Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.
К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.
Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.
Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор 
, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).
Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.
Если функция 
не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).
Далее будем рассматривать только стационарные поля.
Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):
(Наряду с обозначениями 
используют запись 
— радиус-вектор точки М.)
Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.
Аналогично: вектор 
, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов 
Вектор можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде
где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора 
на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, 
Векторное поле называется однородным, если — постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.
В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.
Пример:
Функция 
определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле
определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней 
).
Пример:
Найти поле линейной скорости 
материальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью 
вокруг оси Oz (см. п. 7.4).
Решение:
Угловую скорость представим в виде вектора , лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:
Построим радиус-вектор 
точки М (см. рис. 267).
Численное значение линейной скорости (модуль), как известно из курса физики, равно 
, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но 
— угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, 
Вектор скорости направлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения 
векторы 
образуют правую тройку). Следовательно, 
т. е.
или 
Поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.
Скалярное поле
Поверхности и линии уровня:
Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.
Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).
Для скалярного поля, образованного функцией
поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: 
В частности, при с = 1 получим 
, т. е. сфера стягивается в точку.
Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.
В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.
В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.
Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).
Производная по направлению
Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».
Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении 
. Пусть вектор имеет начало в точке М и направляющие косинусы 
Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке 
в направлении вектора определяется как
или
(см. рис. 268).
Тогда
Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению называется предел
Производная по направлению и характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если 
> 0, то функция U возрастает в направлении , если < 0, то функция U в направлении убывает. Кроме того, величина 
представляет
собой мгновенную скорость изменения функции U в направлении в точке М: чем больше , тем быстрее изменяется функция U. В этом состоит физический смысл производной по направлению.
Выведем формулу для вычисления производной по направлению, считая, что функция U(x;y;z) дифференцируема в точке М. Тогда ее полное приращение в этой точке М можно записать так:
где 
— бесконечно малые функции при 
(см. п. 44.3). Поскольку
то
Переходя к пределу при получим формулу для вычисления производной по направлению:
В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:
Формула (70.2) принимает вид:
Замечание:
Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных 
Их можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление совпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) 
получим
Пример:
Найти производную функции 
в точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке 
Решение:
Находим вектор 
и его направляющие косинусы:
Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:
Следовательно, по формуле (70.2) имеем:
Поскольку jj^- < 0, то за
данная функция в данном направлении убывает.
Градиент скалярного поля и его свойства
В каком направлении производная имеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.
Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора
и некоторого вектора
Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. 
или
Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде
или
где 
угол между вектором grad U и направлением (см. рис. 269).
Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда 
Таким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна
В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.
Приведем важные свойства градиента функции.
1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.
Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня 
Но тогда из (70.3) следует, что 
Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:
Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.
Пример:
Найти наибольшую скорость возрастания функции
Решение:
Имеем:
Наибольшая скорость возрастания функции равна
Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью 
, если точка А движется в направлении 
(антиградиентное направление).
Векторное поле
Векторные линии поля:
Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором 
. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.
Векторной линией поля 
называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора 
.
Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.
Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля
описываются системой дифференциальных уравнений вида
Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, 
— ее радиус-вектор. Тогда вектор 
направлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов 
следует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).
Пример:
Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz.
Решение:
Это поле определено вектором 
(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:
Интегрируя, получим: 
т. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.
Поток поля
Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать 
вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.
Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть 
— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки 
Выберем в каждой площадке точку 
(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости в каждой точке: .
.
Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор 
постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через 
протекает количество жидкости, приближенно равное 
— площадь i-й площадки,
— высота i-гo цилиндра с образующей 
. Но Я, является проекцией вектора на нормаль 
— единичный вектор нормали к поверхности в точке 
. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму
Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров 
площадок):
Независимо от физического смысла поля полученный интеграл называют потоком векторного поля.
Потоком вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.
Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как
(см. (6.2)), то
где 
— проекция вектора а на направление нормали 
— дифференциал (элемент) площади поверхности.
Иногда формулу (71.3) записывают в виде
где вектор
направлен по нормали к поверхности, причем 
Так как
— проекции вектора на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора , можно записать в виде
Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как
Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).
Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде
В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).
Если векторное поле 
есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором острый угол и 
в точках, где векторные линии входят в объем, 
).
При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.
Если К < 0, то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.
Можно сказать, что источники — точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки — точки, где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком — отрицательный заряд магнита (см. рис. 273).
Если К = 0, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.
Пример:
Найти поток вектора 
через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).
Решение:
Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:
Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть 
на верхней стороне 
поэтому надо выбрать знак «минус»; получим:
Итак, 
Находим
В результате имеем: 
Пример:
Найти поток радиус-вектора 
через внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).
Решение:
Очевидно, что
т. к. 
Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.
Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля
в точке М называется скаляр вида 
и обозначается символом 
, т. е.
Отметим некоторые свойства дивергенции.
- Если
— постоянный вектор, то - где с = const.
- т. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
- Если U — скалярная функция, — вектор, то
где с = const.
т. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.
Так как 
то
Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса
в так называемой векторной форме.
Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора . Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде
(в котором она чаще всего и встречается).
Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.
Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля в точке М (не связанное с выбором координатных осей).
По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:
где 
— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде 
Отсюда
Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда 
, и мы получаем выражение для 
в точке М:
Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку 
Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).
Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.
Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при 
точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при
точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.
Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то 
Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. 
называется соленоидалъным (или трубчатым).
Пример:
Найти дивергенцию поля линейных скоростей 
жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью .
Решение:
Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), 
Имеем:
Поле — соленоидальное.
Циркуляция поля
Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.
Пусть 
— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор 
направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и 
— дифференциал дуги кривой 
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор 
, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как
где 
— проекция вектора на касательную 
, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде
или
Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).
Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение 
сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.
Пример:
Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) 
вдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости 
, перпендикулярной оси вращения.
Решение:
Будем считать, что направление нормали к плоскости совпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:
где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).
Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол 
с осью Oz, то циркуляция будет равна 
с изменением угла величина С изменяется.
Пример:
Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).
Решение:
Согласно формуле (71.12), имеем:
На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,
На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,
На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,
Следовательно,
Ротор поля. Формула Стокса
Ротором (или вихрем) векторного поля
называется вектор, обозначаемый 
и определяемый формулой
Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:
Отметим некоторые свойства ротора.
- Если — постоянный вектор, то
- т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
- Если U — скалярная функция, а — векторная, то
т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:
Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:
Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора по контуру L, т. е. 
(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора 
через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.
Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде
Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.
Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).
Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.
Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.
По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:
где 
— некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).
Тогда формулу (71.15) можно записать в виде
Отсюда:
Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда 
Перейдя к пределу, получаем:
Ротором вектора в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.
Как видно из определения, ротор вектора есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.
Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) 
, т. е. ротор вектора 
По определению ротора
Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.
С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).
Замечание:
Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.
Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).
Оператор Гамильтона
Векторные дифференциальные операции первого порядка:
Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем являются gradU, 
Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).
Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона
Этот символический вектор называют также оператором 
(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр U или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов 
на величины 
понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.
Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:
Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.
В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде
где 
Векторные дифференциальные операции второго порядка
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:
(Понятно, что операция 
например, не имеет смысла: 
— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о бессмысленно.)
Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.
Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается 
. Таким образом,
Дифференциальное уравнение Лапласа 
играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.
Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:
(который тоже называют оператором Лапласа).
2. 
так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.
4. 
так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.
так как двойное векторное произведение обладает свойством
Здесь 
— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору .
Некоторые свойства основных классов векторных полей
Соленоидальное поле
Напомним, что векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е.
Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.
Приведем некоторые свойства соленоидального поля.
- В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
- Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля .
, что 
. Вектор Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.
Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что 
).
3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).
Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями 
боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из 
равен нулю. Следовательно,
где n — внешняя нормаль.
Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то
и, следовательно,
Переменив направление нормали на площадке 
, т.е. взяв внутреннюю нормаль 
получим:
В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.
Потенциальное поле
Векторное поле 
называется потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. 
Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).
Приведем основные свойства потенциального поля.
Свойство 1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.
Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,
В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.
Свойство 2. В потенциальном поле криволинейный интеграл 
вдоль любой кривой L с началом в точке 
и концом в точке 
зависит только от положения точек 
и не зависит от формы кривой.
Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки соединим их двумя кривыми 
так, чтобы контур 
лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем
Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:
т. e.
Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если 
, то существует функция U (х; у; z) такая, что 
Из равенства 
вытекает, что 
т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля
Отсюда: 
Следовательно,
т. е. вектор поля является градиентом скалярного поля.
Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.
Из равенства 
следует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
где 
— координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).
Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).
Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. 
. (Иногда пишут ; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)
Пример:
Установить потенциальность поля
и найти его потенциал.
Решение:
Имеем:
Следовательно, поле вектора потенциальное.
Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. 
Так как
то
Гармоническое поле
Векторное поле называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если 
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.
Так как поле потенциально, то его можно записать в виде 
— потенциал поля.
Но так как поле одновременно и соленоидальное, то
или, что то же самое,
т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Как определить направление вектора напряженности электрического поля
Содержание
- Характеристика электрического поля
- Силовые линии
- Что называется напряженностью электрического поля
Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. Согласно представлениям современной физики, поле реально существует и наряду с веществом является одной из форм существования материи, посредством которого осуществляются определенные взаимодействия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. В данном случае говорят об электрическом поле — поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Мы рассматриваем электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами и называются электростатическими.
Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд — такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд Q, то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона, пропорциональна пробному заряду Q. Поэтому отношение F/Q не зависит от Q и характеризует электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля.
Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:
.
Напряженность поля точечного заряда в вакууме
Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду (рис.).
Единица напряженности электростатического поля — ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл= 1 В/м, где В (вольт) — единица потенциала электростатического поля. Графически электростатическое поле изображают с помощьюлиний напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис.).
Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Дляоднородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности — радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис.а), и входящие в него, если заряд отрицателен (рис.б). Вследствие большой наглядности графический способ представления электростатического поля широко применяется в электротехнике.
Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е. Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол a с вектором Е, равно Е dS cosa = EndS, где Еп—проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS (рис.).
Величина dФЕ=ЕndS=EdS называетсяпотоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS = dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В×м.
Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверхность
,
где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора Е является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.
К кулоновским силам применим принцип независимости действия сил, т. е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q, равна векторной сумме сил Fi, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Qi: 
. F = QE и Fi = QЕi, где Е—напряженность результирующего поля, а Еi — напряженность поля, создаваемого зарядом Qi. Подставляя это в выражение выше, получаем 
. Эта формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.
Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q,–Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Согласно принципу суперпозиции, напряженность Е поля диполя в произвольной точке 
, где Е+ и Е– — напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9364 — 
| 7304 — 
или читать все.
Разделы: Физика
Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее определения в любой точке поля.
- формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о линиях напряжённости и графическое представление электрического поля;
- научить учащихся применять формулу E=kq/r 2 в решении несложных задач на расчёт напряжённости.
Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся силовыми линиями.
Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности электрического поля:
- нигде не пересекаются друг с другом;
- имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
- между зарядами нигде не прерываются.
Рис.1
Силовые линии положительного заряда:
Рис.2
Силовые линии отрицательного заряда:
Рис.3
Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:
Рис.4
Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:
Рис.5
Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая обозначается буквой Е и имеет единицы измерения 
или 
. Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы Кулона к величине единичного положительного заряда
В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется относительно данного заряда
где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от выбора единиц электрического заряда.
В системе СИ 
Н·м 2 /Кл 2 ,
где ε – электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 /Н·м 2 ;
q – электрический заряд (Кл);
r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.
Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.
Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.
Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип суперпозиции полей:
Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.
1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два вектора напряженности, направленные в одну сторону:
Е31 – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 1;
Е32 – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 2.
Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке равна геометрической сумме векторов напряженности Е31 и Е32.
Напряженность в данной точке определяется по формуле:
где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;
х – расстояние между первым и точечным зарядом.
Рис.6
2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше, чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна геометрической разности напряженности Е31 и Е32.
Формула напряженности в данной точке равна:
Е = kq1/(r + a) 2 – kq2/a 2
Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;
а – расстояние между вторым и точечным зарядом.
Рис.7
3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные заряды отталкиваются , а разноименные притягиваются, имеем два вектора напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:
Рис.8
Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого заряда до данной точки и электрическую постоянную.
4. Закрепление темы.
1. Продолжить фразу: “электростатика – это …
2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….
3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?
4. Определить знаки зарядов:
5. Указать вектор напряженности. 
6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.
| Своя оценка работы | Оценка работы другим учеником |
1. Продолжить фразу: “электростатика – это …
2. Продолжить фразу: напряженностью называется …
3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?
4. Определить заряды.
5. Указать вектор напряженности.
6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.
| Своя оценка работы | Оценка работы другим учеником |
1. Два заряда q1 = +3·10 -7 Кл и q2 = −2·10 -7 Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,2 м друг от друга. Определите напряженность поля в точке С, расположенной на линии, соединяющей заряды, на расстоянии 0,05 м вправо от заряда q2.
2. В некоторой точке поля на заряд 5·10 -9 Кл действует сила 3·10 -4 Н. Найти напряженность поля в этой точке и определите величину заряда, создающего поле, если точка удалена от него на 0,1 м.
По теории близкодействия взаимодействия между заряженными телами, удаленными друг от друга, происходит с помощью электромагнитных полей, создаваемых этими телами в окружающем их пространстве. Если поле было создано неподвижными частицами, то его относят к электростатическому. Когда происходят изменения во времени, получает название стационарного. Электростатическое поле является стационарным. Оно считается частным случаем электромагнитного поля.
Характеристика электрического поля
Силовая характеристика электрического поля – вектор напряженности, который можно найти по формуле:
E → = F → q , где F → — сила, действующая со стороны поля на неподвижный (пробный) заряд q . Его значение должно быть настолько мало, чтобы отсутствовала возможность искажать поле, напряженность которого с его помощью и измеряют. По уравнению видно, что напряженность совпадает по направлению с силой, с которой поле действует на единичный положительный пробный заряд.
У напряженности электростатического поля нет зависимости от времени. Когда она во всех точках поля одинакова, тогда поле называют однородным. В другом случае – неоднородным.
Силовые линии
Чтобы изобразить электростатические поля графически, необходимо задействовать понятие силовых линий.
Силовые линии – это линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлениями векторов напряженности в этих точках.
Такие линии в электростатическом поле разомкнутые. Они начинаются на положительных зарядах и заканчивают на отрицательных. Реже уходят в бесконечность или возвращаются из нее. Силовые линии поля не могу пересекаться.
Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции, а именно:
E → = ∑ i = 1 n E → i .
Результирующий вектор напряженности сводится к нахождению векторной суммы напряженностей, составляющих его «отдельные» поля. При распределении непрерывного заряда, поиск суммарной напряженности поля производится по формуле:
Интегрирование E → = ∫ d E → проводится по области распределения зарядов. Если их распределение идет по линии ( τ = d q d l — линейная плотность распределения заряда), то интегрирование E → = ∫ d E → тоже. Когда распределение зарядов идет по поверхности и поверхностная плоскость обозначается как σ = d q d S , тогда интегрируют по поверхности.
Интегрирование по объему выполняется, если имеется объемное распределение заряда:
ρ = d q d V , где ρ — объемная плотность распределения заряда.
Что называется напряженностью электрического поля
Напряженность поля в диэлектрике равняется векторной сумме напряженностей полей, которые создают свободные E 0 → и связанные E p → заряды:
Зачастую бывают случаи, когда диэлектрик изотропный. Тогда запись напряженности поля имеет вид:
E → = E 0 → ε , где ε обозначает относительную диэлектрическую проницаемость среды в рассматриваемой точке поля.
Отсюда следует, что по выражению E → = E 0 → ε имеется однородный изотропный диэлектрик с напряженностью электрического поля в ε меньше, чем в вакууме.
Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равняется:
E → = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 n q i ε r i 3 r i → .
В системе СГС напряженность поля точечного заряда в вакууме:
Дан равномерно распределенный заряд по четверти окружности радиуса R с линейной плотностью τ . Необходимо найти напряженность поля в точке А , являющейся центром окружности.
Решение
Произведем выделение на заряженной части окружности элементарного участка d l , который будет создавать элемент поля в точке А . Следует записать выражение для напряженности, то есть для d E → . Тогда формула примет вид:
d E → = d q R 3 R → R .
Проекция вектора d E → на ось О х составит:
d E x = d E cos φ = d q cos φ R 2 .
Произведем выражение d q через линейную плотность заряда τ :
d q = τ d l = τ · 2 πRdR .
Необходимо использовать d q = τ d l = τ · 2 πRdR для преобразования d E x = d E cos φ = d q cos φ R 2 :
d E x = 2 π R τ d R cos φ R 2 = 2 π τ d R cos φ R = τ cos φ d φ R ,
где 2 π d R = d φ .
Далее перейдем к нахождению полной проекции E x при помощи интегрирования d E x = 2 π R τ d R cos φ R 2 = 2 π τ d R cos φ R = τ cos φ d φ R ,
по d φ с изменением угла 0 ≤ φ ≤ 2 π .
E x = ∫ 0 2 π τ cos φ d φ R = τ R ∫ 0 2 π cos φ d φ = τ R sin φ 0 2 π = τ R .
Перейдем к проекции вектора напряженности на О у :
d E y = d E sin φ = τ R sin φ d φ .
Следует проинтегрировать с изменяющимся углом π 2 ≤ φ ≤ 0 :
E y ∫ π 2 0 τ R sin φ d φ = τ R ∫ π 2 0 sin φ d φ = — τ R cos φ π 2 0 = — τ R .
Произведем нахождение модуля вектора напряженности в точке А , применив теорему Пифагора:
E = E x 2 + E y 2 = τ R 2 + — τ R 2 = τ R 2 .
Ответ: E = τ R 2 .
Найти напряженность электростатического поля равномерно заряженной полусферы с радиусом R . Поверхностная плотность заряда равняется σ .
Решение
Следует выделить на поверхности заряженной сферы элементарный заряд d q , располагаемый на элементе площади d S . Запись, используя сферические координаты d S , равняется:
d S = R 2 sin θ d θ d φ ,
при 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ π 2 .
Элементарная напряженность поля точечного заряда в системе С И :
d E → = d q 4 π ε 0 R 3 R → R .
Необходимо спроецировать вектор напряженности на О х :
d E x = d q cos θ 4 π ε 0 R 2 .
Произведем выражение заряда через поверхностную плотность заряда:
Подставим d q = σ d S в d E x = d q cos θ 4 π ε 0 R 2 , используя d S = R 2 sin θ d θ d φ , проинтегрируем и запишем:
E x = σ R 2 4 π ε 0 R 2 ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π 2 cos θ sin θ d θ = σ 4 π ε 0 2 π · 1 2 = σ 4 ε 0 .
Отсюда следует, что E = E x .
Ответ: напряженность полусферы в центре равняется E = σ 4 ε 0 .
Магнитное поле — особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрическими частицами.
Основные свойства магнитного поля
- Магнитное поле порождается электрическим током (движущимися зарядами).
- Магнитное поле обнаруживается по действию на электрический ток (движущиеся заряды).
- Магнитное поле существует независимо от нас, от наших знаний о нем.
Вектор магнитной индукции
Определение
Вектор магнитной индукции — силовая характеристика магнитного поля. Она определяет, с какой силой магнитное поле действует на заряд, движущийся в поле с определенной скоростью. Обозначается как→B. Единица измерения — Тесла (Тл).
За единицу магнитной индукции можно принять магнитную индукцию однородного поля, котором на участок проводника длиной 1 м при силе тока в нем 1 А действует со стороны поля максимальная сила, равна 1 Н. 1 Н/(А∙м) = 1 Тл.
Модуль вектора магнитной индукции — физическая величина, равная отношению максимальной силы, действующей со стороны магнитного поля на отрезок проводника с током, к произведению силы тока и длины проводника:
B=FAmaxIl
За направление вектора магнитной индукции принимается направление от южного полюса S к северному N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле.
Наглядную картину магнитного поля можно получить, если построить так называемые линии магнитной индукции. Линиями магнитной индукции называют линии, касательные к которым направлены так же, как и вектор магнитной индукции в данной точке поля.
Особенность линий магнитной индукции состоит в том, что они не имеют ни начала, ни конца. Они всегда замкнуты. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми. Поэтому магнитное поле — вихревое поле.
Замкнутость линий магнитной индукции представляет собой фундаментальное свойство магнитного поля. Оно заключается в том, что магнитное поле не имеет источников. Магнитных зарядов, подобным электрическим, в природе нет.
Напряженность магнитного поля
Определение
Вектор напряженности магнитного поля — характеристика магнитного поля, определяющая густоту силовых линий (линий магнитной индукции). Обозначается как →H. Единица измерения — А/м.
→H=→Bμμ0
μ — магнитная проницаемость среды (у воздуха она равна 1), μ0 — магнитная постоянная, равная 4π·10−7 Гн/м.
Внимание! Направление напряженности всегда совпадает с направлением вектора магнитной индукции: →H↑↑→B.
Направление вектора магнитной индукции и способы его определения
Чтобы определить направление вектора магнитной индукции, нужно:
- Расположить в магнитном поле компас.
- Дождаться, когда магнитная стрелка займет устойчивое положение.
- Принять за направление вектора магнитной индукции направление стрелки компаса «север».
В пространстве между полюсами постоянного магнита вектор магнитной индукции выходит из северного полюса:
При определении направления вектора магнитной индукции с помощью витка с током следует применять правило буравчика:
При вкручивании острия буравчика вдоль направления тока рукоятка будет вращаться по направлению вектора →B магнитной индукции.
Отсюда следует, что:
- Если по витку ток идет против часовой стрелки, то вектор магнитной индукции →B направлен вверх.
- Если по витку ток идет по часовой стрелке, то вектор магнитной индукции →B направлен вниз.
Способы обозначения направлений векторов:
| Вверх |  |
| Вниз |  |
| Влево |  |
| Вправо |  |
| На нас перпендикулярно плоскости чертежа |  |
| От нас перпендикулярно плоскости чертежа |  |
Пример №1. На рисунке изображен проводник, по которому течет электрический ток. Направление тока указано стрелкой. Как направлен (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) вектор магнитной индукции в точке С?
Если мысленно начать вкручивать острие буравчика по направлению тока, то окажется, что вектор магнитной индукции в точке С будет направлен к нам — к наблюдателю.
Магнитное поле прямолинейного тока
Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводнику. Центр окружностей совпадает с осью проводника.
Вид сверху:
Если ток идет вверх, то силовые линии направлены против часовой стрелки. Если вниз, то они направлены по часовой стрелке. Их направление можно определить с помощью правила буравчика или правила правой руки:
Правило буравчика (правой руки)
Если большой палец правой руки, отклоненный на 90 градусов, направить в сторону тока в проводнике, то остальные 4 пальца покажут направление линий магнитной индукции.
Модуль вектора магнитной индукции на расстоянии r от оси проводника:
B=μμ0I2πr
Модуль напряженности:
H=I2πr
Магнитное поле кругового тока
Силовые линии представляют собой окружности, опоясывающие круговой ток. Вектор магнитной индукции в центре витка направлен вверх, если ток идет против часовой стрелки, и вниз, если по часовой стрелке.
Определить направление силовых линий магнитного поля витка с током можно также с помощью правила правой руки:
Если расположить четыре пальца правой руки по направлению тока в витке, то отклоненный на 90 градусов большой палец, покажет направление вектора магнитной индукции.
Модуль вектора магнитной индукции в центре витка, радиус которого равен R:
B=μμ0I2R
Модуль напряженности в центре витка:
H=I2R
Пример №2. На рисунке изображен проволочный виток, по которому течет электрический ток в направлении, указанном стрелкой. Виток расположен в вертикальной плоскости. Точка А находится на горизонтальной прямой, проходящей через центр витка. Как направлен (вверх, вниз, влево, вправо) вектор магнитной индукции магнитного поля в точке А?
Если мысленно обхватить виток так, чтобы четыре пальца правой руки были бы направлены в сторону тока, то отклоненный на 90 градусов большой палец правой руки показал бы, что вектор магнитной индукции в точке А направлен вправо.
Магнитное поле электромагнита (соленоида)
Определение
Соленоид — это катушка цилиндрической формы, витки которой намотаны вплотную, а длина значительно больше диаметра.
Число витков в соленоиде N определяется формулой:
N=ld
l — длина соленоида, d — диаметр проволоки.
Линии магнитной индукции являются замкнутыми, причем внутри соленоида они располагаются параллельно друг другу. Поле внутри соленоида однородно.
Если ток по виткам соленоида идет против часовой стрелки, то вектор магнитной индукции →B внутри соленоида направлен вверх, если по часовой стрелке, то вниз. Для определения направления линий магнитной индукции можно воспользоваться правилом правой руки для витка с током.
Модуль вектора магнитной индукции в центральной области соленоида:
B=μμ0INl=μμ0Id
Модуль напряженности магнитного поля в центральной части соленоида:
H=INl=Id
Алгоритм определения полярности электромагнита
- Определить полярность источника.
- Указать на витках электромагнита условное направление тока (от «+» источника к «–»).
- Определить направление вектора магнитной индукции.
- Определить полюса электромагнита. Там, откуда выходят линии магнитной индукции, располагается северный полюс электромагнита (N, или «–». С противоположной стороны — южный (S, или «+»).
Пример №3. Через соленоид пропускают ток. Определите полюсы катушки.
Ток условно течет от положительного полюса источника тока к отрицательному. Следовательно, ток течет по виткам от точки А к точке В. Мысленно обхватив соленоид пальцами правой руки так, чтобы четыре пальца совпадали с направлением тока в витках соленоида, отставим большой палец на угол 90 градусов. Он покажет направление линий магнитной индукции внутри соленоида. Проделав это, увидим, что линии магнитной индукции направлены вправо. Следовательно, они выходят из В, который будет являться северным полюсом. Тогда А будет являться южным полюсом.
Задание EF17530
На рисунке изображён круглый проволочный виток, по которому течёт электрический ток. Виток расположен в вертикальной плоскости. В центре витка вектор индукции магнитного поля тока направлен
Ответ:
а) вертикально вверх в плоскости витка
б) вертикально вниз в плоскости витка
в) вправо перпендикулярно плоскости витка
г) влево перпендикулярно плоскости витка
Алгоритм решения
1.Определить правило, по которому можно определить направление вектора магнитной индукции в данном случае.
2.Применить выбранное правило и определить направление вектора магнитной индукции относительно рисунка.
Решение
По условию задачи мы имеем дело с круглым проволочным витком. Поэтому для определения вектора →B магнитной индукции мы будем использовать правило правой руки.
Чтобы применить это правило, нам нужно знать направление течение тока в проводнике. Условно ток течет от положительного полюса источника к отрицательному. Следовательно, на рисунке ток течет по витку в направлении хода часовой стрелки.
Теперь можем применить правило правой руки. Для этого мысленно направим четыре пальца правой руки в направлении тока в проволочном витке. Теперь отставим на 90 градусов большой палец. Он показывает относительно рисунка влево. Это и есть направление вектора магнитной индукции.
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18109
Магнитная стрелка компаса зафиксирована на оси (северный полюс затемнён, см. рисунок). К компасу поднесли сильный постоянный полосовой магнит и освободили стрелку. В каком положении установится стрелка?
Ответ:
а) повернётся на 180°
б) повернётся на 90° по часовой стрелке
в) повернётся на 90° против часовой стрелки
г) останется в прежнем положении
Алгоритм решения
- Вспомнить, как взаимодействуют магниты.
- Определить исходное положение полюсов.
- Определить конечное положение полюсов и установить, как изменится положение магнитной стрелки.
Решение
Одноименные полюсы магнитов отталкиваются, а разноименные притягиваются. Изначально южный полюс магнитной стрелки находится справа, а северный — слева. Полосовой магнит подносят к ее южному полюсу северной стороной. Поскольку это разноименные полюса, положение магнитной стрелки не изменится.
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18266
Непосредственно над неподвижно закреплённой проволочной катушкой вдоль её оси на пружине подвешен полосовой магнит (см. рисунок). Куда начнёт двигаться магнит сразу после замыкания ключа? Ответ поясните, указав, какие физические явления и законы Вы использовали для объяснения.
Алгоритм решения
- Определить направление тока в соленоиде.
- Определить полюса соленоида.
- Установить, как будет взаимодействовать соленоид с магнитом.
- Установить, как будет себя вести магнит после замыкания электрической цепи.
Решение
Чтобы определить направление тока в соленоиде, посмотрим на расположение полюсов источника тока. Ток условно направлен от положительного полюса к отрицательному. Следовательно, относительно рисунка ток в витках соленоида направлен по часовой стрелке.
Зная направление тока в соленоиде, можно определить его полюса. Северным будет тот полюс, из которого выходят линии магнитной индукции. Определить их направление поможет правило правой руки для соленоида. Мысленно обхватим соленоид так, чтобы направление четырех пальцев правой руки совпадало с направлением тока в витках соленоида. Теперь отставленный на 90 градусов большой палец покажет направление вектора магнитной индукции. Проделав все манипуляции, получим, что вектор магнитной индукции направлен вниз. Следовательно, внизу соленоида расположен северный полюс, а вверху — южный.
Известно, что одноименные полюса магнитов отталкиваются, а разноименные — притягиваются. Подвешенный полосовой магнит обращен к южному полюсу соленоида северным полюсом. А это значит, что при замыкании электрической цепи он будет растягивать пружину, притягиваясь к соленоиду (двигаться вниз).
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 22.2k
Магнитное поле
Магнитное поле – особая форма материи, существующая вокруг движущихся электрических зарядов – токов.
Источниками магнитного поля являются постоянные магниты, проводники с током. Обнаружить магнитное поле можно по действию на магнитную стрелку, проводник с током и движущиеся заряженные частицы.
Для исследования магнитного поля используют замкнутый плоский контур с током (рамку с током).
Впервые поворот магнитной стрелки около проводника, по которому протекает ток, обнаружил в 1820 году Эрстед. Ампер наблюдал взаимодействие проводников, по которым протекал ток: если токи в проводниках текут в одном направлении, то проводники притягиваются, если токи в проводниках текут в противоположных направлениях, то они отталкиваются.
Свойства магнитного поля:
- магнитное поле материально;
- источник и индикатор поля – электрический ток;
- магнитное поле является вихревым – его силовые линии (линии магнитной индукции) замкнутые;
- величина поля убывает с расстоянием от источника поля.
Важно!
Магнитное поле не является потенциальным. Его работа на замкнутой траектории может быть не равна нулю.
Магнитным взаимодействием называют притяжение или отталкивание электрически нейтральных проводников при пропускании через них электрического тока.
Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов объясняется так: всякий движущийся электрический заряд создает в пространстве магнитное поле, которое действует на движущиеся заряженные частицы.
Силовая характеристика магнитного поля – вектор магнитной индукции ( vec{B} ). Модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимального значения силы, действующей со стороны магнитного поля на проводник с током, к силе тока в проводнике ( I ) и его длине ( l ):
Обозначение – ( vec{B} ), единица измерения в СИ – тесла (Тл).
1 Тл – это индукция такого магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника при силе тока 1 А действует максимальная сила 1 Н.
Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением от южного полюса к северному полюсу магнитной стрелки (направление, которое указывает северный полюс магнитной стрелки), свободно установившейся в магнитном поле.
Направление вектора магнитной индукции можно определить по правилу буравчика:
если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вектора магнитной индукции.
Для определения магнитной индукции нескольких полей используется принцип суперпозиции:
магнитная индукция результирующего поля, созданного несколькими источниками, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности:
Поле, в каждой точке которого вектор магнитной индукции одинаков по величине и направлению, называется однородным.
Наглядно магнитное поле изображают в виде магнитных линий или линий магнитной индукции. Линия магнитной индукции – это воображаемая линия, в любой точке которой вектор магнитной индукции направлен по касательной к ней.
Свойства магнитных линий:
- магнитные линии непрерывны;
- магнитные линии замкнуты (т.е. в природе не существует магнитных зарядов, аналогичных электрическим зарядам);
- магнитные линии имеют направление, связанное с направлением тока.
Густота расположения позволяет судить о величине поля: чем гуще расположены линии, тем сильнее поле.
На плоский замкнутый контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, действует момент сил ( M ):
где ( I ) – сила тока в проводнике, ( S ) – площадь поверхности, охватываемая контуром, ( B ) – модуль вектора магнитной индукции, ( alpha ) – угол между перпендикуляром к плоскости контура и вектором магнитной индукции.
Тогда для модуля вектора магнитной индукции можно записать формулу:
где максимальный момент сил соответствует углу ( alpha ) = 90°.
В этом случае линии магнитной индукции лежат в плоскости рамки, и ее положение равновесия является неустойчивым. Устойчивым будет положение рамки с током в случае, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции.
Содержание
- Взаимодействие магнитов
- Магнитное поле проводника с током
- Сила Ампера
- Сила Лоренца
- Основные формулы раздела «Магнитное поле»
Взаимодействие магнитов
Постоянные магниты – это тела, длительное время сохраняющие намагниченность, то есть создающие магнитное поле.
Основное свойство магнитов: притягивать тела из железа или его сплавов (например стали). Магниты бывают естественные (из магнитного железняка) и искусственные, представляющие собой намагниченные железные полосы. Области магнита, где его магнитные свойства выражены наиболее сильно, называют полюсами. У магнита два полюса: северный ( N ) и южный ( S ).
Важно!
Вне магнита магнитные линии выходят из северного полюса и входят в южный полюс.
Разделить полюса магнита нельзя.
Объяснил существование магнитного поля у постоянных магнитов Ампер. Согласно его гипотезе внутри молекул, из которых состоит магнит, циркулируют элементарные электрические токи. Если эти токи ориентированы определенным образом, то их действия складываются и тело проявляет магнитные свойства. Если эти токи расположены беспорядочно, то их действие взаимно компенсируется и тело не проявляет магнитных свойств.
Магниты взаимодействуют: одноименные магнитные полюса отталкиваются, разноименные – притягиваются.
Магнитное поле проводника с током
Электрический ток, протекающий по проводнику с током, создает в окружающем его пространстве магнитное поле. Чем больше ток, проходящий по проводнику, тем сильнее возникающее вокруг него магнитное поле.
Магнитные силовые линии этого поля располагаются по концентрическим окружностям, в центре которых находится проводник с током.
Направление линий магнитного поля вокруг проводника с током всегда находится в строгом соответствии с направлением тока, проходящего по проводнику.
Направление магнитных силовых линий можно определить по правилу буравчика: если поступательное движение буравчика (1) совпадает с направлением тока (2) в проводнике, то вращение его рукоятки укажет направление силовых линий (4) магнитного поля вокруг проводника.
При изменении направления тока линии магнитного поля также изменяют свое направление.
По мере удаления от проводника магнитные силовые линии располагаются реже. Следовательно, индукция магнитного поля уменьшается.
Направление тока в проводнике принято изображать точкой, если ток идет к нам, и крестиком, если ток направлен от нас.
Для получения сильных магнитных полей при небольших токах обычно увеличивают число проводников с током и выполняют их в виде ряда витков; такое устройство называют катушкой.
В проводнике, согнутом в виде витка, магнитные поля, образованные всеми участками этого проводника, будут внутри витка иметь одинаковое направление. Поэтому интенсивность магнитного поля внутри витка будет больше, чем вокруг прямолинейного проводника. При объединении витков в катушку магнитные поля, созданные отдельными витками, складываются. При этом концентрация силовых линий внутри катушки возрастает, т. е. магнитное поле внутри нее усиливается.
Чем больше ток, проходящий через катушку, и чем больше в ней витков, тем сильнее создаваемое катушкой магнитное поле. Магнитное поле снаружи катушки также складывается из магнитных полей отдельных витков, однако магнитные силовые линии располагаются не так густо, вследствие чего интенсивность магнитного поля там не столь велика, как внутри катушки.
Магнитное поле катушки с током имеет такую же форму, как и поле прямолинейного постоянного магнита: силовые магнитные линии выходят из одного конца катушки и входят в другой ее конец. Поэтому катушка с током представляет собой искусственный электрический магнит. Обычно для усиления магнитного поля внутрь катушки вставляют стальной сердечник; такую катушку называют электромагнитом.
Направление линий магнитной индукции катушки с током находят по правилу правой руки:
если мысленно обхватить катушку с током ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца указывали направление тока в ее витках, тогда большой палец укажет направление вектора магнитной индукции.
Для определения направления линий магнитного поля, создаваемого витком или катушкой, можно использовать также правило буравчика:
если вращать ручку буравчика по направлению тока в витке или катушке, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.
Электромагниты нашли чрезвычайно широкое применение в технике. Полярность электромагнита (направление магнитного поля) можно определить и с помощью правила правой руки.
Сила Ампера
Сила Ампера – сила, которая действует на проводник с током, находящийся в магнитном поле.
Закон Ампера: на проводник c током силой ( I ) длиной ( l ), помещенный в магнитное поле с индукцией ( vec{B} ), действует сила, модуль которой равен:
где ( alpha ) – угол между проводником с током и вектором магнитной индукции ( vec{B} ).
Направление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ( B_perp ) входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера.
Сила Ампера не является центральной. Она направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Сила Ампера широко используется. В технических устройствах создают магнитное поле с помощью проводников, по которым течет электрический ток. Электромагниты используют в электромеханическом реле для дистанционного выключения электрических цепей, магнитном подъемном кране, жестком диске компьютера, записывающей головке видеомагнитофона, в кинескопе телевизора, мониторе компьютера. В быту, на транспорте и в промышленности широко применяют электрические двигатели. Взаимодействие электромагнита с полем постоянного магнита позволило создать электроизмерительные приборы (амперметр, вольтметр).
Простейшей моделью электродвигателя служит рамка с током, помещенная в магнитное поле постоянного магнита. В реальных электродвигателях вместо постоянных магнитов используют электромагниты, вместо рамки – обмотки с большим числом витков провода.
Коэффициент полезного действия электродвигателя:
где ( N ) – механическая мощность, развиваемая двигателем.
Коэффициент полезного действия электродвигателя очень высок.
Алгоритм решения задач о действии магнитного поля на проводники с током:
- сделать схематический чертеж, на котором указать проводник или контур с током и направление силовых линий поля;
- отметить углы между направлением поля и отдельными элементами контура;
- используя правило левой руки, определить направление силы Ампера, действующей на проводник с током или на каждый элемент контура, и показать эти силы на чертеже;
- указать все остальные силы, действующие на проводник или контур;
- записать формулы для остальных сил, упоминаемых в задаче. Выразить силы через величины, от которых они зависят. Если проводник находится в равновесии, то необходимо записать условие его равновесия (равенство нулю суммы сил и моментов сил);
- записать второй закон Ньютона в векторном виде и в проекциях;
- решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
- решение проверить.
Сила Лоренца
Сила Лоренца – сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.
Формула для нахождения силы Лоренца:
где ( q ) – заряд частицы, ( v ) – скорость частицы, ( B ) – модуль вектора магнитной индукции, ( alpha ) – угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции.
Направление силы Лоренца определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ( B_perp ) входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Лоренца.
Если заряд частицы отрицательный, то направление силы изменяется на противоположное.
Важно!
Если вектор скорости сонаправлен с вектором магнитной индукции, то частица движется равномерно и прямолинейно.
В однородном магнитном поле сила Лоренца искривляет траекторию движения частицы.
Если вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, то частица движется по окружности, радиус которой равен:
где ( m ) – масса частицы, ( v ) – скорость частицы, ( B ) – модуль вектора магнитной индукции, ( q ) – заряд частицы.
В этом случае сила Лоренца играет роль центростремительной и ее работа равна нулю. Период (частота) обращения частицы не зависит от радиуса окружности и скорости частицы. Формула для вычисления периода обращения частицы:
Угловая скорость движения заряженной частицы:
Важно!
Сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы и модуль ее скорости. Под действием силы Лоренца изменяется направление скорости частицы.
Если вектор скорости направлен под углом ( alpha ) (0° < ( alpha ) < 90°) к вектору магнитной индукции, то частица движется по винтовой линии.
В этом случае вектор скорости частицы можно представить как сумму двух векторов скорости, один из которых, ( vec{v}_2 ), параллелен вектору ( vec{B} ), а другой, ( vec{v}_1 ), – перпендикулярен ему. Вектор ( vec{v}_1 ) не меняется ни по модулю, ни по направлению. Вектор ( vec{v}_2 ) меняется по направлению. Сила Лоренца будет сообщать движущейся частице ускорение, перпендикулярное вектору скорости ( vec{v}_1 ). Частица будет двигаться по окружности. Период обращения частицы по окружности – ( T ).
Таким образом, на равномерное движение вдоль линии индукции будет накладываться движение по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору ( vec{B} ). Частица движется по винтовой линии с шагом ( h=v_2T ).
Важно!
Если частица движется в электрическом и магнитном полях, то полная сила Лоренца равна:
Особенности движения заряженной частицы в магнитном поле используются в масс-спектрометрах – устройствах для измерения масс заряженных частиц; ускорителях частиц; для термоизоляции плазмы в установках «Токамак».
Алгоритм решения задач о действии магнитного (и электрического) поля на заряженные частицы:
- сделать чертеж, указать на нем силовые линии магнитного (и электрического) поля, нарисовать вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда;
- изобразить силы, действующие на заряженную частицу;
- определить вид траектории частицы;
- разложить силы, действующие на заряженную частицу, вдоль направления магнитного поля и по направлению, ему перпендикулярному;
- составить основное уравнение динамики материальной точки по каждому из направлений разложения сил;
- выразить силы через величины, от которых они зависят;
- решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
- решение проверить.
Основные формулы раздела «Магнитное поле»
Магнитное поле
3.2 (63.28%) 128 votes
Свойством поля магнитного в любой его точке с позиции силы выступает вектор магнитной индукции [overrightarrow{mathrm{B}}].
Вектор индукции магнитного поля: главные понятия
Рассмотрим определение вектора индукции магнитного поля. Индукцию определяют как предел отношения F силы, воздействующий на магнитное поле, на ток [text { Idl }] к произведению элементарного тока [text { I }] со значением элемента проводника [text { dl }]. Другими словами, магнитная индукция действует по направлению перпендикулярно [perp] по направлению тока (или по-другому к элементу проводника [text { dl }Rightarrow] из (1), а также вектор магнитной индукции поля перпендикулярен [perp] к направлению силы, которая действует с магнитного поля.
Вектор магнитной индукции однородного поля и неоднородного
Если [overrightarrow{mathrm{B}}=mathrm{const}], то поле является однородным. Если оно не изменяется с течением времени, то про него говорят, что поле постоянное.
Вектор индукции магнитного поля: важные формулы
Важно!
Формула с векторами преобразуется в модульную форму, потому что векторы задают направление, а модульная форма — значения, которые необходимы для решения задачи.
Формула
Модуль вектора индукции однородного поля находят следующим образом:
[mathrm{B}=frac{mathrm{M}_{max }}{mathrm{P}_{mathrm{m}}}].
где [mathrm{M}_{max }] — вращающий момент в максимуме действует на контур с элементарным током, помещенный в магнитное поле, где в данном случае [mathrm{P}_{mathrm{m}}=mathrm{I} cdot mathrm{S}] — магнитный момент контура (S — площадь определенного контура).
Модуль вектора индукции магнитного поля: производные формулы
Есть еще формулы для определения модуля магнитной индукции. Она определяется как отношение силы в максимуме [mathrm{F}_{max }], которое реагирует на проводник длины (при этом L= 1 м) к силе элементарного тока [text { I }] в проводнике:
[B=frac{F_{max }}{I cdot L}]
В вакууме модуль индукции будет равен:
[mathrm{B}=mu 0 cdot mathrm{H}]
Чтобы найти вектор индукции через силу Лоренца, следует преобразовать формулу: [overrightarrow{mathrm{F}}=mathrm{q} cdot[overrightarrow{mathrm{V}} times overrightarrow{mathrm{B}}]] (Крестом обозначается произведение векторов)
[vec{F}=B cdot q cdot v cdot sin alpha]
[B=frac{F}{sin alpha cdot q v}]
В данном случае угол α — это угол между вектором индукции и скорости. Стоит отметить, что направление силы Лоренца [overrightarrow{mathrm{F}}] перпендикулярно [perp] каждому вектору, направлено по правилу Буравчика. Под символом q подразумевается заряд в магнитном поле.
Интересно
В СИ единицей модуля магнитной индукции принимается 1 Тесла (кратко — Тл), где [1 Tл=frac{H}{Aм}]
Как определяется направление вектора индукции магнитного поля?
За направление вектора индукции магнитного поля [overrightarrow{mathrm{B}}] используют направление, в котором устанавливается под воздействием поля утвердительного нормали к току с контору. Другими словами объясняют так: вектор идет в направление поступательного перемещения правого винта при вращении по направлению передвижения тока внутри контура.
Вектор индукции [overrightarrow{mathrm{B}}] обладает направлением, которое начинается со стрелки южного полюса [text { S }] (она свободна передвигается в поле) к полюсу северному [text { N }].
Магнитное поле возникает из-за электрических зарядов (элементарными токами), движущиеся в нем.
Для того чтобы определить направление вектора магнитной индукции в проводнике с элементарным током, используют правило правой руки (Буравчика). Они формулируются так:
- Для катушки с током: 4 согнутых пальца руки, которые обхватывают катушку, направляют по течению току. В это время оставленный большой палец на [90^{circ}] указывает на направление магнитной индукции [overrightarrow{mathrm{B}}] в середине катушки.
- Для прямого проводника с элементарным током: большой палец руки, который оставляется на [90^{circ}], направить по течению элементарного тока. В это время 4 согнутых пальца, которые держат проводник, показывают сторону, куда направлена индукция магнитного поля.
Задания по теме
Разберем примеры, в которых будет задействована данная формула и свойства.
Пример 1
Условие задачи:
Проводник представлен в квадратной форме. Каждая из сторон равна d. В данный момент по нему проходит элементарный ток силы I. Найдите индукцию магнитного поля в месте, где диагонали квадрата пересекаются.
Решение задачи следующее:
Сделаем рисунок, в котором плоскость совпадает с плоскостью проводника. Изобразим направление вектора индукции магнитного поля.
В данной точке О получаются проводники с элементарным током, которые расположены прямолинейно и вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости. Направления напряжености полей определяется в соответствием с правилом правого винта,то есть перпендикулярны плоскости изображения. Поэтому сумму векторов по принципу суперпозиции надо заменить на алгебраический вид. Получим следующее выражение: B=B1+B2+B3+B4
Из симметричности рисунка можно увидеть, что модули вектора индукции магнитного поля одинаковы. Получаем следующее: B=4B1
В разделе физике «Электромагнетизм» использовали одну из формул, чтобы рассчитать модуль индукции прямолинейного проводника с элементарным током.
Чтобы формула подошла к данной задачи, ее применяют в следующем виде:
[mathrm{B}_{1}=frac{mathrm{I} cdot mu_{0}}{4 mathrm{pi b}}(cos alpha-cos beta)]
углы α и β, которые отмечены на рисунке:
[beta=pi-alpha rightarrow cos beta=cos (pi-alpha)=-cos alpha]
Используем формулу [B_{1}=frac{I cdot mu_{0}}{4 pi b}(cos alpha-cos beta)] и преобразуем с применением тригонометрического свойства:
[mathrm{B}_{1}=frac{mathrm{I} cdot mu_{0}}{2 mathrm{pi b}} cdot cos alpha]
Поскольку у нас квадратная форма, то следует заметить следующее:
[mathrm{b}=mathrm{d} 2, alpha=frac{pi}{4} rightarrow cos alpha=frac{sqrt{2}}{2}]
Возьмем выведенные формулы и получим конечное выражение, то есть:
[mathrm{B}=4 cdot frac{mathrm{I} cdot mu_{0}}{pi mathrm{d}} cdot frac{sqrt{2}}{2}=frac{2 sqrt{2}}{pi mathrm{d}} cdot mathrm{I} cdot mu_{0}]
Ответ: [mathrm{B}=frac{2 sqrt{2}}{pi mathrm{d}} cdot mathrm{I} cdot mu_{0}]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Пример 2
Условие задачи:
Бесконечно проводник с элементарным током (I) согнут под 90 градусов, который изображен на рисунке. Найдите вектор магнитной индукции однородного поля в точке А.
Решение задачи:
В точке А получается из двух частей проводника, то есть:
[overrightarrow{mathrm{B}}=mathrm{B}_{mathrm{II}}+mathrm{B}_{perp}]
Теперь посмотрим горизонтальный участок, где расположена точка А. Данная область проводника с элементарным током формирует поле в этой точке. Вектор индукции магнитного поля [mathrm{B}_{mathrm{II}}] равен нулю, потому что в А все углы между с радиус-векторами и с элементарным током равны π.
Следовательно, произведение векторов [[mathrm{d} vec{ l } vec{r}]] и поток вектора индукции магнитного поля в законе Био-Савара-Лапласа будет равен нулю:
[overrightarrow{mathrm{B}}=frac{mu_{0}}{4 pi} oint frac{mathrm{I}[mathrm{d} vec{l} vec{r}]}{mathrm{r}^{3}}]
В этом случае [vec{r}] — радиус-вектор, который идет от элемента [mathrm{Idvec{l}}] к точке А, в которой находится индукция магнитного поля [overrightarrow{mathrm{B}}].
Индукция бесконечного проводника в точке А была бы равна:
[mathrm{B}^{prime}=frac{mu_{0}}{2 pi} frac{mathrm{I}}{mathrm{b}}]
Но так как полу бесконечный проводник, то следуя из принципа суперпозиции, получается следующее выражение для проводника магнитной индукций равна:
[mathrm{B}=mathrm{B}_{perp}=frac{1}{2} mathrm{~B}^{prime}=frac{mu_{0}}{Pi} frac{mathrm{I}}{mathrm{b}}]
Ответ: [mathrm{B}=frac{mu_{0}}{pi} frac{mathrm{I}}{mathrm{b}}]
