Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Сумма векторов:
Разность векторов:
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и :
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
.
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
;
.
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
.
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Упростим систему:
.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA1 = √3
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$
Доказательство.
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.
Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.
Произвольный вектор $overrightarrow
$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.
Математически это можно записать следующим образом
Доказательство.
Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:
[overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow
=overrightarrow]
Рассмотрим следующий рисунок:
Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:
Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Тогда, получаем, что
Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow
$ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:
Вычтем эти разложения друг из друга
Из этого получаем
Теорема доказана.
Геометрия
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Понятие вектора в пространстве
Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.
Начнем с определения вектора:
Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:
Здесь показаны сразу три вектора:
У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора С D точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ. Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:
Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:
Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.
Далее напомним понятие коллинеарных векторов:
Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:
Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:
Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.
Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.
Рассмотрим несколько простейших задач.
Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 известны три его измерения:
Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB 1. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВ CD :
Задание. На рисунке показан правильный тетраэдр АВС D . Точки M , N , P и Q являются серединами тех сторон, на которых они располагаются. Какие вектора из отмеченных на рисунке равны между собой?
Решение. Легко заметить, что вектора DP и PC находятся на одной прямой DC и сонаправлены, при этом их длина одинакова, ведь Р – середина DC . Тогда эти вектора по определению равны:
Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.
Теперь заметим, что отрезки MN , MQ , PQ и NP – это средние линии в ∆ ABD , ∆ АВС, ∆ BCD и ∆ ACD соответственно. По свойству средней линии получаем, что MN || BD , PQ || BD , MQ ||АС и NP ||АС. Отсюда по свойству транзитивности параллельности получаем, что MN || PQ и MQ || NP . Это значит, что четырехугольник MQPN – это параллелограмм, а у него противоположные стороны одинаковы:
Операции над векторами
Правила сложения векторов в стереометрии не отличаются от правил в планиметрии. Пусть надо сложить два вектора, а и b . Для этого отложим вектор а от какой-нибудь точки А, тогда его конец окажется в некоторой точке В. Далее от В отложим вектор b , его конец попадет в какую-то точку С. Тогда вектор АС как раз и будет суммой a и b :
Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:
Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:
Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:
Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:
C помощью противоположного вектора легко определить операцию вычитания векторов. Чтобы из вектора а вычесть вектор b , надо всего лишь прибавить к a вектор, противоположный b :
Далее рассмотрим умножение вектора на число. Пусть вектор а умножается на число k . В результате получается новый вектор b , причем
1) b и a будут коллинеарными векторами;
2) b будет в k раз длиннее, чем вектор a .
Если k – положительное число, то вектора a и b будут сонаправленными. Если же k a и b будут направлены противоположно.
Уточним, что если | k | b будет не длиннее, а короче вектора a . Наконец, если k = 0, то и b будет иметь нулевую длину, то есть b окажется нулевым вектором.
Задание. Дан параллелепипед АВС D А1В1С1 D 1. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:
Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.
В задании а) вектор А1 D 1 заменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.
В задании б) заменяем А D 1 на вектор ВС1. Также можно было бы заменить АВ на D 1 C 1. В обоих случаях сумма окажется равной АС1.
В задании в) удобно DA заменить на C 1В1, тогда искомой суммой будет вектор С1В.
В задании г) производим замену DD 1 на равный ему вектор BB 1. Тогда сумма DB и BB 1– это вектор DB 1.
В задании д) необходимо заменить ВС на В1С1. В итоге получаем вектор DC :
Задание. В пространстве отмечены точки А, В, С и D . Выразите вектор АВ через вектора:
Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:
Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:
Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:
Теперь можно составить и выражение для АВ:
Аналогично решаем и задания б) и в):
Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.
Решение. Обозначим вершины буквами А1, А2, … А6, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н1, Н2, … Н6, как это показано на рисунке:
Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:
Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:
Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):
Так как точки Н1, Н2, … Н6 – середины сторона, то вектора Н6А6, Н5А5,…Н1А1 будут вдвое короче векторов А1А6, А6А5, … А2А1. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:
Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.
Задание. Упростите выражения:
Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:
Компланарные векторы
Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.
Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.
Рассмотрим для примера параллелепипед:
Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и АА1 некомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.
Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.
Существует признак компланарности векторов:
Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство
то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.
Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что
Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А1 и В1:
Естественно, что вектора ОА1 и ОВ1 также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:
В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.
Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.
Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:
Разложение вектора на некомпланарные вектора
Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:
Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:
Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р1. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р1 совпадут, то есть вектор Р1Р будет нулевым).
Далее через точку Р1 в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р2. Заметим, что вектор ОР2 находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что
Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х1, у1 и z1:
В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:
Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.
Задание. АВСD и А1В1С1D1 – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ1, СС1 и DD1 компланарна.
Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:
Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.
В результате нам удалось разложить СС1 на вектора BB1 и CC1. Значит, эти три вектора коллинеарны.
Задание. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 запишите разложение вектора BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.
Решение. Сначала представим вектор BD1 как сумму трех векторов:
Теперь заметим, что вектора С1D1 и ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС1 и ВВ1:
Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.
Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:
Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.
Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА1, то есть А1 – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:
Сначала разложим вектор ОА1 на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА1 – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА1||ОС и КА1 вдвое короче ОС. Это значит, что
Так как АА1 – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:
Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.
Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 плос-ти А1ВD и СB1D1 делят диагональ АС1 на три равных отрезка.
Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А1ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что
Это соотношение означает, что вектора АК и АС1 коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС1, и отрезок АК втрое короче диагонали.
Аналогично можно показать, что и
Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС1, и МС1 втрое короче АС1. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.
Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
[spoiler title=”источники:”]
http://100urokov.ru/predmety/vektora-v-prostranstve
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/colinearity/
[/spoiler]
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Правило параллелепипеда
Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.
Пример 1
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{AA_1}=overrightarrow{AC_1}$
Рисунок 1.
Доказательство.
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}$, получим:
[overrightarrow{AC_1}=overrightarrow{AC}+overrightarrow{CC_1}=overrightarrow{AD}+overrightarrow{DC}+overrightarrow{CC_1}]
Так как $overrightarrow{DC}=overrightarrow{AB}, overrightarrow{CC_1}=overrightarrow{AA_1}$
То есть
[overrightarrow{AC_1}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{AA_1}]
ч. т. д.
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow{a},overrightarrow{b} и overrightarrow{c}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow{AB}=overrightarrow{a}$, $overrightarrow{AC}=overrightarrow{b}$ и $overrightarrow{AA_1}=overrightarrow{c}$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow{AC_1}$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.
Определение 1
Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.
Произвольный вектор $overrightarrow{p}$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}$ и $overrightarrow{a_3}$ с единственными коэффициентами разложения.
Математически это можно записать следующим образом
[overrightarrow{p}={alpha }_1overrightarrow{a_1}+{alpha }_2overrightarrow{a_2}+{alpha }_3overrightarrow{a_3}]
Доказательство.
Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}$ и $overrightarrow{a_3}$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:
[overrightarrow{a_1}=overrightarrow{OA}, overrightarrow{a_2}=overrightarrow{OB}, overrightarrow{a_3}=overrightarrow{OC} и overrightarrow{p}=overrightarrow{OP}]
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 2.
Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow{OC}$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow{OB}$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}$, получим:
[overrightarrow{OP}=overrightarrow{p}=overrightarrow{OP_2}+overrightarrow{P_2P_1}+overrightarrow{P_1P}]
Так как векторы $overrightarrow{OP_2}$ и $overrightarrow{OA}$ коллинеарны, то
[overrightarrow{OP_2}={alpha }_1overrightarrow{OA}={alpha }_1overrightarrow{a_1}]
Так как векторы $overrightarrow{P_2P_1}$ и $overrightarrow{OB}$ коллинеарны, то
[overrightarrow{P_2P_1}={alpha }_2overrightarrow{OB}={alpha }_2overrightarrow{a_2}]
Так как векторы $overrightarrow{P_1P}$ и $overrightarrow{OC}$ коллинеарны, то
[overrightarrow{P_1P}={alpha }_3overrightarrow{OC}={alpha }_3overrightarrow{a_3}]
Тогда, получаем, что
[overrightarrow{p}=overrightarrow{OP_2}+overrightarrow{P_2P_1}+overrightarrow{P_1P}={alpha }_1overrightarrow{a_1}+{alpha }_2overrightarrow{a_2}+{alpha }_3overrightarrow{a_3}]
Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow{p}$ по векторам $overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}$ и $overrightarrow{a_3}$:
[overrightarrow{p}={alpha ‘}_1overrightarrow{a_1}+{alpha ‘}_2overrightarrow{a_2}+{alpha ‘}_3overrightarrow{a_3}]
Вычтем эти разложения друг из друга
[overrightarrow{p}-overrightarrow{p}={alpha }_1overrightarrow{a_1}+{alpha }_2overrightarrow{a_2}+{alpha }_3overrightarrow{a_3}-{alpha ‘}_1overrightarrow{a_1}-{alpha ‘}_2overrightarrow{a_2}-{alpha ‘}_3overrightarrow{a_3}] [overrightarrow{0}=left({alpha }_1-{{alpha }’}_1right)overrightarrow{a_1}+left({alpha }_2-{{alpha }’}_2right)overrightarrow{a_2}+({alpha }_3-{{alpha }’}_3)overrightarrow{a_3}]
Из этого получаем
[left{ begin{array}{c} {{alpha }_1-{{alpha }’}_1=0,} \ {{alpha }_2-{{alpha }’}_2=0} \ {{alpha }_3-{{alpha }’}_3=0.} end{array} right.]
Следовательно
[left{ begin{array}{c} {{alpha }_1={{alpha }’}_1,} \ {{alpha }_2={{alpha }’}_2,} \ {{alpha }_3={{alpha }’}_3.} end{array} right.]
Теорема доказана.
«Правило параллелепипеда. Разложение вектора» 👇
Пример задачи
Пример 2
Пусть нам дана пирамида $OABCD$. Разложите вектор $overrightarrow{OD}$ по векторам $overrightarrow{OA}, overrightarrow{OB} и overrightarrow{OC}$.
Решение.
Так как векторы $overrightarrow{OA}, overrightarrow{OB} и overrightarrow{OC}$ – стороны пирамиды, то они являются некомпланарными векторами. Тогда, по теореме 1, вектор $overrightarrow{OD}$ можно разложить по этим векторам, причем разложение будет единственно. Для разложения будем пользоваться свойством сложения векторов и равенством векторов.
Видим, что
[overrightarrow{OD}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{AD}] [overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC}=overrightarrow{BO}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{OC}-overrightarrow{OB}]
Следовательно
[overrightarrow{OD}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}-overrightarrow{OB}]
Ответ: $overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}-overrightarrow{OB}.$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Векторы и координаты в пространстве. Геометрический подход
Мы с вами уже знаем про такие математические инструменты, как векторы и координаты; подробно говорили о том, почему в них возникает необходимость и где мы их используем. Кто не помнит – пересмотрите урок по геометрии-9.
В планиметрии мы рассматривали векторные величины на плоскости (или, по-другому, в двумерном пространстве). Для того чтобы задать вектор, нам было достаточно двух координат. В стереометрии мы решаем задаче в привычном нам трехмерном пространстве, и теперь двух координат для задания вектора нам будет недостаточно.
Действительно, представьте себе лягушку, которая собирается поймать комара. Если она будет знать только то, что он в 3 см впереди и на 2 см правее ее, то шансы на удачную охоту будут невысокими. Другой пример: два самолета могут одновременно лететь 30 км южнее и 40 км восточнее Москвы, если будут находиться на разной высоте (на разных эшелонах).
Чтобы задать вектор в трехмерном пространстве, нам понадобятся три координаты. Повлияет ли это на уже полученные нами свойства векторов? Мы расширяем математические инструменты таким образом, чтобы все уже известные нам свойства и характеристики сохранялись. Такая же ситуация и с векторами и координатами в пространстве – принципиально нового будет немного.
В планиметрии мы параллельно рассматривали два подхода к описанию вектора:
- Геометрический: вектор – направленный отрезок.
- Алгебраический: вектор – это упорядоченная пара чисел – координат вектора.
Используем их для определения вектора в пространстве.
C геометрической точки зрения вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок в пространстве, для которого указаны начало и конец (см. рис. 1).
Рис. 1. Вектор
Обозначается вектор двумя большими или одной малой буквами со стрелкой или черточкой наверху: 
. Направление вектора считается от начала вектора к концу. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора: 
. Отдельную точку пространства можно считать вектором нулевой длины. Направление такого вектора не определено. Обозначается он как ноль со стрелочкой: 
.
Векторы могут образовывать разные углы, но есть особые случаи: векторы, которые действуют строго в одном направлении или в прямо противоположных. Например, во втором законе Ньютона результирующая внешних сил и ускорение – векторы, направленные в одну сторону, а в третьем законе Ньютона силы направлены в противоположных направлениях. Формальные понятия сонаправленности и противоположной направленности, а также их общего случая – коллинеарности в пространстве остаются без изменений.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Проще говоря, параллельные векторы мы называем коллинеарными.
Рис. 2. Коллинеарные векторы 
Два коллинеарных вектора, направленные в одну сторону, называются сонаправленными:
Если они направлены в разные стороны, то их называют противоположно направленными (см. рис. 3):
Рис. 3. Противоположно направленные векторы
Нулевой вектор считается сонаправленным с любым другим вектором. Для обозначения коллинеарности, сонаправленности и противоположно направленности мы используем знак параллельности, сонаправленные или противоположные стрелки.
В параллелепипеде (см. рис. 4):
и 
не являются коллинеарными.
Рис. 4. Рассматриваемый параллелепипед
Равными векторами, как и прежде, будем называть сонаправленные векторы равной длины. Т. к. векторы 
и 
сонаправлены и имеют равную длину, то:
и не являются коллинеарными, следовательно:
и сонаправлены, но имеют разную длину, следовательно:
и 
имеют равную длину, но противоположно направлены, следовательно:
Векторы и координаты в пространстве. Алгебраический подход
Рассмотрим теперь алгебраический подход к определению вектора. Для этого расширим понятие декартовой системы координат с плоской до пространственной.
Проведем три взаимно перпендикулярные прямые через одну точку. Выберем направление на каждой прямой и назовем их координатными осями. Общую точку назовем началом координат и обозначим буквой 
. Выберем масштаб, для этого на каждой оси отметим единицу (см. рис. 5).
Рис. 5. Пространственная система координат
Стандартное обозначение для осей 
. Стандартное расположение осей – 
и 
в горизонтальной плоскости, направлена в нашу сторону, – вправо. Ось 
направлена вертикально вверх. Как и раньше, ось 
называется осью абсцисс, а 
– осью ординат. Ось 
называется осью аппликат.
Чтобы выяснить координаты произвольной точки, необходимо, как и в плоском случае, опустить перпендикуляры из точки на каждую координатную ось.
При изображении важным является то обстоятельство, что если изобразить оси и точку, то еще непонятно, где она находится. Кажется, что точки 
и 
находятся в одном и том же месте (см. рис. 6). На самом деле, мы этого еще не знаем. Для определения позиции точек обычно строят их проекции на плоскость 
.
Рис. 6. Расположение точек и
У точек и их проекций координаты и совпадают. Чтобы найти координату , проекцию точки соединяют с началом координат, а потом из точки проводят параллельный отрезок до пересечения с осью аппликат. Полученные координаты называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой точки (см. рис. 7). Записываются координаты точки в виде упорядоченной тройки чисел: абсцисса, ордината, аппликата.
Рис. 7. Полученные координаты точек и
Теперь перейдем к векторам и их координатам. Вспомним, как на плоскости мы задавали координаты вектора. Если на векторе как на гипотенузе построить прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям, то длины катетов и принимаются за координаты вектора. При таком определении равные векторы получают равные координаты. Координаты вектора с началом в точке совпадают с координатами конца вектора (см. рис. 8).
Рис. 8. Векторы 
При этом если вектор смотрит влево, т. е. его проекция на ось отрицательна, то координата вектора считается отрицательной. Аналогично для координаты . Если вектор смотрит вниз, то его координата у отрицательна.
Вектор 
смотрит вправо и вниз – у него положительная координата и отрицательная .
Вектор 
смотрит влево и вверх, координата отрицательная, положительная.
Вектор 
смотрит влево и вниз, обе координаты отрицательны (см. рис. 9).
Рис. 9. Векторы 
Чтобы найти координаты, очевидно, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала. Длину вектора можно было выразить, используя теорему Пифагора:
Используем описанный для плоскости подход в пространстве. А именно – у равных векторов должны быть равные координаты (чтобы геометрический и алгебраический подход описывал один и тот же инструмент).
На векторе, как на диагонали, строим прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям.
Рис. 10. Построенный параллелепипед
Очевидно, на равных векторах будут построены равные параллелепипеды (см. рис. 11).
Рис. 11. На равных векторах построены равные параллелепипеды
Три измерения параллелепипеда назовем координатами вектора. У равных двух векторов на рисунке выше равны координаты: 
. Вычислить их можно как разности соответствующих координат конца и начала вектора:
При этом учитывается направление. Если вектор смотрит в отрицательную сторону вдоль какой-то из осей, то координата отрицательна.
Т. к. длина вектора – это длина диагонали параллелепипеда, то ее можно вычислить по теореме Пифагора:
Пример 1. Найти координаты и длину вектора с началом в точке 
и концом в точке 
(см. рис. 12).
Рис. 12. Иллюстрация к примеру 1
Решение
Найдем координаты вектора. Для этого вычтем из координат конца координаты начала:
Отрицательные первая и третья координаты означают тот факт, что вдоль осей и вектор смотрит в отрицательном направлении.
Вычислим его длину:
Ответ: 
; 
.
С алгебраической точки зрения вектором называется любая упорядоченная тройка чисел. Равные тройки называются равными векторами. Небольшое противоречие состоит в том, что с геометрической точки зрения два несовпадающих, но равных направленных отрезка – это два вектора, равных друг другу. А с алгебраической, т. к. они имеют одинаковый набор координат – это просто один вектор.
Разрешается это противоречие следующим образом. Все равные геометрические векторы считают одним вектором, а конкретные направленные отрезки – различными представлениями этого вектора. Так что в дальнейшем для нас не будет особой разницы сказать «векторы равны» или «это один и тот же вектор».
Рассмотрим коллинеарность векторов с алгебраической точки зрения. Мы знаем, что на плоскости коллинеарность векторов означает пропорциональность их координат. В самом деле, два коллинеарных вектора можно заменить на равные им радиус-векторы. Они будут лежать на одной прямой. Из подобия прямоугольных треугольников следует пропорциональность их координат (см. рис. 13). Во сколько раз длиннее вектор, во столько раз больше модули его координат.
Рис. 13. Коллинеарные векторы
Векторы 
и 
коллинеарны, и их координаты пропорциональны:
Абсолютно аналогичная ситуация в трехмерном случае. Пусть и – коллинеарные векторы. Соответствующие им радиус-векторы лежат на одной прямой. Тогда из подобия двух параллелепипедов следует пропорциональность их координат (см. рис. 14). Таким образом, чтобы выяснить коллинеарность двух векторов, нужно попарно поделить их координаты друг на друга.
Рис. 14. Коллинеарные векторы
Пример 2. Выяснить, коллинеарны ли пары векторов:
1. 
и 
;
2. 
и 
;
3. и 
.
Решение
1. и :
Координаты пропорциональны, значит, векторы коллинеарны. Отношение координат – положительное число 
. Значит, вектор в раза длиннее и сонаправлен вектору .
2. и :
Координаты пропорциональны, значит, векторы коллинеарны. Отношение – отрицательное число 
. Значит, вектор в 
раза длиннее и противоположно направлен вектору .
3. и :
Координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны.
Ответ: да, да, нет.
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
Рассмотрим два произвольных вектора в пространстве. Совместим конец вектора и начало вектора (см. рис. 15).
Рис. 15. Конец вектора совместили с началом вектора
Если у двух векторов есть общая точка, то они лежат в одной плоскости. Тогда, чтобы расширенная модель не противоречила исходной, для сложения векторов нужно использовать правило треугольника.
Суммой будет вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (см. рис. 16):
Рис. 16. Вектор
Иллюстрирует это правило нагляднее всего перемещение: переместиться из точки 
на вектор в точку 
, а затем из точки на вектор в точку 
эквивалентно перемещению из точки в точку (см. рис. 17).
Рис. 17. Иллюстрация правила сложения векторов
Точно так же сохраняется и правило параллелограмма. Если совместить два вектора, и 
не последовательно, а так, чтобы совпали их начала, то одна диагональ 
построенного на них параллелограмма будет суммой, а вторая диагональ – разностью данных векторов (см. рис. 18):
Рис. 18. Векторы и
Проверяем себя, куда направить векторы разности, как и раньше:
Два вектора называются противоположными, если они в сумме дают нулевой вектор.
Понятно, что это должны быть противоположно направленные равные по модулю векторы:
Как и в плоском случае, последовательное применение несколько раз правила треугольника для сложения нескольких векторов дает правило многоугольника. Единственная разница будет в том, что многоугольник уже может не быть плоским.
Чтобы сложить несколько векторов, нужно совместить последовательно их концы и начала, и результатом будет вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом второго:
Например, чтобы сложить векторы 
(см. рис. 19), рассмотрим сумму:
Рис. 19. Векторы
С алгебраической точки зрения тоже никаких изменений с определением сложения не произошло. Складывая два вектора и в декартовой системе координат, расположим начало вектора в начале координат, с его концом совместим начало вектора . По правилу треугольника построим их сумму (см. рис. 20).
Рис. 20. Вектор
Очевидно, как и в плоском случае, координаты суммы – это сумма координат исходных векторов:
Как обратную операцию получаем разность векторов. Чтобы найти разность векторов, нужно из координат первого вектора вычесть координаты второго вектора:
Противоположным данному называется вектор с противоположными координатами:
Умножение вектора на число также не претерпевает изменений по сравнению с плоским случаем. С геометрической точки зрения умножить вектор на положительное число означает изменить его длину в это количество раз, а направление оставить прежним, например (см. рис. 21):
Рис. 21. Векторы и 
Если умножить на отрицательное число, то длина вектора меняется пропорционально модулю множителя, а направление меняется на противоположное, например (см. рис. 22):
Рис. 21. Векторы и 
Т. е. умножение на число, по модулю большее единицы, удлиняет вектор, а на число, по модулю меньшее единицы, укорачивает.
Важно понимать, что результатом умножения вектора на число всегда является вектор, поэтому при умножении вектора на ноль получаем нулевой вектор, а не число ноль.
Понятно, что, если умножить вектор на 
, получим вектор той же длины, но направленный в другую сторону – это соответствует нашему определению противоположного вектора:
Рассмотрим теперь вектор в декартовой системе координат. Построенный на нем как на диагонали прямоугольный параллелепипед задает координаты вектора. Умножим вектор на число 
в геометрическом смысле, т. е. удлиним его в раз. Новый параллелепипед будет подобен прежнему с коэффициентом подобия (см. рис. 22). Значит, его измерения будут отличаться в раз от исходных. Но его измерения и есть координаты нового вектора. Следовательно, изменение длины вектора в раз означает умножение его координат на . Изменение направления вектора означает изменение знака его координат на противоложный.
Рис. 22. Параллелепипеды подобны с коэффициентом
Таким образом, чтобы умножить вектор на число, надо умножить все его координаты на это число:
Абсолютно без изменения остаются основные свойства умножения вектора на число – сочетательный и два распределительных закона. Сочетательный закон утверждает, что можно перемножить два числа, а потом умножить результат на вектор либо поочередно умножать вектор на эти числа. Результат будет одинаков:
Распределительные законы утверждают, что можно раскрывать скобки при умножении суммы чисел на вектор и умножении числа на сумму векторов:
Убедиться в истинности этих законов не составит никакого труда, если использовать координатную форму записи векторов. Попробуйте сделать это самостоятельно.
Компланарные векторы
Пока ничего нового по сравнению с плоским случаем мы про векторы не рассказали.
Но вот следующее понятие имеет смысл только в трехмерном случае. Если несколько векторов имеют общее начало, то они могут лежать в одной плоскости или нет.
Если они лежат в одной плоскости, то их называют компланарными.
Векторы 
компланарны (см. рис. 23).
Рис. 23. Компланарные векторы
Мы не различаем равные векторы, поэтому в этом примере вектор 
можем заменить на равный ему вектор 
. Таким образом, векторы 
компланарны. Иными словами, векторы компланарны, если они все параллельны одной плоскости, в данном случае плоскости нижнего основания.
Векторы 
некомпланарны (см. рис. 24).
Рис. 24. Некомпланарные векторы
Понятно, что два вектора всегда компланарны. Разберемся, каковы условия компланарности векторов. Вспомним из курса планиметрии еще одно понятие – разложение вектора. Если верно равенство 
, то говорят, что вектор 
разложен по векторам и .
Но из курса планиметрии мы также знаем, что такой вектор будет лежать в одной плоскости с векторами и . В самом деле, векторы 
лежат в плоскости одного и того же параллелограмма, как следует из правил умножения векторов на число и сложения векторов. Таким образом, если один из трех векторов раскладывается по двум другим, то такие три вектора компланарны.
Верно и обратное. Если три вектора компланарны, то любой из них можно разложить по двум оставшимся при условии, что эти два вектора не коллинеарны. Это легко доказать, перейдя в плоскость, в которой лежит эта тройка векторов, и воспользоваться соответствующим утверждением из планиметрии, а именно, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам.
Что касается алгебраического представления векторов, то здесь проверка компланарности трех векторов сводится к решению соответствующего уравнения c переменными и .
Пример 3. Проверить, являются векторы 
компланарными.
Решение
Запишем уравнение:
Умножим в правой части векторы на числа и сложим их:
Два вектора равны, если попарно равны все их координаты. Получаем систему трех простых уравнений:
Ее решение:
Таким образом:
Ответ: векторы компланарны.
Рассмотрим три некомпланарных вектора и найдем их сумму. В алгебраическом подходе нет никакой разницы, складывать ли компланарные или некомпланарные векторы – нужно сложить все соответствующие координаты.
Для геометрического подхода можно сформулировать простое правило параллелепипеда.
Совместим три вектора в общее начало. Построим на них, как на ребрах, параллелепипед (см. рис. 25).
Рис. 25. Построенный параллелепипед
Сложим сначала векторы и :
Теперь сложим и вектор :
Таким образом, сумма трех некомпланарных векторов равна диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным
Мы уже знаем, что любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Аналогичное утверждение сформулируем для векторов в пространстве.
Теорема. Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить единственным образом по любым трем некомпланарным векторам.
Понятно, почему речь идет о некомпланарных векторах. Если мы возьмем компланарные векторы, будем их умножать на разные и числа и складывать друг с другом, мы не выйдем за пределы плоскости, в которой они лежат. Итак, докажем утверждение.
Доказательство
Пусть 
– данные некомпланарные векторы (см. рис. 26).
Рис. 26. Иллюстрация к доказательству
Докажем для начала, что любой вектор можно разложить по этим трем векторам, а потом докажем единственность такого разложения.
Совместим все четыре вектора в общее начало . Обозначим концы векторов такими же буквами, как векторы, только заглавными (см. рис. 27).
Рис. 27. Иллюстрация к доказательству
Через точку проведем прямую, параллельную вектору . Она пересечет плоскость 
в некоторой точке 
. Через проведем прямую, параллельную 
. Она пересечет прямую 
в некой точке 
(см. рис. 28).
Рис. 28. Иллюстрация к доказательству
Легко увидеть, что:
Но каждый из векторов в правой части равенства коллинеарен одному из исходных трех векторов, т. е. получается из них умножением на некое число. Тогда:
Таким образом, мы разложили вектор по векторам .
Докажем единственность такого разложения. Предположим, что существует два разложения вектора :
Вычтем из первого второе уравнение:
Т. к. ни один из векторов не является нулевым (ответьте, почему), то это означает, что все разности в скобках равны нулю. В самом деле, если, например, 
, то:
Но это означает, что векторы компланарны, что противоречит условию. А раз все разности в скобках равны нулю, то рассматриваемые разложения совпадают – получили противоречие. Значит, такое разложение будет единственным.
Доказано.
Рассмотрим три единичных вектора, т. е. три вектора с длиной 
, направленных вдоль осей координат. Стандартное обозначение для них 
(см. рис. 29). Т. к. эти векторы некомпланарны, то по ним можно разложить любой другой вектор.
Рис. 29. Векторы
Разложим вектор 
по этим трем векторам (см. рис. 30).
Рис. 30. Вектор
Для этого умножим вектор 
на число . Очевидно, получим вектор 
. Аналогично умножим вектор 
на , а вектор 
– на . Сумма полученных векторов по правилу параллелепипеда равна вектору 
(см. рис. 31).
Рис. 31. Построенный параллелепипед
Т. е., чтобы разложить вектор по этим трем, нужно в качестве коэффициентов использовать его координаты:
В связи с этим векторы называют координатными.
Правило разложения по координатным векторам можно увидеть и из других соображений.
Выпишем координаты самих координатных векторов:
Тогда, очевидно, разложение вектора 
имеет вид:
Таким образом, координаты вектора и коэффициенты при его разложении по координатным векторам – это одно и то же. Впрочем, мы уже сталкивались с идентичной ситуацией в планиметрии. Только координатных векторов было всего два.
Список литературы
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
- Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Математика. Базовый уровень. 11 класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
- Погорелов А.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 класс. Базовый и углубленный уровни. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал yaklass.ru
- Интернет-портал mathprofi.ru
- Интернет-портал ru.onlinemschool.com
Домашнее задание
- Найти координаты и длину вектора
, если 
и 
. - Даны векторы
и 
. Найти координаты вектора 
. 
– тетраэдр, 
– середины его ребер . Компланарны ли векторы 
?
и 
.
и 
. Найти координаты вектора 
.
– тетраэдр, 
– середины его ребер 
. Компланарны ли векторы 
?Материал
урока.
На
прошлых занятиях вы познакомились с понятием компланарных векторов.
Векторы
называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они
будут лежать в одной плоскости.
При
этом на практике мы использовали такую формулировку: векторы называются
компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Так
же вы доказали признак компланарности векторов.
Если
вектор можно
разложить по векторам и
,
то векторы ,
и
компланарны.
К
тому же вы убедились в справедливости и обратного утверждения.
Если
векторы ,
и
компланарны,
а векторы и
не
коллинеарны, то вектор можно
разложить по векторам и
,
причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Для
сложения компланарных векторов, так как все они лежат в одной плоскости, можно
использовать правила сложения известные из планиметрии, а именно: правило
треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника.
Что
же касается некомпланарных векторов, то для построения их суммы используют
правило параллелепипеда.
Рассмотрим
некомпланарные векторы ,
и
.
От
произвольной точки О пространства отложим векторы ,
и
равные
векторам ,
и
соответственно.
На
полученных векторах можно построить параллелепипед так, чтобы они являлись его
рёбрами.
Построим
вектор суммы векторов ,
и
при
этом последовательно их складывая.
Вектором
суммы векторов ,
по
правилу параллелограмма будет вектор .
Вектором
суммы векторов и
по
тому же правилу будет вектор .
Вектор равен
сумме векторов ,
и
,
а значит равен сумме векторов ,
и
.
Отсюда
правило параллелепипеда можно сформулировать так.
Если
отложить некомпланарные векторы ,
и
от
некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD
параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.
Воспользуемся
сформулированным только что правилом и выполним задание.
Рассмотрим
параллелепипед
и укажем вектор суммы данных векторов такой, чтобы его начало и конец совпадали
с вершинами параллелепипеда.
Первым
назовём вектор .
Так как эти векторы отложены от одной точки и являются рёбрами данного
параллелепипеда, то вектор их суммы будет задавать диагональ параллелепипеда,
одним из концов которой будет точка начала данных векторов А. Так мы получим
вектор .
Далее
назовём вектор суммы векторов .
Они
также отложены от одной точки D
и являются рёбрами данного параллелепипеда. Вектором их суммы будет вектор .
В
следующем пункте нужно назвать вектор суммы векторов .
В
данном случае векторы не имеют общего начала, а имеют общий конец.
Выразим
каждый из данных векторов через противоположный.
Далее
рассмотрим сумму векторов .
Только вектор не
берёт своё начало в точке А1. Но вектор равен
ему, поэтому заменим вектор в
сумме на равный ему вектор .
Не
трудно понять, что вектором полученной суммы будет вектор .
Последней
рассмотрим сумму векторов .
Вектор
заменим
равным ему вектором .
Тогда не трудно записать вектор суммы. Им будет вектор
Подведём
итоги урока.
Сегодня
мы описали правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов.
Если
отложить некомпланарные векторы ,
и
от
некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD
параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.
Это
правило пригодится вам при изучении следующих тем курса стереометрии.
