Как найти накопленную частоту медианы

В статистических исследованиях довольно широко применяются средние величины. Их нахождение позволяет выявить типичное значение признака исследуемой совокупности. Например, типичный уровень доходов покупателей или возраст большинства клиентов компании. При этом вычисление, к примеру, среднего арифметического не всегда уместно.

Представим такую ситуацию: мы опросили 10 человек на предмет их уровня доходов. У 9-х доходы оказались примерно одинаковыми и составили 10 тыс. руб. Что касается 10-ого опрошенного, то оказалось, что его доход равняется 410 тыс. руб. в месяц. Если мы вычислим простое среднее арифметическое, то типичный доход будет равняться 50 тыс. руб.! Но это явно не так. В таких ситуациях более объективную и правдоподобную картину дает вычисление моды или медианы, которые относятся к структурным средним показателям.

Понятие медианы

Медиана (Me) — значение признака в исследуемом ряду величин, которое делит этот ряд на две равные части.

То есть половина (50%) всех значений в исследуемом ряду будет меньше медианы, а другая половина — больше ее. Поэтому медиану еще называют 50-й перцентиль или квантиль 0,5.

Формула для расчета медианы

Если значений немного, то медиану можно определить «на глазок». Для этого достаточно расположить все значения в порядке возрастания и найти середину.

Если число случаев четное и в центре ряда находятся два разных числа, то медианой будет среднее между ними (даже если такого значения нет в самом ряду исследуемых случаев). Например, в ряду 1 2 3 4 5 6, медианой будет 3,5.

Для нахождения медианы в более сложных случаях (по интервальным рядам) используется специальная формула:

где: M_e — медиана;

X_me — нижняя граница медианного интервала (того интервала, накопленная частота которого превышает полусумму всех частот);

i_me — величина медианного интервала;

f — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);

S_me-1 — сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу;

f_me — число значений в медианном интервале (его частота).

Пример вычисления медианы

Был проведен опрос среди покупателей с целью выяснить их типичный возраст. По результатам опроса было установлено, что: 25 покупателей имеют возраст до 20 лет; 32 покупателя — 20-40 лет; 18 покупателей — 40-60 лет; 15 покупателей — свыше 60 лет. Найдем медиану.

Сначала находим медианный интервал. Для этого вычисляем сумму частот: 25 + 32 + 18 + 15 = 90. Половина этой суммы — 45. Это соответствует возрастной группе 20-40 лет (т. к. полученная полусумма частот — 45, и накопленная частота 1-й группы меньше ее, а 3-ей — больше). Тогда нижняя граница медианного интервала — 20 (лет), а величина медианного интервала — 20 (40 лет за вычетом 20). Сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу — 25. Число значений в медианном интервале — 32 (количество покупателей в возрасте 20-40 лет).

Расчетное значение медианы — 32,5. Округив его, получим средний возраст покупателя — 33 года.

Область применения медианы

При вычислении типичного признака неоднородных рядов, имеющих «выбросы» — значения во много раз отличающиеся от других значений ряда.

Особенности медианы

• Медиана обладает высокой робастностью, то есть нечувствительностью к неоднородностям и ошибкам выборки;
• Сумма разностей между членами ряда выборки и медианой меньше, чем сумма этих разностей с любой другой величиной. В том числе с арифметическим средним.

© Копирование любых материалов статьи допустимо только при указании прямой индексируемой ссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl + Enter.

Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Медиана // Сайт преподавателя экономики. [2013]. URL: https://galyautdinov.ru/post/mediana (дата обращения: 24.05.2023).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4.

Расчёт структурных характеристик
вариационного ряда распределения.

Студент
должен:

знать:

–   область применения и методику расчёта структурных
средних величин;

уметь:

–   исчислять структурные средние величины;

–   формулировать вывод по полученным результатам.

Методические указания

В
статистике исчисляются мода и медиана, которые относятся к структурным средним,
так как  их величина зависит от строения статистической совокупности.

Расчёт моды

Модой называется значение признака
(варианта), чаще всеговстречающееся в изучаемой
совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей
частотой.

Например: Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется
следующим образом:

Размер обуви	34	35	36	37	38	39	40	41
Количество проданных пар	8	19	34	108	72	51	6	2

В этом ряду
распределения  модой является 37 размер,
т.е. Мо=37 размер.

Для
интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где Х_Mo –
нижняя граница модального интервала;

h_Mo  – величина модального интервала;

f_Mo –
частота модального интервала;

f_{Mo–1  и} 
f_Mo+1 – частота интервала соответственно

предшествующего модальному и следующего за ним.

Например:
Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Стаж работы, лет	до 2	2-4	4-6	6-8	8-10	10 и более
Число рабочих, чел.	4	23	20	35	11	7

Определить моду
интервального ряда распределения.

Мода интервального ряда составляет

Мода всегда бывает
несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного
положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при
изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п.

Расчёт медианы

Медианой в статистике называется варианта,
расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит
статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины
значения меньше медианы, а у другой половины – больше её. Для определения
медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания
или убывания индивидуальных значений признака.

В дискретном
упорядоченном ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта,
расположенная в центре ряда.

Например: Стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7
лет, т.е. Ме=7 лет

Если дискретный
упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя
арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.

Например: Стаж работы шести рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду
имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя
арифметическая из этих значений и будет медианой ряда

 

Чтобы определить медиану для
сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.

Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви

Размер обуви	Количество проданных пар	Сумма накопленных частот
34	8	8
35	19	8+19=27
36	34	27+34=61
37	108	61+108=169
38	72	–
39	51	–
40	6	–
41	2	–
Итого	300

Для
определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание
итога продолжается до получения накопленной суммы  частот, превышающей половину суммы частот
ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина – 150. Накопленная
сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е.
37 и есть медиана ряда.

Если
же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы
частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и
последующей.

Например: По имеющимся данным определим медиану заработной платы рабочих

Месячная заработная плата, тыс.руб.	Число рабочих, чел.	Сумма накопленных частот
14,0	2	2
14,2	6	2+6=8
16,0	12	8+12=20
16,8	16	–
18,0	4	–
Итого:	40	–

Медиана будет равна:

Медиана
интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

Где  Х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

h_Me –
величина медианного интервала;

∑f 
– сумма частот ряда;

f_Ме – частота медианного интервала;

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности
промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в интервальном
вариационном ряду

Группы предприятий по численности ППП, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот
100-200	1	1
200-300	3	1+3=4
300-400	7	4+7=11
400-500	30	11+30=41
500-600	19	–
600-700	15	–
700-800	5
Итого:	80

Определим, прежде всего,
медианный интервал. В данном примере сумма накопленных частот, превышающих половину
суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это и есть медианный
интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Определим её
значение

Если же сумма накопленных частот
против одного из интервалов равна точно половине суммы частот ряда, то медиана
определяется по формуле:

где n – число
единиц в совокупности.

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по
численности промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в
интервальном вариационном ряду

Группы предприятий по численности ППП, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот
100-200	1	1
200-300	3	1+3=4
300-400	6	4+6=10
400-500	30	10+30=40
500-600	20	40+20=60
600-700	15	–
700-800	5
Итого:	80

чел

Моду и медиану в
интервальном ряду можно определить
графически:

моду
в дискретных рядах – по полигону распределения, моду в интервальных рядах – по
гистограмме распределения, а медиану – по кумуляте.

Мода интервального ряда распределения
определяется по гистограмме распределения определяют
следующим образом. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который
является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального
прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А
левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего
прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось
абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Медиана рассчитывается по
кумуляте. Для её определения из точки на шкале
накопленных частот (частостей), соответствующей 50%,
проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до
пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения
указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр
на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Кроме моды и медианы в вариантных рядах могут быть
определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили
предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.

Квантиль – это значение
признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку
совокупности. Различают следующие виды квантилей:

–      квартили  – значения признака, делящие упорядоченную
совокупность на четыре
равные части;

–      децили
– значения признака, делящие упорядоченную совокупность на десять
равных частей;

–      перцентели –
значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения
можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана. При выборе вида и формы конкретного показателя
центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

–                
для устойчивых социально-экономических
процессов в качестве показателя центра используют среднюю
арифметическую. Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в
которых ;

–                
для неустойчивых процессов положение
центра распределения характеризуется с помощью Mo
или Me. Для асимметричных процессов предпочтительной
характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает
положение между средней арифметической и модой.

,(20)

где
–
нижняя граница медианного интервала;– величина медианного интервала;–
накопленная частота (или частость)
интервала, предшествующего медианному;–
половина суммы всех частот (или частостей);– частота медианного интервала.

При
исчислении медианы интервального
вариационного ряда сначала находят
интервал, содержащий медиану. Для этого
используют накопленные частоты (или
частости). Медианному
интервалу соответствует первая из
накопленных частот (или частостей),
превышающая половину всего объёма
совокупности.

Пример:
процент выполнения норм выработки (х).

Интервалы	xi	mi	Накопленные частоты
90–100	95	3	3
100–110	105	8	11
110–120	115	7	18
120–130	125	2	20
Σ	–	20	–

Первая из накопленных
частот превышает 0,5·Σm_i,
т.е. 10:

0,5·Σm_i,
= 10.

Значит медианный
интервал (100–110):

=
100; = 3;

k
=
100 – 100 = 10; = 3;

11. Мода

В математической
статистике модой
называют вариант, наиболее
часто встречающийся в данном вариационном
ряду.

Для дискретного
ряда мода
определяется по наибольшей частоте и
соответствует
варианту с наибольшей частотой.

Мода для непрерывного
(интервального с равными интервалами)
ряда исчисляется по формуле:

,(21)

где
х_Мо(min) –
нижняя граница модального интервала;

m_Мо –
частота модального интервала;

m_Мо–1 –
частота интервала, предшествующего
модальному;

m_Мо+1
– частота интервала, последующего за
модальным;

k_i
– величина модального интервала.

Может
быть: одна мода –
унимодальное распределение;

две моды –
бимодальное распределение;

три и более –
мультимодальное распределение.

Модальный интервал
определяется по набольшей частоте.

Пример:

Интервалы	mi
90–100	3
100–110	8
110–120	7
120–130	2
Σ	20

Модальный интервал
(100–110), т.к. он имеет наибольшую частоту.

х_Мо(min)
= 100

k
=
10 m_Мо–1
= 3;

m_Мо
= 8; m_Мо+1
= 7;

Мо
≈108,3

Показатели колеблемости (вариации) признака

Такие признаки,
как заработная плата, профессия, число
членов семьи, возраст и т.д. — варьируют.

Для измерения
вариации признака математическая
статистика применяет ряд показателей.

12.
Вариационный размах (R),
или широта распределения

R
= x_max
– x_min

(22)

применялся в
формуле (8.6)

x_max
— наибольший вариант вариационного
ряда.

x_min
— наименьший вариант вариационного
ряда.

R
представляет
собой величину неустойчивую, зависящую
от случайных обстоятельств. Она
применяется в качестве приблизительной
оценки вариации.

Среднее
линейное отклонение

невзвешенное

взвешенное
(23)

13
Дисперсия (средний квадрат отклонения)

невзвешенная

взвешенная
(24)

Упрощённая
формула дисперсии

,
(25)

где

14.
Среднее квадратическое отклонение
(с.к.о.)

(26)

15.
Коэффициент вариации (υ)

(27)

Применяется
только для признака, принимающего только
положительные значения.

Если ν > 40%, то это
говорит о большой колеблемости признака
в изучаемой совокупности (например
большая колеблемость товарооборота в
регионе).

–коэффициент
осцилляции

–коэффициент
вариации по среднему линейному
отклонению.

16.
Свойства дисперсии

1. σ²(С)
= 0, где
С –
const.

2. Если все
значения вариантов признака Х уменьшить
на постоянную величину, то дисперсия
не изменится.

3. Если все
значения вариантов признака Х увеличить
в k
раз, то дисперсия увеличится в k²
раз.

4. Вычисление
дисперсии методом отсчёта от условного
нуля (методом моментов).

(28)

17.
Частные средние и частные дисперсии

Пусть вся совокупность
разбита на l
групп. Для каждой группы вариантов
вариационного ряда можно вычислить
средние, которые называются частными
средними
и дисперсии, которые называются частными
дисперсиями или внутригрупповыми
дисперсиями.
Пусть l
групп:

(29)

j=1,
2, …, l;

Σm_i
= N_j
– объём j-ой
группы

–частная средняя
j-ой
группы

(30)

Частные средние
могут не совпадать с общей средней
.
Убедимся в этом:

n1 = 3	n2 = 5	n3 = 2
x1 x2 x3	x4 x5 x6 x7 x8	x9 x10
m1 m2 m3	m4 m5 m6 m7 m8	m9 m10

Разбили на три
группы. l=3.
Группы не пересекаются

n₁
+ n₂
+ … + n_l
= k

n1, n2, n3 – число вариантов в группе	k = 10
3 + 5 + 2 = 10

m₁
+ m₂
+ m₃
= N₁
– объём 1^ой
группы (сумма
частот в 1^ой
группе)

m₄
+ m₅
+ … + m₈
= N₂
– объём 2^ой
группы

m₉
+ m₁₀
= N₃
– объём 3^ей
группы

N_j
– объём j^той
группы

j
= 1, 2, … , l

или

i
= 3 + 5 + 1 = 8 + 1 = 9

Итак

,

где j
= 1, 2, …, l

Отсюда видно, как
получается формула (29).

Соседние файлы в папке 11-03-2014_20-15-21

• #
• #

8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)

 Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.

---

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается  в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

---

В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.

---

Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

(8.16 – формула Моды)

---

где х_о – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f_Мо+1– частота интервала следующая за модальным.

---

---

Медианой  называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится  непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:

                                           (8.17 – формула Медианы)

---

где х_о – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме– порядковый номер медианы (Σf/2);

S _Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;

f_Ме –  частота медианного интервала.

---

Пример вычисления Моды.

Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4 – Распределение семей города N  по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накоп- ленные частоты	в % к итогу
До 5000	600	600	6
5000-6000	700	1300 (600+700)	13
6000-7000	1700 (fМо-1)	3000 (S Me-1 ) (1300+1700)	30
7000-8000  (хо)	2500 (fМо) (fМе)	5500 (S Me)	55
8000-9000	2200 (fМо+1)	7700	77
9000-10000	1500	9200	92
Свыше 10000	800	10000	100
Итого	10000	–	–

Пример вычисления Моды. Найдем моду по формуле (8.16) см. обозначения в таблице, а h = 8000-7000=1000, т.е. получаем:

Пример вычисления Моды

---

Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

1) сначала находим  порядковый  номер медианы: N_Ме = Σf_i/2= 5000.

2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее  значение медианы  определим по формуле (8.17):

Пример вычисления Медианы

---

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

---

Пример .СРЕДНИЙ, МЕДИАННЫЙ И МОДАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ  ЦЕЛОМ ПО РОССИИ И ПО СУБЪЕКТАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗА 2013 год см. по ссылке. Источник: оценка на основании данных ^{выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств и макроэкономического показателя денежных доходов населения}

---

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

Если Мо<М_е<Х – имеет место правосторонняя асимметрия.

При Х<М_е<Мо следует сделать вы­вод о левосторонней асимметрии ряда.

---

Средние величины (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая) см. по ссылке

Оценка статьи:

Загрузка…

Содержание:

В результате статистической обработки материалов, полученных при измерении величины явления, можно подсчитать число единиц, обладающих конкретным значением того или иного признака.

Допустим, что в качестве изучаемого признака взят вес детали. Будем обозначать этот признак X. Измерения веса, например, 50 деталей дали следующие результаты (в г): 83, 85, 81, 82, 84, 82, 79, 84, 80, 81, 82, 82, 80, 82, 80, 82, 83, 84, 79, 79, 83, 82, 83, 85, 82, 82, 81, 80, 82, 82, .83,80, 82, 85, 81, 83, 81, 81, 83, 82, 81, 85, 83, 79, 81, 85, 81, 84, 81, 82.

Условились каждое отдельное значение признака обозначать

Если мы расположим отдельные значения признака (варианты) в возрастающем или убывающем порядке и укажем относительно каждого варианта, как часто он встречался в данной совокупности, то получим распределение признака, или вариационный ряд.

Вариационные ряды и их характеристики

Построим вариационный ряд для приведенного выше примера. Для этого находим наименьший вариант, равный 79 г, и, располагая варианты в возрастающем порядке, подсчитываем их частоту. Так, вариант 79 г встречается 4 раза, вариант 80 г — 5 раз и т. д. Расположим полученные варианты следующим образом (см. табл. 1).

Такой ряд называется вариационным рядом; он характеризует изменение (варьирование) какого-нибудь количественного признака (в нашем примере варьирование веса деталей). Следовательно, вариационный ряд представляет собой две строки (или колонки). В одной из них приводятся варианты, а в другой частоты.

Виды вариации

Вариация признака может быть дискретной и непрерывной. Дискретной вариацией признака называется такая, при которой отдельные значения признака (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число), т. е. даны в виде прерывных чисел. Непрерывной называется вариация, при которой значения признака могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину. В качестве примера можно привести: для дискретной вариации признака — число станков, обслуживаемых одним рабочим, число семян в 1 кг и т. д.; для непрерывной вариации признака— процент выполнения рабочим нормы выработки, вес одного семени и т. д.

При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся не к отдельному значению признака, как это бывает при дискретной вариации, а ко всему интервалу. Часто за значение интервала принимают его середину, т. е. центральное значение. В качестве примера можно привести интервальный вариационный ряд по проценту выполнения норм выработки.

Пример 1.

Распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки.

Частость

Нередко вместо абсолютных значений. частот используют относительные величины. Для этой цели можно использовать долю частоты того или иного варианта (а также интервала) в сумме всех частот. Такая величина называется частостью и обозначается

Мы имеем частоты

Для получения суммы всех частот их нужно сложить

В математике используется знак (греческая буква сигма заглавная), означающий суммирование.

Следовательно, можно записать:

где значки 1=1 и i=n под и над  показывают, что суммированию подлежат все  при условии, что i принимает все целые значения от 1 до n.

В дальнейшем в подобных случаях (т. е. при суммировании по подстрочному номеру i) мы не будем записывать значения, принимаемые i, но будем помнить смысл записи (уже без указания значений, принимаемых i).

Для получения частости каждого варианта или интервала-нужно его частоту разделить на
   и т.д.,
где — частость первого варианта или интервала, — второго и т. д.

Вычислим частости, используя данные табл. 1:

Сумма всех частостей равна 1:

В нашем примере
0,08+0,1+0,2+0,28+0,16+0,08+0,1 = 1,00.
Частости можно выражать и в процентах (тогда сумма всех частостей равна 100%).

Границы интервалов

В интервальном вариационном ряду в каждом интервале различают нижнюю и верхнюю границы интервала:

• нижняя граница интервала
• верхняя граница интервала
• величина интервала

При построении интервальных вариационных рядов в каждый интервал включаются варианты, числовые значения которых больше нижней границы и меньше или равны верхней грани це. Так, в табл.12 в интервал 95—100% попадают все рабочие, выполнившие нормы выработки от 95 до 100% включительно. Рабочие, выполнившие план на 100,01%, попадают в следующий интервал. Разумеется надо стремиться строить интервалы так, чтобы избегать попадания значительного числа случаев на границы интервалов.

Интервальные вариационные ряды бывают с одинаковыми и неодинаковыми интервалами. В последнем случае чаще всего встречаются интервалы последовательно увеличивающиеся.

Пример 2.

Вариационный ряд с равными интервалами:

Пример 2а.

Вариационный ряд с последовательно увеличивающимися интервалами:

Свойства сумм

Как видно (и из дальнейшего изучения материала), нам приходится иметь дело с суммами. Рассмотрим некоторые свойства сумм.

1)    Сумма ограниченного числа слагаемых, имеющих одну и ту же величину (сумма постоянной), равна произведению величины слагаемых на их число:

2)    Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака суммы и введен под знак суммы:

3)    Сумма алгебраической суммы нескольких переменных равна алгебраической сумме сумм каждой переменной:

(легко обобщается на большее число слагаемых).

Величина интервала

Для выбора оптимальной величины интервала, т. е. такой величины интервала, при которой вариационный ряд не будет очень громоздким и в нем не исчезнут особенности явления, можно рекомендовать формулу:

где n — число единиц в совокупности.

Так, если в совокупности 200 единиц наибольший вариант равен 49,961, а наименьший — 49,918, то

Следовательно, в данном случае оптимальной величиной интервала может служить величина 0,005.

Плотность распределения

В качестве характеристики ряда распределения применяют плотность распределения, которую вычисляют как отношение-частот или частостей к величине интервала.  

Различают абсолютную плотность распределения:

и относительную плотность распределения:

где -— плотности распределения, абсолютная (со значком А) и относительная (со значком О).

Пример 3.

По данным примера 2 вычислим относительную плотность распределения. Для первого интервала

для второго интервала

Расщепление интервалов

Часто возникает необходимость в расщеплении интервалов. Для этой цели можно воспользоваться следующим методом для интервальных вариационных рядов с равными интервалами.

Расщепление производится при предположении, что плотность вариационного ряда изменяется по параболе второго порядка. Имеется в виду, что весь интервал разбивается на две части: первую, составляющую долю  в величине интервала, и вторую 1—. Соответственно частость расщепляемого интервала F распадается на В этом случае:

где А —    частость интервала, предшествующего расщепляемому;

В —    частость расщепляемого интервала;

С —    частость интервала, последующего за расщепляемым;

—    приращение частости интервала, предшествующего расщепляемому ();

 —    второе приращение частостей — (В—А)=С—2В+А].

Пример 4.

По данным примера 2 произведем расщепление интервала 100—125% на две части, выделим часть интервала 100—120% и определим удельный вес рабочих, выполняющих норму выработки от 100 до 120%.

Имеем:

Получаем частость по соответствующей формуле:

В случае неравных интервалов вычисление усложняется.

Графические методы изображения вариационных рядов

Большое значение для наглядного представления вариационного ряда имеют графические методы его изображения. Вариационный ряд графически может быть изображен в виде полигона, гистограммы, кумуляты и огивы.

Полигон распределения (Дословно – многоугольник распределения) строится в прямоугольной системе координат. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты или частости (точнее — плотности распределения) — по оси ординат.

На оси абсцисс отмечаются точки, соответствующие, величине вариантов, и из них восстанавливаются ординаты (перпендикуляры), длина которых соответствует численности этих вариантов. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Чаще всего полигоны применяются для изображения дискретных вариационных рядов, но могут быть применены и для интервальных рядов. В этом случае ординаты, пропорциональные частоте или частости интервала, восстанавливаются перпендикулярно оси абсцисс в точке, соответствующей середине данного интервала. Для замыкания крайние ординаты соединяются с •серединой интервалов, в которых частоты или частости равны нулю.

Пример 5.

По данным примера 1 строим полигон.

 

Гистограмма распределения строится аналогично полигону в прямоугольной системе координат. В отличие от полигона при построении гистограммы на оси абсцисс берутся не точки, а отрезки, изображающие интервал, а вместо ординат, соответствующих частотам или частостям отдельных вариантов, строят прямоугольники с высотой, пропорциональной частотам или частостям интервала.

В случае неравенства интервалов гистограмма распределения строится не по частотам или частостям, а по плотности интервалов (абсолютной или относительной). При этом общая площадь гистограммы равна численности совокупности, если построение производится по абсолютной плотности, или единице, если гистограмма построена по относительной плотности.

Если соединить прямыми линиями середины верхних сторон прямоугольников, то получим полигоны распределения.

Разбивая интервалы на несколько частей и исходя из того, что вся площадь гистограммы должна остаться при этом неизменной, можно получить мелкоступенчатую гистограмму, которая в пределе (за счет уменьшения величины интервала) перейдет в плавную кривую, называемую кривой распределения.

Пример 6.

Имеются данные о диаметре 200 валиков (см. табл. 4).

Чтобы по этим данным построить вариационный ряд с равными интервалами, изобразить его с помощью гистограммы, а затем превратить ее в мелкоступенчатую, производим следующие действия:

а) Выбираем наименьший вариант, а затем наибольший и находим между ними разность. Делим полученную разность на число проектируемых интервалов и получаем величину каждого интервала.

Так, наименьший интервал 49,918, наибольший — 49,961. Разность 49,961—49,918=0,043.

Допустим, мы хотим получить пять интервалов, тогда величина каждого интервала равна

Следовательно, будем иметь такие интервалы:

49,918—49,928; 49,928—49,938 и т. д.

Строим рабочую таблицу, в которой подсчитываем численность каждого интервала путём . разноски данных из табл. 4 в рабочую табл. 5 и проставления черточек, соответствующих единице счета. По мере накопления четырех черточек перечеркиваем их одной чертой и ведем счет пятками (см. табл. 5).

На основании рабочей таблицы получаем следующий вариационный ряд (см. табл. 6).

б) По полученному вариационному ряду строим гистограмму распределения: на оси абсцисс откладываем диаметры валиков, начиная с 49,918 до 49,968, а на оси ординат проставляем масштаб; далее строим прямоугольники с высотой, пропорциональной количеству валиков в каждом интервале.

Соединяем прямыми линиями середины верхних сторон прямоугольников и получаем полигон (см. график 2).

Для получения мелкоступенчатой гистограммы разбиваем интервалы на две равные части и получаем:

Если построить гистограмму по новому вариационному ряду, с уменьшенными интервалами, то получим гистограмму с более мелкими ступенями. Учет требования о неизменности площади гистограммы приводит к необходимости увеличить масштаб оси ординат вдвое.

Можно продолжить процесс расчленения интервалов и дальше, получая все более и более мелкоступенчатую гистограмму.

Кумулятивная кривая (кривая сумм — кумулята) получается при изображении вариационного ряда с накопленными частотами или частостями в прямоугольной системе координат. При построении кумуляты дискретного признака на ось абсцисс наносятся значения признака (варианты). Ординатами служат вертикальные отрезки, длина которых пропорциональна накопленной частоте или частости того или иного варианта. Соединением вершин ординат прямыми линиями получаем ломаную (кривую) кумуляту.

Пример 7.

По данным табл. 4 построить кумуляту.

Составляем дискретный вариационный ряд с накопленными частотами (при наличии частостей можно для построения кумуляты пользоваться ими; см. табл. 8).

Накопленная частота определенного варианта получается суммированием всех частот вариантов, предшествующих данному, с частотой этого варианта.

Используя накопленные частоты, строим кумуляту.

При построении кумуляты- интервального вариационного ряда нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе — вся частота интервала. Верхней границе второго интервала соответствует накопленная частота первых двух интервалов (т. е. сумма частот этих интервалов) и т. д. Верхней границе последнего (максимального) интервала соответствует накопленная частота, равная сумме всех частот.

Пример 8.

По данным табл. 7 построить кумуляту.

Составляем интервальный вариационный ряд с накопленными частотами (см. табл. 9). По полученным накопленным частотам строим кумуляту (см. график 5).

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что на ось абсцисс наносят накопленные частоты, а на ось ординат — значения признака. Если лист бумаги, на котором изображена кумулята, повернуть на 90° и посмотреть на него с обратной стороны на свет, то можно увидеть огиву.

График 5. Кумулята интервального вариационного ряда

Пример 9. По данным табл. 9 построим огиву (см. график 6)-

Накопленные частоты можно получать не только в восходящем порядке, но и в нисходящем, тогда частоты вариантов суммируются снизу вверх.

Пример 10.

По данным табл. 7. вычислить накопленные частоты в нисходящем порядке.

Средние величины

В качестве одной из важнейших характеристик вариационного ряда применяют среднюю величину. Математическая статистика различает ряд типов средних величин: арифметическую, геометрическую, гармоническую, квадратическую, кубическую и др. Все перечисленные типы средних могут быть исчислены для случаев, когда каждый из вариантов вариационного ряда встречается только один раз, — тогда средняя называется простой или невзвешенной, — и для случаев, когда варианты или интервалы повторяются различное число раз. При этом число повторений вариантов или интервалов называют частотой или статистическим весом, а среднюю, вычисленную с учетом статистического веса, —взвешенной средней.

Выбор одного из перечисленных типов средних для характеристики вариационного ряда производится не произвольно, а в зависимости от особенностей изучаемого явления и цели, для которой средняя исчисляется.

Практически при выборе того или другого типа средней следует исходить из принципа осмысленности результата при суммировании или при взвешивании. Только тогда средняя применена правильно, когда в результате взвешивания или суммирования получаются величины, имеющие реальный смысл.

Обычно затруднения при выборе типа средней возникают лишь в использовании средней арифметической или гармонической. Что же касается геометрической и квадратической средних, то их применение ограничено особыми случаями (см. далее).

Следует иметь в виду, что средняя только в том случае является обобщающей характеристикой, если она применяется к однородной совокупности., В случае использования средней для неоднородных совокупностей можно прийти к неверным выводам. Научной – основой статистического анализа является метод статистических группировок, т. е. расчленения совокупности на качественно однородные группы.

Степенная средняя

Все указанные типы средних величин могут быть получены из формул степенной средней. Если имеются варианты то средняя из вариант тов может быть исчислена по формуле простой невзвешенной степенной средней порядка z

При наличии соответствующих частот  средняя исчисляется по формуле взвешенной степенной средней

где  — степенная средняя;

z — показатель степени, определяющий тип средней;

х — варианты;

m — частоты или статистические веса вариантов.

Средняя арифметическая получается из формулы степенной средней при подстановке z=1

средняя арифметическая невзвешенная и

средняя арифметическая взвешенная.

Пример 11.

Измерения 20 единиц продукции дали следующие результаты (колонки 1 и 2):

Вычислить средний размер единицы продукции.

Находим среднюю арифметическую. Для этого исчисляем в табл. 11 колонку 3

Здесь умножение значения признака на вес и суммирование этих произведений дает общий размер продукции, т. е. имеет реальный смысл.

Средняя гармоническая получается при подстановке в формулу степенной средней значения z =—1.

Средняя гармоническая простая

Средняя гармоническая взвешенная

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, т. е. когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины

или

Пример 12.

По следующим данным о работе 22 рабочих в течение 6 часов вычислить среднюю гармоническую взвешенную.

В данном случае взвешивание состоит в делении по каждой группе количества рабочих (m) на затраты времени по изготовлению одной детали (х). Для проверки правильности выбора типа средней осмыслим результат взвешивания. Исходя из того, что все рабочие работали по 6 часов, количество рабочих можно рассматривать как величину, определяющую общие затраты времени. Тогда результат деления представит вполне осмысленную величину:

Таким образом, средняя гармоническая в данном примере применена правильно. При использовании средней гармонической для упрощения расчетов целесообразно пользоваться таблицами обратных чисел (см. приложение VIII).

Средняя квадратическая получается из формулы степенной средней при подстановке z=2    

    

средняя квадратическая невзвешенная и 

средняя квадратическая взвешенная.

Средняя квадратическая используется только в тех случаях, когда варианты представляют собой отклонения фактических величин от их средней арифметической или от заданной нормы.

Пример 13.

Имеются результаты измерения отклонений фактической длины изделий от заданной нормы.

Вычислим среднюю величину отклонений.

Находим среднюю квадратическую взвешенную; для этого исчисляем в табл. 13 колонки 3 и 4:

Значит, средняя величина отклонений фактической длины изделий от заданной нормы составляет 1,08 мм. В данном случае средняя арифметическая была бы непригодна, так как в результате мы получили бы нуль

Средняя геометрическая получается из формулы степенной средней при подстановке z=0:

Для раскрытия неопределенности этого вида прологарифмируем обе части равенства:

Теперь при подстановке z в правую часть равенства получаем неопределенность вида Используя правило Лопиталя и дифференцируя отдельно числитель и знаменатель по переменной z, получаем:

Таким образом:
   
Потенцируя, находим среднюю:

Это и есть формула средней геометрической невзвешенной, которая записывается сокращенно так:

где П — знак произведения;

n — число вариантов.

Если использовать частоты (m), то средняя геометрическая взвешенная примет следующий вид:

Вычисления средней геометрической в значительной мере упрощаются применением логарифмирования. Для невзвешенной средней геометрической  получаем:

Для взвешенной средней геометрической:

Таким образом, логарифм средней геометрической есть средняя арифметическая, из логарифмов вариантов (см. формулы средней арифметической).

Средняя геометрическая используется главным образом при изучении динамики (см. раздел II).

Расчет средних коэффициентов и темпов. роста производится по формулам средней геометрической.

Пример 14.

Выпуск промышленной продукции производился предприятием в следующих размерах:

Чтобы найти средний месячный коэффициент и темп роста промышленной продукции, определяем помесячные коэффициенты роста , которые в данном случае и являются вариантами:

Из найденных трех помесячных коэффициентов роста (вариантов) определяем средний месячный коэффициент роста по формуле средней геометрической. Для этого найденные коэффициенты роста перемножаются и из произведения извлекается корень третьей степени

Из разобранного примера можно сделать два вывода: во-первых, что произведение трех найденных коэффициентов роста можно получить без их предварительного исчисления путем деления апрельского объема продукции (12,0) на январский объем (10,2):

и, во-вторых, что показатель степени корня, равный трем (число коэффициентов роста), можно получить вычитанием единицы из числа приведенных в примере месяцев (четыре).

Таким образом, наиболее удобной для исчисления среднего коэффициента роста следует считать формулу:

  

где n — число приведенных дат или периодов;

— последний член ряда;

— первый член ряда.

Математические свойства средней арифметической

Из вышеуказанных средних наиболее часто применяется средняя арифметическая. Знание свойств средней арифметической позволяет упрощенно ее вычислять.

Математические свойства средней арифметической:

1) Средняя постоянной величины равна этой же постоянной

величине.

2) Сумма отклонений от средней, умноженных на веса (частоты), равна нулю:

(если все веса равны единице)
или    

Докажем это свойство для средней взвешенной.

Имеем: варианты

частоты

 откуда 

и 

Подводя под общий знак суммы, получаем:

Следовательно,

Пример 15.

Вычислить среднюю (по колонкам 1 и 2) и убедиться в правильности выведенной формулы.

3)    Если у всех вариантов х частоты m равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна средней арифметической невзвешенной. 

Имеем

Тогда:

4)    Если из всех вариантов (х) вычесть постоянную величину и из результатов вычитания, т. е. из отклонений вариантов от этой постоянной величины вычислить среднюю  то она окажется меньше искомой средней на эту постоянную величину Поэтому, чтобы получить среднюю из вариантов нужно к найденной средней прибавить ту же постоянную величину:

если

Доказательство.

Имеем отклонения от постоянной величины обозначенные

    
Находим среднюю из         

Откуда

Пример 16.

Вычислить среднюю путем вычитания 1000 из всех вариантов по следующим данным (колонки 1 и 2).
.

Пример 17.

Используя данные прёдыдущего примера, можно убедиться, что если за взять не 1000, а 1004, то величина средней не изменится.

5) Если все варианты (х) уменьшить в одно и то же число раз, т. е. разделить на постоянную величину (k), и из частных  вычислить среднюю, то онa окажется уменьшенной в такое же число раз, а поэтому, чтобы получить среднюю из вариантов нужно найденную среднюю умножить на ту же постоянную величину (k):

Доказательство.

Имеем частные от деления вариантов х на постоянную величину k, обозначенные х’:

Находим среднюю из 

откуда

Пример 18.

Вычислить среднюю путем деления всех вариантов на 100 по следующим данным (колонки 1 и 2):

6) При вычислении средней вместо абсолютных значений весов (m) можно использовать относительные величины структуры (частости), т. е. удельные веса отдельных частот в общей сумме всех частот (см. § 4), или относительные величины координации, которые получаются путем отношения частот всех вариантов к одной из частот, принятой за единицу

Если же удельные веса частот выражены в процентах, то

где — частость, т. е. доля частоты варианта в общей сумме частот.

Доказательство.

Значит

Пример 19.

Вычислить средний размер детали по следующим данным (колонки 1 и 2):

Предварительно найдем относительные величины структуры (колонка 3), а затем вычислим средний размер детали, используя их в качестве весов:

Если теперь вычислить средний размер детали, используя в качестве весов частоты, то получим:

что согласуется с результатом, полученным ранее.

Для вычисления средней можно было использовать колонку 4 :  

7) Если в частотах (m) имеется общий множитель (A), то его можно при вычислении средней не принимать во внимание т. е. взвешивание производить по сокращенным частотам  Численное значение средней от замены частот (m) на сокращенные частоты не изменится

Доказательство.

Имеем:

Разделим частоты на общий множитель А, содержащийся в них:

Тогда

Пример 20.

Вычислить среднюю по данным табл. 20 (колонки 1 и 2), произведя взвешивание вариантов по сокращенным весам.

Вычисляем среднюю по указанной формуле, предварительно сократив веса и заполнив колонки 3 и 4.

8) Общая средняя равна-.-взвешенной средней из частных средних: 

где — частные средние, т. е. средние для отдельных групп совокупности;

— средняя из вариантов первой группы; 

— средняя из вариантов второй группы и т. д.;

 —    частоты отдельных групп;

 —    частота первой группы;

— частота второй группы и т. д.

Доказательство.

Пусть имеются частные средние:

Найдем среднюю для всей совокупности:

Пример 21.

В трех, партиях продукции численностью 1000, 2000 и 500 единиц найден средний вес детали (в кг): 3,3; 3,1; 3,7. Вычислить средний вес детали во всех трех партиях

9) Сумма квадратов отклонений от средней меньше суммы квадратов отклонений от произвольной величины (В) на величину поправки С, равной произведению объема совокупности на квадрат разности между средней и данной произвольной величиной:

для случая невзвешенной средней или

для случая взвешенной средней.

Доказательство для случая невзвешенной средней.

Имеем:

Пользуясь свойствами сумм (см. стр. 11), производим преобразования:

На основании второго свойства средней арифметической  а поэтому

откуда

Пример 22.

По данным табл. 21 (колонки 1 и 2) убедиться в правильности указанных соотношений.

Вычисляем колонки 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и находим:

Подставляя полученные результаты в формулу

 имеем:

Метод отсчета от условного нуля

Упрощенное вычисление средней, состоящее в использовании ряда ее свойств, называется методом отсчета от условного нуля и предполагает:

1. вычитание из всех вариантов начала отсчета или «ложного нуля»
2. деление всех вариантов или отклонений вариантов от начала отсчета на общий множитель, содержащийся в них (k);
3. условное принятие центра интервала за значение признака всех единиц в данном интервале.

Кроме того, в качестве весов используют сокращенные частоты или относительные величины (структуры или координации).

Формула исчисления средней методом отсчета от условного нуля:

где , т. е. отклонение от начала отсчета делится на общий множитель, а исчисление средней из в зависимости от того, какими весами мы располагаем, производится по одной из следующих формул:

где — относительные величины координации (см. табл. 19).

Пример 23.

Вычислить средний вес зерен (на ) по данным колонок 1 и 2 табл. 22 (см. стр. 38), используя метод отсчета от условного нуля.

Используем формулу предварительно заполнив колонки 3, 4, 5 и 6 табл. 22:

Метод стандартизации средних

Часто сравниваемые совокупности неоднородны по своему составу, и выводы при использовании средних для подобных сравнений могут оказаться неправильными. Чтобы .этого избежать, используют метод стандартизации.

Метод стандартизации средних наиболее разработан в статистике населения (демографической) и медицинской статистике, когда производится сравнение совокупностей с различными Структурами. Стандартизация достигается элиминированием (устранением) влияния различия в структурах совокупностей. Результат сравнения характеризует различие в средних при условии, что структура сравниваемых совокупностей одинакова.

Рассмотрим применение метода стандартизации на примере из медицинской статистики. Имеются данные о двух больницах А и Б по отделениям и в целом.

Получается парадоксальное положение, при котором по больнице Б итоговая (общая) летальность (8,4%) ниже, чем в больнице А (9,2%), хотя по всем отделениям летальность в больнице Б выше (см. последние две колонки).

Причиной этого парадокса является отличие удельных весов разных отделений в больницах. Доля терапевтического отделения (по числу больных) с самой высокой летальностью составляет в больнице А 60%„ а в больнице Б — 20%, а доля хирургического отделения, с самой низкой летальностью, в больнице А — 20%, а в больнице Б — 60%.

Устраним влияние различия в структурах и стандартизуем распределение больных по отделениям. В качестве стандарта можно взять распределение больных по отделениям в любой больнице или привлечь данные о распределении больных нескольких других больниц. Возьмем за стандарт распределение больных в больнице А. Тогда по больнице А общая летальность (9,2%) останется без изменения. По больнице Б произведем пересчет.

Находим среднюю стандартизованную летальность больных больницы Б:

Таким образом, после стандартизации летальность в больнице Б оказалась значительно выше,, чем в больнице А:

Следует иметь в виду, что полученное значение стандартизованной средней может служить только для сравнительных целей, абсолютное же ее значение принимать во внимание не следует.

Если за стандарт принять распределение больных в больнице Б, то получим следующую стандартизованную летальность для больницы А:

а отношение стандартизованных средних почти не изменится:

Мажорантность средних

Если вычислить различные типы средних для одного и того же вариационного ряда, то численные их значения будут отличаться друг от друга. При этом средние по своей величине расположатся в определенном порядке. Наименьшей из перечисленных средних окажется средняя гармоническая, затем геометрическая и т. д., наибольшей — средняя квадратическая. Порядок возрастания средних при этом определяется показателем степени z в формуле степенной средней и вытекает из «правила мажорантности».

Так,
при z= —1 получаем среднюю гармоническую,

при z= 0    »»    геометрическую,

при z= 1    »»    арифметическую,

при z= 2    »»    квадратическую:

Подробное выяснение общего условия мажорантности впервые было произведено А. Я. Боярским, доказавшим, что если две средние должны удовлетворять соответственно уравнениям

и    

то первая из них мажорантна в отношении если при любом значении аргумента

Для степенной средней порядка z имеем:

Это отношение для положительных значений с показателем x растет вместе с показателем z.

Пример 24.

Вычислить различные типы средних,по следующим данным (колонки 1 и 2) и убедиться в правильности порядка возрастания средних:

Заполняем колонки с 3-й по 8-ю и по соответствующим формулам исчисляем средние взвешенные:

Порядок средних определился в соответствии с правилом мажорантности:

17,41 < 18,14 < 18,8< 19,37.

Медиана

В качестве характеристики вариационного ряда применяется медиана (), т. е. такое значение варьирующего признака, которое приходится на середину упорядоченного вариационного ряда. Если в вариационном ряде 2m + 1 случаев, то значение признака у случая m + 1 будет медианным. Если в ряду четное число 2m случаев, то медиана равна средней арифметической из двух срединных значений.

Формулы для исчисления медианы при нечетном и четном числе вариантов:

Пример 25.

Дано девять вариантов признака х, расположенных в возрастающем порядке:

Вычислить медиану.

Имеем нёчетное число вариантов:

Находим медиану

Пример 26.

Дано 12 вариантов признака х, расположенных в возрастающем порядке:    

Ищем медиану.

Имеем четное число вариантов:

При исчислении медианы интервального вариационного ряда сначала находят интервал, содержащий медиану, путем использования накопленных частот или частостей. Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот или частостей, превышающая половину всего объема совокупности.

Для нахождения медианы при постоянстве плотности внутри интервала, содержащего медиану, используют следующую формулу:

где —нижняя граница медианного интервала;

k — интервальная разность;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

— частота медианного интервала.

Пример 27.

По данным табл. 7 вычислить медиану.

Используем табл. 9, в которой дана колонка накопленных частот. Так как вариационный ряд содержит 200 единиц, то медиана будет 100-й единицей, входящей в интервал 49,938— 49,943 (определяется из колонки 3 табл. 9 по накопленной частоте 121, первой из накопленных частот, которая превышает половину всего объема вариационного ряда). Следовательно:

Вычислим медиану:

Медиана может быть определена и графически по кумуляте или огиве. Для определения медианы по кумуляте последнюю ординату, пропорциональную сумме всех частот или частостей, делят пополам. Из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы.

П р и м е р 28. По графику 5 определить медиану.

Последняя ордината, как видно из графика, равна 200. Деление этой ординаты пополам дает точку А (100). Перпендикуляр из точки А до пересечения с кумулятой дает точку В. Абсцисса точки В, равная 49,941, и будет медианой.

Медиана обладает тем свойством, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от средней арифметической).

Доказательство. Допустим, что в упорядоченном вариационном ряду, состоящем из n вариантов, в качестве начала отсчета отклонений взят вариант, расположенный так, что число вариантов меньше его m, а больше n—m.

Найденную сумму абсолютных величин отклонений от этого варианта обозначим

Если теперь передвинуть начало отсчета на один вариант вверх так, чтобы вариантов, величина которых меньше начала отсчета, было m—1, а больше n—m+1, то при этом сумма абсолютных величин отклонений вариантов меньших, чем начало отсчета, от начала отсчета уменьшится на m • с, где с — разность между старым и новым началами отсчета.

В то же время сумма абсолютных величин отклонений больших вариантов от нового начала отсчета отклонений увеличится на (n—m) • с. Новая сумма абсолютных отклонений окажется равной

Следовательно, при таком передвижении начала отсчета вверх новая сумма абсолютных отклонений будет уменьшаться до тех пор, пока   т. е. пока m больше половины n.

При сумма абсолютных отклонений будет, следовательно, наименьшей, а затем при дальнейшем передвижении начала отсчета начнет увеличиваться.

Теперь следует учесть, что n-й вариант, расположенный в середине вариационного ряда, и есть медиана.

Таким образом, минимальное свойство медианы будет доказано.

Это свойство медианы может быть использовано при проектировке расположения трамвайных и троллейбусных остановок, бензоколонок, ссыпных пунктов и т. д.

Например, на шоссе длиной 100 км имеется 10 гаражей. Для проектирования строительства бензоколонки были собраны данные о числе предполагаемых ездок на заправку с каждого гаража. Результаты обследования представлены в табл, на стр. 45.

Нужно поставить бензоколонку так, чтобы общий пробег автомашин на заправку был наименьшим.

Решение: Вариант 1. Если бензоколонку поставить на середине шоссе, т. е. на 50-м километре, то пробеги с учетом числа ездок составят:

а)    в одном направлении: 43 • 10 + 24 • 15 + 22 • 5 + 13 • 20 +

+ 10-5 + 4-25 = 1310 км;

б)    в противоположном направлении: 10-15 + 28-30 + 36-10 +

+ 42-65 = 4080 км.

Общий пробег в оба направления окажется равным 5390 км.

Вариант 2. Уменьшения пробега можно достигнуть, если бензоколонку поставить на 63,85-м километре (средний участок шоссе с учетом числа ездок).

В этом случае пробеги составят:

а)    в одном направлении: 56,85-10 + 37,85-15 + 35,85-5 + 26,85 -20 + 23,85-5+17,85 • 25 + 3,85 -15 = 2475,75 км;

б)    в противоположном направлении: 14,15-30 + 22,15-10 + 28,15-65 = 2475,75 км.

Общий пробег в оба направления составит 4951,5 км и окажется меньше, чем при первом варианте, на 438,5 км.

Вариант 3. Наилучший результат, т. е. минимальный общий пробег, будет получен в том случае, если мы поставим бензоколонку на 78-м километре, что будет соответствовать медиане.

Тогда пробеги составят:

а) в одном направлении: 71 • 10 + 52 • 15 + 50 • 5 + 41 • 20 + 38-5 + 32-25+ 18-15 = 3820 км;

б) в противоположном направлении: 8 • 10+14 • 65 = 990 км.

Общий пробег равен 4810 км, т. е. он оказался меньше общих пробегов, рассчитанных по предыдущим вариантам.

Мода

Модой () называется вариант, наиболее часто, встречающийся в данном вариационном ряду. Для дискретного ряда мода, являющаяся характеристикой вариационного ряда, определяется по частотам вариантов и соответствует варианту  с наибольшей частотой.

         В случае интервального распределения с равными интервалами модальный интервал (т. е. содержащий моду) определяется пр наибольшей частоте, а при неравных интервалах — по наибольшей плотности.

Вычисление моды производится по следующей формуле:

где
– нижняя граница модального интервала;

k—интервальная разность;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, последующего за модальным.

Пример 29.

По данным табл. 7 находим моду.

Наибольшая частота, равная 49 (колонка 2, табл. 7), соответствует интервалу 49,938—49,943, который и будет модальным.

Следовательно:

Подставляя в формулу найденные значения, вычислим моду

Как видно из разобранного примера и примера 27, для данного вариационного ряда мода и медиана очень близки друг к другу.

Симметричные вариационные ряды

Вариационные ряды, в которых частоты вариантов, равно отстоящих от средней, равны между собой, называются симметричными. Особенностью симметричных вариационных рядов является равенство трех характеристик: средней арифметической, моды и медианы:

Этим пользуются для распознания симметричности вариации в тех случаях, когда она затушевана тем, что средняя приходится не на середину интервала и не на границу между двумя интервалами, т. е. в результате сдвига интервалов группировки ряд частот как таковых оказывается не вполне симметричным.

Пример 30.

По данным табл. 7 определить среднюю и сопоставить с модой и медианой, вычисленными по этим же данным в примерах 27 и 29.

Вычисляем среднюю (см. табл. 26):

Найденную среднюю сопоставляем с модой и медианой, вычисленными ранее:
(из примера 27);

(из примера 29);

Полученные характеристики по своей величине близки друг к другу, что дает нам основание считать данный вариационный ряд не очень отклоняющимся от симметричного.

Асимметричные вариационные ряды

Вариационные ряды, в которых расположение вариантов вокруг средней неодинаково, т. е. частоты по обе стороны от средней изменяются по-разному, называются асимметричными или скошенными. Различают левостороннюю и правостороннюю асимметрию.

Меры колеблемости (вариации) признака

Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не учитывают вариацию признака, между тем эта вариация существует. Для измерения вариации признака математическая статистика применяет ряд способов.

Вариационный размах (R) (или широта распределения) есть разность между экстремальными (крайними) значениями вариационного ряда. Он представляет собой величину неустойчивую, чрезвычайно зависящую от случайных обстоятельств; применяется в качестве приблизительной оценки вариации.

В последнее время вариационный размах стал применяться в ряде отраслей промышленности при статистическом изучении качества продукции.

где — наибольший вариант вариационного ряда;

— наименьший вариант вариационного ряда.

Среднее линейное отклонение или простое среднее отклонение (р —ро) представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений вариантов от средней.

В зависимости от отсутствия или наличия частот вычисляют среднее линейное отклонение невзвешенное или взвешенное:

где прямые скобки, в которых заключены разности между вариантами и средней, показывают, что непосредственное суммирование и суммирование после взвешивания производится без учета знаков.

Средний квадрат отклонения — дисперсия (обычно обозначаемый или ) наиболее часто применяется и в теории и на практике в качестве меры колеблемости признака. Если дисперсию вычисляют для всей совокупности, то ее обозначают а и называют общей дисперсией:

Дисперсия невзвешенная

Дисперсия взвешенная

Таким образом, общая дисперсия есть средняя арифметическая из квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической.

Среднее квадратическое отклонение ( или ) представляет собой квадратный корень из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение невзвешенное

Среднее квадратическое отклонение взвешенное

Достоинством этого показателя по сравнению со средним линейным отклонением () является то, что при его вычислении никакого условного допущения о необходимости суммирования отклонений вариантов от средней без учета их знаков мы не делаем, а используем формулу средней квадратической (см. формулу на стр. 25), по которой при возведении отклонений в квадрат их знак безразличен.

Учитывая, что среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение представляют собой абсолютные величины, выраженные в тех же единицах измерения, что и варианты, для характеристики колеблемости признака используют относительные показатели – коэффициенты вариации (V), представляющие собой отношение среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней, выраженное в процентах (или в долях единицы):

Коэффициент вариации по среднему линейному отклонению

Коэффициент вариации по среднему квадратическому отклонению
Видоизмененный показатель коэффициента вариации по среднему линейному отклонению () представляет собой показатель неровноты (Н). Он применяется в текстильной промышленности в. качестве меры колеблемости при изучении неровноты пряжи (по толщине, весу и другим показателям)

Показатель неровноты невзвешенный

Показатель неровноты взвешенный

— общая средняя;

 — количество вариантов, величина которых меньше, чем общая средняя;

n — объем вариационного ряда;

—средняя из вариантов меньших, чем общая средняя;

— сумма частот вариантов, меньших общей средней;

—сумма частот всех вариантов.

 Доказательство (для показателя неровноты невзвешенного) .

Подставляя в формулу вместо его значение  

получаем:

 (без умножения на 100).

Разделим весь вариационный ряд на две части. Пусть в первую часть включены варианты меньшие, чем общая средняя, а во вторую — большие, чем общая средняя.

Тогда

где

—сумма отклонений вариантов, больших, чем общая средняя, от общей средней дает положительную величину;

— сумма отклонений вариантов меньших, чем общая средняя, от общей средней дает отрицательную величину.

Но так как представляет сумму абсолютных значений отклонений, перед вторым слагаемым ставим знак минус. Наос-новании свойства средней арифметической о том, что 0, делаем вывод, что и следовательно,

Учитывая, что под знаком суммы слагаемых будет выносим из-под знака суммы:

Делим и умножаем числитель на 

Пример 31.

По данным табл. 27 о крепости одиночной нити (в г) вычислим показатели вариации признака: вариационный размах, показатель неровноты, коэффициенты вариации по среднему линейному отклонению и среднему квадратическому отклонению.

Вычисляем R:

Находим среднюю: 

Находим Н. Интервал 190—200 расчленяем на две части: 190—192,16 и 192,16—200.
Аналогично поступаем с частотами: так как вся частота данного интервала равна 69, то, предполагая равномерное распределение признака внутри интервала, получим, что на величину, равную единице интервала, приходится 6,9 единицы частот (абсолютная плотность); на новый интервал (190—192,16), в котором интервальная разность равна 2,16, придется 6,9*2,16 = 14,9 единицы частот. Для простоты возьмем 15. Суммируя частоты вариантов, меньших общей средней, получим 255 (см. колонку 5 табл. 27). Суммируя произведения х

Вычисляем и .

Учитывая одно из свойств средней, а именно, что сумма отклонений от средней, соответствующим образом взвешенных, равна нулю, практически поступают следующим образом. В колонке 7 табл. 27, несмотря на знак прямых скобок, указывающих на абсолютную величину отклонений, для отрицательных отклонений от средней знак минус оставляют и ведут вычисление только до перемены знака на плюс. Взвешивают отрицательные отклонения от средней (колонка 8 табл. 27) и, так как сумма взвешенных положительных отклонений от средней должна быть равна сумме взвешенных отрицательных отклонений от средней, для определения общей суммы взвешенных отклонений найденную сумму удваивают.

Получаем:

Вычисляем

Между средним квадратическим отклонением  и средним линейным отклонением существует определенное соотношение (такое же соотношение, как между и ). По свойству мажорантности всегда больше

Если объем совокупности достаточно большой и распределение признака в вариационном ряде близко к нормальному (см. раздел IV), то связь между  и определяется по формуле:  

Отклонения от 125 в обе стороны зависят от близости распределения к нормальному.

Пример 32.

По данным примера 31. найти соотношение между  и

Имеем:

Это отношение не намного отличается от теоретического (1,25), что косвенно свидетельствует о близости взятого распределения к нормальному.

Свойства дисперсии

Средний квадрат отклонения — дисперсия — обладает рядом свойств, которые позволяют упростить вычисления.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

где с — постоянная величина;

— дисперсия постоянной величины.

2) Если все значения вариантов признака х уменьшить на постоянную величину, то дисперсия не изменится. Это позволяет вычислить дисперсию вариационного ряда путем вычитания из вариантов начала отсчета

где — дисперсия вариантов х;

—дисперсия вариантов, уменьшенных вычитанием
 

Доказательство для невзвешенной дисперсии

Имеем: со средней со средней

Тогда 

3)    Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин (см. стр. 115 и далее) равна сумме их дисперсий:

4)    Если все значения вариантов х уменьшить в k раз, то дисперсия уменьшится в раз:

где —дисперсия из частных, полученных в результате деления вариантов на постоянную величину k.
 

Доказательство для невзвешенной дисперсии

Имеем: со средней со средней  Тогда:
  
Отсюда:    

5) Дисперсия суммы двух случайных величин, связанных корреляционной зависимостью, равна сумме их дисперсий плюс удвоенное произведение среднеквадратических отклонений на коэффициент корреляции между этими случайными величинами

где  — коэффициент корреляции между величинами у и х, определяемый по формуле

(Значение его как меры тесноты связи см. раздел «Корреляция».)

Пример 33.

Даны случайные величины у и х, связанные корреляционной зависимостью так, что  =0,5.

Найти дисперсию суммы этих случайных величин (для простоты дан пример без взвешивания).

Находим средние:

Определяем дисперсии:

Используя рассматриваемую формулу, имеем:

Убедимся, что если х + у = z, то получаем три значения z: 4, 8 и 9.
Находим: среднюю

дисперсию

т. е.

Результаты вычисления, произведенные по непосредственным данным и суммированным, совпадают. 

6) Дисперсия суммы двух случайных величин, связанных Линейной функциональной зависимостью (см. раздел «Корреляция»), равна сумме их дисперсий плюс или минус удвоенное произведение среднеквадратических отклонений:

В данной формуле знак плюс или минус определяется характером связи. При прямолинейной связи у с х знак, о котором идет речь, совпадает со знаком Если то в формуле берем знак плюс, если то берем знак минус.

Пример 34.

Даны две случайные величины х и у, связанные уравнением у=2+Зх.

Найти дисперсию суммы этих случайных величин. Находим средние:

Определяем дисперсии по формуле:

Используем рассматриваемую формулу. В данном случае берем знак плюс:

Убеждаемся, что если х + у = z, то получаем три значения z: 6, 14 и 22.

Находим: среднюю

дисперсию

т. е.

Вычисление дисперсии методом отсчета от условного нуля

Практически расчет дисперсии производят по формуле, упрощающей вычисления. Эта формула получена с учетом свойств дисперсии, а расчет по ней называется отсчетом от условного нуля:

Доказательство. Возьмем выражение     произведем некоторые преобразования и получим:

Так как второе слагаемое в фигурной скобке равно нулю:  то,  продолжая преобразования, получаем:

Отсюда:

и

Пример 35.

По данным табл. 27 (колонки 2 и 3) рассчитать дисперсию, используя формулу, упрощающую вычисления. Располагаем данные, необходимые для ее вычисления, в таблице (см. табл. 30).

Величина дисперсии совпадает с величиной, полученной в примере 31, но в данном случае вычисления в значительной мере упрощены.

Из формулы вытекает еще одна формула дисперсии.

При получаем:

или

где — средняя из квадратов вариантов.

— квадрат средней

Так, если вычислить дисперсию по данным табл. 27, пользуясь этой формулой, то получим:

Результат совпадает с дисперсией, полученной по этим данным в примере 31.

Частные дисперсии

Для каждой группы вариантов вариационного ряда может быть исчислена наряду с частной средней и дисперсия, которая называется частной дисперсией или внутригрупповой,

(невзвешенная);

 (взвешенная),

Где  — частная средняя i-й группы;

—частная дисперсия i-й группы.

( означает суммирование по i-й части совокупности).

Средняя из частных дисперсий

Из частных, т. е.

внутригрупповых, дисперсий может быть найдена средняя, которая обозначается

Средняя из частных дисперсий служит для характеристики среднего рассеяния признака внутри групп.

Межгрупповая дисперсия

Частные средние по группам могут не совпадать с общей средней Мерой колеблемости частных средних вокруг общей средней является меж-
групповая дисперсия — дельта квадрат в среднем

Правило сложения вариаций

Между общей дисперсией, средней из частных дисперсий и межгрупповой дисперсией “существует такая связь:    

Это — правило сложения вариации (или дисперсий).

Доказательство.

Пусть общая совокупность состоит из t групп численностью и

Частные средние общая средняя  и дисперсия

Частные дисперсии можно записать следующим образом.

откуда

Суммируя для всей совокупности, получаем:

Умножим обе части этого равенства на  тогда

Вычитая из обеих частей равенства  получим:

Левая часть равенства представляет собой общую дисперсию, т. е. . В правой части первое слагаемое есть средняя из частных дисперсий, т. е. а разность двух последних выражений— межгрупповая дисперсия Тогда:

Пример 36.

Используя данные табл. 27 и расчленяя вариационный ряд на две группы (1-я группа с интервала 120—130 до интервала 190—200 включительно, а 2-я группа с •интервала 200—210 до интервала 260—270), исчислить частные дисперсии, среднюю из частных дисперсий и межгрупповую дисперсию.

Начинаем расчет с 1-й группы (см. табл. 33):

= 195; k= 10;

Для 2-й группы получаем (по тем же формулам):

Вычисляем среднюю из частных дисперсий:

Находим межгрупповую дисперсию, используя общую среднюю для всего вариационного ряда, найденную в примере 31 и равную 192,16

Для получения общей дисперсии используем правило сложения вариации:

Результат совпадает с дисперсией, вычисленной в примере 31 по табл. 27 без расчленения вариационного ряда на две группы.

Вариация альтернативного признака

Наряду с количественной вариацией признака может иметь место и качественная вариация. Если, имеются два взаимно исключающих друг друга варианта, то вариация признака называется альтернативной.

Так, например, рассмотрение выпущенной продукции с точки зрения ее качества, т. е. пригодности к дальнейшему использованию, дает альтернативный признак. Обозначая наличие признака 1, а отсутствие — 0 и долю вариантов, обладающих данным признаком, — р, а долю вариантов, не обладающий им, — q

и замечая, что p + q=1, получаем сначала среднюю:

, а затем дисперсию альтернативного признака:

Следовательно,

§ 35. Из дисперсии альтернативного признака извлечением корня находится среднее квадратическое отклонение:

Пример 37.

Совокупность состоит из 10000 электрических, лампочек, включающих в свой состав 20 бракованных. Найти дисперсию признака и среднее квадратическое отклонение.

Находим долю брака и долю доброкачественных лампочек:

По формуле вычислим дисперсию:

а затем среднее квадратическое отклонение:

Попытки измерить колеблемость признака путем нахождения средней арифметической из квадратов разностей вариантов во всех возможных их попарных сочетаниях не вносят-ничего принципиально нового.

Можно доказать, что этот показатель представляет собой дисперсию, умноженную на 2, т. е.

Пусть, например, имеются варианты:

1; 3; 5; 6; 10.

Исчислим среднюю и дисперсию:

Вычислим абсолютные разности всех возможных попарных сочетаний, включая и сочетания каждого варианта с ним же:

1)    Разности попарных сочетаний с первым вариантом

1 — 1=0; 3—1=2; 5—1=4; 6—1 = 5; 10—1=9.

2)    Разности попарных сочетаний со вторым вариантом

3 — 3 = 0; 3—1 =2; 3 —5 = 2; 3 — 6 = 3; 3—10 = 7

и далее:

5    —5 = 0; 5—1 =4; 5 —3 = 2; 5 —6= 1; 5—10 = 5;

6    — 6 = 0; 6—1 =5; 6 — 3 = 3; 6 — 5= 1; 6—10 = 4;

10 — 10 = 0; 10 — 1 = 9; 10 —3 = 7; 10 —5 = 5; 10 —6 = 4.

Находим сумму квадратов 25 разностей и делением на 25 — среднюю арифметическую из квадратов разностей:

Замечаем, что этот же результат можно получить умножением дисперсии () на 2:

9,2*2=18,4.

Квартили и децили

Как уже было показано, медиана — это вариант, который делит упорядоченный вариационный ряд на две равные по объему группы. В каждой группе аналогично можно найти также вариант, делящий ее на две подгруппы. Такие варианты называются квартилями.

Различают нижний и верхний квартили. Иногда вычисляют и децили, т.е. такие варианты, которые делят вариационный ряд на 10 равных по объему групп.

При отношении объема двух подгрупп, как  к  имеем нижний квартиль при отношении объемов подгрупп к  верхний квартиль а при отношениях объемов групп  к    к  и т.д. —децили.
Формулы для расчетов в интервальном ряду:

нижнего квартиля

верхнего квартиля

где — минимальная граница интервала, содержащего нижний квартиль (определяется по накопленным частотам);

—то же, для верхнего квартиля;

k — интервальная разность;

 —накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

—то же, для верхнего квартиля;

—частота интервала, содержащего нижний квартиль;

—то же, для верхнего квартиля.

Вычисление децилей ничем принципиально не отличается от вычисления медианы и квартилей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам:

и т.д.

Пример 38.

По данным табл. 7 вычислить нижний и верхний квартили (рекомендуется предварительно вспомнить вычисление медианы).

Используем табл. 9, в которой дана колонка накопленных частот. Нижний квартиль рассчитывается по соответствующей формуле Из итога колонки 2 табл. 9 видно, что численность совокупности для этого ряда равна 200 единицам. Следовательно, нижний квартиль соответствует 50-й единице. По колонке накопленных частот (3) видим, что нижний квартиль содержится в интервале 49,933—49,938, потому что первая из накопленных частот, превышающих 50, — это накопленная частота данного интервала.

Следовательно:

Находим нижний квартиль:

Верхний квартиль отвечает 150-й единице и содержится в интервале 49,943-49,948 (так как первая из накопленных частот, превышающая 150, равна 164 и соответствует данному интервалу).

Находим верхний квартиль:

Квартиль

В качестве характеристики колеблемости вариационного ряда применяется относительный показатель, подобный коэффициенту вариации, но для вычисления которого используются нижний и верхний квартили и медиана. Этот показатель называют квартилем без добавления слова нижний или верхний. Он исчисляется по формуле:

где — половина межквартильного расстояния.

Пример 39.

По результатам исчисления медианы, а также нижнего и верхнего квартилей по табл. 7 (см. примеры 27 и 38) найти квартиль.

Имеем:

Интересно, что величина коэффициента вариации, по данным табл. 7, довольно близка к полученной величине квартиля:

Моменты распределения

Обобщающими характеристиками вариационных рядов являются моменты распределения. Характер распределения может быть определен с помощью небольшого числа моментов. Способ моментов был разработан русским математиком П. Л. Чебышевым и успешно применен А. А. Марковым для рассмотрения возможностей использования закона нормального распределения при изучении сумм: большого, но конечного числа независимых случайных величин.

Средняя из k-x степеней-отклонений вариантов х от некоторой постоянной величины А называется моментом k-гo порядка:

При исчислении средней в качестве весов могут быть использованы частоты, частости или вероятности (см. раздел II). При использовании в качестве весов частот или частостей моменты называются эмпирическими, а при использовании вероятностей — теоретическими.

Порядок момента определяется величиной k. Эмпирический момент k-гo порядка находится как отношение суммы произведений k-x степеней отклонений вариантов от постоянной величины А на частоты к сумме частот:

В зависимости от выбора постоянной величины А различают следующие моменты:

1) Если постоянная величина А равна нулю (А=0), то моменты называются начальными. Приводим формулу всех начальных моментов:

Тогда:

при k = 0 получаем 

при k=1

при k=2

при k = 3

при k = 4

и т. д. Практически используют моменты первых четырех порядков.

Пример 40.

Вычислить начальные моменты первых четырех порядков, если варианты х имеют как отрицательные, так и положительные значения.

Располагаем все расчеты в таблицу:

Вычисляем моменты:

2) Если А не равно нулю, а некоторой произвольной величине (начало отсчета), то моменты называются начальными относительно и обозначаются

При подстановке различных значений k получаем начальные моменты относительно
при k=0

при k=1

при k=2

при k=3

при k=4

и т.д.

Из формулы момента первого порядка вытекает, что  т. е. средняя арифметическая равна началу отсчета плюс начальный момент первого порядка относительно начала отсчета. Если отклонения х от имеют общий множитель С, то на него можно разделить отклонения, а по окончании вычислений полученный момент умножить на этот множитель в соответствующей степени, т. е.

Отсюда следует, что 

При сравнении с вычислением средней методом отсчета от условного нуля видно, что (см. стр. 37) и тождественны. Поэтому вычисление средней методом отсчета от условного нуля иногда называют методом моментов.

Пример 41.

Вычислить начальные моменты относительно = 20 первых четырех порядков по данным колонок 1 и 2 табл. 35.

Располагаем все расчеты в таблицу:
Таблица 35

Возьмем в качестве вариант, равный 20, вычислим колонку 3, разделим все отклонения от начала отсчета на общий множитель С, равный 2, и получим значения в колонке 4, для которых начальные моменты вычислены в примере 40.

Для получения нужно найденные в примере 40 начальные моменты умножить на С, равное 2, в соответствующей степени:

Практически при нахождении начальных моментов относительно поступают следующим образом:

из всех вариантов вычитают начало отсчета и находят отклонения
делят эти отклонения на общий множитель 
находят начальные моменты для

путем умножения найденных начальных моментов на получают начальные моменты относительно
3) Если за постоянную величину А взять среднюю  то моменты называются центральными и обозначаются 

Тогда:

при k = 0

центральный момент нулевого порядка равен единице
при k=1

центральный момент первого порядка равен нулю
при k = 2

центральный момент второго порядка равен дисперсии и служит мерой колеблемости признака

при k = 3

центральный момент третьего порядка служит мерой асимметрии распределения признака. Если распределение симметрично, то
При k = 4

центральный момент четвертого порядка

Пример 42.

Вычислим центральные,моменты первых четырех порядков по данным табл. 36 (колонки 1, 2).

Располагаем все расчеты в таблицу (см. табл. 36). Получаем:

§ 40. Существует связь между начальными моментами первых четырех порядков вариантов  и начальным моментом 4-го порядка вариантов для случая, когда варианты меньше вариантов на единицу:

где — четвертый начальный момент вариантов

В правой части формулы все начальные моменты (от нулевого порядка до четвертого порядка) вариантов .

Практически данная формула используется для проверки

вычисления начальных моментов первых четырех порядков вариантов путем вычисления начального момента 4-го порядка новых вариантов  полученных прибавлением к вариантам единицы.

Если исчисления непосредственно из данных по формуле

и по формуле связи между моментами дают тождественные результаты, то это свидетельствует о правильности всех начальных моментов первых четырех порядков, вычисленных для вариантов

Пример 43.

Проверим правильность начальных моментов первых четырех порядков, вычисленных в примере 40.

Располагаем все расчеты в таблицу:

В колонке 3 записываем новые варианты путем прибавления к старым вариантам единицы.

Получаем по формуле:

Для расчетов по формуле связи между моментами привлекаем данные из примера 40:

Получаем:

Результаты совпадают, следовательно, начальные моменты первых четырех порядков в примере 40 вычислены правильно.

Вычисление центральных моментов, привлекаемых в качестве характеристик вариационного ряда, по формуле

 с точки зрения вычислительной техники довольно громоздко. Поэтому сначала вычисляют начальные моменты-относительно а для нахождения центральных моментов используют формулу перехода от начальных моментов, вычисленных относительно к центральным:

Знаки в формуле чередуются.

и т. д. обозначают числа сочетаний из: k по 1; k по 2; k по 3 и т. д.

Полагая в этой формуле k равным 0, 1, 2, 3, 4 и т. д., можем получить центральные моменты различных порядков:

Для вычисления центральных моментов высших порядков по найденным центральным моментам низших порядков и начальным моментам относительно подставляем в формулу третьего центрального момента величину найденную из формулы второго центрального момента:

т. е.

Пример 44.

Используя данные примера 41, где вычислены начальные моменты относительно  = 20, вычислим центральные моменты первых четырех порядков по соответствующим формулам и сверим полученные результаты с центральными моментами, вычисленными в примере 42.

Из примера 41 имеем:

По формулам центральных моментов получаем, используя начальные моменты:

Сравнивая центральные моменты первых четырех порядков, вычисленные по указанным формулам, с центральными моментами, вычисленными в примере 42 непосредственно по формуле убеждаемся в сравнительной простоте исчисления центральных моментов по приведенным в этом параграфе формулам.

Аналогично используются и формулы центральных моментов высших порядков по центральным моментам низших порядков.

Вычислим третий центральный момент по второму центральному моменту и начальным относительно моментам:

Вычислим и четвертый центральный момент по третьему и второму центральным моментам и начальным относительно моментам:

Исчисление центральных моментов сводится к:

1. нахождению начальных моментов и их проверке:
2. нахождению начальных моментов относительно произвольно выбранного начала отсчета
3. использованию формул перехода от начальных моментов относительно произвольно выбранного начала отсчета к центральным моментам

Пример 45.

По данным табл. 38 (колонки 1, 2 и 3) вычислить центральные моменты первых четырех порядков:

Начнем с вычисления начальных моментов. Для этого выбираем = 44,5, находим отклонения вариантов х от и делим эти отклонения на общий множитель с=3.

Все действия производим в табл. 38 и получаем колонку (колонка 4). Далее, произведя расчеты по формуле   находим начальные моменты. Для этого рассчитываем колонки 5, 6, 7 и 8.

Для простоты расчета числа колонки 5 получают перемножением чисел, расположенных в колонках 2 и 4, числа колонки 6 получают перемножением чисел колонок 4 и 5, числа колонки 7— перемножением чисел колонок 4 и 6 и т. д.

Проверяем вычисление начальных моментов первых четырех порядков. Для этого вычисляем колонки 9 и 10.

Числа колонки 9 получают прибавлением к числам колонки 4 единицы. Числа колонки 10 (а можно и 8) получают, используя таблицу, имеющую следующий вид:

В колонке 1 таблицы указаны частоты (m) от 1 до 50, а в верхнем заголовке — числа х’ или х”. Произведения  или находятся на пересечении соответствующей строки и столбца.

Так, если

если

и т. д. (см. приложение VII).

Используя формулу получаем:

Исчисляя  непосредственно по формуле  получаем:

Результаты вычисления по двум формулам совпадают, что свидетельствует о правильности расчета первых четырех начальных моментов.

Находим начальные моменты первых четырех порядков относительно выбранного начала отсчета 44,5 по формуле

Находим центральные моменты, используя формулы перехода от начальных моментов, вычисленных относительно

Вычисление моментов способом сумм

Вычисление моментов при равно отстоящих значениях признака может производиться двумя способами: 1) способом произведений, использованным нами ранее во всех случаях вычислений моментов, и 2) способом сумм, являющимся более упрощенным.

Таблица, в которой производятся все подготовительные расчеты для вычисления начальных четырех моментов, включает в себя колонки х и m и, кроме этого, 4 нумерованные колонки.

Рассмотрим пример вычисления начальных моментов способом сумм по данным табл. 38 (см. табл. 40).

Вся таблица делится на две части чертой, проведенной против частости, соответствующей В каждой части таблицы суммирование частот производится отдельно. Для верхней части таблицы в колонке 1 идут накопленные частоты начиная сверху, а для нижней части таблицы — начиная снизу. В остальных колонках накопление производится так же и заканчивается на одну клетку раньше, чем в предыдущей колонке.

Для получения ( —) суммируются числа верхней части таблицы, а для ( + ) —нижней части таблицы.

Величины S и D получаются сложением и вычитанием(—) и  ( + ). Так: S =(-) + ( + ), a D = (—) — ( + ).

Для вычисления начальных моментов по способу сумм используют следующие формулы:

Как видим, результаты вычислений по способу сумм совпадают с результатами примера 45.

Нормированные моменты

Второй центральный момент равен дисперсии, т. е.  Если среднее квадратическое отклонение  т. е. корень из дисперсии, иначе говоря, корень из второго центрального момента принять за стандарт, то отношение центрального момента k-гo порядка к стандарту в k-й степени сбудет называться нормированным моментом и обозначаться

Пример 46. По найденным в примере 45 центральным моментам найти нормированные моменты первых четырех порядков.

Из примера 45 имеем:

Находим сначала стандарт:

а затем нормированные моменты:

Использование нормированных моментов

Нормированные моменты используются при изучении вариационных рядов. Третий нормированный момент  называется мерой или. косости вариационного ряда.Знак перед указывает на направление асимметрии ряда. Если то вариационный ряд будет с левосторонней скошенностью, а если  — с правосторонней скошенностью. В симметричном ряде

Четвертый нормированный момент называется мерой крутости.

Если то распределение высоковершинное, если то распределение низковершинное, если то распределение близко к нормальному (см. раздел IV).

По результатам вычисления нормированных моментов в примере 46 видно, что отрицателен (—0,81), т. е. распределение с незначительной правосторонней скошенностью, а больше 3. Это указывает на высоковершинность данного распределения. В целом данное распределение не очень сильно отличается от нормального.

Коэффициент асимметрии

В качестве показателя отклонения вариационного ряда от симметрии применяется простой эмпирический коэффициент асимметрии представляющий собой отношение разности между средней арифметической и модой к среднему квадратическому отклонению:

Если то скошенность левосторонняя;

если то скошенность правосторонняя;

если то вариационный ряд симметричен.

Пример 47.

По данным примера 31 (табл. 27) вычислим коэффициент асимметрии.

Имеем:

Вычислим моду по формуле

В данном случае асимметрия небольшая и скошенность левосторонняя.