Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Найти наименьшую площадь треугольника
треугольник считается описаным вокруг эллипса если что выполнено
эллипс касается трех сторон так?
гм наверно надо пинать тот вариант что не очень хорошо получается
Может с некоторым опозданием, но меня посетила следующая мысль.
Начало, как и говорилось выше, это замена, связанная с растяжением/сжатием по осям. при этом касательные перейдут в касательные, а площадь измениться пропорционально коэффициентам растяжения/сжатия.
И вот дальше возникшая мысль о используемых переменных задачи.
Мы имеем треугольник, в который вписана единичная окружность. Рассмотрим в качестве переменных – углы при основании.
рисунок.
Поскольку центр вписанной окружности лежит на биссектрисах, то мы легко выражаем части сторон треугольника от вершины до основания радиуса через углы. с учётом того, что радиус равен 1.
`AF = AD = ctg(phi), CF = CE = ctg(psi), BD = BE = ctg(pi/2 – phi – psi) = tg(phi + psi)`
Следовательно, `S_ = p*r = ctg(phi) + ctg(psi) + tg(phi + psi)` . и условия на углы `phi >= 0, psi >= 0, phi + psi
Ну, вот . вроде обозримая задача получилась.
Площадь треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь треугольника. Для нахождения площади треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.
Площадь треугольника по основанию и высоте
Любой из сторон треугольника можно называть основанием треугольника. Если основание выбрана, то под словом “высота” понимают высоту треугольника, проведенную к основанию (Рис.1):
Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Доказательство. Пусть AC основание треугольника ABC (Рис.2).
Проведем высоту BH. Обозначим через S площадь треугольника. Докажем, что
( small S= frac <large 1> <large 2>cdot AC cdot BH. )
Из вершины B проведем прямую, параллельную стороне AC, а из C − прямую, параллельную стороне AB. Поскольку ( small AC || BD ) и ( small AB || CD ), то ABDC является параллелограммой и, следовательно, ( small AC = BD ), ( small AB = CD . ) Тогда треугольники ABC и BCD равны по трем сторонам (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Так как площадь параллелограмма ABDC равна ( small S_=AC cdot BH, ) то площадь треугольника ABC (и BCD)равна половине площади параллелограмма:
Следствие 1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.
,
,
Обозначим через k отношение
( small k= frac <large AC><large A_1C_1>. )
.
То есть отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.
Следствие 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Действительно. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, то один из них можно определить как основание, а другой − как высоту. Тогда по теореме 1, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BC, b=AC (Рис.3). Докажем, что
.
Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):
 , |
(1) |
где h − высота треугольника.
,
 |
(2) |
Подставляя (2) в (1), получим:
Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам
Пусть известна сторона треугольника и две прилежащие углы (Рис.4).
Найдем формулу площади этого треугольника. Обозначим через S площадь треугольника. Если у треугольника известны два угла, то можно найти и третий угол:
 |
(4) |
Найдем сторону b используя теорему синусов:
,
 . |
(5) |
В предыдующем параграфе мы вывели площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Подставляя (4) и (5) в (3), получим:
 . |
(6) |
Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона
Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:
 , |
(7) |
где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:
.
Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BC, b=AC, c=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB:
 |
(8) |
 |
(9) |
Из (8) и (9) следует:
Откуда находим x:
,
 |
(10) |
Подставляя (10) в (8) найдем h:
Тогда площадь треугольника равна:
Преобразовав (12) получим формулу (7):
Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности
Пусть известны все три стороны треугольника и радиус описанной окружности (Рис.6). Докажем, что площадь треугольника равна: ( small S=frac<large abc><large 4R>. )
[spoiler title=”источники:”]
http://diary.ru/~eek/p176714586_treugolnik-naimenshej-plowadi-opisannyj-okolo-jellipsa.htm
http://matworld.ru/geometry/ploshchad-treugolnika.php
[/spoiler]
Сообщения без ответов | Активные темы
Какова наименьшая возможная площадь треугольника?
Модераторы: Prokop, mad_math
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
|
spins06 |
Заголовок сообщения: Какова наименьшая возможная площадь треугольника?
|
||
|
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D, а на отрезке CD отмечена точка Е, Правильно ли я рассуждаю, для того чтобы площадь треугольника АВС была минимальной, необходимо, чтобы AB был перпендикулярен DC? Тогда, при фиксированной высоте DC треугольника ABC, площадь будет минимальной, если этот треугольник равносторонний – AC=BC – это верно?
|
||
| Вернуться к началу |
|
||
 |
Добавлено: 30 июн 2015, 03:03 
|
michel |
Заголовок сообщения: Re: Задачка
|
|
Обозначим [math]k=frac{ AD }{ DB }=frac{ CE }{ ED}[/math], тогда [math]S_{BCD}=frac{ k+1 }{ k }S_{BCE} ,S_{ABC}=(k+1)S_{BCD}=frac{ {(k+1)}^2 }{ k }S_{BCE}[/math]. Найдем минимум функции [math]f(k)=frac{ {(k+1)}^2 }{ k }[/math], [math]f(k)=k+2+frac{ 1 }{ k } geqslant 4[/math], минимум достигается, когда k=1, т.е когда [math]AD=DB,CE=ED[/math]. Итак [math]min(S_{ABC})=4S_{BCE}=48[/math]
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
| За это сообщение пользователю michel “Спасибо” сказали: nicat, spins06 |
|
|
|
spins06 |
Заголовок сообщения: Re: Задачка
|
|
michel писал(а): Обозначим [math]k=frac{ AD }{ DB }=frac{ CE }{ ED}[/math], тогда [math]S_{BCD}=frac{ k+1 }{ k }S_{BCE} ,S_{ABC}=(k+1)S_{BCD}=frac{ {(k+1)}^2 }{ k }S_{BCE}[/math]. Найдем минимум функции [math]f(k)=frac{ {(k+1)}^2 }{ k }[/math], [math]f(k)=k+2+frac{ 1 }{ k } geqslant 4[/math], минимум достигается, когда k=1, т.е когда [math]AD=DB,CE=ED[/math]. Итак [math]min(S_{ABC})=4S_{BCE}=48[/math] Спасибо. А откуда появилась 4ка в неравенстве?
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
Anatole |
Заголовок сообщения: Re: Какова наименьшая возможная площадь треугольника?
|
|
spins06 [math]left{!begin{aligned} end{aligned}right.[/math]
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Наименьшая возможная разность прогрессии
в форуме Размышления по поводу и без |
Xenia1996 |
2 |
279 |
04 апр 2018, 09:42 |
|
Наименьшая площадь описанного четырехугольника
в форуме Дифференциальное исчисление |
anpe0681 |
5 |
610 |
17 окт 2017, 23:34 |
|
Площадь сектора и площадь треугольника
в форуме Геометрия |
dserp18 |
4 |
519 |
28 июн 2017, 22:47 |
|
Возможная ежемесячная сумма
в форуме Экономика и Финансы |
Tallika |
21 |
893 |
12 июл 2015, 22:10 |
|
Наибольшая возможная нагрузка
в форуме Специальные разделы |
Merhaba |
11 |
1087 |
16 ноя 2013, 15:32 |
|
Кропоткинский анархизм и его возможная реализация
в форуме Палата №6 |
Hoper |
36 |
714 |
04 окт 2022, 15:00 |
|
Площадь треугольника
в форуме Геометрия |
jj1247 |
12 |
450 |
06 июн 2019, 08:34 |
|
Площадь треугольника
в форуме Геометрия |
Bonaqua |
5 |
403 |
03 окт 2014, 23:08 |
|
Площадь треугольника
в форуме Геометрия |
hehehe |
1 |
294 |
15 апр 2015, 12:03 |
|
Площадь треугольника
в форуме Геометрия |
pewpimkin |
13 |
600 |
25 май 2021, 19:12 |
Кто сейчас на конференции |
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Вы можете создать форум бесплатно PHPBB3 на Getbb.Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.ru
Русская поддержка phpBB
$begingroup$
The following triangle has an area $S$, and the sides $AO$ and $BO$ have the length $a$ and $b$, respectively. There is a fixed point $X$ at $(x,y)$. A point $C$ is put on the line segment $OA$, and the point $D$ is put on the intersection between the line segment $OB$ and the line $CX$. When does the area of the triangle $DCO$ have the smallest value? I think it is either when $DX=XC$, when $D$ is at $B$, or when $C$ is at $A$. Yet, if I try to prove this, calculation becomes so complicated.
zyx
34.9k3 gold badges44 silver badges108 bronze badges
asked Oct 13, 2013 at 2:25
$endgroup$
5
$begingroup$
Be warned that there is an instant “flash of insight” solution from sitting and pondering the problem long enough, and you are not far from it, so you might lose some enjoyment reading the answer.
Hint:
remove A and B from the picture
Solution. With increasing detail (move mouse/cursor over the hidden texts to reveal),
Parallelogram
which is
centered at X
and
made by rotating the figure 180 degrees
answered Oct 13, 2013 at 2:47
zyxzyx
34.9k3 gold badges44 silver badges108 bronze badges
$endgroup$
1
$begingroup$
Drop a perpendicular from D to OA and call that point P. If 0 $le$ P $le$ C the triangle ODC is split into 2 right triangles. The base of one is P and the base of the other is C – P. If D has height h, the area of POD = (1/2)hp and the area of the other is (1/2)h(C-P). Adding them up we get Area = (1/2)hp + (1/2)h(C -p) = C/2.
So we want C to be as small as possible. To fill the condition that P $le$ C, the area is minimized when the line CXD is perpendicular to OA.
However, there is a second case, when C < P . Now drop the perpendicular from C to OD, call it Q. Using the same logic as above, the area of triangle ODC will be D/2. How low can D go? Well, until C gets larger than P. In other words, until DXC is perpendicular to OA.
Same answer as above.
answered Oct 13, 2013 at 3:00
Betty MockBetty Mock
3,46214 silver badges17 bronze badges
$endgroup$
1
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Какая наименьшая площадь может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции 
а прямая AB проходит через точку M(0; 1)?
Спрятать решение
Решение.
Запишем площадь треугольника AOB:
с координатами точек 
и 
где
и
при 
следовательно, 
Прямая AB проходит через точку M, ее уравнение 
Выразим переменные a и b через параметр k, подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой AB: 
Выразим площадь треугольника
Поскольку 
то
Наименьшее значение 
при 
Ответ: 
|
0 |
Поскольку основание треугольника $%P_1QV$% одно и то же, то минимум площади будет соответствовать минимуму высоты… а этот минимум равен расстоянию между скрещивающимися прямыми – $%P_1Q$% и одной из данных прямых… Метод нахождения этого расстояния весьма стандартен: ссылка
отвечен
all_exist
|
