.

Решим несколько примеров:

---

Пример №1:

Согласно задания нужно разложить на простые множители число 102.

Решение примера начнем с поиска минимального делителя для значения 102. Для этого нужно воспользоваться таблицей чисел простых значений. Затем последовательно определяем самое малое значение из таблицы, при делении на которое, ответ получится без дробного остатка.

Подбираем значение 2 и проводим деление заданного значения 102 на него и получаем выражение:

102:2 = 51.

Если число 102 разделить на 2, то получим ответ равный без остатка. Из этого следует, что два, является первым определенным простым множителем.

Следующим действием, будем проводить проверку частного простого числа. Значение 51, является составным числом. Берем наименьший делитель, равный двум. Но число 51, без остатка на два не делится. Поэтому переходим к следующему пункту алгоритма.

Берем следующее значение по таблице простых чисел — это 3. Проводим вычисление и получаем следующее выражение:

51:3 = 17

После вычисления примера получаем целое значение, без остатка. И это означает, что число три, является вторым множителем.  Поэтому, можно сделать вывод, что число 51 записывается в виде произведения из трех множителей.

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17

Проводим проверку значения, не является ли оно простым числом. Значение 17 — простое. Поэтому минимальным числом, на которое оно будет делится будет именно само числовое значение 17.

17:17 = 1

Так как полученный ответ равен единичному значению, то разложение на множители считается завершенным.

Запишем окончательное решение: 102 = 2 · 3 · 17.

В математике существует еще один вариант разложения на множители. Весь алгоритм решения записывается в виде столбика. Для этого применяются две колонки, которые разделены прямой линией.

Этот способ имеет следующий алгоритм решения:

сверху вниз, с левой стороны от вертикальной черты записывается заданное число;

затем записываем полученные частные значения;

по правую сторону от линии, нужно записать минимальные значения простых делителей.

---

Пример №2:

Записываем заданное число 120 и проводим по правую сторону вертикальную линию.

С правой стороны записывается простой делитель, наименьшего значения:

Проводим вычисление: делим число 120 на делитель 2 и получаем частное равное 60. Вычисленное значение нужно записать под числом 120 с левой стороны от вертикальной прямой.

Определяем делитель наименьшего значения.  Далее записываем его с правой стороны от черты под предыдущим делителем и вычисляем значение.  

Вычисления нужно производит до тех пор, пока ответ не будет равен единице.

Разложение будет окончено, только тогда, когда окончательный ответ получится равным единичному значению.

Окончательный ответ записывается в строку:

120 = 23 · 3 · 5.

Примеры разложения чисел на простые множители

При решении задач данного типа, всегда нужно помнить и придерживаться основного алгоритма решения.

---

Пример №1:

Число 78 разложить на простые множители.

Для начала пересматриваем все простые числа, входящие в состав числа 78.

Берем число 2 и проводим вычисление: [78 div 2=39].

Так как ответ при вычислении получается без остатка, то это значит, что значение 2 будет первым простым делителем. Дадим ему обозначение [p_{1}].

Запишем выражение следующего вида: [a_{1}=a div p_{1}=78 div 2=39]

Из этого следует следующее равенство [a=p_{1} cdot a_{1}]. Подставим значения в уравнение: [78=2 cdot 39].

Находим простой делитель [p_{2}] числа [a_{1}], которое равняется 39.

Перебираем все простые числа: [39div2=19]. Деление получается с остатком, поэтому число два, не будет являться простым делителем. Далее берем число три: [39div3=13].

Следовательно [p_{2}] будет являться наименьшим простым делителем для числа 39.

Запишем равенство: [a=p_{1} cdot p_{2} cdot a_{2}=2 cdot 3 cdot 13=78].Получаем следующее значение [a_{2}=13], оно естественно не равняется единице. Поэтому нужно проводить расчет далее, согласно алгоритму.

Применяем снова перебор чисел. Он необходим для, того чтобы найти наименьший делитель числа 13. Берем значение три и подставляем в пример: [13div3=4] (остаток равен 1). Из решения видно,что 13 нельзя разделить на назначения 5,7,11, так как [13div5=2] (остаток 3), [13div7=1]

 (остаток равный 6) и [13 div 11=1] (остаток 2).  Проведя все решения, можно сделать вывод, что число 13 равняется простым.

Продолжим решение и запишем следующую формулу:

[a_{3}=a_{2} div p_{3}]

[13 div 13=1 Rightarrow a_{3}=1]

Так как ответ равен единице, значит решение окончено. И множители будут записаны в следующем выражении: [78=2 cdot 3 cdot 13]

Пример №2:

Для решения возьмем число 86006 и разлом его множители. Разложим на простые множители значение [p_{1}=2]

[a_{1}=a div p_{1}=83006 div 2=41503]

Для проверки берем значения 2,3,5 и предполагаем, что они не простые числа.

[a_{1}=41503 Rightarrow 7 ] простой делитель, так как [ 41503div 7=5929. ]

Произведя расчеты получаем следующие действия: [p_{2}=7 . a_{2}=a_{1} div p_{2}=41503 div 7=5929]

Значение 83006 можно разложить на следующие множители [2 cdot 7 cdot 5929]

Определяем простой делитель наименьшего значения для [a_{3}=847 Rightarrow 7].

[a_{4}=a_{3} div p_{4}=847 div 7=121], из этого следует, что [83006=2 cdot 7 cdot 7 cdot 7 cdot 121]

Числовое значение 11 будем применять, для определения делителя [a_{4}=121 Rightarrow p_{5}=11].

Получаем следующее выражение: [a_{5}=11 text { значение } p_{6}=11] и будет являться наименьшим простым делителем.

Следовательно: [a_{6}=a_{5} p_{6}=11 div 11=1 Rightarrow a_{6}=1]

Окончательный ответ в решении равен единице. Это означает окончание расчета.

И множители числа  будут записаны в следующем выражении:

[83006=2 cdot 7 cdot 7 cdot 7 cdot 11 cdot 11]

Преобразуем уравнение, так как имеются одинаковые множители, в каноническое.

[83006=2 cdot 7^{2} cdot 11^{2}]

---

Пример №3:

Нужно разложить на составные множители число 897 924 289.

Решение начинаем с разбора простых множителей. Свой расчет начинаем со значения 2. Окончание перебора множителей будет число 937.

Отсюда следует, что: [p_{1}=937 a_{1}=a div p_{1}=897924289 div 937=958297] и [ 897924289=937 cdot 958297 .]

Далее перебираем наименьшие простые числа. Для начала берем число 937.  Так как 967 является простым делителем, его можно считать простым числом.

Значение 991 не имеет не одного простого делителя, поэтому, оно будет также являться простым числом.

Запишем подкоренное выражение [sqrt{991}] и определим его примерное значение. [sqrt{991}<40^{2}].

Из решения, можно сделать вывод, что [p_{3}=991 text { и } a_{3}=a_{2} div p_{3}=991 div 991=1].

Расчет согласно алгоритма завершен, поскольку ответ равен один.

Записываем окончательный ответ к задаче: [897924289=937 cdot 967 cdot 991]

---

Применение при решении задач, признаков делимости для разложения на множители

При разложении чисел на множители, всегда необходимо использовать алгоритмы решения. Однако имеются случаи, когда разложить нужно число небольшого значения. Для этого можно применять обычные таблицы умножения или делимости.

---

Разберем несколько примеров:

Нужно разложить на простые множители число со значением равным 10. Применяем таблицу умножения и записываем, что [2 cdot 5=10]. Числа 2 и 5 являются простыми значениями. Поэтому их можно назвать и простыми множителями для 10.

Рассмотрим еще одно значение равное 48. Снова воспользуемся таблицей перемножения данных. Запишем выражение: [48=6 cdot 8].

Данные значения, не является простыми множителя, потому что их можно разложить: [6=2cdot3 ] и [8=2cdot4]. Правильное разложение будет выглядеть следующим образом: [48=6 cdot 8=2 cdot 3 cdot 2 cdot 4 text {. }]

Преобразуем уравнение и запишем его канонический вид: [48=2^{4} cdot 3]

---

Для разложения значения 3400, нужно воспользоваться признаком делимости числа.  Для данного значения это 10 и 100. Распишем число: [3400=34 cdot 100], отсюда можно выполнить следующее действие 100 разделить на 10 и записать, что [100=10 cdot 10 Rightarrow 3400=34 cdot 10 cdot 10 .] Применяя основные признаки делимости значений, получаем выражение: [3400=34 cdot 10 cdot 10=2 cdot 17 cdot 2 cdot 5 cdot 2 cdot 5 .]

Все числа относятся к простым множителям. Запишем выражение в виде канонического разложения.

[3400=2^{5} cdot 5^{2} cdot 17]

Разложить число на простые множители онлайн

Похожие калькуляторы