Как найти наивероятнейшее число попаданий

Учебник по теории вероятностей

1.8. Наивероятнейшее число успехов

Видео о решении задач о наивероятнейшем значение

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

• Далее: Формула Пуассона
• Назад: Независимые испытания. Формула Бернулли
• Примеры на формулу Бернулли
• Учебник по теории вероятностей
• Скачать формулы по теории вероятностей

Наивероятнейшее число наступления события

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Число наступлений события

, которому отвечает наибольшая вероятность,
называют наивероятнейшим числом наступления события

.
Если построен полигон распределения, то
наивероятнейшее число наступления события – это абсцисса наиболее высокой точки
полигона.

Пусть

 – наивероятнейшее
число наступления события

, тогда

Отсюда:

Формула для определения наивероятнейшего числа

Итак, наивероятнейшее число

  определяется двойным
неравенством:

Так как выражение

, то всегда существует целое число

, удовлетворяющее написанному выше двойному
неравенству. При этом если

 – целое
число, то наивероятнейших чисел два.

Смежные темы решебника:

• Формула Бернулли

Примеры решения задач

---

Пример 1

При
данном технологическом процессе 77% всей продукции – 1-го сорта.  Найдите  
наивероятнейшее    число   первосортных   изделий из 
220 изделий и вероятность этого события.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Наивероятнейшее число первосортных   изделий
найдем из двойного неравенства:

Воспользуемся

локальной теоремой Лапласа:

Вероятность
того, что в

 независимых испытания, в каждом из которых
вероятность появления события равна

, событие наступит ровно

 раз:

в нашем случае: 

Искомая вероятность:

Ответ: Наивероятнейшее число
– 170, вероятность этого события – 0,064.

---

Пример 2

Вероятность
выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 20 билетов. Найти
наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение

Наивероятнейшее число выигравших билетов найдем из двойного неравенства:

Найдем
соответствующую вероятность. Для этого воспользуемся законом Бернулли:

Ответ: 

---

Пример 3

Вероятность
появления события в каждом испытании равна 0,7. Сколько нужно провести
испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений события равнялось 10?

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Наивероятнейшее
число определяется двойным неравенством:

В нашем
случае:

Из
первого неравенства:

Из
второго неравенства:

Так как

 – целое число, получаем,

Необходимо
провести 14 испытаний.

Ответ: 14 испытаний.

---

Пример 4

За смену
работник ГАИ проходит техосмотр 30 автомашин. Вероятность того, что
произвольная автомашина не пройдет техосмотр равна 0,1. Каково наивероятнейшее
число автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены.

Решение

Для определения наивероятнейшего
числа автомашин,
не прошедших техосмотр в течение одной смены, воспользуемся двойным неравенством:

Искомое наивероятнейшее число не
прошедших техосмотр автомашин:

Ответ: 

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Вероятность
хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти: а)
наивероятнейшее число попаданий в серии из семи выстрелов и модальную
вероятность; б) что вероятнее: три попадания при четырех выстрелах или шесть попаданий
при восьми?

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Вероятность
получения с конвейера изделий 1 сорта равна 9/10. Определить вероятность того,
что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут 1 сорта. Определить
наивероятнейшее число изделий первого сорта.

---

Задача 3

На ежегодную
вечеринку приглашены 12 человек, причем каждый из них может прийти с
вероятностью 0,7 независимо от других. Найти наиболее вероятное число гостей и
его вероятность.

---

Задача 4

Система
состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента
равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность
наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа
системы, если для этого достаточно, чтобы отказали пять элементов.

---

Задача 5

При визите
страхового агента вероятность заключения договора равна 0,2. Найти
наивероятнейшее число заключенных договоров после 10 визитов и вероятность
того, что их будет заключено не больше найденного числа.

---

Задача 6

Страховой
агент при каждом визите заключает договор с вероятностью 30%. При каком числе
визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10?

---

Задача 7

Сколько надо
сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее
число попаданий в цель было равно 15?

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 8

Сколько раз надо
бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа
очков было равно 6?

---

Задача 9

Сколько раз
надо сыграть партии в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3,
чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

---

Задача 10

Вероятность
сдачи студентом каждого из семи зачетов равна 0,3. Найти вероятность сдачи: а)
пяти зачетов; б) наивероятнейшего числа зачетов; в) хотя бы одного зачета.

---

Задача 11

Страховая
компания выплачивает страховку в среднем 15% от всех клиентов.

а) Найти
вероятность того, что из 8-ми клиентов страховку выплатит менее, чем 2-м
клиентам.

б) Найти
наивероятнейшее число клиентов, получивших страховку.

---

Задача 12

Применяемый
метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того,
что из четырех больных поправятся:

а) трое;

б) хотя
бы один;

в) найти
наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому
событию вероятность.

---

Задача 13

Вероятность
попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти:
а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число
попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.

---

Задача 14

Монету подбрасывают 9 раз. Какова
вероятность, что монета 6 раз упадет гербом вверх? Определите наивероятнейшее
число выпадения герба и вычислите вероятность этого события.

---

Задача 15

Имеется 20 ящиков
однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали
окажется стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в
которых все детали стандартные.

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

в
независимых испытаниях

Число k₀
(наступления события в независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность
появления события равна p)
называется наивероятнейшим,
если
вероятность того, что событие наступит
в этих испытаниях k₀
раз, превышает (или, по крайней мере, не
меньше) вероятности остальных возможных
исходов испытаний.

Наивероятнейшее
число k₀
определяют из двойного неравенства

,

причем:

1) если число np
– q
дробное, то существует одно наивероятнейшее
число k₀;

2) если число np
– q
целое, то существует два наивероятнейших
числа, а именно: k₀
и k₀
+ 1;

3)
если число np
целое, то наивероятнейшее число k₀
= np.

Пример 2.6. Доля
изделий высшего сорта на предприятии
составляет 40%. Чему равно наивероятнейшее
число изделий высшего сорта в случайно
отобранной партии из 120 изделий?

Решение

По
условию n
= 120,
,q
= 1 – 0,4 = 0,6.

Наивероятнейшее
число k₀
находим из двойного неравенства

.

Подставим данные
задачи: 120 
0,4 – 0,6 
k₀

120 
0,4 + 0,4, получаем 47,448,4.

Так
как k₀
целое число, заключенное между 47,4 и 48,4
, то k₀
= 48.

Ответ:
48.

Пример
2.7. Вероятность
попадания в цель при одном выстреле p
= 0,7. Какова вероятность наивероятнейшего
числа попаданий, если произведено 9
выстрелов?

Решение

Находим
наивероятнейшее число попаданий из
двойного неравенства: 9 
0,7 – 0,3 
k₀

9 
0,7 – 0,7, получаем 6 
k₀

7.

Получили два
наивероятнейших числа: k₀
= 6 и k₀
= 7. Вероятности их наибольшие и равны
между собой. Найдем одно из этих значений,
например,

Ответ:
0,252.

Тест 2.7.
В результате многолетних наблюдений
для некоторой местности было установлено,
что вероятность выпадения дождя 13 июля
равна
.
Наивероятнейшее число дождливых дней
13 июля в ближайшие 50 лет равно:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
.

Вопросы для самоконтроля

1. Какой вид имеет
формула Бернулли?

2.
Когда применяются локальная и интегральная
теоремы Лапласа?

3. В каких случаях
нужно пользоваться формулой Пуассона?

4. Как определяется
малая функция Лапласа? Каковы ее свойства?

5. Как определяется
функция Лапласа? Каковы свойства функции
Лапласа?

6. Что называется
наивероятнейшим числом наступления
события в n
независимых испытаниях?

Ответы на тестовые задания

Номер теста	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6	2.7
Правильный ответ	1	2	3	1	1	2	5

3. Случайные величины, их распределение

И ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ

3.1. Понятие случайной величины. Классификация случайных

величин

Случайной
величиной
называют
величину X,
которая в результате испытания принимает
одно значение из множества возможных
значений, заранее неизвестное и зависящее
от случая.

Случайные величины
обозначаются заглавными буквами
латинского алфавита X,
Y,
Z,
…

Пример 3.1.
Число студентов на лекции – случайная
величина.

Дискретной
случайной величиной
называется случайная величина, принимающая
изолированное значение из некоторого
конечного или бесконечного промежутка.
Число ее
значений счетно.

Пример 3.2.
Случайная величина X
– число студентов на лекции. Данная
случайная величина является
дискретной.

Непрерывной
случайной величиной
называется случайная величина, которая
может принимать все значения из некоторого
конечного или бесконечного промежутка.

Пример 3.3.
Случайная
величина X
– время
финиша в соревнованиях. Данная случайная
величина является непрерывной.

Тест 3.1. Пусть
случайная величина X
– число солнечных дней в месяце. Она
является:

1. дискретной
   случайной
   величиной;

2. непрерывной
   случайной
   величиной.

Одномерной
случайной величиной
называется
случайная величина, каждое значение
которой является числом. Она изображается
точкой на числовой прямой.

Пример 3.4.
Случайная величина X
– число
студентов на лекции. Данная случайная
величина является одномерной дискретной
случайной величиной.

Пример 3.5.
Случайная
величина X
– время финиша в соревнованиях. Данная
случайная величина является одномерной
непрерывной случайной величиной.

Количественной
случайной величиной
называется
случайная величина, значение которой
может быть измерено по какой-либо шкале.

Пример 3.6.
Случайная
величина X
– оценка на экзамене. Данная случайная
величина является количественной
случайной величиной.

Качественной
случайной величиной
называется
случайная величина, значение которой
нельзя измерить по какой-либо шкале.

Пример 3.7.
Случайная
величина X
– знания студентов. Данная случайная
величина является качественной случайной
величиной.

Любая качественная
случайная величина методом экспертных
оценок может быть преобразована в
количественную, например, знания
оцениваются баллами.

Любая случайная
величина задается законом распределения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Биномиальное распределение, как мы видели, позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. В примере 6 такое число имело два значения: 5 и 6, а в примере 7 таким числом оказалось 5.

Здесь мы покажем, что отыскание такого числа может быть выполнено непоСРедственно без составления полного биномиального распределения.

Обозначая искомое число через , мы должны составить условия, обеспечивающие для него наибольшую вероятность. Это значит, что соответственный член биномиального распределения должен принимать наибольшее значение, т. Е. должен удовлетворять Неравенствам:

(1)

И

(2)

Воспользуемся формулой общего числа члена биномиального разложения. Из неравенства (1)

После сокращений получаем

Или

Отсюда (так как Р + Q = 1 )

. (3)

Из неравенства (2)

После сокращений получаем

Или

Отсюда

. (4)

Объединяя неравенства (3) и (4), мы получаем двойное неравенство

, (5)

Устанавливающее границы для числа .

Так как , то эти границы отличаются на 1. Поэтому , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда Пр целое число и когда (а отсюда и Пр+р) нецелое число, либо два значения, когда целое число.

Пример 8. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти Наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь и . Поэтому имеем нЕРавенства:

Отсюда

и

Следовательно,

Пример 9. Данные длительной проверки качества выпускаемых стандартных деталей показали, что в среднем брак составляет 7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных деталей в партии из 39 штук.

Решение. Обозначая вероятность выпуска исправной детали через Р, будем иметь Q = 0,075 и (получение бракованной детали и получение исправной детали — события противоположные). Так как здесь П=39, то искомое число можно найти из неравенств:

или

Отсюда Наивероятнейшее число исправных деталей равно 36 или 37.

Выведенные неравенства для позволяют решить и обратную задачу: по данному и известному значению Р определить общее число П всех испытаний.

Пример 10. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном выстреле составляЕТ 0,7?

Решение. Здесь и

Составляем неравенства

Отсюда

и

и

Таким образом, и , т. е. число всех выстрелов здесь может быть 22 или 23.

< Предыдущая		Следующая >



Что такое независимые испытания? Практически всё понятно уже из самого названия. Пусть производится несколько испытаний. Если вероятность появления некоего события  в каждом из них не зависит от исходов остальных испытаний, то… заканчиваем фразу самостоятельно! При этом под словосочетанием «независимые испытания» часто подразумевают повторные независимые испытания – когда они осуществляются друг за другом. Простейшие примеры:

– монета подбрасывается 10 раз;
– игральная кость подбрасывается 20 раз.

Совершенно ясно, что вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других бросков. Аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для кубика.  А вот последовательное извлечение карт из колоды не является серией независимых испытаний – очевидно, это цепочка зависимых событий. Однако если карту каждый раз возвращать обратно, то это тоже будут повторные независимые испытания.

И у нас в гостях очередной Терминатор, который абсолютно равнодушен к своим удачам / неудачам, и поэтому его стрельба представляет собой образец стабильности 🙂

Задача 65
Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна . Найти вероятность того, что:
а) стрелок попадёт только один раз, б) стрелок попадёт 2 раза.

Решение: условие сформулировано в общем виде и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле считается известной. Она равна  (если совсем тяжко, присвойте параметру какое-нибудь конкретное значение, например, ).

Коль скоро мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле:
, то есть, «ку» – это тоже известная нам величина.

а) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт только один раз» и обозначим его вероятность через  (индексы понимаются как «1 попадание из 4»).  Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: стрелок попадёт в 1-й или во 2-й, или в 3-й, или в 4-й попытке. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

Упростим результат с помощью комбинаторной формулы количества сочетаний:
 способами можно выбрать попытку, в которой стрелок попал, и, поскольку в каждом исходе имеет место 1 попадание и 3 промаха, то:
 – вероятность того, что стрелок попадёт только 1 раз из 4.

…как-то так «с лёгкой руки» я начал называть повторные независимые испытания «попытками», что не в каждой задаче может быть корректным в содержательном плане… …ну да ладно.
б) Рассмотрим событие «Стрелок попадёт два  раза» и обозначим его вероятность через  («2 попадания из 4»). Здесь исходов будет уже больше, попадания возможны:

в 1-й и 2-й попытках
или
в 1-й и 3-й попытках,
или
в 1-й и 4-й попытках,
или
во 2-й и 3-й попытках,
или
во 2-й и 4-й попытках,
или
в 3-й и 4-й попытках.

Таким образом, по тем же теоремам сложения и умножения вероятностей:

Можно ли так решать задачу? Безусловно, можно. Но что делать, если серия состоит из 5, 6 или бОльшего количества выстрелов? Тут уже будут получаться десятки слагаемых, запись которых отнимет много времени и места. В этой связи гораздо рациональнее придерживаться более компактной схемы:
 способами (перечислены выше) можно выбрать 2 попытки, в которых произойдут попадания.

И, поскольку в любом исходе ровно 2 попадания и 2 промаха, то:
 – вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза из 4.

Ответ:

Итак – вероятность того, что будет 1 попадание из 4, равна , вероятность того, что будет 2 попадания из 4, равна , …не замечаете ли вы закономерности?

Только что на конкретном примере мы повторили путь Якоба Бернулли, который несколько веков назад вывел формулу, названную позже в его честь:

За примером далеко ходить не будем:

Задача 66
Найти вероятность того, что при 10 бросках монеты орёл выпадет 3 раза.

Решение: сначала немного порассуждаем: всего проводится 10 повторных независимых испытаний. Сколькими способами можно выбрать 3 испытания из 10, в которых выпадет орёл? Считаем:
 способами.

Это что же получается, нужно записывать 120 слагаемых, в каждом из которых 10 множителей?! Конечно, нет! – ведь есть формула Бернулли:

, в данном случае:

 – всего испытаний;
 – количество испытаний, в которых должен появиться орёл;
 – вероятность появления орла в каждом испытании;
 – вероятность появления решки в каждом испытании.

Таким образом:
 – вероятность того, что при 10 бросках монеты орёл выпадет ровно 3 раза.

Ответ:

Следует отметить, что повторный характер независимых испытаний не является «жизненно важным» условием для применения формулы Бернулли. Рассмотрим похожую задачу:
Найти вероятность того, что при броске 10 монет орёл выпадет на 3 монетах.

Здесь испытания не повторяются, а скорее, производятся одновременно, но, тем не менее, работает та же самая формула: .

Решение будет отличаться смыслом и некоторыми комментариями, в частности:
 способами можно выбрать 3 монеты, на которых выпадет орёл.
 – вероятность выпадения орла на каждой из 10 монет
и т.д.

Однако на практике подобные задачи встречаются не столь часто, и, видимо, по этой причине  формула Бернулли чуть ли не стереотипно ассоциируется только с повторными испытаниями. Хотя, как только что было показано, повторяемость вовсе не обязательна.
Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 67
Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:

а) не выпадут (выпадут 0 раз);
б) выпадут 2 раза;
в) выпадут 5 раз.

Результаты округлить до 4 знаков после запятой.

Очевидно, что в рассматриваемых примерах некоторые события более вероятны, а некоторые – менее вероятны. Так, например, при 6 бросках кубика даже безо всяких расчётов интуитивно понятно, что вероятности событий пунктов «а» и «бэ» значительно больше вероятности того, что «пятёрка» выпадет 5 раз. И на уровне интуиции легко сделать вывод, что наивероятнейшее количество появлений «пятёрки» равно единице – ведь всего граней шесть, и при 6 бросках кубика каждая из них должна выпасть в среднем по одному разу. Желающие могут вычислить вероятность  и посмотреть, будет ли она больше «конкурирующих» значений  и .

Теперь сформулируем строгий критерий на этот счёт:

Найдём наивероятнейшее число  появлений «пятёрки» при 6 бросках кубика. Сначала вычислим:
 – целое число, таким образом, это частный случай 1-го пункта и .
Как вариант, можно воспользоваться общей формулой:

 – полученному неравенству удовлетворяет единственное целое значение .
В целях закрепления материала решим пару задач:

Задача 68
Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность.

Решение: для оценки наивероятнейшего числа попаданий используем двойное неравенство . В данном случае:

 – всего бросков;
 – вероятность попадания в корзину при каждом броске;
 – вероятность промаха при каждом броске.

Таким образом, наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках находится в следующих пределах:

Поскольку левая граница (1,7) – дробное число (пункт № 1 критерия – см. выше), то существует единственное наивероятнейшее значение, и, очевидно, что это .

Используя формулу Бернулли ,  вычислим вероятность того, что при 8 бросках будет ровно 2 попадания:
 

Ответ:  – наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках,  – соответствующая вероятность.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Задача 69
Монета подбрасывает 9 раз. Найти вероятность наивероятнейшего числа появлений орла

Решение и ответ в конце книги.

А сейчас немного отвлёчёмся и рассмотрим весьма любопытную ситуацию: предположим, что во всех 9 испытаниях выпал орёл. Что, кстати, не являются каким-то уж сильно невероятным событием:  😉

Вопрос: какая сторона монеты вероятнее всего выпадет в 10-м испытании?

Как вы думаете?

…ответьте на этот вопрос и перейдите на следующую страницу.

Правильный ответ: вероятности останутся равными! Почему? Причина была сформулирована в начале параграфа: поскольку испытания независимы, то вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других испытаний!

Однако игры разума таковы, что у многих людей напрашивается следующий вывод: раз орёл выпал много раз подряд, то теперь выпадение решки гораздо (!) вероятнее. Этот психологический феномен получил название Ошибка игрока. Если подбрасывать монету тысячи, десятки тысяч раз, то соотношение орлов / решек будет примерно равным (о чём мы ещё поговорим). Но в этом процессе неоднократно встретятся эпизоды, когда монету «заклинит» на какой-то одной грани, и КАК ИМЕННО распределятся эти «необычные» серии на длинной дистанции – никто не знает.

К слову, о «необычности». Любая случайная последовательность девяти орлов/решек так же вероятна, как и выпадение 9 орлов! Проверить данный факт легче лёгкого: запишем произвольную последовательность исходов, например:
Орёл/Решка/Решка/Орёл /Решка/ Орёл /Решка/ Орёл /Орёл

По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность появления этой цепочки:
, что в точности равно вероятности выпадения девяти орлов !

И здесь мы сталкиваемся со второй иллюзией – человек склонен считать «красивые» комбинации чем-то из ряда вон выходящим и чуть ли не фантастическим. Но на самом деле ничего необычного, например, в комбинации О/О/О/Р/Р/Р/О/О/О  – нет, и она может запросто появиться в серии испытаний.

Вероятность получить, скажем, пиковый «Ройял-флеш» в покересоставляет 1:2598960, однако мало кто задумывается, что с той же вероятностью приходит ЛЮБАЯ, в том числе, совершено «мусорная» комбинация из пяти карт! И с этой точки зрения «сверхъестественная» комбинация  10, В, Д, К, Т пик ничем не примечательна – встречалась «в истории» наряду с другими очень много раз. И поэтому «Ройял-флеш» может запросто оказаться у вас или у вашего соперника.

Кстати, к теме нашего разговора относятся и типичные ситуации в играх, в частности, в картах – когда «карта идёт», и наоборот – когда постоянно сдают «один мусор» или «фатально не везёт». Такие «полосы» встречаются у каждого игрока, и никакой мистики в этом нет. Да что там игры, в жизни то же самое – пресловутые «чёрные и белые полосы».

На просторах Интернета часто встречается популярный «секрет выигрыша» в рулетку, известный также под названием «Мартингейл». Краткая суть системы состоит в следующем: «Ставьте на красное. Если выпало чёрное, удваивайте ставку и снова ставьте на красное. Если снова выпало чёрное, то ещё раз удваивайте ставку и снова ставьте на красное и т.д.». Казалось бы – вот оно, золотое дно, ведь красных секторов целых 18 из 37! (+ 18 черных и 1 зеро в европейской рулетке). И уж «красное» должно (!) выпасть если не на 5-й, то на 10-й раз точно, что позволит отыграть всё ранее поставленное с прибылью!

Ничего подобного!

Вероятность выпадения красного сектора в любом испытании постоянна  и никак не зависит от результатов предыдущих испытаний. Постоянна – и проигрышна (т.к. поставленные на «красное» деньги с вероятностью  проигрываются, а в случае успеха удваиваются). Длинная серия «чёрного» обязательно появятся (рано или поздно) и разорит даже Билла Гейтса. Поэтому данный «секрет», как и все остальные системы игры в рулетку – не работает.

«Ошибка игрока» совершается и многими участниками лотерей. Она состоит в том, что люди пытаются предугадать числа на основе статистики предыдущих тиражей. Чистой воды химера и пустая трата времени – если, например, № 8 не выпадал 50 раз подряд, то он с таким же успехом может не выпасть ещё 150 раз (это не ирония). Однако если провести десятки тысяч тиражей, то количество появлений всех номеров будет примерно равным, но В КАКОМ ПОРЯДКЕ И КАКИМИ СЕРИЯМИ будет выпадать та же «восьмёрка» на длинной дистанции – никто предсказать не может.

А теперь ответим на один важный вопрос:

Как правильно играть в азартные игры и лотереи? – в чём главный секрет?

Наверное, многие ожидают услышать от меня что-нибудь вроде: «Лучше вообще не играть», «Открыть собственное казино», «Организовать лотерею» и т.п. Ну почему же не играть? Игра – это одно из развлечений, а за развлечения, как известно, нужно… совершенно верно! Поэтому средства, на которые вы играете, следует считать платой за развлечение, но ни в коем случае трагической потерей. Что касается лотерей, то билет лучше покупать опять же ради развлечения и наобум. Или «по наитию». Правда, лично я никогда не слышал, чтобы кто-то из «счастливчиков» рассказывал о своём предчувствии.

Естественно, перечисленные советы не относятся к хроническим лудоманам и им как раз таки «Лучше вообще не играть». И после столь увлекательного отступления рассмотрим ещё несколько задач по теме:

Задача 70
Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:

а) от 2 до 4 изделий первого сорта;
б) не менее 5 изделий первого сорта;
в) хотя бы одно изделие более низкого сорта.

Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому в задаче речь идёт о независимых испытаниях. Пожалуйста, не подходите формально и не пренебрегайте подобным анализом условия, а то может статься, события-то зависимые или задача вообще о другом.

Решение: вероятность зашифрована под проценты, которые, напоминаю, нужно разделить на сто:  – вероятность того, что выбранное изделие будет 1-го сорта. Тогда:  – вероятность того, что оно не будет первосортным.

а) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта» состоит в трёх несовместных исходах: среди  изделий будет 2 первосортных или 3 первосортных, или 4 первосортных.

С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли :

 

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4 изделий первого сорта.

Решение можно было записать и «одной строкой», что мы и сделаем в следующем пункте:

б) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет не менее 5 изделий первого сорта» состоит в двух несовместных исходах: первосортных изделий будет пять или шесть. По формуле Бернулли и теореме сложения вероятностей несовместных событий:

 – искомая вероятность.

в) Вероятность того, что «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет хотя бы одно изделие более низкого сорта» удобно найти через вероятность противоположного события («Все изделия будут первосортными»), которая уже известна:

 – вероятность того, что среди шести отобранных изделий окажется хотя бы одно низкосортное.

Ответ: , и подобных задач пруд пруди.

Давайте заодно вспомним такое полезное понятие, как полная группа событий. Что осталось не найденным? Остались не найденными вероятности двух событий. Не хотел я лишний раз заострять внимание на Калькуляторе по теории вероятностей, который приложен к книге, но быстроты ради воспользуюсь:

 – но на чистовике так, конечно, делать не нужно – обязательно расписывайте вычисления подробно!

Проверка:
,
что и требовалось проверить

Небольшое задание для самостоятельного решения:

Задача 71
Производится 8 выстрелов по цели, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,1. Для разрушения цели требуется хотя бы два попадания. Найти вероятность того, что цель будет разрушена

Формула Бернулли очень удобна, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. В частности, при достаточно больших значениях  и  её применение затруднено ввиду огромных значений факториалов. В этом случае используют теоремы Лапласа. В другой распространённой на практике ситуации вероятность  достаточно мала, а количество испытаний  весьма велико. Здесь вопрос разрешается с помощью формулы Пуассона, с неё и начнём:

1.10. Формула Пуассона

1.8. Формулы Байеса

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин