Как найти наименьший положительный корень косинуса

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	$<π>/<6>$	$<π>/<4>$	$<π>/<3>$	$<π>/<2>$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ <1>/<2>$	$ <√2>/<2>$	$ <√3>/<2>$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ <√3>/<2>$	$ <√2>/<2>$	$ <1>/<2>$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ <√3>/<3>$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ <√3>/<3>$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= – sinα$ – это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= – sin t; tg(-t)= – tg t; ctg(-t)= – ctg t$

Тригонометрические тождества

1. $tgα=/$
2. $ctgα=/$
3. $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно. Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму вычисления и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», имеется виду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.

Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.

Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.

Понимание раздела «Тригонометрия» в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.

В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:

Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой невозможно будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Что делать, если этого сделать не получается, в голове путаница, да просто вы именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение.

Алгоритм восстановления этих значений прост, он также приведён в теории, полученной вами во втором письме после подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».

Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с использованием угла х для соответствующих уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.

Итак, рассмотрим следующие задачи:

Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решением уравнения cos x = a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от – 2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: – 3 и 3, – 4 и 4 и так далее.

При n = – 2 х₁= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х₂= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х₁= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х₂= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х₁= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – 90 о до 90 о синус которого равен a.

Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n = 0,1,2 …

При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при n = –1 х = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения tg x = a является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90 о до 90 о , тангенс которого равен a.

Выразим x (умножим обе части уравнения на 6 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n = 1,2,3. Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Определение котангенса: Арккотангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу (0;П), котангенс которого равен a.

Здесь хочу добавить, что в уравнениях в правой части может стоять отрицательное число, то есть тригонометрическая функция от аргумента может иметь отрицательное значение. Если в ходе решения вы не сможете определить угол, например, для

то данные формулы вам помогут:

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

[spoiler title=”источники:”]

http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/trigonometricheskie_vyrageniya

http://matematikalegko.ru/uravnenia/trigonometricheskie-uravneniya.html

[/spoiler]

   Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно.  Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму вычисления и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», имеется виду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.  

Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.

Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.

Понимание раздела «Тригонометрия»  в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.

В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:

Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой  невозможно будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Что делать, если этого сделать не получается, в голове путаница, да  просто вы  именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение.

Алгоритм восстановления этих значений прост, он также приведён в теории,  полученной вами во втором письме после  подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».

Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с  использованием угла х для соответствующих  уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть  и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.

Итак, рассмотрим следующие задачи:

Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решением уравнения cos x = a  являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Значит

Выразим x:

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон  n  от   – 2  до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x:  – 3 и 3,  – 4  и 4 и так далее.

Вычисляем:

При  n = – 2     х₁= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5      х₂= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При  n = – 1     х₁= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5        х₂= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При  n = 0        х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5            х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При  n = 1        х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5            х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При  n = 2        х₁= 3∙2 – 4,5 =  1,5              х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен   –1,5

Ответ:  –1,5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Решите уравнение:

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения sin x = a  являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от   – 90^о до 90^о синус которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n =  0,1,2 …

При  n = 0     х = (– 1)⁰ + 4∙0 + 3 = 4

При  n = 1     х = (– 1)¹ + 4∙1 + 3 = 6

При  n = 2     х = (– 1)² + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при   n = –1     х = (–1)^–1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Ответ: 4

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Решите уравнение:

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения tg x = a  является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90^о до 90^о,  тангенс которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим обе части уравнения на 6 и разделим на  Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения  n = 1,2,3…    Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Ответ: 0,25

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Определение котангенса: Арккотангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу (0;П), котангенс которого равен a.

Здесь хочу добавить, что в уравнениях в правой части может стоять отрицательное число, то есть тригонометрическая функция от аргумента может иметь отрицательное значение. Если  в ходе решения вы не сможете определить угол, например, для

то данные формулы вам помогут:

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Время от времени я нахожу в математических группах ВКонтакте просьбы о решении школьных математических задач и разбираю их в своём блоге. Вот, например, в одной из контрольных работ самой сложной, 10-й задачей была такая.

Условие
Найти наименьший положительный корень уравнения
1 – sin 2x = (cos 2x + sin 2x)²

Решение
Во-первых, обратим внимание, что во всех тригонометрических функциях аргумент одинаковый и равен 2х. Сделаем замену:
t = 2x
Уравнение превращается в:
1 – sin t = (cos t + sin t)²

Теперь раскроем правую часть, пользуясь формулами сокращённого умножения и тригонометрическими тождествами.

1 – sin t = cos²  t + 2 sin t cos t + sin²  t
1 – sin t = 1 + 2 sin t cos t
 – sin t = 2 sin t cos t  // вот тут не стоит торопиться сворачивать удвоенное произведение синуса на косинус в синус двойного угла

2 sin t cos t + sin t = 0

Выносим общий множитель:
sin t (2 cos t + 1) = 0

В левой части уравнения произведение, а в правой части – ноль. Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим оба варианта.

а) sin t = 0
Это один из особых случаев тригонометрического уравнения. Решением его является:
$t=pi n,~nin Z$
И, возвращаясь к подстановке:
$x=frac{pi n}{2},~nin Z$

б) 2 cos t + 1 = 0
$cos t = -frac{1}{2}$

Применяем стандартную формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения
$t = pm arccosleft(-frac{1}{2}right)+2pi k,~kin Z$

Избавляемся от минуса под арккосинусом, применив формулу $arccos (-x)=pi-arccos x$
$t = pm left(pi – arccosfrac{1}{2}right)+2pi k,~kin Z$

Вспомним, что арккосинус одной второй равен пи на 3, $arccos frac{1}{2}=frac{pi}{3}$

$t = pm left(pi – frac{pi}{3}right)+2pi k,~kin Z$

$t = pm frac{2pi}{3}+2pi k,~kin Z$

И находим х:
$x = pm frac{pi}{3}+pi k,~kin Z$

Таким образом, решением уравнения будут множества корней:
$x=frac{pi n}{2},~nin Z$ или $x = pm frac{pi}{3}+pi k,~kin Z$

В первом случае положительные значения корней будут получатся, начиная с n = 1 и наименьшим положительным корнем будет $frac{pi cdot 1}{2}=frac{pi}{2}$. А во втором случае положительные корни будут получаться, начиная с k = 0 и наименьшим положительным корнем будет число $+ frac{pi}{3}+pi cdot 0= frac{pi}{3}$

Наименьшим положительным корнем уравнения 1 – sin 2x = (cos 2x + sin 2x)² будет число $frac{pi}{3}$

Ответ:  $frac{pi}{3}$

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$  градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	${π}/{6}$	${π}/{4}$	${π}/{3}$	${π}/{2}$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ {1}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {√3}/{2}$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ {√3}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {1}/{2}$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ {√3}/{3}$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ {√3}/{3}$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= – sin t; tg(-t)= – tg t; ctg(-t)= – ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

1. $tgα·ctgα=1$
2. $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
3. $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$
2. $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= – arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= – arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

План урока:

Замена переменной

Применение формул для преобразования уравнений

Однородные тригонометрические уравнения

Введение вспомогательного угла

Уравнения с ограничениями на значение переменной

Замена переменной

Пусть необходимо решить тригонометрическое уравнение

Это уравнение уже не является простейшим. Однако если заменить выражение 2х новой переменной (обозначим ее как t), то мы получим уже знакомое нам ур-ние:

Формула его корней выглядит так:

откуда получаем

У нас есть формула, по которой можно вычислить значения t. Теперь произведем обратную замену:

Поделим это равенство на 2 и получим решение ур-ния:

Аналогичным путем можно решить любое уравнение вида

Где Т – какая-то тригонометрическая функция, k, b и a – некоторые числа.

Задание. Найдите решение тригонометрического уравнения

и выпишите его первые три положительных корня.

Решение. Введем переменную t = 3x + π/6, тогда ур-ние примет вид:

Далее следует обратная замена:

Получили формулу корней. Теперь надо найти три наименьших положительных корня. Напомним, что тригон-кое ур-ние имеет бесконечное количество корней, но каждый из них соответствует какому-либо целому числу n. Это соответствие как раз и задается формулой корней. Достаточно лишь выбрать какое-нибудь целое число n и подставить его в формулу корней. При этом большим значениям n соответствуют большие корни.

 Выберем n = 0 и получим

Это положительный корень, но является ли он наименьшим? Проверим n = – 1:

Это отрицательное число. Значит, при n ≤– 1 получаются отрицательные корни, а при n ≥ 0 корни будут положительны. Нам нужны три наименьших положительных корня, им соответствуют значения n, равные 0, 1 и 2. Ноль мы уже подставляли в формулу корней, теперь подставим единицу и двойку:

Подставлять надо целые числа, потому что именно целым числам соответствуют корни уравнения. После формулы корней в ответах делается приписка «n∈ Z», или «где n – целое число».

Примечание. Записывая общее решение тригонометрических ур-ний (то есть серию корней), мы везде делаем приписку «n∊Z», которая означает, что n– это произвольное целое число. В будущем в промежуточных выводах мы ее делать не будем, так как она всегда подразумевается. Однако при решении учебных заданий, в том числе и на экзаменах, в ответе надо обязательно дописывать эту фразу, иначе оценка может быть снижена.

Заметим, что часто в простых случаях новую переменную не записывают явно, чтобы сделать решение более простым.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Ур-ние cosx = – 1 является частным случаем, у которого решение записывается так:

Тогда для ур-ния cos (2x– π/4) = – 1 можно написать

Задание. Решите ур-ние

Решение. Слева стоит произведение двух скобок, а справа – ноль. Произведение будет равняться нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из его множителей будет нулевым, то есть:

Вычислить arcsin 1/3 и arccos (– 2/5) мы не можем, так как чисел 1/3 и 2/5 нет в тригонометрических таблицах, поэтому оставляем решения в таком виде.

Теперь рассмотрим чуть более сложный случай, когда в качестве новой переменной принимают саму тригонометрическую функцию.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Решение. Здесь за переменную можно принять величину sinx:

Получили обычное квадратное уравнение! Решим его, найдя дискриминант

У нас есть два значения t. Можно произвести обратную замену неизвестного:

Получили два тригонометрических уравнения. Второе из них решений не имеет, ведь область значений синуса – это промежуток [– 1; 1], то есть ни при каких х он не может быть равен двум. Решим первое уравнение:

Применение формул для преобразования уравнений

Когда в уравнении стоят различные тригонометрические функции, то замена одной из них переменной не помогает найти корни ур-ния. В таких случаях требуется использовать тригонометрические формулы, чтобы получилось ур-ние, содержащее только одну тригонометрическую функцию.

Задание. Решите ур-ние

Решение. В уравнении стоят две различные тригонометрические функции – синус и косинус. Следует упростить левую часть, чтобы в ней осталась только одна функция. Вспомним основное тригонометрическое тождество:

С его помощью можно выразить величину sin² x:

Теперь подставим эту формулу в исходное ур-ние:

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Получили обычное уравнение с заменой переменной. Из него с помощью замены t = cosx получаем квадратное ур-ние:

Производим обратную замену:

Каждое из этих ур-ний имеет решение. Начнем с первого из них:

Арккосинус от отрицательного числа найдем отдельно, используя формулу

Подставляем вместо а число 0,5:

Тогда решение ур-ния cosx = – 0,5 примет вид:

Теперь решим второе ур-ние:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Перенесем все выражения в левую часть:

Можно заметить, что теперь в левой части стоит выражение, которое похоже на формулу синуса разности двух углов:

Действительно, если в формулу подставить значения α = 5х и β = 3х, то мы получим левую часть ур-ния. Это значит, что ур-ние можно переписать в виде:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Сначала заменим синус двойного угла:

Далее вынесем за скобки множитель 2sinx:

В скобках осталось выражение, которое, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно единице:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Заменим cos2x, используя формулу косинуса двойного угла:

теперь избавимся от соs²x:

Вводим переменную t = sinx:

Выполняем обратную замену:

Запишем их решения:

Задание. Решите ур-ние

и укажите те корни, которые принадлежат промежутку [– 2π; – π].

Решение. Преобразуем обе части, используя формулу косинуса двойного угла, а также формулу приведения sin (x + π/2) = cosx:

И снова вводим новую переменную cosx = t:

Выполняем обратную замену

Так как arccos (– 0,5) = π – arccos 0,5 = π– π/3 = 2π/3, то решениями этих ур-ний будут серии:

Первая часть задания выполнена. Теперь следует отобрать корни, попадающие в промежуток [– 2π; – π]. Сначала для удобства разобьем первую серию решений на две:

Подставим в серии решений число n = 0:

Получили три корня, которые больше, чем (– π), а потому располагаются на координатной прямой правее промежутка [– 2π; – π].Значит, нет смысла проверять ещё большие значение n, ведь им будут соответствовать ещё большие значения х. Будем подставлять отрицательные значения n до тех пор, пока не получим корни, меньшие (– 2π). При n = – 1 имеем:

Корни х₁ и х₂ попадают в промежуток [– 2π; – π]. Теперь подставим n = – 2:

Все три полученных значения меньше, чем (– 2π), то есть они не входят в нужный нам промежуток. Нет смысла подставлять другие значение n (– 2, – 3, – 4 …), так как будут получаться ещё меньшие корни. В итоге только два корня, (– 4π/3) и (– 2π), принадлежат промежутку [– 2π; – π].

Иногда в ур-нии стоят тригонометрические функции от разных углов. В этом случае приходится использовать формулы суммы или разности аргументов.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Разложим выражения sin (π/3 – х) и sin (π/6 – х), используя формулу синуса и косинуса разности:

Тогда левая часть ур-ния примет вид:

Здесь мы просто левую часть, в которой большое выражение стоит, заменяем 

А то, что такую замену можно сделать, мы доказали в решении до этого, используя формулы разности.

Соответственно, всё уравнение можно переписать так:

Однородные тригонометрические уравнения

Особый интерес представляют уравнения вида

где а и b – некоторые постоянные числа, не равные нулю. Такие ур-ния называют однородными уравнениями 1-ой степени. Приведем несколько примеров таких ур-ний:

Для решения таких ур-ний обе части делят на cosx:

Обратите внимание, что при выводе этой формулы мы делили ур-ние на cosx. Однако это выражение может быть равным нулю, а деление на ноль запрещено. Это значит, что мы должны быть уверены, что у ур-ния нет такого корня х, что соs х = 0. Уверены ли мы в этом?

Заметим сразу, что функции у = sinx и у = cosx обращаются в ноль в различных точках. Поэтому, если сosx = 0, то sinx ≠ 0, а значит, и всё выражение

не равно нулю. Поэтому мы можем спокойно делить такое ур-ние на соsx.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Делим обе части на соsх и получаем:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Можно составить две формулы приведения:

С их учетом исходное ур-ние примет вид:

Делим ур-ние на cos 2x:

Существуют и более сложные однородные уравнения второй степени. В общем случае они имеют вид:

Для того, чтобы решить их, необходимо поделить обе части на cos²x, и тогда мы получим равносильное ур-ние:

Произведя замену tgx = t, получим квадратное уравнение

Задание. Решите ур-ние

Решение. Поделим обе части на выражение cos²x:

Введем переменную tgx = t:

Возвращаемся к переменной х:

Введение вспомогательного угла

В правой части однородного ур-ния стоит ноль. Усложним задачу и рассмотрим схожие ур-ния, у которых справа стоит произвольное число, которое может быть и отлично от нуля. То есть ур-ние имеет вид

Существует ли универсальный метод решения тригонометрических уравнений такого вида? Да, существует, и называется он методом вспомогательного угла. Очевидно, что величина a² + b² является положительной, ведь это сумма квадратов чисел, отличных от нуля. Это значит, что существует действительное число

которое больше нуля.

Поделим ур-ние на N и получим новое ур-ние

Для краткости введем новые обозначения:

коэффициенты уравнения запишем большими буквами, чтобы не писать корни.

и тогда ур-ние примет более простой вид:

Попытаемся найти величину А² + В²:

Так как величина А² + В² равна единице, то можно подобрать такой угол α, что будут одновременно выполняться равенства

Угол α называют вспомогательным углом. Как его подобрать? Из равенства А = sinα очевидно, что

Заменим в (1) числа А и В по формулам (2) и (3) и получим:

Теперь слева стоит косинус разности, который можно «свернуть»:

Это уже почти что простейшее тригонометрическое уравнение, которое мы сможем решить.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Коэффициенты перед синусом и косинусом равны 5 и 12. Найдем корень из суммы 5² + 12²:

Значит, число N = 13. Поделим ур-ние на 13:

Теперь введем вспомогательный угол α = arcsin 5/13. Тогда

Подставим в (1) вместо дробей 5/13 и 12/13 sinα и cosα:

Теперь смотрим в тригонометрические формулы сложения и вычитания аргументов. Есть ли там что-то похожее на левую часть ур-ния? Действительно, там есть следующая формула:

Наше ур-ние похоже на эту формулу, но надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое. Для этого можно умножить ур-ние на (– 1):

Уравнения с ограничениями на значение переменной

До этого мы рассматривали случаи, при которых переменная х могла принимать любые значения в уравнении. Однако, если в ур-нии переменная стоит под знаком корня или находится в знаменателе, то возникают некоторые ограничения на те значения, которые она может принимать. Рассмотрим пример.

Задание. Решите ур-ние

Решение. В левой части произведение двух множителей, а справа – ноль, следовательно, можно записать:

Решение для первого уравнения запишем в виде двух серий, а не одной (так проще будет проводить дальнейшее исследование). Сначала вычислим арксинус:

Тогда получаем три серии решений:

Теперь учтем, что в исходном уравнении выражение cosx стоит под корнем, поэтому должно соблюдаться условие:

Косинус принимает положительные значения в I и IV четверти. Отметим все серии решении на единичной окружности и посмотрим, какие из них попадают в I и IV четверть:

Теперь мы видим, что корни из серии 4π/3 + 2πn находятся в III четверти, то есть для них соsx< 0. Значит, их следует исключить из ответа.