Как найти направление вектора формула

Согласно определению скалярного произведения векторов имеем:

где есть угол между векторами А и В. Из этой формулы получаем:

т. е. косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин.

Выражая числитель и знаменатель последней дроби посредством проекций векторов (§ 9, формулы (15) и (16)), находим:

В частности, полагая в формулах (17) и и замечая, что в этом случае находим:

или

где а есть угол оси Ох с вектором А. Аналогично, взяв , получим:

пли в координатной форме:

Последние формулы дают возможность определить направляющие косинусы вектора (т. е. косинусы углов между осями координат

и вектором) по его проекциям. Далее,

где суть углы осей координат с вектором — углы тех же осей с вектором Последняя формула (20) совпадает с формулой (16) § 4 гл. 1.

Для иллюстрации изложенных результатов рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, b, с, чтобы из них можно было образовать треугольник, совмещая начало каждого вектора с концом одного из двух других векторов?

Очевидно, необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы сумма векторов а, b и с равнялась нулю:

Пример 2. Доказать, что возможно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника ABC.

Рис. 101.

Обозначая середины сторон треугольника ABC (рис. 101) через выразим векторы, представляющие медианы треугольника, т. е. АА и ВВ, и через векторы а, b, с. Легко видеть из черт. 109, что

так как

Аналогично найдем:

Остается проверить условие примера 1, достаточное для того, чтобы из векторов , можно было образовать треугольник:

Так как условие примера 1 выполняется, то из векторов и , действительно можно составить треугольник.

Пример 3. На точку действуют три силы, проекции которых на прямоугольные оси равны

Найти величину направление равнодействующей.

Обозначая через X, Y, Z проекции равнодействующей, имеем:

Следовательно, величина R равнодействующей R будет:

а ее направление определяется по формулам

Пример 4. Найти угол между векторами По формуле (17) получим:

Пример 5. Дан треугольник . Тогда Вычисляя скалярный квадрат вектора АВ, получим:

или

Обозначая через внутренний угол треугольника ОАВ при вершине О, последней формуле придадим обычный вид:

так как

Рис. 102.

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

• длина (математики говорят «модуль вектора»)
• направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

[vec{a} = left{ a_{x}; a_{y} right}]

( a_{x} ) – это  «x» координата вектора, проекция вектора ( vec{a} ) на ось Ox;

( a_{y} ) — это  «y» координата вектора, проекция вектора ( vec{a} ) на ось Oy;

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,

( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,

( overrightarrow {AB} ) – вектор.

[ overrightarrow {AB} = left{ AB_{x}; AB_{y} right} ]

[ begin{cases}  AB_{x} = 4 – 1; AB_{x} = 3  \ AB_{y} = 3 – 1; AB_{y} = 2 end{cases} ]

[ overrightarrow {AB} = left{ 3; 2 right} ]

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

( left| vec{a} right| ) – длина вектора ( vec{a} ).

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_{x} ) и ( a_{y} ) — это числа, координаты вектора ( vec{a} )

Для двухмерного вектора:

[ large boxed {  left| vec{a} right| = sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} } }]

Для трехмерного вектора:

[ large boxed {  left| vec{a} right| = sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2} } } ]

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

[ left| vec{a} right| = sqrt { left(Delta x  right)^{2} + left( Delta y right)^{2} } ]

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

• угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
• или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Словами указать направление вектора можно так:

• вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
• Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

• угол между вектором и осью Oz;
• и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

• длину вектора,
• угол между осью Ox и вектором и
• угол между осью Oz и вектором.

Координаты вектора. Направляющие косинусы, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

• Координаты вектора
• Направляющие косинусы
• Сумма двух векторов, заданных координатами
• Умножение вектора на число
• Основное свойство направляющих косинусов

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении
и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$
и произвольный вектор $overline{a}$, начало которого совпадает
с началом системы координат (рис. 1).

Определение

Координатами вектора $overline{a}$ называются проекции
$a_{x}$ и $a_{y}$
данного вектора на оси $O x$ и
$O y$ соответственно:

$$a_{x}=Пр_{O x} bar{a}, a_{y}=Пр_{O y} bar{a}$$

Величина $a_{x}$ называется абсциссой вектора
$overline{a}$, а число $a_{y}$
— его ординатой.

То, что вектор $overline{a}$ имеет координаты
$a_{x}$ и $a_{y}$,
записывается следующим образом: $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$.

Пример

Запись $overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $overline{a}$
имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$,
тогда вектор $overline{c}=overline{a}+overline{b}$ имеет координаты
$left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}right)$ (рис. 2).

Определение

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание.

Заданы $overline{a}=(-3 ; 5)$
и $overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $overline{c}=overline{a}+overline{b}$

Решение. $overline{c}=overline{a}+overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$

Умножение вектора на число

Если задан $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то тогда вектор
$m overline{a}$ имеет координаты
$m overline{a}=left(m a_{x} ; m a_{y}right)$, здесь
$m$ — некоторое число (рис. 3).

Определение

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное
число.

Пример

Задание. Вектор $overline{a}=(3 ;-2)$.
Найти координаты вектора 2$overline{a}$

Решение. $2 overline{a}=2 cdot(3 ;-2)=(2 cdot 3 ; 2 cdot(-2))=(6 ;-4)$

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две
точки $Aleft(a_{x} ; a_{y}right)$ и $Bleft(b_{x} ; b_{y}right)$.

Тогда координаты вектора $overline{A B}=left(x_{1} ; y_{1}right)$ находятся по формулам (рис. 4):

$x_{1}=b_{x}-a_{x}, y_{1}=b_{y}-a_{y}$

Определение

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат
конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример

Задание. Найти координаты вектора $overline{A B}$,
если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

Решение. $overline{A B}=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$

Направляющие косинусы

Определение

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с
положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для
единичного вектора направляющие косинусы
равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то
его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

$cos alpha=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos beta=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos gamma=frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$

Здесь $alpha$, $beta$ и
$gamma$ — углы, которые составляет вектор с положительными
направлениями осей $O x$, $O y$ и
$O z$ соответственно. {2} gamma=1$

Если известны направляющие косинусы вектора $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta$

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае — если известны направляющие косинусы вектора
$overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta, a_{z}=|overline{a}| cos gamma$

Читать дальше: длина (модуль) вектора.

Направляющие косинусы вектора.

Направляющие косинусы вектора.

Навигация по странице:

• Определение направляющих косинусов
• Формулы для направляющих косинусов
  • для плоских задач
  • для пространственных задач
• Примеры задач с направляющими косинусами вектора
  • плоские задачи
  • пространственные задачи

Смотрите также онлайн калькулятор для вычисления направляющих косинусов вектора.

Определение направляющих косинусов

Определение. Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Основное соотношение. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	ax	;	cos β =	ay
|a|	|a|

Свойство:

cos² α + cos² β = 1

рис. 1

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	ax	;	cos β =	ay	;	cos γ =	az
|a|	|a|	|a|

Свойство:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1

Примеры задач с направляющими косинусами вектора

Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора

Пример 1. Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a:
|a| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a:

cos α =	ax	=	3	= 0.6
|a|	5

cos β =	ay	=	4	= 0.8
|a|	5

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Пример 2. Найти значение векора a если его длина равна 26, а направляющие косинусы cos α = 5/13, cos β = -12/13.

Решение:

a_x = |a| · cos α = 26 ·

513

= 10
a_y = |a| · cos β = 26 · (-

1213

) = -24

Ответ: a = {10; -24}.

Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора

Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a:

|a| = √2² + 4² + 4² = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Найдем направляющие косинусы вектора a:

cos α =	ax	=	2	=	1
|a|	6	3

cos β =	ay	=	4	=	2
|a|	6	3

cos γ =	az	=	4	=	2
|a|	6	3

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 

13

, cos β = 

23

, cos γ = 

23

.

Вектора
Вектор: определение и основные понятия
Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки
Модуль вектора. Длина вектора
Направляющие косинусы вектора
Равенство векторов
Ортогональность векторов
Коллинеарность векторов
Компланарность векторов
Угол между векторами
Проекция вектора
Сложение и вычитание векторов
Умножение вектора на число
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Линейно зависимые и линейно независимые вектора
Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

§2. Проекция вектора на заданное направление — ЗФТШ, МФТИ

1. Проекция вектора на заданное направление. 

Пусть заданы два вектора `vec a` и `vec b`. @`,  то косинус такого угла отрицателен (см. рис. 11).

Проекция равна нулю, если направления векторов `vec a` и `vec b` взаимно перпендикулярны (см. рис. 12).

Проекции равных векторов на любые направления равны друг другу. Проекции противоположных векторов отличаются знаком.

Легко показать, что проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций и что при умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.

2. Разложение вектора.

До сих пор мы говорили о сложении векторов. Для решения многих задач бывает необходимо произвести обратную процедуру — разложить вектор на составляющие, например, найти несколько сил, которые своим совместным действием могли бы заменить одну данную силу. Такая операция называется разложением сил.

Пусть на плоскости задан вектор `vec a` и две пересекающиеся в точке `O`  прямые `AO` и `OB` (см. рис. 13).

Вектор `vec a` можно представить в виде суммы двух векторов, направленных вдоль заданных прямых. Для этого параллельным переносом совместим начало вектора `vec a` с точкой `O` пересечения прямых. Из конца вектора `vec a` проведём два отрезка прямых, параллельных `AO` и `OB`.  В результате получится параллелограмм. По построению

Векторы `vec(a_1)` и `vec(a_2)` называются составляющими вектора `vec a` по заданным направлениям, а само представление вектора в виде суммы (*) — разложением вектора по двум направлениям.

3. Проектирование вектора на оси координат. 

Особенно важен частный случай разложения вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат `xOy` и некоторый вектор `vec a`. Отложим из начала координат вдоль положительного направления осей `Ox` и `Oy` векторы `vec i` и `vec j` соответственно такие, что `|vec i| = 1` и `|vec j| = 1`. Векторы `vec i` и `vec j`  назовём единичными векторами.

Перенесём  вектор `vec a` так,  чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть  в  этом положении он изображается направленным отрезком `AO` (рис. 14).

Опустим из точки `A` перпендикуляры на оси `Ox` и `Oy`. Тогда  векторы `vec(a_x)` и `vec(a_y)` будут  составляющими  вектора `vec a` по координатным осям, причём вектор `vec(a_x)` будет коллинеарен вектору `vec i`, а вектор `vec(a_y)` — коллинеарен вектору `vecj`. Следовательно, существуют такие  числа `a_x` и `a_y`, что `vec(a_x) = a_x vec i` и `vec(a_y) = a_y vec j`. Таким образом, вектор `vec a` может быть представлен в виде разложения по осям:

Числа `a_x` и `a_y` суть проекции вектора `vec a` на направления векторов `vec i` и `vec j` соответственно, то есть на оси `Ox` и `Oy`. Используется и иная, чем (3), форма записи векторов, а именно `vec a = (a_x ; a_y)`.

Иногда говорят о составляющей вектора вдоль одной единственной оси — без указания второй. Просто молчаливо предполагается, что вторая ось перпендикулярна первой (но почему-то не нарисована).

Пусть угол между положительным направлением оси `Ox` и вектором `vec a` равен `alpha` (рис.14). Тогда `a_x = a cos alpha`, `a_y = a sin alpha`.

В зависимости от значения угла `alpha` проекции вектора `vec a` на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Зная проекции вектора `vec a` на оси координат, можно найти его вели­чину и направление по формулам:

причём знаки `a_x` и `a_y` будут указывать на то, какому квадранту при­надлежит значение `alpha`.

4. Пусть теперь нам задано векторное равенство `vec a + vec b = vec c` (рис. 15).

Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства 

т. е. по проекциям  векторов `vec a` и `vec b` легко находятся проекции суммарного вектора `vec c`.

Как определить направление вектора магнитной индукции

Содержание:

Физический смысл магнитной индукции

Физически это явление объясняется следующим образом. Металл имеет кристаллическую структуру (катушка состоит из металла). В кристаллической решетке металла расположены электрические заряды — электроны. Если на металл не оказывать ни какое магнитное воздействие, то заряды (электроны) находятся в покое и никуда не движутся.

В результате чего в металле возникает электрический ток. Сила этого тока зависит от физических свойств магнита и катушки и скорости перемещения одного относительно другого.

При помещении металлической катушки в магнитное поле заряженные частицы металлический решетки (в кашутке) поворачиваются на определенный угол и размещаются вдоль силовых линий магнитного поля.

Чем выше сила магнитного поля, тем больше количество частиц поворачиваются и тем более однородным будет являться их расположение.

Магнитные поля, ориентированные в одном направлении не нейтрализуют друг друга, а складываются, формируя единое поле.

Формула магнитной индукции

где, В — вектор магнитной индукции, F — максимальная сила действующая на проводник с током, I — сила тока в проводнике, l — длина проводника.

Вектор магнитной индукции

Определение

Вектор магнитной индукции — силовая характеристика магнитного поля. Она определяет, с какой силой магнитное поле действует на заряд, движущийся в поле с определенной скоростью. Обозначается как →B. Единица измерения — Тесла (Тл).

За единицу магнитной индукции можно принять магнитную индукцию однородного поля, котором на участок проводника длиной 1 м при силе тока в нем 1 А действует со стороны поля максимальная сила, равна 1 Н. 1 Н/(А∙м) = 1 Тл.

Модуль вектора магнитной индукции — физическая величина, равная отношению максимальной силы, действующей со стороны магнитного поля на отрезок проводника с током, к произведению силы тока и длины проводника:

B=FAmaxIl..

За направление вектора магнитной индукции принимается направление от южного полюса S к северному N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле.

Наглядную картину магнитного поля можно получить, если построить так называемые линии магнитной индукции. Линиями магнитной индукции называют линии, касательные к которым направлены так же, как и вектор магнитной индукции в данной точке поля.

Особенность линий магнитной индукции состоит в том, что они не имеют ни начала, ни конца. Они всегда замкнуты. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми. Поэтому магнитное поле — вихревое поле.

Замкнутость линий магнитной индукции представляет собой фундаментальное свойство магнитного поля. Оно заключается в том, что магнитное поле не имеет источников. Магнитных зарядов, подобным электрическим, в природе нет.

Направление вектора магнитной индукции и способы его определения

Чтобы определить направление вектора магнитной индукции, нужно:

1. Расположить в магнитном поле компас.
2. Дождаться, когда магнитная стрелка займет устойчивое положение.
3. Принять за направление вектора магнитной индукции направление стрелки компаса «север».

В пространстве между полюсами постоянного магнита вектор магнитной индукции выходит из северного полюса:

При определении направления вектора магнитной индукции с помощью витка с током следует применять правило буравчика:

При вкручивании острия буравчика вдоль направления тока рукоятка будет вращаться по направлению вектора →B магнитной индукции.

Отсюда следует, что:

• Если по витку ток идет против часовой стрелки, то вектор магнитной индукции →B направлен вверх.

• Если по витку ток идет по часовой стрелке, то вектор магнитной индукции →B направлен вниз.

Способы обозначения направлений векторов:

Вверх
Вниз
Влево
Вправо
На нас перпендикулярно плоскости чертежа
От нас перпендикулярно плоскости чертежа

Пример №1. На рисунке изображен проводник, по которому течет электрический ток. Направление тока указано стрелкой. Как направлен (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) вектор магнитной индукции в точке С?

Если мысленно начать вкручивать острие буравчика по направлению тока, то окажется, что вектор магнитной индукции в точке С будет направлен к нам — к наблюдателю.

Линию, к которой можно провести касательную, совпадающую с B→, называют линией магнитной индукции (МИ). С помощью таких линий можно визуально отобразить магнитное поле. Это сомкнутые контурные чёрточки, которые охватывают токи. Их густота всегда пропорциональна величине B→ в конкретной точке МП.

Информация. Когда имеют дело с МП прямого движения заряженных частиц, то эти линии изображаются в виде концентрических окружностей. Они имеют свой центр, расположенный на прямой линии с током, и находятся в плоскостях, расположенных под прямым углом к нему.

С направлением магнитных линий также можно определиться, пользуясь правилом буравчика.

В начале 19 века ученые обнаружили, что магнитное поле создается вокруг проводника с протекающим по нему током. Возникшие силовые линии ведут себя по таким же правилам, как и с природным магнитом. Больше того, взаимодействие электрического поля проводника с током и магнитного поля послужило основой электромагнитной динамики.

Понимание ориентации в пространстве сил во взаимодействующих полях позволяет рассчитать осевые вектора:

• Магнитной индукции;
• Величины и направления индукционного тока;
• Угловой скорости.

Такое понимание было сформулировано в правиле буравчика.

Совместив поступательное движение правостороннего буравчика с направлением тока в проводнике получаем направление линий магнитного поля, на которое указывает вращение рукоятки.

Не являясь законом физики, правило буравчика в электротехнике применяется для определения не только направления силовых линий магнитного поля зависящего от вектора тока в проводнике, но и наоборот, определение направления тока в проводах соленоида в связи с вращением линий магнитной индукции.

Понимание этой взаимосвязи позволило Амперу обосновать закон вращающихся полей, что привело к созданию электрических двигателей различного принципа. Вся втягивающая аппаратура, использующая катушки индуктивности, соблюдает правило буравчика.

Основные формулы для вычисления вектора МИ

Вектор магнитной индукции, формула которого B = Fm/I*∆L, можно находить, применяя другие математические вычисления.

Закон Био-Савара-Лапласа

Формула ЭДС индукции

Описывает правила нахождения B→ магнитного поля, которое создаёт постоянный электроток. Это экспериментально установленная закономерность. Био и Савар в 1820 году выявили её на практике, Лапласу удалось сформулировать. Этот закон является основополагающим в магнитостатике. При практическом опыте рассматривался неподвижный провод с малым сечением, через который пропускали электроток. Для изучения выбирался малый участок провода, который характеризовался вектором dl. Его модуль соответствовал длине рассматриваемого участка, а направление совпадало с направлением тока.

Интересно. Лаплас Пьер Симон предложил считать током даже движение одного электрона и на этом утверждении, с помощью данного закона, доказал возможность определения МП продвигающегося точечного заряда.

Согласно этому физическому правилу, каждый сегмент dl проводника, по которому протекает электрический ток I, образовывает в пространстве вокруг себя на промежутке r и под углом α магнитное поле dB:

dB = µ0 *I*dl*sin α /4*π*r2,

где:

• dB – магнитная индукция, Тл;
• µ0 = 4 π*10-7 – магнитная постоянная, Гн/м;
• I – сила тока, А;
• dl – отрезок проводника, м;
• r – расстояние до точки нахождения магнитной индукции, м;
• α – угол, образованный r и вектором dl.

Важно! Согласно закону Био-Савара-Лапласа, суммируя векторы магнитных полей отдельных секторов, можно определить МП нужного тока. Оно будет равно векторной сумме.

Закон Био-Савара-Лапласа

Существуют формулы, описывающие этот закон для отдельных случаев МП:

• поля прямого перемещения электронов;
• поля кругового движения заряженных частиц.

Формула для МП первого типа имеет вид:

В = µ* µ0*2*I/4*π*r.

Для кругового движения она выглядит так:

В = µ*µ0*I/4*π*r.

В этих формулах µ – это магнитная проницаемость среды (относительная).

Рассматриваемый закон вытекает из уравнений Максвелла. Максвелл вывел два уравнения для МП, случай, где электрическое поле постоянно, как раз рассматривают Био и Савар.

Принцип суперпозиции

Для МП существует принцип, согласно которому общий вектор магнитной индукции в определённой точке равен векторной сумме всех векторов МИ, созданных разными токами в данной точке:

B→= B1→+ B2→+ B3→… + Bn→

Принцип суперпозиции

Теорема о циркуляции

Изначально в 1826 году Андре Ампер сформулировал данную теорему. Он разобрал случай с постоянными электрическими полями, его теорема применима к магнитостатике. Теорема гласит: циркуляция МП постоянного электричества по любому контуру соразмерна сумме сил всех токов, которые пронизывают этот контур.

Стоит знать! Тридцать пять лет спустя Д. Максвелл обобщил это утверждение, проведя параллели с гидродинамикой.

Другое название теоремы – закон Ампера, описывающий циркуляцию МП.

Математически теорема записывается следующим образом.

Математическая формула теоремы о циркуляции

где:

• B→– вектор магнитной индукции;
• j→ – плотность движения электронов.

Это интегральная форма записи теоремы. Здесь в левой части интегрируют по некоторому замкнутому контуру, в правой части – по натянутой поверхности на полученный контур.

Магнитный поток

Одна из физических величин, характеризующих уровень МП, пересекающего любую поверхность, – магнитный поток. Обозначается буквой φ и имеет единицу измерения вебер (Вб). Эта единица характерна для системы СИ. В  СГС магнитный поток измеряется в максвеллах (Мкс):

108 Мкс = 1 Вб.

Магнитный поток φ определяет величину МП, пронизывающую определённую поверхность. Поток φ зависит от угла, под которым поле пронизывает поверхность, и силы поля.

Формула для расчёта имеет вид:

φ = |B*S| = B*S*cosα,

где:

• В – скалярная величина градиента магнитной индукции;
• S – площадь пересекаемой поверхности;
• α – угол, образованный потоком Ф и перпендикуляром к поверхности (нормалью).

Внимание! Поток Ф будет наибольшим, когда B→ совпадёт с нормалью по направлению (угол α = 00). Аналогично Ф = 0, когда он проходит параллельно нормали (угол α = 900).

Магнитный поток

Вектор магнитной индукции, или магнитная индукция, указывает направление поля. Применяя простые методы: правило буравчика, свободно ориентирующуюся магнитную стрелку или контур с током в магнитном поле, можно определить направление действия этого поля.

Другие формулы, где встречается B

Эти формулы также можно использовать для её расчёта.

Сила Ампера:

Сила Ампера: Fa=IBL sinα

Где:

• Fa — сила Ампера (в Н — ньютон)
• I — сила тока (в А — ампер)
• B — индукция магнитного поля (в Тл)
• L — длина проводника (в м)
• α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости или др. ; измеряется в рад. или град.)

Сила Лоренца:

Сила Лоренца: Fл = qvB sinα

Где:

• Fл — сила Лоренца (в Н — ньютон)
• q — заряд частицы (в Кл — кулон)
• v — скорость (в м/с)
• B — индукция (в Тл)
• α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости, или др.; измеряется в рад. или град.))

Магнитный поток:

Магнитный поток: Ф = BS cosα

Где:

• Ф — магнитный поток (в Вб – вебер)
• B — индукция (в Тл)
• S — площадь рамки (в м²)
• α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости, или др.; измеряется в рад. или град.))

Электромагнитная индукция и магнитная индукция: какая между ними разница?

Электромагнитная индукция — это производство электродвижущей силы, создаваемой в результате относительного движения между магнитным полем и проводником.

Магнитная индукция может производить постоянный магнит, но может и не производить.

Электромагнитная индукция создаёт ток, но таким образом, что этот созданный ток противодействует изменению магнитного поля.

В электромагнитной индукции используются магниты и электрические цепи, а в магнитной индукции используются только магниты и магнитные материалы.

Предыдущая

РазноеЭлектротехника для чайников. Как научиться разбираться в электрике: уроки для начинающих

Следующая

РазноеАвтоматический выключатель — от чего защищает и как он устроен

Векторы, графическое изображение векторов, величина вектора, направление вектора

Векторы могут быть графически представлены направленными отрезками. Длина выбирается по определенной шкале, чтобы обозначить

величину вектора, а направление отрезка представляетнаправление вектора. Например, если мы примем, что 1 см представляет 5 км/час, тогда северо-восточный ветер со скоростью 15 км/час будет представлен направленным отрезком длиной 3 cм, как показано на рисунке.

Вектор на плоскости это направленный отрезок. Два вектора равны если они имеют одинаковуювеличину и направление.

Рассмотрим вектор, нарисованный из точки A к точке B. Точка называется начальной точкой вектора, а точка B называется конечной точкой. Символическим обозначением для этого вектора есть (читается как “вектора AB”). Векторы также обозначается жирными буквами, такими как U, V и W. Четыре вектора на рисунке слева имеют одинаковую длину и направление. Поэтому они представляют

равные веторы; то есть,

         В контексте векторов мы применяем = чтобы обозначить их равность.

Длина, или величина выражается как ||. Для того, чтобы определить, равны ли векторы, мы находим их величины и направления.

Пример 1 Векторы u, , w показаны на рисунке внизу. Докажите, что u = = w.

Решение Сначала мы находим длину каждого вектора с использованием формулы расстояния:
|u| = √[2 — (-1)]² + (4 — 3)² = √9 + 1 = √10,
|| = √[0 — (-3)]² + [0 — (-1)]² = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 — 1)² + [-1 — (-2)]² = √9 + 1 = √10.
Отсюда
|u| = | = |w|.
Векторы u, , и w, как видно из рисунка, вроде бы имеют одно и то же направление, но мы проверим их наклон. Если прямые, на которых они находятся, имеют одинаковые наклоны, то векторы имеют одно и то же направление. Рассчитываем наклоны:

Так как u, , и w имеют равные величины и одно и то же напраывление,
u = = w.

Имейте в виду, что равность векторов требует только одинаковой величины и одинакового направления, а не расположения в одном месте. На самом верхнем рисунке — пример равности векторов.

Предположим, что человек делает 4 шага на восток, а затем 3 шага на север. Тогда человек будет в 5 шагах от начальной точки в направлении, показанном слева. Вектор в 4 единицы длиной и с направление направо представляет 4 шага на восток и вектор 3 единицы длиной направление вверх представляет 3 шага на север.
Сумма двух этих векторов есть вектор 5-ти шагов величины и в показанном направлении. Сумма также называется результирующим двух векторов.

В общем, два ненулевых вектора u и v могут быть сложены геометрически расположением начальной точки вектора v в конечную точку вектора u, и затем нахождением ветора, который имеет ту же самую начальную точку, что и вектор u и ту же самую конечную точку что и вектор v, как показано на рисунке внизу.

Суммой есть вектор, представленный направленным отрезком из точки A вектора u в конечную точку C вектора v. Таким образом, если u = и v = , тогда
u + v = + =

Мы также можем описать сложение векторов как совместное размещение начальных точек векторов, построением параллелограмма и нахождением диагонали параллелограмма. (на рисунке внизу.) Это сложение иногда называется как правило параллелограмма сложения векторов. Векторное сложение коммутативно. Как показано на рисунке, оба вектора u + v и v + u представлены одним и тем же направленным отрезком.

Если две силы F₁ и F₂ действуют на один объект, результирующая сила есть сумма F₁

+ F₂ этих двух отдельных сил.

Пример Две силы в 15 ньютонов и 25 ньютонов действуют на один объект перпендикулярно друг другу. Найдите их сумму, или результирующую силу и угол, которая она образовывает с большей силой.

Решение Нарисуем условие задачи, в этом случае — прямоугольник, используя v или для представления результирующей. Чтобы найти ее величину, используем теорему Пифагора:
|v|² = 15² + 25²          Здесь |v| обозначает длину или величину v.
|v| = √15² + 25²
|v| ≈ 29,2.
Чтобы найти направление, отметим, что так как OAB есть прямым углом,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Используя калькулятор, мы находим θ, угол, который большая сила образует с результирующей силой:
θ = tan^{— 1}(0,6) ≈ 31°
Результирующая имеет величину 29,2 и угол 31° с большей силой.

Пилоты могут корректировать направление их полёта, если есть боковой ветер. Ветер и скорость самолёта могут быть изображены как веторы.

Пример 3. Скорость самолёта и направление. Самолёт движется по азимуту 100° со скоростью 190 км/час, в то время как скорость ветра 48 км/ч, а его азимут — 220°. Найдите абсолютную скорость самолета и направление его движения с учетом ветра.

Решение Сначала сделаем рисунок. Ветер представлен и вектор скорости самолета есть . Результирующий вектор скорости есть v, сумма двух векторов. Угол θ между v и называется угол сноса.

Обратите внимание, что величина COA = 100° — 40° = 60°. Тогда величина CBA также равна 60° (противоположные углы параллклограмма равны). Так как сумма всех углов параллелограмма равна 360° и COB и OAB имеют одну и ту же величину, каждый должен быть 120°. По правилу косинусов в OAB, мы имеем
|v|² = 48² + 190² — 2.48.190.cos120°
|v|² = 47,524
|v| = 218
Тогда, |v| равно 218 км/ч. Согласно правилу синусов, в том же самом треуголнике,
48/sinθ = 218/sin120°,
или
sinθ = 48. sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Тогда, θ = 11°, к ближайшему целому углу. Абсолютная скорость равна 218 км/ч, и направление его движения с учетом ветра: 100° — 11°, или 89°.

Если нам задан вектор w, мы можем найти два других вектора u и v, сумма которых есть w. Векторы u и v называются компонентами w и процесс их нахождения называется разложением, или представлением вектора его векторными компонентами.

Когда мы раскладываем вектор, обычно мы ищем перпендикулярные компоненты. Очень часто, однако, одна компонента будет параллельной оси x, и другая будет параллельна оси y. Поэтому, они часто называются горизонтальными и вертикальными компонентами вектора. На рисунке внизу вектор w = разложен как сумма u = и v = .

Горизонтальная компонента w есть u и вертикальная компонента — v.

Пример 4 Вектор w имеет величину 130 и наклон 40° относительно горизонтали. Разложите вектор на горизонтальные и вертикальные компоненты.

Решение Сначала мы нарисуем рисунок с горизонтальными и вертикальными векторами u и v, чья сумма есть w.

Из ABC, мы находим |u| и |v|, используя определения косинуса и синуса:
cos40° = |u|/130,      или      |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130,      или      |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Тогда, горизонтальная компонента w есть 100 направо и вертикальная компонента w есть 84 вверх.

Как определить направление вектора напряженности

1
.Два
рода электрических зарядов и их
свойства. Наименьший неделимый
электрический заряд. Закон сохранения
электрических зарядов. Закон Кулона.
Единица заряда. Электростатическое
поле. Способ обнаружения поля.
Напряженность как характеристика
электростатического поля. Вектор
напряженности, его направление.
Напряженность электрического поля
точечного заряда. Единицы напряженности.
Принцип суперпозиции полей.

Электрический
заряд

—
величина
инвариантная, т.е. не зависит от системы
отсчета, а потому не зависит от того,
движется заряд или он покоится.

два
рода (типа) эл.зарядов


: заряды положительные и заряды
отрицательные.

Экспериментально
установили, что одноименные заряды
отталкиваются, а разноименные
притягиваются.

Электрически
нейтральное тело должно иметь равное
количество положительных и отрицательных
зарядов, но и их распределение по
объему тела должно быть равномерным.

Закон
сохранения эл. заряда

:
алгебраическая
сумма элек. зарядов любой замкнутой
системы (системы не обменивающейся
зарядами с внешними тепами) остается
неизменной, какие бы процессы не
происходили внутри этой системы.

Элек.
заряды самопроизвольно не создаются
и не возникают, они лишь могут разделяться
и передаваться от одного тела к другому.

Существует
наименьший
заряд, его назвали элементарным зарядом
—

это
заряд, который имеет электрон и заряд
на теле кратен этому элементарному
заряду: е=1,6*10
-19

Кл
.
Отрицательный элементарный заряд
связан с электроном, а положительный-
с позитроном, у которого заряд и масса
количественно совпадают с зарядом и
массой электрона. Однако из-за того,
что время жизни позитрона мало, на
телах они отсутствуют и поэтому
положительную или отрицательную
заряженность тел объясняют или
недостатком или избытком электронов
на телах.

Закон
Кулона:


силы
взаимодействия двух точечных зарядов,
находящихся в однородной и изотропной
среде, прямо пропорциональны произведению
этих зарядов и обратно пропорциональны
квадрату расстояния между ними, равны
между собой и направлены по прямой,
проходящей через эти заряды.

г- расстояние
между зарядами q 1
и q 2 ,
k-коэффициент
пропорциональности, зависящий от
выбора системы физических единиц.

м/Ф,
а
=8,85*10 -12
Ф/м —
диэлектрическая постоянная

Под
точечным зарядом следует понимать
заряды, сосредоточенные на телах,
линейные размеры которых малы по
сравнению с расстояниями между ними.

При
этом заряд измеряется в кулонах —
количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника
в одну секунду при токе в 1 ампер.

Сила
F
направлена вдоль прямой, соединяющей
заряды, т.е. является центральной силой
и соответствующей притяжению (F0)
в случае одноименных зарядов. Эту силу
называют кулоновская
сила.

Позднейшие
исследования Фарадея показали, что
электрическое взаимодействие между
заряженными телами зависят от свойств
среды, в которой происходят эти
взаимодействия.

Заряженные тела могут воздействовать друг на друга без соприкосновения через электрическое поле. Поле, которое создается неподвижными электрическими частицами, называется электростатическим.

Спонсор размещения P&G
Статьи по теме «Как определить направление вектора напряженности»
Как найти напряженность магнитного поля
Как определить направление момента силы
Как определить направление вектора магнитной индукции

Инструкция

Если в электрическое поле, создаваемое зарядом Q, поместить еще один заряд Q0, то оно будет воздействовать на него с определенной силой. Это характеристика называется напряженностью электрического поля E. Она представляет собой отношение силы F, с которое поле действует на положительный электрический заряд Q0 в определенной точке пространства, к значению этого заряда: E = F/Q0.
В зависимости от конкретной точки пространства, значение напряженности поля E может меняться, что выражается формулой Е = Е (x, y, z, t). Поэтому напряженность электрического поля относится к векторным физическим величинам.
Поскольку напряженность поля зависит от силой, действующей на точечный заряд, то вектор напряженности электрического поля E одинаков с вектором силы F. Согласно закону Кулона, сила, с которой взаимодействуют две заряженные частицы в вакууме, направлена по прямой линии, которая соединяет эти заряды.
Майкл Фарадей предложил наглядно изображать напряженность поля электрического заряда с помощью линий напряженности. Эти линии совпадают с вектором напряженности во всех точках по касательной. На чертежах их принято обозначать стрелками.
В том случае, если электрическое поле однородно и вектор его напряженности постоянен по своему модулю и направлению, то линии напряженности параллельны с ним. Если электрическое поле создается положительно заряженным телом, линии напряженности направлены от него, а в случае с отрицательно заряженной частицей — по направлению к нему.
Как просто

Другие новости по теме:

Силовое поле, часть пространства, в каждой точке которого действует некоторая сила, зависящая только от положения выбранной точки. Если например мы имеем какое-нибудь заряженное тело, то на заряд, помещенный в любую точку около него, будет действовать сила электрического притяжения (или

Потенциал является энергетической характеристикой электрического поля. Для того чтобы найти его значение, нужно потенциальную энергию заряда в данной точке электрического поля поделить на сам заряд. Для различных типов полей используются разные формулы расчета потенциала. Вам понадобится —

Найти значение электрического заряда можно двумя способами. Первый – измерить силу взаимодействия неизвестного заряда с известным и с помощью закона Кулона рассчитать его значение. Второй – внести заряд в известное электрическое поле и измерить силу, с которой оно действует на него. Для измерения

Для того чтобы найти напряженность электрического поля, внесите в него известный пробный заряд. Измерьте силу, которая действует на него со стороны поля и рассчитайте значение напряженности. Если электрическое поле создается точечным зарядом или конденсатором, рассчитайте его по специальным

В задачах по физике иногда нужно найти заряд какого-либо тела на основе его взаимодействия с электрическим полем или другими телами. В большинстве случаев размерами самого тела пренебрегают, чтобы не рассчитывать распределение элементарных зарядов по его массе или поверхности. Спонсор размещения

Для того чтобы определить модуль точечных зарядов одинаковой величины, измерьте силу их взаимодействия и расстояние между ними и произведите расчет. Если же нужно найти модуль заряда отдельных точечных тел, вносите их в электрическое поле с известной напряженностью и измеряйте силу, с которой поле

Напряженность магнитного поля H – векторная физическая величина, результат разности вектора магнитной индукции и вектора намагниченности. В системе СИ измеряется в амперах на метр, в СГС – в эрстедах. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти напряженность магнитного поля» Как определить

Сила Лоренца определяет интенсивность воздействия электрического поля на точечный заряд. В одних случаях под ней подразумевается сила, с которой на заряд q, который движется со скоростью V, действует магнитное поле, в других имеется ввиду суммарное воздействие электрического и магнитного полей.

Электромагнитные волны (ЭМВ).

Электрическое поле, созданное неподвижными электрическими зарядами, с течением времени остается неизменным. Такое поле получило название потенциального электрического поля (электростатическое поле). Неизменным с течением времени остается и магнитное поле, образованное постоянным электрическим током. Эти поля существуют независимо друг от друга. Картина существенным образом изменяется, если электрическое поле создается движущимися электрическими зарядами. Согласно теории Максвелла, изменяющееся со временем электрическое поле создает изменяющееся со временем магнитное поле

и наоборот, изменяющееся со временем магнитное поле, являющееся по самой своей природе вихревым
, создает вихревое электрическое поле
(силовые линии, т. е. линии напряженности такого электрического поля, являются замкнутыми) (рис.1).

Рис. 1. Графическое представление взаимосвязи вихревых электрического и магнитного полей.

вектор напряженности электрического поля

— вектор индукции магнитного поля, связан с вектором напряженности магнитного поля соотношением ( — магнитная проницаемость среды).
Согласно Максвеллу, переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поле «сцеплены» и неразрывно связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле

.

Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение, так называемый, ток смещения
. Током смещения объяснялось протекание переменного электрического тока через конденсатор между его обкладками, т. е. через те участки цепи, где отсутствуют проводники. Максвелл высказал предположение, что ток смещения, как и ток проводимости создает магнитное поле. Ток смещения по своей сути – это изменяющееся со временем электрическое поле, поэтому ток смещения существует и в вакууме. Введя понятие тока смещения, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению замкнутых цепей переменного тока. Там, где на концах проводника обрывается ток проводимости, продолжается ток смещения и т. д. Следовательно, полный ток

в цепи переменного тока может быть представлен суммой токов проводимости и токов смещения.

При неравномерном движении электрических зарядов, в частности, при их колебательном движении, а значит и при всяком переменном токе, электрическое и магнитное поле будут меняться с течением времени; эти изменения будут передаваться от одной точки пространства к другой, образуя, предсказанную Максвеллом, электромагнитную
(ЭМ
) волну
. В дальнейшем было показано, что скорость распространения электромагнитных волн (ЭМВ
) в вакууме имеет значение , совпадающее с экспериментально полученным значением скорости света. Обобщение экспериментальных данных (опыты Эрстеда, сила Ампера, закон Био-Савара-Лапласа, основной закон электромагнитной индукции) привело к заключению, что при распространении ЭМВ электрические и магнитные поля имеет взаимно перпендикулярную ориентацию. В направлении распространения ЭМ волну можно представить с помощью двух синусоид, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Одна из них изображает колебания вектора напряженности электрического поля , а другая – вектора напряженности магнитного поля . Оба вектора колеблются в одинаковой фазе, т.е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений. Направление распространения ЭВ волны (направление вектора
скорости ) определяется правилом правого винта (буравчика) (рис. 2). Рисунок хорошо иллюстрирует тот факт, что ЭМ волны являются поперечными
, поскольку колебания векторов и происходят в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны
(ось OY
).

Рис.2. Графическое представление электромагнитной волны. Электромагнитная теория Максвелла была блестяще подтверждена опытами Герца по распространению ЭМВ.

Общие свойства ЭМВ.

1. ЭМВ поперечные. Векторы напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему с направлением распространения волны.
2. Скорость распространения (фазовая) в непроводящей среде , где

Направление векторного калькулятора

Если вы хотите рассчитать направление вектора , вы попали по адресу. Этот калькулятор находит угол направления вектора и вычисляет единичный вектор в этом направлении.

Векторы — это мощный инструмент для представления многих физических величин в нашем физическом мире. Они представляют собой силы, скорости и многие другие производные от них величины.

Помимо направления, также возможно найти величину вектора, если вы выберете расширенный режим калькулятора. Таким образом, с помощью этого инструмента вы можете найти величину и угол направления любого вектора.

Как рассчитать направление вектора?

Вы можете выразить или вычислить направление вектора v⃗ двумя способами:

1. Вычисление угла направления вектора v⃗ . Направляющий угол — это угол, который v⃗ образует с положительной осью x, считая против часовой стрелки.
2. Вычисление единичного вектора в направлении того же вектора. Этот единичный вектор называется вектором направления .

Как найти угол направления вектора?

Чтобы вычислить угол θthetaθ, который двумерный вектор v⃗=(x,y)vec{v} = (x, y)v=(x,y) образует с горизонтальной осью, используйте это уравнение:

θ=arctan⁡(yx) theta = arctanleft(frac{y}{x}right)θ=arctan(xy​)

Единственная проблема с этим уравнением заключается в том, что оно не дает нам угол относительно положительной оси x, но только относительно ближайшей горизонтальной оси. Если ваш вектор лежит в первом квадранте декартовой плоскости, как вектор, указывающий на P(3,5)P(3,5)P(3,5) на изображении, это не проблема. 9circ — gammaθ=180∘−γ. Мы можем распространить это рассуждение на другие случаи и составить следующие уравнения для вычисления направления вектора в каждом квадранте:

• В первом квадранте , } = arctan(frac{y}{x})θI​=arctan(xy​).
• Во втором квадранте , θII=180°-arctan⁡(yx)theta_text{II} = 180° — arctan(frac{y}{x})θII​=180°-arctan(xy ​).
• В третьем квадранте , θIII=180°+arctan⁡(yx)theta_text{III} = 180° + arctan(frac{y}{x})θIII​=180°+arctan(xy ​).
• В четвертом квадранте , θIV=360°−arctan⁡(yx)theta_text{IV} = 360° — arctan(frac{y}{x})θIV​=360°−arctan(xy ​).

🙋 Термин arctan⁡(yx)arctan(frac{y}{x})arctan(xy​) дает угол в радианах, и вы должны преобразовать его в градусы, прежде чем использовать его во втором, третьем или уравнения четвертого квадранта. Посетите наш конвертер углов, чтобы узнать, как это сделать.

Как вычислить единичный вектор в направлении другого вектора?

Чтобы найти единичный вектор û в направлении другого вектора v⃗ = (x, y, z) , выполните следующие действия:

1. Найдите модуль вектора v⃗ :
   |v⃗| = √(x² + y² + z²)
2. Разделить каждый коэффициент вектора v⃗ на величину v⃗ :
   û = v⃗/|v⃗| = (х/|v⃗|, у/|v⃗|, z/|v⃗|).
3. Вот и все. û — единичный вектор в направлении v⃗ .

Как найти вектор одной величины в направлении другой?

Чтобы найти вектор определенной величины в направлении другого вектора v⃗ = (x, y, z) :

1. Найти модуль вектора v⃗ :
   |v⃗| = √(x² + y² + z²)
2. Найдите единичный вектор û в направлении v⃗ . Для этого каждый коэффициент вектора v⃗ разделим на модуль вектора:
   û = v⃗/|v⃗| = (х/|v⃗|, у/|v⃗|, z/|v⃗|)
3. Умножить величину желаемого вектора на единичный вектор х . Это приведет к желаемому вектору.

Как найти величину и направление двух векторов?

Чтобы найти величину и направление двух векторов, необходимо найти результирующий вектор (для этого можно использовать наш калькулятор сложения векторов) и применить к нему описанные выше действия.

Теперь, когда вы знаете, как найти величину и угол направления вектора, давайте рассмотрим некоторые числовые примеры и ответы на часто задаваемые вопросы.

FAQ

Как найти вектор величины 3 в направлении v = 12i — 5k?

Чтобы найти вектор величины 3 в направлении v⃗ = 12i − 5k :

1. Найдите величину v⃗ :
   |v⃗| = √(12² + (-5)²) = 13
2. Найдите единичный вектор û в направлении v⃗ . Для этого нужно разделить v⃗ на его величину:
   û = v⃗/|v⃗| = (12/13)i - (5/13)k
3. Умножьте желаемую величину 3 на единичный вектор û . Получаем вектор w⃗ :
   w⃗ = 3û = (36/13)i − (15/13)k
   , которое имеет желаемое направление и величину.

Как вычислить единичный вектор в направлении v = i + j + 2k

Чтобы вычислить единичный вектор в направлении v⃗ = i + j + 2k :

1. Найти модуль v⃗ :
   |v⃗| = √(1² + 1² + 2²) = √6 ≈ 2,4495
2. Разделить вектор v⃗ на его модуль:
   û = v⃗/|v⃗| = (1/√6)i + (1/√6)j + (2/√6)k
3. Вот и все. û — единичный вектор в направлении v⃗ .

Является ли скалярное произведение двух векторов в одном направлении положительным или отрицательным?

Скалярное произведение двух векторов в одном направлении всегда положительно. Это потому, что скалярное произведение двух векторов в одном направлении равно произведению их величин, а их величины всегда положительны.

Как найти величину и направление суммы двух векторов?

Чтобы найти величину и направление суммы двух векторов:

1. Найдите равнодействующую двух векторов.
2. Просуммируйте квадрат каждого из компонентов результирующего вектора.
3. Возьмите квадратный корень из предыдущего результата, и это будет величина суммы ваших двух векторов!
4. Чтобы вычислить направление вектора v⃗ = (x, y) , используйте формулу θ = arctan(y/x) , где θ — наименьший угол, который вектор образует с горизонтальной осью, а x и y компоненты результирующего вектора.

Направление вектора — формула

Направление вектора — это угол, образуемый вектором с горизонтальной осью, то есть с осью X. Направление вектора задается вращением против часовой стрелки угла вектора вокруг его хвоста строго на восток. Например, вектор с направлением 45 градусов — это вектор, повернутый на 45 градусов против часовой стрелки относительно строго на восток. Еще одно соглашение для выражения направления вектора — это угол поворота вектора вокруг его хвоста с востока, запада, севера или юга. Например, если вектор направлен на 60 градусов к северу от запада, это означает, что вектор, указывающий на запад, был повернут на 60 градусов в северном направлении.

Направление действия вектора определяется как направление вектора. Давайте узнаем направление векторной формулы и как определить направление вектора в разных квадрантах вместе с несколькими решенными примерами.

1.	Каково направление вектора?
2.	Направление векторной формулы
3.	Как найти направление вектора?
4.	Часто задаваемые вопросы о направлении вектора

Каково направление вектора?

Направление вектора — это ориентация вектора, то есть угол, который он образует с осью x. Вектор рисуется линией со стрелкой наверху и фиксированной точкой на другом конце. Направление, в котором направлена ​​стрелка вектора, дает направление вектора. Например, скорость — это вектор. Он дает величину, с которой движется объект, а также направление, в котором движется объект. Точно так же направление приложения силы задается вектором силы. Направление вектора обозначается (overrightarrow{a} = |a|hat{a}), где |a| обозначает величину вектора, тогда как (hat{a}) является единичным вектором и обозначает направление вектора a.

Направление векторной формулы

Направление векторной формулы связано с наклоном линии. Мы знаем, что наклон линии, проходящей через начало координат и точку (x, y), равен y/x. Мы также знаем, что если θ — угол, образуемый этой линией, то ее наклон равен tan θ, т. е. tan θ = y/x. Следовательно, θ = тангенс ^-1 (y/x). Таким образом, направление вектора (x, y) находится по формуле tan ^-1 (y/x), но при вычислении этого угла следует также учитывать квадрант, в котором лежит (x, y).

Шаги для нахождения направления вектора (x, y):

• Найдите α, используя α = tan ^-1 |y/x|.
• Найдите направление вектора θ, используя следующие правила, в зависимости от того, в каком квадранте (x, y) лежит:

Квадрант, в котором (x, y) лежит	θ (в градусах)
1	α
2	180° — α
3	180° + α
4	360° — α

Чтобы найти направление вектора, концы которого заданы векторами положения (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ), затем найти его направление:

• Найдите вектор (x, y) по формуле (x, y) = (x ₂  — x ₁ , y ₂  — y ₁ )
• Найдите α и θ, как описано выше.

Давайте теперь рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как найти направление вектора.

Как найти направление вектора?

Теперь, когда мы знаем формулы для определения направления вектора в разных квадрантах, давайте рассмотрим пример, чтобы понять применение формулы.

Пример 1: Определить направление вектора с начальной точкой P = (1, 4) и Q = (3, 9).

Для определения направления вектора PQ сначала определим координаты вектора PQ

(x, y) = (3-1, 9-4) = (2, 5). Направление вектора определяется формулой

θ = tan ^-1 |5/2|

= 68,2° [Поскольку (2, 5) лежит в первом квадранте]

Направление вектора равно 68,2°.

Пример 2: Рассмотрим изображение, приведенное ниже.

Вектор на изображении выше образует угол 50° против часовой стрелки с востоком. Следовательно, направление вектора составляет 50° с востока.

Важные примечания о направлении вектора

• Направление вектора можно выразить углом, который образует его хвост с востоком, севером, западом или югом.
• После определения значения тангенса ^-1 |y/x| мы можем применить соответствующую формулу для каждого квадранта.
• Направление вектора также может быть задано углом, образуемым вектором в направлении против часовой стрелки с востока.

Связанные темы по направлению вектора

• Векторы
• Векторные формулы
• Перекрестное произведение

Часто задаваемые вопросы о направлении вектора

Каково направление вектора?

Направление вектора — это угол, образуемый вектором с горизонтальной осью, то есть с осью X.

Каково направление векторной формулы?

Чтобы найти направление вектора (x, y):

• Найдите α, используя α = tan ^-1 |г/х|
• Направление вектора (x, y) определяется как:
  • α, если (x, y) лежит в первом квадранте
  • 180° — α, если (x, y) лежит во втором квадранте
  • 180° + α, если (x, y) лежит в третьем квадранте
  • 360° — α, если (x, y) лежит в четвертом квадранте

Как найти направление вектора?

Направление вектора можно вычислить, используя формулы для каждого квадранта.

Что представляет собой направление вектора?

Направление вектора представляет направление, в котором движется объект.

Как найти направление вектора, зная его компоненты?

Направление вектора можно определить, проверив квадрант, в котором находится вектор, и затем применив соответствующую формулу.

Направление вектора – объяснение и примеры

В области векторной геометрии направление вектора играет фундаментальную роль. Направление  вектора  определяется как:

«Направление вектора — это направление, в котором он действует».

Помня о важности направления, давайте двигаться вперед.

В этом разделе мы рассмотрим следующие темы:

• Каково направление вектора?
• Как найти направление вектора?
• По какой формуле найти направление вектора?
• Примеры
• Практические задачи

 

Каково направление вектора?

Вектор — это физическая величина, описываемая величиной и направлением. Векторная величина представлена ​​​​векторной диаграммой и, следовательно, имеет направление — ориентация, на которую указывает вектор, указывается как направление вектора.

По соглашению, если его векторная диаграмма представляет собой вектор, его направление определяется углом против часовой стрелки, который он образует с положительной осью x. По масштабу векторная диаграмма представляет собой линию со стрелкой, обозначающей направление вектора.

А = |А|

|А| представляет величину, а представляет единичный вектор.

Например, чтобы полностью описать скорость тела, нам придется указать ее величину и направление. Это означает, что мы должны указать, насколько быстро он движется в единицах времени, и описать, в каком направлении он движется.

Итак, если мы говорим, что автомобиль движется со скоростью 40 км/ч. Это утверждение описывает только скорость тела. Если кто-то скажет, что машина движется со скоростью 40 км/ч и движется на север. Это утверждение описывает скорость автомобиля. Он сообщает нам величину, на которую движется автомобиль, и направление, в котором он движется.

Вот почему для описания вектора нам столь же важны направление и величина. Если бы мы сказали, что конфеты находятся в 3 метрах от классной комнаты к северу, это имело бы больше смысла.

В приведенном выше примере мы видели, как важно направление для векторной величины.

Наконечник указывает направление вектора, а хвост представляет собой точку действия. Есть два обычных способа описать направление вектора.

• Направление вектора можно описать углом, который образует его хвост с востоком, севером, западом или югом. Например, при описании вектора можно сказать, что вектор направлен на 80° к югу от востока. Это означает, что вектор повернулся на 80° с востока на юг. Фиолетовый вектор представляет это.

Точно так же другой вектор может находиться в 65° к югу от запада. Это означает, что он направлен на 65° вокруг хвоста с запада на юг. Зеленый вектор обозначает это.

• Другой способ описать вектор — это угол поворота против часовой стрелки от точного «востока». В соответствии с этим вектор с направлением 50° направлен на 50° от востока.

Давайте посмотрим на эту векторную диаграмму. Если говорят, что вектор имеет направление 50°. Хитрость, чтобы понять это, состоит в том, чтобы закрепить хвост вектора, выровненный с прямым востоком или осью x. Теперь поверните вектор на 50° против часовой стрелки вокруг его хвоста.

Теперь возьмем другой пример. Предположим, что вектор имеет направление 200°. Это означает, что хвост вектора прижат к востоку, а затем повернут на 200° против часовой стрелки.

Точно так же можно использовать прямоугольную систему координат. В этом случае угол будет рассчитываться от положительной оси x.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять эту концепцию.

Пример 1

Нарисуйте вектор в 30° к северу от запада.

Решение

Пример 2

Нарисуйте вектор с направлением 60° к востоку от севера.

Решение

Как найти направление вектора?

Направление вектора определяется углом, который он образует с горизонтальной линией.

Существует два метода определения направления вектора: 

1. Графический метод
2. Использование формулы арктангенса нарисуйте вектор графически, а затем вычислите угол. Шаги для графического метода следующие:  
   1. Нарисуйте отдельные векторы с хвостами в начале координат и в соответствии с их углами.
   2. Используя правило «голова к хвосту», сложите векторы.
   3. Результирующий вектор R направлен от конца первого вектора A к началу второго вектора B .
   4. Затем с помощью линейки и транспортира определяются величина и направление вектора. Длина результирующего вектора R даст его величину.
   5. Для направления нарисуйте линию, параллельную оси x, проходящую через начальную точку результирующего вектора R . Измерьте угол между горизонтальной линией и равнодействующей.

   Однако вот в чем проблема: Этот метод предназначен только для базового понимания. Это усложняется, если вам нужно добавить несколько векторов, и не всегда дает самый точный результат. Всегда есть вероятность человеческой ошибки. Следовательно, у нас есть второй метод:

   Формула арктангенса

   Мы используем функцию арктангенса, чтобы найти угол, который он образует с горизонтальной линией .

   Это возможно, если у вас есть начальная и конечная координаты вектора на плоскости. Он определяется как:

   θ = tan-1 (y/x)

   Пример 3

   Вектор направлен от начала координат к (3,5). Определите его направление.

   Решение

   Здесь мы видим, что

   a = x = 3

   b = y = 5

   θ = tan-1 (a/b) 

   θ = tan-1 (3/5)

   θ = 30,9°

   Вектор направлен под углом 30,9° от оси x.

   Теперь рассмотрим случай, когда хвост не расположен в начале координат, а вектор расположен где-то еще на плоскости. В этом случае формула видоизменяется следующим образом:

   По свойству Пифагора мы знаем: y2 – y1)/(x2 – x1)

   Таким образом, формула изменяется следующим образом:

   θ = tan-1 (y1 – y0)/(x1 – x0)

   Заданный здесь угол от горизонтальной линии, идущей параллельно оси x.

   Давайте решим несколько примеров, чтобы понять эту концепцию.

   Пример 4

   Найти направление вектора, проходящего от A(2,1) до B(6,9)

   Δx = x1 – x0 = 6 -2 = 4 9 -1 = 8

   Решение

   Используя формулу:

   θ = tan-1 (y1 – y0)/(x1 – x0)

   θ = tan-1 (8/4)

   θ = 63,4°

   Условные обозначения для направления вектора

   Давайте перейдем к более сложному случаю.

   Мы видели, что в приведенном выше примере вектор лежит в первом квадранте. Давайте посмотрим, как это работает для остальных квадрантов. Это можно определить по знакам координат вектора, которые определяют квадрант, в котором лежит угол.

   Для этого необходимо соблюдать определенные соглашения:

   1. Если обе координаты положительны, то угол существует в первом квадранте и считается стандартным углом. θ = Ⲫ
   2. Если координата y положительна, а координата x отрицательна, то угол существует во 2-м квадранте, тогда стандартный угол равен: θ = 180 + Ⲫ
   3. Если обе координаты отрицательны, то угол существует в 3-м квадранте, тогда стандартный угол равен: θ = 270 + Ⲫ
   4. Если координата x положительна, а координата y отрицательна, то стандартный угол равен: θ = 360 + Ⲫ.

   Поясним это на примерах.

   Пример 5

   Найти направление вектора, направленного из начала координат в координаты (6, -7).

   Решение

   Воспользуемся формулой арктангенса:

   θ = tan-1 (-7/6)

   θ = -49,23° лежащий в квадранте IV.

   Теперь дело в том, что:

   Формула дает кратчайший угол от положительной или отрицательной оси x. Соглашение состоит в том, чтобы представлять угол с положительным знаком от положительной оси x. Для этого от 360° отнимаем от полученного угла.

   θ’ = -49,23 + 360

   θ = 310,77°

   Пример 6

   Найти направление вектора (-4,3).

   Решение

   Глядя на координаты, мы знаем, что вектор лежит в квадранте II:

   θ = tan-1 (3/-4)

   θ = -36,87° ось х. Теперь, чтобы получить положительный ответ и рассчитать от положительной оси x против часовой стрелки:

   θ = -36,87 + 180

   θ = 143,13°

   от положительной оси x против часовой стрелки.

   Для нахождения направления равнодействующего вектора

   Двигаясь дальше, давайте посмотрим, как мы можем найти направление равнодействующего двух или более векторов.

   Как вы знаете, чтобы вычислить результирующий вектор двух или более отдельных векторов, мы сначала находим их соответствующие прямоугольные координаты. Затем мы добавляем x-компоненту и y-компоненту двух векторов. Результирующие компоненты x и компоненты y фактически являются компонентами результирующего вектора.

   Ниже приведен шаг для вычисления направления равнодействующей двух или более векторов: 

   Допустим, у вас есть векторы A и B, , и вы хотите найти их равнодействующую и направление.

   1. Разложите оба вектора на их прямоугольные компоненты.
   2. Мы знаем, R = A + B. Аналогично, Rₓ = Aₓ + Bₓ и R𝚢 = Bₓ и R𝚢 = Bₓ .0460
   3. Теперь, используя свойство арктангенса, замените x и y на x, y-компоненты равнодействующей, т.е. результирующую и изменить тета в соответствии с ней.

   Практические задачи  

   1. Найдите направление вектора, начальная и конечная точки которого равны (5, 2) и (4, 3) соответственно.
   2. Найдите направление вектора, начальная и конечная точки которого равны (2, 3) и (5, 8) соответственно.
   3. Вектор направлен из начала координат в (7, 4). Найдите его направление.
   4. Найдите направление вектора с координатами (-7, -5).
   5. Найдите направление вектора с координатами (1, -1).

   Answers

   1. -45° or 135°
   2. 59°
   3. 29.74°
   4. 234°
   5. -45° or 135°

   All the vector diagrams are constructed by using GeoGebra .

   Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

   MathScene — Векторы — Урок 5

   MathScene — Векторы — Урок 5

   2008 Расмус Эф и Джанн Сак

   
   Урок
   5
   

   Векторы и
   прямые

   ---

   
   Пример 1:

   Найдите один вектор, параллельный прямой y = 3x + 2, и второй вектор,
   перпендикулярна прямой

   Мы
   начните с поиска двух точек, лежащих на прямой.

   Выберите x = 0 и найдите соответствующее значение y.
   y = 30 + 2 = 2. Точка (0, 2) лежит на прямой.

   Выбирать
   х = 1 и найти у.

   y = 31 + 2 = 5. Точка (1, 5) лежит на прямой.

   Найдите вектор, который соединяет эти две точки и может назвать его . имеет в том же направлении, что и линия, и называется вектором направления. Если мы повернем вектор на 90, мы получим вектор, перпендикулярный линия. Это называется вектором нормали и помечен . На диаграмме показаны эти два вектора.

   Мы можем переписать уравнение прямой в примере y = 3x + 2
   в виде 3x y + 2 = 0, переместив y через знак равенства и расположив
   так, чтобы первым стоял член по х, затем член по у и, наконец,
   постоянный срок. Обратите внимание, что коэффициенты x и y, 3 и 1 такие же, как и
   координаты вектора нормали
   .

   Теперь покажем, что это верно для всех прямых.

   Мы используем общую форму для прямой линии, ax + by + c = 0,

   .

   Найдите две точки на прямой, сначала выбрав x = 0 и найдя
   y, а затем выбрав y = 0 и найдя x.

   а0 + by + с = 0

   у = с/б, если
   х = 0

   топор + b0
   + с = 0

   х = с/а, если
   у = 0

   Точки (0, c/b) и (c/a, 0) лежат на прямой.

   Таким образом, вектор направления
   а вектор нормали
   .

   Привычно и проще работать с целыми числами, а
   чем дроби, поэтому мы умножаем координаты векторов на ab/c. При выполнении
   это мы меняем только длину векторов, а не направление. Векторы
   по-прежнему параллельны или перпендикулярны прямой.

   Новый вектор направления будет
   и новый вектор нормали будет

   Чтобы найти вектор направления или вектор нормали для прямой линии
   все, что нам нужно сделать, это записать уравнение в общем виде. Затем мы можем прочитать
   непосредственно из уравнения.

   Общее уравнение прямой:
   ах + бай + с = 0,

   Нормальный вектор

   Вектор направления

   Мы можем использовать эти векторы, чтобы найти угол между прямыми линиями, используя
   скалярное произведение векторов. Угол между линиями такой же, как и
   угол между их направляющими векторами. Простая геометрия показывает, что угол
   между прямыми также равен углу между их векторами нормалей.

   ---

   
   Пример 2:

   Найдите угол v между прямыми l ₁
   , с уравнением y = 3x + 2 и линией l ₂ с уравнением y = x
   + 4 (см. схему).

   Приведя уравнения к общему виду, получим: 3x y + 2 = 0 и x y + 2 = 0,

   нормальные векторы
   и

   Длины векторов нормалей:

   Мы
   теперь у нас есть вся информация, необходимая для использования скалярного произведения для нахождения угла
   v между векторами нормалей, которые
   равен углу между прямыми.

   v ≈
   26,6

   Найдите вектор, начинающийся в точке (1,
   2) и
   перпендикулярно вектору

   Если мы укажем конечную точку векторных координат (x, y), то увидим, что
   все векторы вида
   перпендикулярны данному вектору.

   Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0, что означает, что мы можем записать
   следующее уравнение:

   3(х
   1) + (1)(у
   2) = 0

   3x 3 года + 2 = 0

   3x у 1 = 0

   Это уравнение прямой, проходящей через точку (1, 2)
   с нормальным вектором

   Это дает нам метод нахождения уравнения прямой линии, если мы знаем
   одна точка на прямой и вектор нормали.

   Уравнение прямой, проходящей через точку (x ₁ ,
   y ₁ ) и имеет вектор нормали
   это:

   а(х
   — х ₁ )
   + б(х — у ₁ ) = 0

   ---

   
   Пример 3:

   Найдите уравнение двух прямых l ₁ и l ₂
   пересекающиеся в точке (3,
   3). l ₁ параллельный и l ₂
   перпендикулярна прямой 3x y + 2 = 0 .

   Вектор нормали l ₁ такой же, как нормаль 3x y
   + 2 = 0, т. е.
   .

   Мы можем поместить эту информацию прямо в уравнение

   а(х
   х ₁ )
   + б(х
   у ₁ ) = 0

   3(х
   3) + (1)(у
   3) = 0

   3x 9 у + 3 = 0

   3x y 6 = 0        (уравнение
   линии л ₁ )

   Нормальный вектор для l ₂ совпадает с вектором направления
   3x y + 2 = 0 , то есть
   .

   Опять же, мы можем поместить эти значения в базовое уравнение линии

   .

   а(х
   х ₁ )
   + б(х
   у ₁ ) = 0

   1(х
   3) + 3(у
   3) = 0

   х 3 + 3у 9 = 0

   х + 3у 12 = 0
   (уравнение прямой l ₂ )

   Наконец, давайте посмотрим на схему.

   ---

   
   Пример 4:

   Найдите расстояние между параллельными прямыми 3x y + 2 = 0 и 3x y 6 = 0.
   (см. схему).

   Выбираем любую точку, например (1, 5), на прямой 3x y + 2 = 0 и находим
   кратчайшее расстояние точки от другой линии
   3x y 6 = 0. Это даст нам необходимое расстояние между двумя линиями.

   Длина вектора нормали обычно не является требуемым расстоянием.

   Из диаграммы видно, что в этом примере вектор нормали,
   ,
   больше, чем расстояние между двумя линиями. Поэтому нам необходимо найти
   число t, которое при умножении на
   ,
   дает нам вектор точно правильной длины.
   Назовите конечную точку вектора (на второй линии) (x, y). Теперь мы можем написать
   следующее векторное уравнение:

   Это дает нам два уравнения, которые можно решить относительно x и y.

   3т =
   х 1
   а также
   т =
   у 5

   х =
   3т
   + 1
   у =
   т + 5

   Точка ( x, y ) лежит на второй линии, поэтому мы можем поместить эти значения x и y
   в уравнение прямой.

   3x
   у
   6 = 0

   3(3т
   + 1) (т
   + 5) 6 = 0

   9т + 3 + т
   5 6 = 0

   10т = 8

   т = 0,8

   В
   примере 2 мы обнаружили, что длина   была
   .

   Следовательно, расстояние между двумя прямыми равно t
   или же
   требуемое расстояние 0,8

   Теперь мы сделаем приведенный выше пример с буквами вместо цифр. Это ведет к
   очень полезная формула для расстояния точки от линии.

   Общее уравнение прямой: ax + by + c = 0, и мы выбираем точку
   с координатами (x ₁ , у ₁ ).
   Теперь мы можем написать следующее уравнение:

   Решим это векторное уравнение относительно x и y.

   та =
   х х ₁
   и          tb =
   г г ₁

   х =
   та
   + х ₁
   у
   знак равно
   ТВ
   + у ₁

   Ввод этих значений в уравнение и решение для t:

   топор + по + с = 0

   а(та
   + х ₁ ) + б(тб
   + у ₁ ) + с =
   0

   та ²
   + топор ₁ + тб ²
   + по ₁ + с = 0

   та ² + тб ²
   = топор ₁ по ₁
   с

   т(а ² + б ² )
   = топор ₁ по ₁
   с

   Длина вектора нормали определяется как || ²
   = a ² + b ² , поэтому мы можем переписать уравнение как:

   т|| ²
   = топор ₁ на ₁
   с

   Если мы разделим на || ²
   мы получаем значение для t, которое мы можем умножить на длину нормали
   вектор
   .
   Нам нужно помнить, что длина не может быть отрицательной, поэтому мы используем абсолютное значение
   знак.

   т = |ах ₁
   по ₁ с| /|| ²

   Если мы умножим на ||
   получаем следующую формулу:

   Расстояние до точки (x ₁ , y ₁ )
   с линии
   топор + by + c = 0 это

   или же

   ---

   
   Пример 5:

   Теперь мы собираемся отразить точку (3, 5) на линии 3x y 6 = 0 и
   найти точку отражения.

   План следующий. Сначала найдите вектор, который перпендикулярен прямой 3x
   y 6 = 0, идущих из точки (3, 5) в точку
   P = (x, y), лежащий на прямой. Это будет вектор нормали t
   (видеть
   диаграмму). Отраженную точку S находим добавлением вектора t
   к
   вектор положения P.

   Начнем с нахождения значения t тем же методом, что и в предыдущем
   пример:

   Решая эти два уравнения относительно x и y, мы получаем:

   3т =
   х + 3
   а также
   т =
   у 5

   х =
   3т
   3
   у =
   т
   + 5

   Подставляя эти значения x и y в уравнение, мы можем найти t.

   3x
   у 6 = 0

   3(3т
   3) (т
   + 5) 6
   = 0

   9т 9 + т 5 6 = 0

   10т = 20

   т = 2

   Этот
   дает нам вектор
   а также
   мы можем найти координаты вектора положения P.

   В настоящее время
   мы добавляем 2
   (
   т)
   к этому и получить вектор положения для S.

   Координаты точки отражения:
   S = (9, 1)

   ---

   
   Пример 6:

   Найдите уравнения двух прямых l ₁ и l ₂
   пересекающиеся в точке (3,
   4) и
   параллельны векторам
   и соответственно.

   Затем найдите уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми.

   Векторы нормалей к l ₁ и l ₂ равны
   и

   Таким образом, уравнение  l ₁ выглядит следующим образом:

   1(х
   3) 3(у
   4) = 0

   х 3 3у + 12 = 0

   х 3у + 9 = 0

   и уравнение l ₂ равно

   3(х
   3) 1(у
   4) = 0

   3x
   9 г + 4 = 0

   3x у 5 = 0,

   Все точки (x, y) на биссектрисе угла равноудалены от прямых l ₁
   и л ₂ . Таким образом, мы можем найти уравнение угла
   биссектрисы, найдя расстояние (x, y) от каждой линии и приравняв их.

   х + 3у 9= (3x + у + 5)

   из-за абсолютного значение

   Это дает нам два уравнения.

   х + 3х + 3у у 9 5 = 0
   или же
   х 3х + 3у + у
   9 + 5 = 0

   2х + 2у 14 = 0
   4x + 4y 4 = 0

   x + y 7 = 0                                    x
   у + 1 = 0

   Есть два ответа, потому что есть два угла между линиями и
   следовательно, две биссектрисы угла (см. схему).

   ---

   Попробуйте Викторина
   5
   на Векторы.
   Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

   Векторные операции

   В физическом мире некоторые величины, такие как масса, длина, возраст и стоимость, могут быть представлены только величиной. Другие величины, такие как скорость и сила, также включают направление. Вы можете использовать векторы для представления тех величин, которые включают в себя как величину, так и направление. Одно из распространенных применений векторов включает определение фактической скорости и направления самолета с учетом его воздушной скорости и направления, а также скорости и направления попутного ветра. Другое распространенное использование векторов связано с нахождением результирующей силы, действующей на объект, на который действуют несколько отдельных сил.

   Любая величина, имеющая как размер, так и направление, называется векторной величиной . Если A и B — две точки, расположенные на плоскости, то направленный отрезок от точки A до точки B обозначается . Точка A — это начальная точка , а точка B — конечная точка .

   
   

   Геометрический вектор — это величина, которая может быть представлена ​​отрезком направленной линии. С этого момента вектор будет обозначаться жирной буквой, например 9.0003 и или и . Величина вектора — это длина направленного отрезка. Величину иногда называют нормой . Два вектора имеют одинаковое направление , если они параллельны и указывают в одном и том же направлении. Два вектора имеют противоположных направлений , если они параллельны и направлены в противоположные стороны. Вектор, который не имеет величины и указывает в любом направлении, называется нулевым вектором . Говорят, что два вектора равны эквивалентны векторам , если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление.

   На рис. 1 показано добавление вектора   с использованием правила  – кончика хвоста – . Чтобы сложить векторы v и u , переместите вектор u так, чтобы начальная точка u находилась в конечной точке u . Результирующий вектор от начальной точки v до конечной точки u есть вектор v + u и называется результатом . Векторы v и u называются компонентами вектора v + u . Если два добавляемых вектора не параллельны, то также можно использовать правило параллелограмма . В этом случае начальные точки векторов совпадают, а результирующая является диагональю параллелограмма, образованного использованием двух векторов в качестве смежных сторон параллелограмма.

   Рисунок 1
                 Пример сложения векторов.
   

   Чтобы умножить вектор u на действительное число q , умножьте длину u на | q | и изменить направление u , если q < 0. Это называется скалярным умножением . Если вектор u умножить на -1, результирующий вектор обозначается как — u . Он имеет ту же величину, что и u , но имеет противоположное направление. На рис. 2 показано использование скаляров.

   Рисунок 2
                  Примеры векторов.

   Пример 1: Самолет летит строго на запад со скоростью 400 миль в час. Попутный ветер дует в юго-западном направлении со скоростью 50 миль в час. Нарисуйте диаграмму, отображающую путевую скорость и направление движения самолета (рис. 3 ).

   Рисунок 3
                   Рисунок для примера 1 — векторное представление.

   Вектор, представленный в предыдущем примере, известен как вектор скорости . Азимут вектора v представляет собой угол, измеренный по часовой стрелке от точного севера до v . В примере пеленг самолета составляет 270°, а пеленг ветра — 225°. Перерисовав фигуру в виде треугольника с использованием правила кончика хвоста, можно рассчитать длину (путевую скорость самолета) и пеленг равнодействующей (рис. 4).

   Рисунок 4
                  Чертеж для примера 1 — представление угла.

   Во-первых, используйте закон косинусов, чтобы найти величину равнодействующей.

   Затем используйте закон синусов, чтобы найти азимут.

   Азимут β, таким образом, составляет 270° − 4,64° или приблизительно 265,4°.

   Пример 2: Самолет летит со скоростью 300 миль в час. Ветер дует с юго-востока со скоростью 86 миль в час и азимутом 320°. В каком азимуте должен направиться самолет, чтобы его истинный азимут (относительно земли) составлял 14°? Какова будет путевая скорость самолета (рис. 5)?

   Рисунок 5
                 Чертеж для примера 2.

   Используйте закон синусов для расчета азимута и скорости относительно земли. Поскольку эти чередующиеся внутренние углы конгруэнтны, угол 54° является суммой угла 14° и угла 40°.

   Следовательно, пеленг самолета должен быть 14° + 13,4° = 27,4°. Наземная скорость самолета составляет 342,3 мили в час.

   Любой вектор можно разбить на два составляющих вектора , горизонтальная составляющая и вертикальная составляющая. Эти вектора компонентов называются проекциями (рис. 6).

   Рисунок 6
                  Пример прогнозов.

   Пример 3: Сила в 11 фунтов и сила в 6 фунтов действуют на объект под углом 41° друг к другу. Какова величина результирующей силы и какой угол образует результирующая сила с силой 11 фунтов (рис. 7)?

   Рисунок 7
                  Чертеж для примера 3.

   Во-первых, используйте закон косинусов, чтобы найти величину равнодействующей силы.

   Затем используйте закон синусов.

   Таким образом, результирующая сила равна 16,02 фунта, и эта сила составляет угол 14,24° с силой 11 фунтов.

   Направление косинусов вектора

   Направление косинусов вектора

   Навигация по страницам:

   • Направление косинусов вектора — определение
   • Направление косинусов векторных формул
     • для плоскостных задач
     • для пространственных задач
   • Примеры задач
     • плоские задачи
     • пространственные задачи

   Онлайн калькулятор. Направление косинусов вектора

   Направление косинусов вектора — определение

   Определение. направляющие косинусы вектора а — это косинусы углов, которые вектор образует с осями координат.

   Косинусы направления однозначно задают направление вектора.

   Основное отношение. Чтобы найти направляющих косинусов вектора а, нужно соответствующую координату вектора разделить на длину вектора.

   Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

   Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

   Направляющие косинусы векторной формулы

   Направляющие косинусы векторной формулы для двумерного вектора

   В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {a _x ; a _y } можно найти по следующей формуле

   cos α =	a x	;	cos β =	а у
   |а|	|а|

   Property:

   cos

   ² α + cos ² β = 1

   Direction cosines of a vector formula для трехмерного вектора

   В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {a _x ; а _и ; a _z } можно найти по следующей формуле

   cos α =	a x	;	cos β =	a y	;	cos γ =	a z
   |a|	|а|	|а|

   Свойство:

   COS ² α + COS ² β + COS ² γ = 1

   ^{75 2} γ = 1^{733333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333ня0240}

   Примеры задач

   Примеры плоскостных задач

   Пример 1. Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.

   Решение:

   Вычислить длину вектора a:
   |а| = √3 ² + 4 ² = √9 + 16 = √25 = 5.

   Вычислить направляющие косинусы вектора a:

   cos α =	a x	=	3	= 0,6
   |a|	5

   cos β =	a y	=	4	= 0.8
   |a|	5

   Ответ: направляющие косинусы вектора a равны cos α = 0,6, cos β = 0,8.

   Пример 2. Найти вектор a, если его длина равна 26, а направление косинусов cos α = 5/13, cos β = -12/13.

   Решение:

   а _х = |а| · cos α = 26 · 5/13 = 10
   а _у = |а| · cos β = 26 · (-12/13) = -24

   Ответ: а = {10; -24}.

   Примеры пространственных задач

   Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.

   Решение:

   Вычислить длину вектора a:
   |а| = √2 ² + 4 ² + 4 ² = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

   Вычислить направляющие косинусы вектора a:

   COS α =	A x	=	2	=	1
   1
   1
   1
   6	3

   899 8 8 899 .

   cos β =	a y	=	4	=	2
   |a|	6	3

   .

   COS γ =

   A Z

   =

   4

   =

   4

   =

   4

Содержание:

Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой

где А – начало, а В – конец вектора.

Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху .

Определение: Если начало и конец вектора не закреплены, то он называется свободным.

Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.

Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.

Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца:

Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.

Рис.1. Коллинеарные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Рис.2. Компланарные векторы.

Определение: Два коллинеарных вектора и называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.

Определение вектора и основные свойства

Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение – самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки в точку изображается с помощью направленного от до отрезка – вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.

Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор , здесь – начало, вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор . Длину вектора обозначают, как:

Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы и равны: .

• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.

Векторы и противоположны:

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как , а противоположно направленные .

На рисунке векторы -коллинеарные векторы. Здесь

Выражения вектора компонентами в координатной плоскости

Рассмотрим вектор на координатной плоскости. Конечная точка относительно начальной точки изменила свое положение вдоль оси на (при направо, при налево), вдоль оси на (при вверх, при вниз). Векторы и , определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел и (как указано выше), являются компонентами вектора . На координатной плоскости вектор записывается как . Эта запись называется записью вектора с компонентами.

Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке . Если дан какой либо вектор , то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.

На координатной плоскости вектор с начальной точкой и конечной точкой согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как , то . Здесь называются также координатами вектора.

Длина вектора

Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.

Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле:

Пример 1.

Напишите вектор начальная точка которого , конечная в виде

Решение: Напишем вектор с компонентами:

Пример 2.

Точка начальная точка вектора Найдите координаты конечной точки этого вектора.

Решение: Примем за координаты конечной точки вектора – точку : Тогда . Конечная точка этого вектора

Пример 3.

В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору начальными точками которых являются точки .

Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные

Пример 4.

и соответственно начальная и конечная точка вектора . Напишите этот вектор в виде и найдите длину

Направление вектора

В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.

На рисунке длина вектора обозначена а угол, определяющий направление, через .

длина вектора:

направление вектора: или

Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления .

Пример 1.

Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.

Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси угол в , соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.

Пример 2.

Определите длину и угол наклона вектора

Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту , равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту , равную 4 единицам, и построим вектор как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол , то можно увидеть, что его приближенное значение равно Это можно проверить вычислениями.

Длина вектора: Угол наклона:

Сложение и вычитание коллинеарных векторов

Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.

Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.

Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.

Задача 1.

Для того, чтобы достичь финиша, Джамиля должна пройти 3 знака. Если она пройдет 10 м на восток, то доберется до 1-го знака, потом пройдя 50 м вперед до 2-го знака и, пройдя в том же направлении еще 20 м, сможет добраться до финиша. Изобразите движение Джамили графически – векторами. Выберем масштаб:

1 см : 10 м и на числовой оси нарисуем векторы так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, а начало третьего с концом второго.

Результирующий вектор обозначим через Его длину можно выразить как:

Общее перемещение: 10 м + 50 м + 20 м = 80 м (на восток) Изображается вектор длиной 8 см согласно выбранному масштабу.

Задача 2.

Представьте, что вы прошли 100 м на восток, еще 200 метров на запад.

Нарисуем данные вектора в масштабе

По определению, модуль результирующего вектора равен разности модулей векторов. А направление будет на запад.

В этом случае длина результирующего вектора равна:

200 м 100 м = 100 м (на запад)

Пусть векторы и противоположно направленные, а их результирующий вектор. При и вектор одинаково направлен с вектором .

При и вектор одинаково направлен с вектором .

При то есть сумма противоположных векторов равна вектору.

Для того, чтобы найти разность нужно к вектору прибавить вектор , противоположный вектору .

То есть выражения эквивалентные.

Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.

Сложение векторов

Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа. При сложении векторов графическим способом данные вектора и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира(направление).

Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. Определим графическим способом вектор Для этого: 1) нарисуем вектор противоположный вектору 2) переместим так, чтобы конечная точка вектора совпадала с начальной точкой вектора

3. Соединим начальную точку вектора и конечную точку вектора Это будет вектор

Пример 1.

Джамал прошел от палатки, разбитой в лагере 60 метров на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Какое наименьшее расстояние от палатки до озера?

Решение:

Выберем масштаб: 1 см : 40 м

Движение Джамала изобразим последовательно соответствующими векторами по выбранному масштабу.

Начальную точку 1-го вектора, показывающего движение Джамала, соединим с конечной точкой 3-го вектора. Полученный результирующий вектор выражает сумму векторов Длина этого вектора приблизительно 126,4 метров, а направление под углом

Ответ: Озеро находится на расстоянии 126,4 м от палатки.

Правило параллелограмма

1. Даны вектора: и

2. Переместим вектор так, чтобы начальные точки векторов и совпадали.

3. Построим параллелограмм со сторонами и параллельным переносом соответствующих векторов и Диагональ этого параллелограмма, которая соединяет начальную и конечную точку векторов показывает их сумму:

Переместительные и сочетательные свойства сложения векторов

Для любых векторов верно следующее:

Переместительное свойство:

Сочетательное свойство:

Свойство идентичности:

Сумма противоположенных векторов:

Пример:

Сложение векторов, заданных компонентами

Выполним сложение двух векторов на координатной плоскости, используя их компоненты.

Суммой векторов и будет вектор:

Пример 1.

Если и то вектор выразите через компоненты.

Решение: Для того, чтобы найти компоненты вектора нужно по горизонтали (оси абсцисс) и по вертикали (оси ординат) сложить соответствующие компоненты векторов

Пример 2.

Самолет летит в направлении северо-востока со скоростью 707 миль/час. Скорость самолета выражается вектором В восточном направлении дует ветер со скоростью 40 миль/час. Скорость ветра выражается вектором Как изменится скорость самолета под воздействием ветра?

Конечная скорость самолета:

Аналогично можно показать, что

Пример 3.

Если , то

Тригонометрические отношения и компоненты вектора

Найдем компоненты вектора в координатной плоскости, используя тригонометрические отношения. Обозначим

имеем:

Запись также является записью вектора с компонентами. Угол наклона можно найти по формуле

Пример 1.

Автомобиль движется в северо-восточном направлении под углом со скоростью 80 км/ч. Напишите вектор скорости с компонентами.

Решение: По данным

скорость в вост. напр.

скорость в север, напр.

Пример 2.

Движения мяча изображены двумя векторами: с углом наклона и модулем равным 18 м и с углом наклона и модулем равным 10 м. Определите вектор, показывающий перемещение мяча (модуль и направление).

Решение: Перемещение мяча: Запишем векторы c компонентами:

Здесь

Пусть

По правилу сложения векторов с заданными компонентами имеем:

Найдем длину и угол наклона вектора перемежения мяча, изобразив этот вектор в новой системе координат.

Умножение вектора на число

Произведение вектора на число записывается как а его длина равна при вектора имеют одинаковое направление, при вектора имеют противоположное направление. Любой вектор коллинеарен вектору, выражающему произведение этого вектора на число (отличное от нуля). Если и коллинеарные векторы, то существует единственное число что

Свойство умножения вектора на число

1. Сочетательное свойство.

Для любых чисел и вектора

2. Распределительное свойство.

Для любых чисел и вектора

Для любого числа и векторов

Действия над векторами, заданным над координатами

Для вектора заданного компонентами и для любого числа верно:

Пример: Если

Пример: Если

• Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

• Наоборот, если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.

Условие коллинеарности векторов (при )

Пример: При каком значении векторы коллинеарны?

Подробное объяснение вектора:

Определение: Вектор — Упорядоченную совокупность n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа – компонентами, или координатами, вектора.

Пример:

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения:

Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) (2, 3, 5, 0, 1).

Операции над векторами. Произведением вектора на действительное число называется вектор Суммой векторов и называется вектор

Пространство векторов. N-мерное векторное пространство определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

где через обозначается количество блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров

Линейная независимость. Система n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все Геометрический смысл линейной зависимости векторов в интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае – левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка некомпланарных векторов в называется базисом, а сами векторы – базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде (1.1) числа в разложении (1.1) называются координатами вектора в базисе и обозначаются

Ортонормированный базис. Если векторы попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать Будем предполагать, что в пространстве выбрана правая система декартовых прямоугольных координат

Векторное произведение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов
3. Векторы взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения вводится обозначение

Если векторы коллинеарны, тo в частности, Векторные произведения ортов: Если векторы заданы в базисе координатами то Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов скалярно умножается на третий вектор , то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом Если векторы в базисе заданы своими координатами

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование – это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка – левая, то и следовательно

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору обозначается символом Символом обозначается радиус-вектор точки М, символами обозначаются модули векторов

Пример №1

Найдите угол между векторамиединичные векторы и угол между равен 120°.

Решение:

Имеем:

Окончательно имеем:

Пример №2

Зная векторы АВ(-3,-2,6) и ВС(-2,4,4), вычислите длину высоты AD треугольника АВС.

Решение:

Обозначая площадь треугольника АВС через S, получим:

значит, вектор имеет координаты (—5,2,10).

Пример №3

Даны два вектора Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов была правой.

Решение:

Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через Поскольку По условию задачи требуется, чтобы и Имеем систему уравнений для нахождения

Из первого и второго уравнений системы получим Подставляя в третье уравнение, будем иметь:

Используя условие получим неравенство

С учетом выражений для перепишем полученное неравенство в виде: откуда следует, что

Линейные операции над векторами

1. Сумма векторов. Для нахождения суммы векторов существует два правила: а) правило треугольника. Пусть векторы и неколлинеарные и пусть начало вектора совмещено с концом вектора , тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с началом вектора , а его конец – с концом вектора (Рис. 3):

Рис. 3. Сложение векторов по правилу треугольника.

б) правило параллелограмма. Пусть векторы неколлинеарные и пусть начала векторов совпадают. Построим на векторах параллелограмм (Рис. 4), тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с общим началом векторов , а его конец лежит в противоположной вершине параллелограмма:

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Сумма векторов обладает следующими свойствами:

-переместительным ; – сочетательным

2. Разность векторов. Разностью векторов называется вектор сумма которого с вектором дает вектор (Рис. 5): Рис. 5. Разность векторов.

3. Умножение вектора на вещественное число. При умножении веществе иного числа k на вектор получают ему коллинеарный вектор длина которого равна сонаправленный с вектором если и антинаправленный вектору если

Замечание: Числа в векторной алгебре называют скалярами. Отметим здесь, что векторы и скаляры нельзя складывать и вычитать, так как это объекты разной природы.

Замечание: Из определения операции 3 следует первое условие коллинеарности векторов: – отношения соответствующих проекции векторов должны быть равны между собой (о проекциях векторов см. ниже пункты 3 и 4).

Пример №4

Найти произведение вектора на 2 и (-3).

Решение:

Используя вышеприведенное правило, получим

Произведение числа на вектор обладает следующими свойствами:

• – сочетательным
• – распределительным относительно скаляров
• -распределительным относительно векторов

Замечание: Если k = 0, то в результате умножения , получают нулевой вектор.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. расположены в одной точке.

Проекция вектора на произвольную ось

Пусть дана ось l и вектор Проведем через начало вектора прямую,

которая параллельна оси l, угол между прямой и вектором обозначим через (Рис. 6):

Рис. 6. Проекция вектора на заданную ось.

Из начала и конца вектора опустим на ось l перпендикуляры, получим отрезок

Определение: Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка взятая со знаком «+», если угол и со знаком «-», если Из рисунка видно, что отрезок следовательно, Из этой формулы видно, что при величина а при величина При проекция равна нулю, Т. е.

Проекции обладают свойствами:

– если то

Декартова система координат и вектора

Определение: Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом измерения называется числовой осью.

Определение: Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).

Рассмотрим декартову систему координат и спроектируем вектор на координатные оси (Рис. 7).

Рис. 7. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Из рисунка видно, что проекции вектора на:

• – ось абсцисс (Ох) равна
• – ось ординат (Оу)

(в пространстве – ось аппликат (Oz) ).

Определение: Проекции называются координатами вектора Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора

Направляющие косинусы вектора

Обозначим углы, которые образует вектор с положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через Тогда

Определение: Величины называются направляющими косинусами вектора

Вычислив квадрат модуля вектора найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора

Способы задания вектора

1. Задаются координаты начальной и конечной точек вектора и. Тогда
2. Задаются аффинные координаты вектора
3. Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций:, но так как по условию , то . Следовательно,

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки и Требуется найти на заданном отрезке такую точку чтобы где – заданное число (Рис. 8).

Рис. 8. Деление отрезка в заданном отношении.

Из рисунка видно, что В силу того, что Подставляя это равенство в систему и исключая вектор найдем, что .

Отсюда найдем вектор В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка делит отрезок пополам то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы

Понятие базиса векторов

Определение: Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

Теорема: Пусть даны два неколлинеарных вектора и . Любой другой компланарный им вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов и : , где и – вещественные числа.

Доказательство: Пусть векторы , и приведены к общему началу (Рис. 9), т.е.

Рис. 9. Разложение вектора по заданному базису.

Из рисунка видно, что (правило параллелограмма, Лекция .№ 4). Вектор коллинеарен вектору а вектор вектору Следовательно, найдутся 2 вещественных числа такие, что будут выполняться равенства: Отсюда следует, что

Докажем единственность разложения вектора по базису Пусть существуют другие вещественные числа такие что и пусть хотя бы одна из пар содержит разные числа, например, Вычитая из первого разложения второе, получим

Это означает, что векторы коллинеарные, что противоречит условию теоремы о том, что они образуют базис. Таким образом, разложение вектора по базису единственно и имеет ВИД В силу произвольности вектора данная теорема справедлива для любого вектора компланарного с векторами

Замечание: С геометрической точки зрения числа определяют те числа, на которые надо умножить базисные вектора чтобы по правилу параллелограмма получить вектор В трехмерном пространстве произвольный вектор может быть разложен по некомпланарной тройке векторов причем единственным образом.

Определение: Ортом направления оси называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс – Ох, ординат – Оу и аппликат – Oz) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей: – через – через – через (Рис. 10):

Рис. 10. Орты (единичные векторы) декартовой системы координат.

Из Рис. 10 видно, что орты осей имеют следующие проекции:

Так как векторы некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор может быть единственным образом разложен по этому базису, причем в качестве чисел выступают проекции вектора:

Векторы в геометрии

Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы используются не только в физике, но и в геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.

Понятие вектора в геометрии

Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами.

Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5 то непонятно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 12.1). Надо еще знать, в каком направлении действует сила.

Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами или векторами.

Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин.

Есть векторы и в геометрии.

Рассмотрим отрезок Если мы договоримся точку считать началом отрезка, а точку — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки к точке

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке и концом в точке обозначают так: (читают: «вектор

На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 12.2 изображены векторы Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 12.3 изображены векторы

Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают Если начало и конец нулевого вектора — это точка то его можно обозначить и так: На рисунке нулевой вектор изображают точкой.

Модулем вектора называют длину отрезка Модуль вектора обозначают так: а модуль вектора — так:

Модуль нулевого вектора считают равным нулю:

Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 12.4 изображены коллинеарные векторы и

Тот факт, что векторы коллинеарны, обозначают так:

На рисунке 12.5 ненулевые коллинеарные векторы одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и пишут:

Если

Аналогичным свойством обладают и сонаправленные векторы, то есть если (рис. 12.6).

На рисунке 12.7 ненулевые коллинеарные векторы противоположно направлены. Этот факт обозначают так:

Определение. Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

На рисунке 12.8 изображены равные векторы Это обозначают так:

Равенство ненулевых векторов означает, что и

Нетрудно доказать, что если Убедитесь в этом самостоятельно.

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 12.9 изображены вектор а и векторы, равные вектору Каждый из них также принято называть вектором

На рисунке 12.10, а изображены вектор и точка Если построен вектор равный вектору то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 12.10, б).

Покажем, как от произвольной точки отложить вектор, равный данному вектору

Если вектор нулевой, то искомым вектором будет вектор

Теперь рассмотрим случай, когда Пусть точка лежит на прямой, содержащей вектор (рис. 12.11). На этой прямой существуют две точки такие, что На указанном рисунке вектор будет равным вектору Его и следует выбрать.

Если точка не принадлежит прямой, содержащей вектор то через точку проведем прямую, ей параллельную (рис. 12.12). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.

От заданной точки можно отложить только один вектор, равный данному.

Пример №5

Дан четырехугольник Известно, что и Определите вид четырехугольника

Решение:

Из условия следует, что Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Равенство означает, что диагонали четырехугольника равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Координаты вектора

Рассмотрим на координатной плоскости вектор Отложим от начала координат равный ему вектор (рис. 13.1). Координатами вектора называют координаты точки Запись означает, что вектор имеет координаты

Числа называют соответственно первой и второй координатами вектора

Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов (рис. 13.2) имеет координаты

Справедливо и обратное утверждение: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут.

Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты

Теорема 13.1. Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа и равны соответственно первой и второй координатам вектора

Доказательство: Пусть вектор равный вектору имеет координаты Докажем, что

Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Отложим от начала координат вектор равный вектору Тогда координаты точки равны

Поскольку то, воспользовавшись результатом задачи 12.32, можем сделать вывод, что середины отрезков совпадают. Координаты середин отрезков соответственно равны Тогда

Эти равенства выполняются и тогда, когда точка совпадает с точкой или точка совпадает с точкой

Отсюда

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор имеет координаты то

Пример №6

Даны координаты трех вершин параллелограмма Найдите координаты вершины

Решение:

Поскольку четырехугольник — параллелограмм, то Следовательно, координаты этих векторов равны.

Пусть координаты точки равны Для нахождения координат векторов воспользуемся теоремой 13.1.

Имеем:

Отсюда:

Ответ:

Сложение и вычитание векторов

Если тело переместилось из точки в точку а затем из точки в точку то суммарное перемещение из точки в точку естественно представить в виде вектора считая этот вектор суммой векторов то есть (рис. 14.1).

Этот пример подсказывает, как ввести понятие суммы векторов, то есть как сложить два данных вектора и

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору Далее от точки отложим вектор равный вектору Вектор называют суммой векторов (рис. 14.2) и записывают:

Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Это название связано с тем, что если векторы не коллинеарны, то точки являются вершинами треугольника (рис. 14.2).

По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 14.3 вектор равен сумме коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило треугольника для сложения векторов.

Теорема 14.1. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Доказательство: Пусть точки таковы, что Имеем: Докажем, что координаты вектора равны

Найдем координаты векторов

Имеем:

С учетом того, что получаем:

Замечание. Описывая правило треугольника для нахождения суммы векторов мы отложили вектор от произвольной точки. Если точку заменить точкой то вместо вектора равного сумме векторов получим некоторый вектор Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов равны следовательно, Это означает, что сумма векторов не зависит от того, от какой точки отложен вектор Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел.

Для любых векторов выполняются равенства:

• 
• — переместительное свойство;
• — сочетательное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например,

Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом.

В физике часто приходится складывать векторы, отложенные от одной точки. Так, если к телу приложены силы (рис. 14.4), то равнодействующая этих сил равна сумме

Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов.

Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов (рис. 14.5). Отложим вектор равный вектору Тогда Поскольку векторы равны, то четырехугольник — параллелограмм с диагональю

Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм (рис. 14.6). Тогда искомая сумма равна вектору

Определение. Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Пишут:

Покажем, как построить вектор, равный разности данных векторов

От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам (рис. 14.7). Тогда вектор равен разности Действительно, Следовательно, по определению разности двух векторов то есть

На рисунке 14.7 векторы неколлинеарны. Однако описанный алгоритм применим и для нахождения разности кол-линеарных векторов. На рисунке 14.8 вектор равен разности коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 14.2. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Докажите эту теорему самостоятельно.

Из теоремы 14.2 следует, что для любых векторов существует единственный вектор такой, что

Определение. Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены.

Если векторы противоположны, то говорят, что вектор противоположный вектору а вектор противоположный вектору

Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору обозначают так:

Из определения следует, что противоположным вектору является вектор Тогда для любых точек выполняется равенство

Из правила треугольника следует, что

А из этого равенства следует, что если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Теорема 14.3. Для любых векторов выполняется равенство

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно.

Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора вычесть вектор можно к вектору прибавить вектор (рис. 14.9).

Пример №7

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке (рис. 14.10). Выразите векторы и через векторы

Решение:

Поскольку точка — середина отрезков и

Имеем:

Умножение вектора на число

Пусть дан ненулевой вектор На рисунке 15.1 изображены вектор равный вектору и вектор равный вектору Очевидно, что

Вектор обозначают и считают, что он получен в результате умножения вектора на число 2. Аналогично считают, что вектор получен в результате умножения вектора на число -3, и записывают:

Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умножение вектора на число».

Определение. Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если если

Пишут:

Если то считают, что

На рисунке 15.2 изображены векторы

Из определения следует, что

Также из определения следует, что если то векторы коллинеарны.

А если векторы коллинеарны, то можно ли представить вектор в виде произведения Ответ дает следующая теорема.

Теорема 15.1. Если векторы коллинеарны и то существует такое число что

Доказательство: Если то при получаем, что Если то или

1) Пусть Рассмотрим вектор Поскольку следовательно, Кроме того, Таким образом, векторы сонаправлены и их модули равны. Отсюда

2) Пусть Рассмотрим вектор Для этого случая завершите доказательство самостоятельно.

Теорема 15.2. Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Доказательство: Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Рассмотрим вектор . Покажем, что Имеем:

Отложим от начала координат векторы равные соответственно векторам Поскольку прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид Этой прямой принадлежит точка Тогда Отсюда

Следовательно, точка также принадлежит прямой поэтому векторы коллинеарны, то есть

При числа имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа Следовательно, при точки лежат в одной координатной четверти (или на одном координатном луче), поэтому векторы сонаправлены (рис. 15.3), то есть При векторы будут противоположно направленными, то есть Следовательно, мы получили, что

Следствие 1. Векторы коллинеарны.

Следствие 2. Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел и любых векторов выполняются равенства:

• — сочетательное свойство;
• — первое распределительное свойство;
• — второе распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие сумму векторов, разность векторов и произведение векторов на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,

Пример №8

Докажите, что если то точки и лежат на одной прямой.

Решение:

Из условия следует, что векторы коллинеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки Следовательно, точки лежат на одной прямой.

Пример №9

Точка — середина отрезка — произвольная точка (рис. 15.4). Докажите, что

Решение:

Применяя правило треугольника, запишем:

Сложим эти два равенства:

Поскольку векторы противоположны, то Имеем:

Отсюда

Пример №10

Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжение ее боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть точки — середины оснований и трапеции — точка пересечения прямых (рис. 15.5).

Применяя ключевую задачу 2, запишем:

Поскольку где —некоторые числа.

Поскольку Следовательно,

Имеем:

Из ключевой задачи 1 следует, что точки лежат на одной прямой.

Пример №11

Докажите, что если — точка пересечения медиан треугольника то

Решение:

Пусть отрезки — медианы треугольника (рис. 15.6). Имеем:

Отсюда

Из свойства медиан треугольника следует, что

Тогда Аналогично

Отсюда

Применение векторов

Применяя векторы к решению задач, часто используют следующую лемму.

Лемма. Пусть — такая точка отрезка что (рис. 15.9). Тогда для любой точки выполняется равенство

Доказательство: Имеем:

Поскольку то

Запишем:

Поскольку то имеем:

Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 п. 15.

Пример №12

Пусть — точка пересечения медиан треугольника — произвольная точка (рис. 15.10). Докажите, что

Решение:

Пусть точка — середина отрезка Имеем: Тогда, используя лемму, можно записать:

Докажем векторное равенство, связывающее две замечательные точки треугольника.

Теорема. Если точка — ортоцентр треугольника а точка — центр его описанной окружности, то

Доказательство: Для прямоугольного треугольника равенство очевидно.

Пусть треугольник не является прямоугольным. Опустим из точки перпендикуляр на сторону треугольника (рис. 15.11). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что

На луче отметим точку такую, что Тогда Поскольку то четырехугольник — параллелограмм.

По правилу параллелограмма

Поскольку точка является серединой отрезка то в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Имеем:

Обратимся к векторному равенству где — точка пересечения медиан треугольника Так как — произвольная точка, то равенство остается справедливым, если в качестве точки выбрать точку — центр описанной окружности треугольника

Имеем:

Учитывая равенство получаем:

Это равенство означает, что точки лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напомним, что это замечательное свойство было доказано в курсе геометрии 8 класса, но другим способом.

Скалярное произведение векторов

Пусть — два ненулевых и несонаправленных вектора (рис. 16.1). От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам Величину угла будем называть углом между векторами и

Угол между векторами обозначают так: Например, на рисунке 16.1 а на рисунке 16.2

Если векторы сонаправлены, то считают, что Если хотя бы один из векторов нулевой, то так же считают, что

Следовательно, для любых векторов имеет место неравенство:

Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен Пишут:

Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы тело переместилось из точки в точку (рис. 16.3), то совершенная механическая работа равна где

Изложенное выше подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают так:

Имеем:

Если хотя бы один из векторов нулевой, то очевидно, что

Пусть

Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают

Мы получили, что то есть скалярный квадрат, вектора равен квадрату его модуля.

Теорема 16.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство: Пусть Докажем, что

Имеем: Отсюда

Пусть теперь Докажем, что

Запишем: Поскольку Отсюда

Теорема 16.2. Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны.

Отложим от начала координат векторы соответственно равные векторам (рис. 16.4). Тогда

Применим теорему косинусов к треугольнику

Отсюда

Поскольку

Кроме того, Отсюда

Имеем: Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:

Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:

Рассмотрим случай, когда векторы коллинеарны.

Если то очевидно, что

Если то существует такое число то есть

Если Имеем:

Случай, когда рассмотрите самостоятельно.

Следствие. Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Доказательство: Из определения скалярного произведения векторов следует, что Воспользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения модуля вектора по его координатам, получаем формулу

С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа справедливы равенства:

— переместительное свойство;

— сочетательное свойство;

— распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, записанные в правых и левых частях равенств, и сравнить их. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения.

Например,

Пример №13

С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Решение:

На рисунке 16.5 изображен ромб Пусть Очевидно, что По правилу параллелограмма имеем:

Отсюда

Следовательно,

Пример №14

Известно, что

Найдите

Решение:

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то Отсюда

Ответ:

Пример №15

В треугольнике известно, что Найдите медиану

Решение. Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем: (рис. 16.6).

Отсюда:

Следовательно,

Ответ:

Справочный материал

Вектор

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равные векторы

Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Координаты вектора

Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа равны соответственно первой и второй координатам вектора

Модуль вектора

Если вектор имеет координаты

Правила сложения двух векторов

Правило треугольника

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору а от точки — вектор равный вектору Вектор — сумма векторов Для любых трех точек выполняется равенство

Правило параллелограмма

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм Тогда вектор — сумма векторов

Координаты суммы векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Свойства сложения векторов

Для любых векторов выполняются равенства:

• 
• — переместительное свойство;
• — сочетательное свойство.

Разность векторов

Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Для любых трех точек выполняется равенство

Координаты разности векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Противоположные векторы

Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. Для любых точек выполняется равенство

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если

Если то считают, что

Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Свойства коллинеарных векторов

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Свойства умножения вектора на число

Для любых чисел и любых векторов справедливы равенства:

• — сочетательное свойство;
• — первое распределительное свойство;
• — второе распределительное свойство.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними:

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа выполняются равенства:

• — переместительное свойство;
• — сочетательное свойство;
• — распределительное свойство.

Условие перпендикулярности двух векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Векторы в аналитической геометрии

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

• направлением;
• длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, или двумя буквами со стрелкой , где точка А есть начало вектора (его точка приложения), а В – его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначаетсяили

и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .

Два вектора называются равными, если:

1. равны их длины;
2. они параллельны;
3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма:

Поскольку вектор равен , то можно дать другое правило нахождения суммы (правило треугольника): суммой векторов является вектор, идущий из начала в конец если вектор приложен к концу вектора , т.е.:

(4-1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную OAB…KL, то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:

(4-2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. O = L, то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения -сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

Разностью двух векторов , отложенных от одной точки О является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е. (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. .

Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор равен , где – некоторое число, если:

1. коллинеарен ;
2. длина вектора отличается от длины вектора в раз, т.е.
3. 
4. при направлены в одну сторону, при – в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

Проекция вектора на ось

Пусть даны ось и вектор . Проектируя начало и конец вектора на ось получим на ней вектор . Проекциейвектора на ось называется число, равное длине вектора , взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор , в ту же сторону, что и ось (. или в противоположную.

Проекция вектора на ось (: обозначается ).

Свойства проекций:

1. – угол между вектором и осью ;
2. 
3. 

Пусть – произвольная конечная система векторов; произвольная система действительных чисел.

Вектор называется линейной комбинацией векторов этой системы.

Из свойства проекций следует, что:

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4-3)

следует, что .

В противном случае векторы , называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде как, то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие. Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности , ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинсарные векторы линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например ? линейно выражается через второй, т.е. , а это противоречит неколлинеарности . Следовательно, – линейно независимы.

Пусть неколлинеарные векторы, – произвольный вектор компланарный векторам . Отложим векторы и от одной точки О, т.е. построим (Рис.4.3).

Из параллелограмма видно, что:

Следовательно, любые три компланарных вектора линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора линейно зависимы, то один из них, например , линейно выражается через , т.е. а это говорит о том, что три вектора лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы в некотором базисе имеют координаты

соответственно. Тогда векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа , неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что:

4)

Если один из векторов, например, ,, является нулевым, то система окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при .

Теорема, Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на

этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой,

может быть выражен через вектор в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается . Пусть – произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что:

(4.5)

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора с по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс (Ох), вторая – осью ординат (Оу), третья – осью аппликат (Oz); точка О – начало координат (Рис. 4.4).

Положение координат осей можно задать с помощью единичных векторов направленных по осям Ох, Оу, Oz. Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка М. Проектируя ее на ось Ох, получим точку Мх. Первой координатой х или абсциссой точки М называется длина вектора , взятая со знаком плюс, если направлен в ту же сторону, что и вектор , и со знаком минус -если в противоположную. Аналогично проектируя точку М на оси Оу и Oz, определим ее ординату у и аппликату z. Тройка чисел (х, у, z) взаимно однозначно соответствует точке М .

Система координат называется правой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно с положительного направления оси Oz совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор , направленный из начала координат в точку М(х, у, z) называется радиус-вектором точки М, т.е.:

(4.6)

Если даны координаты точек , то координаты вектора АВ получаются вычитанием из координат его конца В координат начала или .

Следовательно, по формуле (4.5):

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

(4.8)

Длина вектора, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:

(4.9)

Если коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

(4.10)

Пусть точка М(х, у, z) делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки М выражается через радиусы-векторы его концов по формуле:

Отсюда получаются координатные формулы:

В частности, если точка М делит отрезок пополам, то

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и (орт вектора ) находится по формуле:

Пусть ось образует с осями координат углы. Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов: . Если направление задано единичным вектором , то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

Если направление задано произвольным вектором , то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора , получают:

Скалярное произведение

Скалярными произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

4. Если – ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между а и Ь– острый, если , то угол – тупой;

5. Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины, т.е.

Следовательно,

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор равно проекции вектора на направление, определяемое , т.е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

Если векторы заданы своими координатами и

, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор длина и направление которого определяется условиями:

  3. направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами: 4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда коллинсарны. В частности для любого вектора ;

5. Если неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

Если, то с учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей :

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

(4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора принадлежат плоскости Оху, т.е. их можно представить как и

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером 2×2, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то: (4.12) Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке. Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:

• Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;
• Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;
• Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение

Если рассматриваемые векторы некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор а, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов

(которое обозначается есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного па векторах .

Знак произведение положителен, если векторы, образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов : для того, чтобы векторы были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их сметанное произведение было отлично от нуля.

Если и то:

или в свернутой форме:

Справедливы следующие свойства сметанного произведения векторов:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей
2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный

Векторы в высшей математике

Определение вектора:

На начальной стадии, когда приходится прибегать к математическим методам исследования, необходимо разработать удобное средство организации исходных данных. Таким простейшим средством является вектор. Например, еженедельное изменение цены за месяц на некоторый товар удобно записать в виде массива: (5500; 5700; 6000; 6200). Записанный таким образом массив чисел называют вектором.

Алгебраические операции над векторами и их свойства

Введём теперь математическое определение векторов и алгебраические операции над ними.

Упорядоченную совокупность действительных чисел назовём вектором и обозначим , т.е . Действительные числа будем называть координатами вектора. Равные векторы имеют равные координаты. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, у которого одна из координат равна 1, а все остальные равны нулю, называется единичным вектором. Единичными векторами будут векторы:

С геометрической точки зрения, вектор – это направленный отрезок. Поэтому вектор, длина которого равна единице, также называется единичным вектором.

Определим далее линейные операции над векторами: сложение и умножение вектора на число.

Сложение векторов

Пусть даны два вектора

. Суммой двух векторов и

назовем вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов :

Пусть дан вектор . Обозначим через – вектор, порождённый вектором , такой, что .

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. Для любых двух векторов существует единственный вектор , называемый суммой векторов .
2. Для любых .
3. Для любых .
4. Существует единственный вектор , называемый нулевым вектором, такой, что для всех .
5. Для любого вектора существует единственный вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору

Из указанных свойств векторов следует, что можно рассматривать сумму любого конечного числа векторов .

Умножение вектора на число

Пусть и

. Произведение вектора на число – это вектор, обозначаемый, полученный умножением координат вектора на число :

.

Положим, для любого вектора для любого числа .

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1. Для любого вектора и любого числа существует единственный вектор .
2. для любых чисел и любого.
3. для любых чисел и любого .
4. для любых чисел и любого .
5. для любого .

Выражение где – вскто-ры, а – любые действительные числа, называется ли-нейиой комбинацией векторов с коэффициентами . Линейная комбинация векторов-это вектор. Вектор представленный в виде будем называть транспонированным по отношению к вектору и обозначать .

Замечание. Зная координаты вектора , можно вычислить его длину по формуле

.

Пример №16

Найти линейную комбинацию векторов .

Решение:

Воспользуемся определением линейной комбинации векторов и операций над векторами. Тогда получим вектор вида:

Скалярное произведение векторов и его свойства

Предположим, что объем продаж трёх видов товаров фирмы в течение месяца составил 34, 57, 21 единиц, и что цены этих же товаров были равны соответственно 2, 3, 7 дсн.ед. Следовательно, общий доход от продажи всех трёх товаров за месяц равен: ден.ед. Представим данные о продажах с помощью вектора: , а соответствующие цены с помощью вектора . Тогда общий доход от продажи трёх товаров, равный 386 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов вектора на соответствующие элементы вектора :.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику введения скалярного произведения векторов.

Определепие2.2.1. Скалярным произведением векторов называется число, обозначаемое , равное сумме произведений соответствующих коорди-. пат векторов :

Это определение можно применять только в тех случаях, когда векторы содержат одинаковое количество координат; в противном случае скалярное произведение не может быть определено.

Укажем некоторые свойства скалярного произведения:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Рассмотрим систему n ненулевых векторов . Если

скалярное произведение каждого вектора на себя равно единице, а скалярное произведение различных векторов равно нулю, т.е.

то система векторов называется ортоиормированной. Условия (1.3) можно записать в координатной форме:

где .

Пример №17

Найти вектор коллинеарный1 вектору и удовлетворяющий условию .

Решение:

Так как вектор коллинеарный вектору , то его координаты пропорциональны координатам вектора , т.е.

. Воспользовавшись определением скалярного произведения, составим равенство: .

Откуда следует, что . Тогда вектор коллинеарный вектору я будет иметь координаты: (6,-2,8).

Пример №18

Пусть рассматривается проект вложения капитала на четыре года. Этот проект должен обеспечивать следующую денежную выручку: в первый год- 1000 дсн.ед.; во второй – 3000 дсн.ед.; в третий – 10000 ден.ед.; в четвёртый – 15000 дсн.ед. Проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капиталовложений (в пересчёте на сегодняшний доход) будет превышать требующиеся затраты, составляющие 17000 дсн.ед. Дисконтирование ожидаемого дохода проводится по годовой ставке равной 10%. Будет ли принят рассматриваемый проект?

Решение:

При ставке дисконтирования 10% годовых, доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть умножен на , на протяжении второго года- на  , на протяжении третьего года- на 0,7513 = и на протяжении четвёртого года- на 0,6838 =.

1. Вектор называется коллинеарным вектору , если при совмещении их начальных точек они располагаются на одной прямой.

Запишем денежную выручку и дисконтирующие множители в векторной форме:

и

.

Скалярное произведение векторов и — —определяет дисконтированный совокупный доход за четыре года:

Так как 21158,3>17000, то рассматриваемый проект вложения капитала будет принят.

Операции над векторами в высшей математике

Внимание! Вектор определяется числом и направлением.

Отрезком АВ называется множество точек, заключенных между точками

А и В, включая их. Точки А и В называются концами отрезка.

Отрезок АВ называется направленным, если его концы упорядочены.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать АВ. Направленный отрезок ВА с началом в точке В и концом в точке А называется противоположно направленным отрезку АВ.

Модулем направленного отрезка АВ называется его длина.

Вектором называется класс направленных отрезков, расположенных на параллельных или совпадающих прямых и имеющих одинаковые направление и длину.

Векторы геометрически изображают направленными отрезками и обозначаются и буквами жирного шрифта

Вывод. Вектор однозначно определяется своим одним направленным отрезком. Пусть заданы два вектора и (рис.1). Суммой векторов а и b

называется вектор, проведенный из начала а к концу b:

Способ сложения векторов, показанный на рис.1, называется правилом треугольника.

Замечание. На векторах а и b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет их суммой: , а вторая – разностью: Способ сложения векторов, показанный на рис.2, называется правилом параллелограмма.

Множество всех нулевых отрезков называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора произвольно.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Для любого вектора а верны равенства:

Произведением вектора а на число отличное от нуля, называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина вектора равна длине вектора а, умноженного на модуль числа
2. векторы а и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если (рис.З).

Произведение вектора на число «нуль» есть нулевой вектор.

Углом между двумя векторами а и b называется наименьший угол на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором (рис.4).

Проекцией вектора а на вектор b называется длина вектора а, умноженная на косинус угла между векторами а и b (рис.4):

Внимание! Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений: скалярное произведение (в ответе получается число), векторное произведение (в ответе получается вектор) и смешанное произведение (в ответе получается число).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: Таким образом,

Например, для скалярного квадрата ii, где i -единичный вектор, имеем

Векторным произведением двух ненулевых векторов а и b называется такой вектор что

1. 1) его модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е.
2. 2) он перпендикулярен плоскости построенного на данных векторах параллелограмма, , т.е.
3. 3) векторы образуют правую тройку векторов, т.е. при наблюдении из конца вектора кратчайший поворот от а к b виден против часовой стрелки.

Пример №19

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. если а – единичный вектор, длина вектора b равна трем, а их скалярное произведение – двум.

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна .

По условию задачи имеем

Найдем синус угла между векторами а и b. Так как то

Следовательно,

Подставим найденное значение в формулу и получим: Задача решена.

Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов а и b на третий вектор . Обозначение:

Замечание. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е.

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно,

где S – площадь основания параллелепипеда, H – высота параллелепипеда, V -объем параллелепипеда.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен

Необходимое и достаточное условие ортогональности:

Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Пулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности:

1. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. – произвольное число, отличное от нуля.
2. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (площадь параллелограмма равна нулю).

Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости. Любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Необходимое и достаточное условие компланарности. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).

Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами

Пусть Ох, Оу, Oz – три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начала координат) и образующие правую тройку (рис. 5).

Точка М с координатами х, у, z обозначается M(x,y,z), причем первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой точки М.

Для каждой точки М пространства существует ее радиус-вектор r=ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М. Координаты x,y,z точки М являются проекциями радиус-вектора r на оси Ох, Оу, Oz соответственно.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки и Тогда координаты вектора АВ вычисляются по формуле:

(«от координат конца отнимают координаты начала»).

Например, координаты радиус-вектора

Если ввести единичные векторы i,j, k, направленные по осям Ох, Оу, Oz соответственно (рис.5), то координаты вектора r можно записать в эквивалентной форме:

Векторы i, j,k называются базисными.

Пусть даны два вектора

Сложив векторы почленно, получим:

или

Умножив вектор а на число получим:

или

Пример №20

Найти вектор х из уравнения

Решение:

Выразим х из векторного уравнения:

Подставим векторы а, b и с в полученное выражение:

Задача решена.

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле:

Для cкалярного квадрата аа получаем:

но, с другой стороны, Следовательно,

Мы получили формулу вычисления длины вектора, заданного в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле

которую можно выразить через символический определитель третьего порядка

Смешанное произведение трех векторов в координатной форме определяется формулой

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А( 1,1 ,-1), В(2,1,-3), С(-1,1,1), D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание АВС.

Решение:

Высоту треугольной пирамиды найдем из формулы:

где – объем пирамиды ABCD, – площадь основания АВС, H – высота пирамиды, опущенная из вершины D.

Найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине площади параллелограмма, построенного, например, на векторах АВ и АС. Следовательно, по определению векторного произведения

По координатам точек А, В и С найдем координаты векторов АВ и АС:

Векторное произведение АВ и АС в координатной форме равно

Найдем объем треугольной пирамиды. Он равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного, например, на векторах АВ, АС и AD. Тогда по геометрическому смыслу смешанного произведения Найдем координаты вектора AD:

Смешанное произведение АВ, АС и AD в координатной форме равно разложим определитель по второму столбцу

Задача решена.

Замечание.

• 1. Площадь треугольника АВС можно находить из площади параллелограмма, построенного на любых двух векторах, исходящих из одной вершины, например: АВ и АС; ВА и ВС; СА и СВ.
• 2. Объем треугольной пирамиды ABCD можно находить из объема параллелепипеда, построенного на любых трех векторах, исходящих из одной точки, например: АВ, АС и AD; ВА, ВС и BD; СА, СВ и CD; DA, DB и DC.

Линейное пространство

Идея линейности является одним из важнейших принципов математики. На этой основе построены различные разделы математики. Более того, почти каждый экономический процесс в малом является линейным, что позволяет делать о нём достаточно точные выводы, изучая линейный, гораздо более простой для исследования объект.

В математике часто приходится встречаться с объектами, для которых определены операции сложения и умножения на числа. Объектами такого рода являются векторы, функции, матрицы и т.д. Для того, чтобы изучать все такие объекты с единой точки зрения и вводится понятие линейного пространства.

Определение 2.3.1. Множество L элементов х, у, z,… называется линейным пространством, если:

При этом введенные операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

1. х+у = у+х (коммутативности);
2. (х+у)+ z = x+(y+z) (ассоциативности);
3. существует элемент 0, такой, что х+0=х для любого х. Элемент 0 называется нулевым элементом;
4. для каждого х существует противоположный элемент, обозначаемый -х, такой, что х+(-х)=0;
5. ;
6. ;
7. :;
8. ,

где и – вещественные числа.

В определении линейного пространства не говорится, как определяются операции сложения и умножения на числа, и не говорится о природе объектов. Требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими этим условиям, будем считать их операциями сложения и умножения.

Рассмотрим систему векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число как в п.2.1. Так как для этих операций выполняются свойства (1) – (8) определения 2.3.1, то они образуют линейное пространство.

Линейное пространство образует и совокупность многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами, для которых определены обычные операции сложения многочленов и умножения многочлена на число.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.

Пространство, где векторами являются наборы из n действительных чисел с покомпонентными операциями сложения и умножения их на число, и скалярное произведение определяется по формуле (1.2.1), является евклидовым пространством. Это пространство обозначается .

Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства линейной зависимости векторов.

Определение линейной комбинации векторов, тесно связано с понятием подпространства векторного пространства.

Определение 2.4.1. Некоторое непустое подмножество векторного пространства М называется подпространством, если оно само является векторным пространством.

А доказательство того, что подмножество является векторным пространством, проводится на основании доказательства того, что всякая линейная комбинация любых двух векторов этого подмножества, также является вектором этого подмножества.

Определение 2.4.2. Векторы из называются линейно независимыми, если не существует чисел хотя бы одно из которых отлично от нуля, таких, что

Если равенство (2.4.1) возможно и при ненулевом значении хотя бы одного числа , то векторы называются линейно зависимыми.

Пример №22

Рассмотрим евклидово пространство и векторы

называемые координатными векторами. Покажем, что в пространстве векторылинейно независимы.

Решение:

Пусть произвольные числа. Составим линейную комбинацию векторов :

Подставив координаты векторов , получим:

В результате получили вектор, который будет нулевым если . Следовательно, линейная комбинация , может равняться нулю если . А это и есть условие линейной независимости векторов .

Вектор называется линейной комбинацией векторов из , если существуют числа, такие, что выполняется равенство: .

Относительно линейной зависимости векторов справедливы следующие утверждения:

1. Если совокупность векторов из содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если в системе векторов имеется подсистема линейно зависимых векторов, то и вся совокупность векторов линейно зависима.
3. Система векторов из линейно зависима тогда и только тогда, если один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
4. Любые векторов из , каждый из которых является линейной комбинацией m векторов линейно зависимы. .

Пример №23

Выясним линейную зависимость векторов и . Решение. Составим линейную комбинацию этих векторов

Полученный вектор является нулевым, если координаты равны нулю:

Полученная система имеет только одно решение . Следовательно, векторное равенство выполняется при нулевых значениях коэффициентов . Это значит, что векторы линейно независимы.

Заметим, что два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (их направления параллельны). Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (их направления параллельны некоторой плоскости).

Элементы векторной алгебры

Некоторые физические величины (например, температура, масса, объем, работа, потенциал) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения; такие величины называются скалярными. Ещё примеры скалярных величин: длина, площадь, время, угол, плотность, сопротивление.

Другие величины (например, сила, скорость, ускорение, напряжённость электрического или магнитного поля) характеризуются числом и направлением. Эти величины называются векторными.

Необходимо подчеркнуть, что вектор не является числом. Если мы рассматриваем вектор, лежащий в плоскости, то для его описания необходимо знать два фактора – модуль и его направление (например, угол, образуемый им с одним из осей координат). Если рассматривается вектор в трехмерном пространстве, то для описания вектора требуется три фактора: один – величину для его модуля и два для указания его положения в системе координат.

Скаляры и векторы

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Таковы, например, масса тела, объем его, температура среды и т. п. Скаляр определяется числом положительным или отрицательным или равным нулю.

Величина, кроме числового значения характеризуемая еще направлением, называется векторной или вектором. К числу их относятся сила, перемещение, скорость и т.п. Вектор определяется числом и направлением.

Векторы обычно обозначают буквами жирного шрифта, например а. Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства (рис. 168); при этом используется обозначение а = , где точка А — начало В отрезка, а точка В — конец его. В дальнейшем, для наглядности изложения, векторы мы будем рассматривать как направленные отрезки.

Под модулем (длиной) вектора а

понимается числовое значение его, без учета направления. (Естественно, обозначает модуль вектора ) Вектор 0, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль-вектором (направление нулевого вектора произвольно).

Два вектора считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых (параллельность в широком смысле) и имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными словами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку пространства при условии сохранения длины и направления.

В частности, для свободных векторов можно обеспечить общую начальную точку их. В дальнейшем мы будем излагать теорию свободных векторов в трехмерном пространстве.

Сумма векторов

Определение: Суммой нескольких векторов, например а, b, с, d (рис. 169), называется вектор

по величине и направлению равный замыкающей ОМ пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Для случая двух векторов а и b (рис. 170) их суммой s является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки приложения их (правило параллелограмма).

Так как в треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин двух других сторон, то из рис. 170 имеем

т. е. модуль суммы двух векторов не превышает суммы модулей этих векторов.

Для случая трех векторов а, b, с (рис. 171) их суммой s является диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Легко проверить, что для векторного сложения справедливы следующие свойства:

1)переместительное свойство

а + b = b + а,

т. е. векторная сумма не зависит от порядка слагаемых;

2)сочетательное свойство

т.е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от порядка расстановки скобок.

Для каждого вектора (рис. 172) существует противоположный вектор , имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу параллелограмма, очевидно, имеем

где 0 — нуль-вектор.

Легко проверить, что а + 0 = а.

Разность векторов

Под разностью векторов (рис. 173) понимается вектор

такой, что

Отметим, что в параллелограмме, построенном на данных векторах (см. рис. 170), их разностью является соответственно направленная вторая диагональ.

Легко проверить, что справедливо следующее правило вычитания:

Умножение вектора на скаляр

Определение: Произведением вектора а на скаляр k (рис. 174) называется вектор

имеющий длину b = а, направление которого: 1) совпадает

с направлением вектора а, если k > 0; 2) противоположно ему, если k < 0; 3) произвольно, если k = 0.

Нетрудно убедиться, что эта векторная операция обладает следующими свойствами:

Пример:

Если ненулевой вектор а разделить на его длину a = |a| (т.е. умножить на скаляр 1 /а), то мы получим единичный вектор е, так называемый , того же направления: е = а/а. Отсюда имеем стандартную формулу вектора

Формула (1) формально справедлива также и для нулевого вектора а = 0, где а = 0 и е — произвольный орт.

Коллинеарные векторы

Определение: Два вектора (рис. 175) называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т. е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой).

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема: Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е.

(k — скаляр).

Доказательство: 1) Пусть векторы коллинеарны и е, е’ — их орты. Имеем

Очевидно,

где знак плюс соответствует векторам одинакового направления, а знак минус— векторам противоположного направления.

Из формул (2) и (3) получаем

Отсюда вытекает формула (1), где

2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов непосредственно следует из смысла умножения векторов на скаляр.

Компланарные векторы

Определение: Три вектора a, b и с называются компланарны ми, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или параллельны плоскости, или лежат в ней).

Можно сказать также, что векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

По смыслу определения тройка векторов, среди которых имеется хотя бы один нулевой, компланарна.

Теорема: Три ненулевых вектора а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е., например,

(k, I — скаляры).

Доказательство: 1) Пусть векторы а, b и с компланарны, расположены в плоскости Р (рис. 176) и имеют общую точку приложения О.

Предположим сначала, что эти векторы не все попарно коллинеарны, например векторы а и b неколлинеарны. Тогда, производя разложение вектора с в сумму векторов с_а и с_ь, коллинеарных соответственно векторам а и b, в силу будем иметь

где k и I — соответствующие скаляры.

Если векторы а, b, с попарно коллинеарны, то можно написать

таким образом, снова выполнено условие (1).

2) Обратно, если для векторов (рис. 176) выполнено условие (1), то на основании смысла соответствующих векторных операций вектор с расположен в плоскости, содержащей векторы а и b, т. е. эти векторы компланарны.

Пример:

Векторы а, а + b, а – b компланарны, так как

Проекция вектора на ось

Осью называется направленная прямая. Направление прямой обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси будем считать положительным, противоположное — отрицательным.

Определение: Проекцией точки А на ось (рис.177) называется основание А’ перпендикуляра АА’, опущенного из точки А на эту ось.

Здесь под перпендикуляром АА’ понимается прямая, пересекающая ось и составляющая с ней прямой угол. Таким образом, проекция А есть пересечение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной оси с этой осью.

Определение: Под ком-по не н той (составляющей) вектора относительно оси (рис. 177) понимается вектор а’ = АВ’, начало которого А есть проекция на ось начала А вектора а, а конец которого В’ есть проекция на ось конца В этого вектора.

Определение: Под проекцией вектора а на ось понимается скаляр , равный длине {модулю) его компоненты а’ относительно оси , взятой со знаком плюс.

Напомним, что все геометрические объекты мы здесь рассматриваем в трехмерном пространстве.

Если направление компоненты совпадает с направлением оси , и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси

Если а = О, то полагают = О.

Заметим, что если е — единичный вектор оси , то для компоненты а’ справедливо равенство

Теорема: Проекция вектора а на ось равна произведению длины а вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.

Доказательство: Так как вектор свободный (рис. 178), то можно предположить, что начало его О лежит на оси .

1) Если угол ф между вектором a и осью острый , то направление компоненты вектора а совпадает с направлением оси (рис. 178, а). В этом случае имеем

2) Если угол ф между вектором а и осью тупой (рис. 178, б), то направление компоненты вектора а противоположно направлению оси Тогда получаем

3) Если же ф = , то формула (2), очевидно, выполняется, так как при этом .

Таким образом, формула (2) доказана.

Следствие 1. Проекция вектора на ось: 1) положительна, если вектор образует с осью острый угол; 2) отрицательна, если этот угол — тупой, и 3) равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось.

Доказательство: Пусть, например, s = a + b + с,

где (рис. 179) и, следовательно, .

Обозначая проекции точек на ось через и учитывая направления компонент (рис. 179), имеем

что и требовалось доказать.

Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю.

Теорема: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр, т.е.

Формула (4) следует из теоремы 1 и смысла умножения вектора на скаляр.

Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Пусть (рис. 180) Ox, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начало координат) и образующие правую тройку (правая система координат), т. е. ориентированные по правилу правого буравчика. Иными словами, для наблюдателя, направленного по оси Oz, кратчайший поворот оси Ох к оси Оу происходит против хода часовой стрелки.

Три взаимно перпендикулярные плоскости Oyz, Ozx и Оху, проходящие через соответствующие оси, называются координатными плоскостями; они делят все пространство на восемь октантов.

Для каждой точки М пространства (рис. 180) существует ее радиус-вектор г = ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М.

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами х, у, z точки М понимаются проекции ее радиуса вектора г на соответствующие оси координат, т. е.

В дальнейшем для краткости декартовы прямоугольные координаты мы будем называть просто прямоугольными координатами.

Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х, у, z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой точки М.

Для нахождения этих координат через точку М проведем три плоскости МА, MB, МС, перпендикулярные соответственно осям Ox, Оу, Oz (рис. 180). Тогда на этих осях получатся направленные отрезки

численно равные координатам точки М.

Радиус-вектор г является диагональю параллелепипеда П с измерениями , образованного плоскостями МА, МБ, МС и координатными плоскостями. Поэтому

Если обозначить через углы, образованные радиусом-вектором г с координатными осями, то будем иметь

Косинусы cos а, cos р, cos у называются направляющими косинусами радиуса-вектора г. Из (4), учитывая (3), получаем

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-век-тора точки пространства равна 1.

Из формулы (4) следует, что координата точки М положительна, если радиус-вектор этой точки образует острый угол с соответствующей координатной осью, и отрицательна, если этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра которого составляют положительные полуоси координат, все координаты точек положительны- В остальных октантах пространства отрицательными координатами точек будут те, которые соответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.

Измерения параллелепипеда П равны расстояниям точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху. Таким образом, декартовы прямоугольные координаты точки М пространства представляют собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей, взятые с надлежащими знаками,

В частности, если точка лежит на плоскости Oyz, то х = 0; если на плоскости Ozx, то у = 0; если же на плоскости Оху, то z = 0, и обратно.

Длина и направление вектора

Пусть в пространстве Oxyz задан вектор а. Проекции этого вектора на оси координат

называются координатами вектора а; при этом вектор мы будем записывать так:

Так как вектор а свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки . Отсюда получаем длину вектора

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора а определяются из уравнений

причем

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однозначно определяют его направление. Следовательно, вектор полностью характеризуется своими координатами.

Пример №24

Найти длину и направление вектора а = {1, 2, -2}.

Решение:

Имеем

Отсюда

Таким образом, вектор а образует острые углы с координатными осями Ох и Оу и тупой угол с координатной осью Ог.

Расстояние между двумя точками пространства

Пусть — начальная точка отрезка и — конечная точка его. Точки можно задать их радиусами-векторами и (рис. 181).

Рассматривая вектор , из будем иметь

Проецируя это векторное равенство на оси координат и учитывая свойства проекций, получаем

Таким образом, проекции направленного отрезка на оси координат равны разностям соответствующих координат конца и начала отрезка.

Из формул (2) получаем длину отрезка (или, иначе, расстояние между двумя точками )

Итак, расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Пример №25

Ракета из пункта М₁ (10, -20, 0) прямолинейно переместилась в пункт М₂ (-30, -50, 40) (расстояния даны в километрах). Найти путь пройденный ракетой.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

Заметим, что, найдя направляющие косинусы вектора перемещения , нетрудно определить направление движения ракеты.

Действие над векторами, заданными в координатной форме

Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Оу, Oz.

Построим параллелепипед (рис. 182), диагональю которого является вектор а, а ребрами служат компоненты его относительно соответствующих координатных осей. Имеем разложение

Если ввести единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по осям координат, то на основании связи между компонентами вектора и его проекциями будем иметь

Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем координатную форму вектора

Заметим, что разложение (3) для вектора а единственно. Действительно, пусть

Отсюда, вычитая из равенства (3) равенство (3′) и пользуясь перемести -тельным и сочетательным свойствами суммы векторов, а также свойствами разности векторов, будем иметь

Если хотя бы один из коэффициентов при ортах i, j и k был отличен от нуля, то векторы i, j и k были бы компланарны, что неверно. Поэтому и единственность разложения (3) доказана.

Если то, очевидно, также имеем

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

или короче: . Таким образом, при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр;

или кратко:

Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются):

Пример №26

Найти равнодействующую F двух сил

и ее направление.

Решение:

Имеем . Отсюда

где — направляющие косинусы равнодействующей F.

Скалярное произведение векторов

Определение: Под скалярным произведением двух векторов а и b понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных обозначениях:

где

Заметим, что в формуле (1) скалярное произведение можно еще записывать как ab, опуская точку. Так как (рис. 183)

то можно записать

т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого.

Физический смысл скалярного произведения

Пусть постоянная сила F обеспечивает прямолинейное перемещение материальной точки. Если сила F образует угол ф с перемещением s (рис. 184), то из физики известно, что работа силы F при перемещении s равна

На основании формулы (1) имеем

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее м точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Скалярное произведение векторов обладает следующими основными свойствами.

1)Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):

Эта формула непосредственно следует из формулы (1).

2)Для трех векторов а, b и с справедливо распределительное свойство

т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть скобки».

Действительно, на основании формул (2), учитывая свойства проекций векторов, имеем

3)Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е.

Действительно,

Отсюда для модуля вектора получаем формулу

4)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е.

Это свойство также легко получается из (1).

5)Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е.

( — скаляры).

Это — очевидное следствие 2) и 4).

Из определения (1) вытекает, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами а и b равен

Из формулы (8) получаем, что два вектора а и b перпендикулярны (ортогональны), т. е. , тогда и только тогда, когда

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов а или b нулевой.

Пример №27

Найти проекцию вектора а на вектор b. Обозначая через угол между этими векторами, имеем

где е =— орт вектора b

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть

Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая соотношения

будем иметь

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат. Отсюда, обозначая через ф угол между векторами а и b, получаем

Пример:

Определить угол ф между векторами а = { 1,+2, 3} и b ={-3, 2,-1}. На основании формулы (4) имеем

Отсюда

Пусть векторы а и b коллинеарны (параллельны). Согласно условию коллинеарности,

где k — скаляр, что эквивалентно или

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Для перпендикулярных (ортогональных) векторов а и b имеем и, следовательно, cos ф = 0 или, согласно формуле (4),

Таким образом, два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма парных произведений их одноименных координат равна нулю.

Векторное произведение векторов

Напомним, что тройка а, b и с некомпланарных векторов называется правой (рис. 185, а) или левой (рис. 185, б), если она ориентирована по правилу правого винта или соответственно по правилу левого винта.

Заметим, что если в тройке некомпланарных векторов а, b, с переставить два вектора, то она изменит свою ориентацию, т. е. из правой сделается левой или наоборот.

В дальнейшем правую тройку мы будем считать стандартной.

Определение: Под векторным произведением двух векторов а и b понимается вектор

для которого:

1)модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е.

где (рис. 186);

2)этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т. е. ;

3)если векторы неколлинеарны, то векторы а, b, с образуют правую тройку векторов.

Укажем основные свойства векторного произведения.

1)При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

Действительно, при перестановке векторов а и b площадь построенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е. . Однако тройка векторов является левой. Поэтому направление вектора противоположно направлению вектора (а и b неколлинеарны). Если а и b коллинеарны, то равенство (3) очевидно.

Таким образом, векторное произведение двух векторов не обладает переместительным свойством.

2)Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

Это — очевидное следствие свойства 1).

3)Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. если — скаляр, то

Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

4)Для любых трех векторов а, b, с справедливо равенство

т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

Пример:

Отсюда, в частности, имеем

т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.

С помощью векторного произведения удобно формулировать легко проверяемый критерий коллинеарности двух векторов а и b:

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Перемножая векторно эти равенства и используя свойства векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:

Из определения векторного произведения следует, что для ортов справедлива следующая «таблица умножения»:

Поэтому из формулы (3) получаем

(с сохранением порядка следования букв ).

Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде определителя третьего порядка (см. гл. XVII)

Из формулы (4) вытекает, что

Геометрически формула (6) дает квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах .

Пример №28

Найти площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 0), В (1,0, 1) и С (0, 1, 1).

Решение:

Площадь S треугольника ABC равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 187). Используя формулы для проекций направленных отрезков, имеем отсюда

Следовательно,

Смешанное произведение векторов

Определение: Под смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов понимается число

Построим параллелепипед П (рис. 188), ребрами которого, исходящими из общей вершины О, являются векторы .

Тогда представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах , т.е. площадь основания параллелепипеда.

Высота этого параллелепипеда , очевидно, равна

где и знак плюс соответствует острому углу , а знак минус — тупому углу ф. В первом случае векторы образуют правую тройку, а во втором — левую тройку.

На основании определения скалярного произведения имеем

где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах . Отсюда

т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипед а у построенного на этих векторах, взятому со знаком плюсу если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.

Справедливы следующие основные свойства смешанного произведения векторов.

1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда П, ни ориентация его ребер.

2)При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

Это следует из того, что перестановка соседних множителей, сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки векторов, т.е. правая тройка переходит в левую, а левая — в правую.

С помощью смешанного произведения получаем необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов :

abc = 0

(объем параллелепипеда равен нулю). Если

то, используя выражения в координатах для векторного и скалярного  произведений векторов, получаем

т. e.