Направляющие косинусы вектора.
Навигация по странице:
- Определение направляющих косинусов
- Формулы для направляющих косинусов
- для плоских задач
- для пространственных задач
- Примеры задач с направляющими косинусами вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи
Определение направляющих косинусов
Определение. Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.
Основное соотношение. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.
Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Формулы вычисления направляющих косинусов вектора
Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач
В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой
| cos α = | ax | ; | cos β = | ay |
| |a| | |a| |
 |
| рис. 1 |
Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой
| cos α = | ax | ; | cos β = | ay | ; | cos γ = | az |
| |a| | |a| | |a| |
Свойство:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
 |
| рис. 2 |
Примеры задач с направляющими косинусами вектора
Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора
Пример 1. Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.
Решение:
Найдем модуль вектора a:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5.
Найдем направляющие косинусы вектора a:
| cos α = | ax | = | 3 | = 0.6 |
| |a| | 5 |
| cos β = | ay | = | 4 | = 0.8 |
| |a| | 5 |
Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.
Пример 2. Найти значение векора a если его длина равна 26, а направляющие косинусы cos α = 5/13, cos β = -12/13.
Решение:
ax = |a| · cos α = 26 ·
513
= 10
ay = |a| · cos β = 26 · (-
1213
) = -24
Ответ: a = {10; -24}.
Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора
Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.
Решение:
Найдем модуль вектора a:
|a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.
Найдем направляющие косинусы вектора a:
| cos α = | ax | = | 2 | = | 1 |
| |a| | 6 | 3 |
| cos β = | ay | = | 4 | = | 2 |
| |a| | 6 | 3 |
| cos γ = | az | = | 4 | = | 2 |
| |a| | 6 | 3 |
Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 13, cos β = 23, cos γ = 23.
Содержание:
- Координаты вектора
- Направляющие косинусы
- Сумма двух векторов, заданных координатами
- Умножение вектора на число
- Основное свойство направляющих косинусов
Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении
и длине.
Координаты вектора
Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$
и произвольный вектор $overline{a}$, начало которого совпадает
с началом системы координат (рис. 1).
Определение
Координатами вектора $overline{a}$ называются проекции
$a_{x}$ и $a_{y}$
данного вектора на оси $O x$ и
$O y$ соответственно:
$$a_{x}=Пр_{O x} bar{a}, a_{y}=Пр_{O y} bar{a}$$
Величина $a_{x}$ называется абсциссой вектора
$overline{a}$, а число $a_{y}$
– его ординатой. То, что вектор $overline{a}$ имеет координаты
$a_{x}$ и $a_{y}$,
записывается следующим образом: $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$.
Пример
Запись $overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $overline{a}$
имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
Сумма двух векторов, заданных координатами
Пусть заданы $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$,
тогда вектор $overline{c}=overline{a}+overline{b}$ имеет координаты
$left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}right)$ (рис. 2).
Определение
Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Заданы $overline{a}=(-3 ; 5)$
и $overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $overline{c}=overline{a}+overline{b}$
Решение. $overline{c}=overline{a}+overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$
Умножение вектора на число
Если задан $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то тогда вектор
$m overline{a}$ имеет координаты
$m overline{a}=left(m a_{x} ; m a_{y}right)$, здесь
$m$ – некоторое число (рис. 3).
Определение
Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное
число.
Пример
Задание. Вектор $overline{a}=(3 ;-2)$.
Найти координаты вектора 2$overline{a}$
Решение. $2 overline{a}=2 cdot(3 ;-2)=(2 cdot 3 ; 2 cdot(-2))=(6 ;-4)$
Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две
точки $Aleft(a_{x} ; a_{y}right)$ и $Bleft(b_{x} ; b_{y}right)$.
Тогда координаты вектора $overline{A B}=left(x_{1} ; y_{1}right)$ находятся по формулам (рис. 4):
$x_{1}=b_{x}-a_{x}, y_{1}=b_{y}-a_{y}$
Определение
Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат
конца отнять соответствующие координаты начала.
Пример
Задание. Найти координаты вектора $overline{A B}$,
если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$
Решение. $overline{A B}=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$
Направляющие косинусы
Определение
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с
положительными направлениями осей координат.
Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для
единичного вектора направляющие косинусы
равны его координатам.
Если в пространстве задан вектор $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то
его направляющие косинусы вычисляются по формулам:
$cos alpha=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos beta=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos gamma=frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$
Здесь $alpha$, $beta$ и
$gamma$ – углы, которые составляет вектор с положительными
направлениями осей $O x$, $O y$ и
$O z$ соответственно.
Основное свойство направляющих косинусов
Определение
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
1
$cos ^{2} alpha+cos ^{2} beta+cos ^{2} gamma=1$
Если известны направляющие косинусы вектора $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:
$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta$
Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае – если известны направляющие косинусы вектора
$overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:
$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta, a_{z}=|overline{a}| cos gamma$
Читать дальше: длина (модуль) вектора.
Пусть
дан вектор
(
х,
у,
z).
Обозначим
углы наклона этого вектора к осям Ох,
Оу иOz соответственно
буквами
,и
.Три числа cos
,
cos
и
cos
принято называть направляющими
косинусами вектора
.
Полагая
=
(1;0; 0)получаем из (9)
Аналогично
Из
формул (11) – (13) следует:
1)
сos2
+ cos2
+
cos2
= 1,
т.е.
сумма квадратов направляющих
косинусов любого ненулевого вектора
равна единице;
т.е.
направляющие косинусы
этого вектора пропорциональны его
соответствующим проекциям.
Примечание.
Из формул (11)-(13) видно, что проекции
любого единичного вектора
на
оси координат соответственно совпадают
с его направляющими косинусами и,
следовательно,
Пример.
Найти направляющие косинусы вектора
(1;
2; 2). По формулам (11)-(13) имеем
4. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.
Определение.
Векторным произведением двух векторов
и
называется
новый вектор
,
модуль которого равен площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
приведенных к общему началу, и который
перпендикулярен к перемножаемым векторам
(иначе говоря, перпендикулярен к плоскости
построенного на них параллелограмма)
и направлен в такую сторону, чтобы
кратчайший поворот от
к
вокруг
полученного вектора
представлялся
происходящим против часовой стрелки,
если смотреть из конца вектора
(рис.
40).
Если
векторы
и
коллинеарны,
то их векторное произведение считается
равным нулевому вектору. Из этого
определения следует, что
|
|
= |
|
|
| sin
,
где
–
угол между векторами
и
(0
).
Векторное произведение векторов
и
обозначается
символом
х
или
[
]
или [
,
].
Выясним
физический смысл векторного произведения.
Если вектор
изображает
приложенную в некоторой точкеМ силу,
а вектор
идет
из некоторой точкиО в точкуМ, то
вектор
=[
]
представляет собой момент силы
относительно
точкиО.
Свойства
векторного произведения
1
. При перестановке
сомножителей векторное произведение
меняет знак, т.е.
х
=
-(
x
).
2.
(
)х
=
х(
)=
(
х
),где
–
скаляр.
3.
Векторное произведение
подчиняется распределительному закону,
т.е.
(
+
)
x
=
x
+
x
.
4.
Если векторное произведение
двух векторов равно нулевому вектору,
то либо равен нулевому вектору хотя бы
один из перемножаемых векторов
(тривиальный случай), либо равен нулю
синус угла между ними, т.е. векторы
коллинеарны.
Обратно,
если два ненулевых вектора
коллинеарны, то их векторное произведение
равно нулевому вектору.
Таким
образом, для того чтобы
два ненулевых вектора
и
были
коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы их векторное произведение равнялось
нулевому вектору.
Отсюда,
в частности, следует, что векторное
произведение вектора на самого себя
равно нулевому вектору:
х
=0
(
х
еще
называют векторным
квадратом вектора
.
5. Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства.
Пусть
даны три вектора
,
и
.
Представим себе, что вектор
умножается
векторно на
и
полученный вектор
х
умножается
скалярно на вектор
,
тем самым определяется число (
х
)
.
Оно называется илисмешанным
произведениемтрех векторов
,
и
.
Для
краткости смешанное произведение (
х
)
будем обозначать
или
(
).
Выясним
геометрический смысл смешанного
произведения
.
Пусть рассматриваемые векторы
и
некомпланарны.
Построим параллелепипед на векторах
,
и
как
на ребрах.
Векторное
произведение
x
есть
вектор
(
=
),
численно равный площади параллелограммаOADB(основание построенного
параллелепипеда), построенного на
векторах
и
и
направленный перпендикулярно к плоскости
параллелограмма (рис. 41).
Скалярное
произведение (
x
)
=
есть
произведение модуля вектора
и
проекции вектора
на
(см.
п. 1, (2)).
Высота
построенного параллелепипеда есть
абсолютная величина этой проекции.
Следовательно,
произведение |
|
по
абсолютной величине равно произведению
площади основания параллелепипеда на
его высоту, т.е. объему параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
.
Рис.42
При
этом важно отметить, что скалярное
произведение
дает
объем параллелепипеда иногда с
положительным, а иногда с отрицательным
знаком. Положительный знак получается,
если угол между векторами
и
острый;
отрицательный – если тупой. При остром
угле между
и
вектор
расположен
по ту же сторону плоскостиOADB,
что и вектор и, следовательно, из конца
вектора
вращение
от
к
будет
видно так же, как и из конца вектора
,
т.е. в положительном направлении (против
часовой стрелки).
При
тупом угле между
вектор
расположен
по другую сторону плоскостиOADB,
чем вектор
,
и, следовательно, из конца вектора
вращение
от
к
будет
видно в отрицательном направлении (по
часовой стрелке). Иными словами,
произведение
положительно,
если векторы
,
и
образуют
систему, одноименную с основной Oxyz
(взаимно расположены так же, как оси Ox,
Oy, Oz), и оно отрицательно, если векторы
,
образуют
систему, разноименную с основной.
Таким
образом, смешанное
произведение
есть
число,абсолютная
величина которого выражает объем
параллелепипеда,построенного
на векторах
,
как
на ребрах.
Знак
произведения положителен, если векторы
,
,
образуют
систему, одноименную с основной, и
отрицателен в противном .
Отсюда
следует, что абсолютная величина
произведения
=(
х
)
останется той же, в каком бы порядке мы
ни брали сомножители
,
,
.
Что касается знака, то он будет в одних
случаях положительным, в других –
отрицательным; это зависит от того,
образуют ли наши три вектора, взятые в
определенном порядке, систему, одноименную
с основной, или нет. Заметим, что у нас
оси координат расположены так, что они
следуют одна за другой против часовой
стрелки, если смотреть во внутреннюю
часть (рис. 42). Порядок следования не
нарушается, если мы начнем обход со
второй оси или с третьей, лишь бы он
совершался в том же направлении, т.е.
против часовой стрелки. При этом множители
переставляются в круговом порядке
(циклически). Таким образом, получаем
следующее свойство:
Смешанное
произведение не меняется при круговой
(циклической) перестановке его
сомножителей. Перестановка двух соседних
сомножителей меняет знак произведения
=
=
=-(
)=-(
)=-(
).
Наконец,
из геометрического смысла смешанного
произведения непосредственно следует
следующее утверждение.
Необходимым
и достаточным условием компланарности
векторов
,
,
является равенство нулю
их смешанного произведения:
=0(14)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
18.04.2015421.31 Кб24бп.rtf
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Перейти к содержанию
Направляющие косинусы вектора
На чтение 1 мин. Просмотров 1.3k. Опубликовано 29.10.2020
Длина вектора – длина направленного отрезка, является скалярной величиной. Довольно часто возникают трудности с ее нахождением. Мы подготовили для вас материал, благодаря которому вы сможете справиться с этой задачей.
Правила нахождения направляющих косинусов вектора
Направляющие косинусы вектора ̅a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.
Основное соотношение. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.
Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Следует учесть, если координаты вектора будут равны 0, то нахождение направляющих косинусов не будет возможным.
Тест по нахождению направляющих косинусов
При каких случаях невозможно найти направляющие косинусы?
- когда координаты < 0;
- когда координаты = 0;
- когда координаты больше 0.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна:
- 1;
- 0;
- -1.
Что куда
Зачем почему
Макеты страниц
Направление вектора в пространстве определяется углами, 
, которые вектор составляет с осями координат (рис. 70). Косинусы этих углов 
называются направляющими косинусами вектора.
Рис. 70
С помощью выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор 
. Тогда
Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:
Так как по формуле 
, то
Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:
откуда
т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора 
на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если 
.
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:
По формуле (58) находим модуль вектора 
по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора:
