Как найти накрест лежащие углы в треугольнике

Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

  Если a ∥ b, то

∠1 =∠2

∠3=∠4

(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

    ∠1=∠2.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

На этой странице вы узнаете:

• Какими бывают углы?
• По каким признакам можно сказать, что треугольники равны?
• Что такое коэффициент подобия?
• Какие бывают многоугольники?
• Какими формулами пользоваться, чтобы найти площадь фигуры?
• Что такое окружность и из чего она состоит?
• Когда можно вписать окружность в многоугольник, а когда около него можно её описать?

Прямая, отрезок, луч, углы

Квадрат, круг, треугольник. Несомненно, вы знаете о таких геометрических фигурах, эти фигуры относятся к разделу геометрии, который называется планиметрия. Планиметрия – это наука о изучении геометрических фигур на плоскости. Точки, прямые, отрезки, лучи и углы являются основой этого раздела геометрии. Давайте их и рассмотрим.

Прямая – это линия, не имеющая ни начала, ни конца, такая линия может быть бесконечной.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная с обеих сторон.

Луч – это отрезок, ограниченный только с одной стороны.

Угол – это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, измеряется в градусах.

Рассмотрим части угла:

Углы бывают четырёх видов: 

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы – это углы, имеющие одну общую сторону, а две другие стороны этих углов лежат на одной прямой.

Смежные углы в сумме дают 180°.

Вертикальные углы – это углы, вершиной которых является одна и та же точка, стороны одного такого угла являются продолжениями сторон другого угла.

Рассмотрим углы при параллельных прямых

Накрест лежащие углы – это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей и лежащие по разные стороны от секущей между параллельным прямыми. Такие углы всегда равны.

Внутренние односторонние углы – это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей и лежащие по одну сторону от секущей между параллельным прямыми. Сумма этих углов 1800. 

Соответственные углы — это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей и лежащие по одну сторону от секущей так, что один угол находится между двумя прямыми относительно одной прямой, а другой угол прилегает к другой прямой с внешней стороны. Эти углы равны.

Пусть a || b, а с – секущая 

Тогда 3 и 6, 4 и 5 накрест лежащие; 3 и 5, 4 и 6 внутренние односторонние; 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 соответственные 

Треугольники, их виды и признаки их равенства

Сумма углов любого треугольника равна 180°

Для треугольников также верно следующее утверждение: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон

Элементы треугольника:

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Также медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (в треугольнике медиана показана как BM)

Биссектриса – это отрезок, делящий угол на два равных угла. Также центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника (в треугольнике биссектриса показана как BD)

Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на одну из сторон треугольника. Также высоты или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (в треугольнике высота показана как ВН)

Средняя линия – это отрезок, соединяющий середины сторон. Средняя линия треугольника параллельна основанию, и по длине она равна половине основания. Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований и параллельна основаниям.

Виды треугольников:

У равностороннего треугольника все стороны равны и углы по 600.

У равнобедренного треугольника равны только две стороны и углы при основании. Медиана, проведенная в нём к основанию, также является биссектрисой и высотой. 

У прямоугольного треугольника один угол равен 900 и сумма двух других углов тоже равна 900. Сторона, лежащая напротив прямого угла в таком треугольнике, называется гипотенузой, а две другие — катетами. Катет, лежащий напротив угла 300, равен половине гипотенузы. Медиана, проведённая в прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Признаки равенства треугольников:

1. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними

АВ = А₁В₁

АС = А₁С₁

Угол ВАС = угол В₁А₁С₁

1. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам

АВ = А₁В₁

Угол ВАС = угол В₁А₁С₁

Угол АВС = угол А₁В₁С₁

1. Треугольники равны по трём сторонам

АВ = А₁В₁

АС = А₁С₁

ВС = В₁С₁

 Давайте теперь разберёмся, что значит подобие:

Если треугольники похожие, но отличаются только размером, тогда поможет подобие треугольников

Коэффициент подобия – это число, в которое отличаются стороны треугольников

Если АВС подобен А1В1С1, тогда верно равенство, где к – коэффициент подобия

Если треугольники подобны, тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия

Признаки подобия треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

1. По двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

1. По трём сторонам

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Площадь треугольника

Площадь треугольника, если известна высота и основание, к которому она проведена

Площадь треугольника с двумя известными сторонами и углом между ними

Площадь прямоугольного треугольника с известными катетами

Площадь правильного треугольника, если известна только сторона

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника, если известны его стороны

Площадь треугольника, когда известен полупериметр и радиус вписанной окружности

Площадь треугольника, когда известны стороны и радиус описанной окружности

Многоугольник

Многоугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией

Многоугольники бывают выпуклые и невыпуклые

Многоугольник является выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону

Для нахождения площади любого выпуклого четырёхугольника существует формула:

 Виды многоугольников:

1. Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого стороны попарно параллельны

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны
2. Противоположные углы равны
3. Диагонали делятся точкой пересечения пополам

Формулы площади

1. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые

Свойства прямоугольника:

1. Диагонали равны
2. Противоположные стороны параллельны и равны
3. Угол между сторонами прямой
4. Сумма углов 360 градусов

Формула площади

Квадрат – это частный случай прямоугольника

Свойства квадрата:

1. Диагонали взаимно перпендикулярны и равны
2. Диагонали делят углы квадрата пополам
3. Все стороны равны
4. Угол между сторонами прямой
5. Сумма углов 360 градусов

Формулы площади

1. Трапеция – это четырёхугольник с двумя параллельными сторонами (основаниями), а две другие стороны у него не параллельны 

Трапеция может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной.

Общие свойства трапеции:

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов
2. Средняя линия равна полусумме оснований
3. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности её оснований

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при основании равны
2. Диагонали равны

Формулы площади

1. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойства ромба:

1. Противоположные углы равны
2. Все стороны равны
3. Диагонали делятся точкой пересечения пополам
4. Диагонали перпендикулярны друг другу
5. Диагонали являются биссектрисами углов 

Формулы площади

Окружность

Окружность – это замкнутая прямая на плоскости, все точки которой равноудалены от центра (например, обруч)

Дуга – это часть окружности, заключённая между двумя точками, лежащими на этой окружности

В окружности можно провести радиус, диаметр и хорду

Радиус – расстояние от центра до окружности

Диаметр – прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр окружности

Хорда – прямая, соединяющая две любых точки окружности

Также в окружности есть два вида углов

Вписанный угол – угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны угла пересекают её. Такой угол равен половине дуги, на которую опирается

Центральный угол – угол, у которого вершина находится в центре окружности, а стороны угла пересекают её. Данный угол равен дуге, на которую опирается

Окружность, вписанная в четырёхугольник

Чтобы вписать окружность в четырёхугольник, суммы длин противоположных сторон четырёхугольника должны быть равны

              a + c = b + d

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

У вписанной в прямоугольный треугольник окружности радиус вычисляется по формуле r

Окружность, описанная около четырёхугольника

Чтобы описать окружность около четырёхугольника, необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

1. Сумма противоположных углов треугольника равна 180 градусов
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

1. Диаметр окружности равен гипотенузе вписанного треугольника
2. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

R=c/2, где c-диаметр

Теорема синусов:

Отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой, а также равны двум радиусам описанной окружности

Фактчек

Равенство треугольников можно определить по одному из трёх признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам, по трем сторонам).

• Признаки подобия немного отличаются от признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по двум углам, по трём сторонам), по ним определяется отношение соответственных сторон одного треугольника к сторонам другого.

• Для нахождения площади выпуклого четырёхугольника есть универсальная формула 
  S = ½* d1* d2 *sin α , где d 1, d 2 — длины диагоналей четырехугольника, α — угол между диагоналями четырехугольника. 

• Окружность можно вписать в четырёхугольник, если суммы его противоположных сторон равны, а описать окружность около четырёхугольника можно, если пара противоположных углов в сумме даёт 180 градусов.

• Так же стоит помнить, что в теореме синусов равны не только отношения противолежащих сторон к синусам углов, но и каждое такое отношение равно двум радиусам описанной окружности.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равен отрезок соединяющий середины диагоналей в трапеции с основаниями а и b?

1. (a + b) / 2
2. (a — b) / 2         
3.  a-b
4. a+b

Задание 2.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, чему равен угол напротив этого катета?

1. 90°
2. 60°    
3. 30°
4. 20°

Задание 3.
Чему равен вписанный угол, опирающийся на хорду равную 84 градусам?

1. 42°
2. 21°
3. 84°
4. 90°

Задание 4.
Чему равен радиус описанного прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4?

1. 5
2. 1,5
3. 2,5
4. 2

Задание 5.
Из каких длин сторон треугольника нельзя получить треугольник?

1. 4   16  12
2. 5   6   9
3. 3. 41   18   24
4. 17   14   28

Ответы: 1. — 2; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 3; 5. — 1.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B  или ∠ B O A ,  но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

Пример:

Пары углов

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

Пары углов

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Скачать домашнее задание к уроку 2.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Теорема о накрест лежащих углах

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 209,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 244,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 245,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 246,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 448,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 868,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 888,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1069,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---