Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления направляющих косинусов вектора
Формула
Чтобы найти направляющие косинусы вектора $bar{a}$, заданного на
плоскости своими координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ нужно воспользоваться формулами:
$$cos alpha=frac{a_{x}}{|bar{a}|}=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}, quad cos beta=frac{a_{y}}{|bar{a}|}=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$
То есть необходимо соответствующую
координату вектора поделить на его
длину.
В случае если вектор задан в пространстве $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, имеют место
следующие формулы для нахождения направляющих косинусов этого вектора:
$$begin{aligned} cos alpha=frac{a_{x}}{|bar{a}|}=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} &, text { cos } beta=frac{a_{y}}{|bar{a}|}=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \ cos gamma=frac{a_{z}}{|bar{a}|}=& frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} end{aligned}$$
Примеры вычисления направляющих косинусов вектора
Пример
Задание. Дан вектор $bar{a}=(1 ;-1)$, найти его направляющие векторы.
Решение. Вектор задан на плоскости. Направляющие косину найдем по формулам:
$$cos alpha=frac{a_{x}}{|bar{a}|}=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}, quad cos beta=frac{a_{y}}{|bar{a}|}=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$
Подставим в них координаты заданного вектора, получим
$$begin{aligned} cos alpha=frac{a_{x}}{|bar{a}|} &=frac{1}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=frac{1}{sqrt{1+1}}=frac{1}{sqrt{2}} \ cos beta=frac{a_{y}}{|bar{a}|} &=frac{-1}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=frac{-1}{sqrt{1+1}}=-frac{1}{sqrt{2}} end{aligned}$$
Ответ. $cos alpha=frac{1}{sqrt{2}}, quad cos beta=-frac{1}{sqrt{2}}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Дан вектор $bar{a}=(2 ;-1 ;-2)$, найти его направляющие
векторы и составить единичный вектор $bar{a}_0$ направлений вектора
$bar{a}$ .
Решение. Вектор задан в пространстве, поэтому для нахождения направляющих векторов воспользуемся формулами
$begin{aligned} cos alpha=frac{a_{x}}{|bar{a}|}=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} &, quad cos beta=frac{a_{y}}{|bar{a}|}=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \ cos gamma=frac{a_{z}}{|bar{a}|}=& frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} end{aligned}$
Подставляя в эти формулы координаты заданного вектора, получим
$$begin{aligned} cos alpha=frac{a_{x}}{|bar{a}|}=frac{2}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=frac{2}{sqrt{4+1+4}}=frac{2}{sqrt{9}}=frac{2}{3} \ cos beta=frac{a_{y}}{|bar{a}|}=frac{-1}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=frac{-1}{sqrt{4+1+4}}=frac{-1}{sqrt{9}}=-frac{1}{3} \ cos gamma=frac{a_{z}}{|bar{a}|}=frac{-2}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=frac{-2}{sqrt{4+1+4}}=frac{-2}{sqrt{9}}=-frac{2}{3} end{aligned}$$
Составим единичный вектор $bar{a}_0$ направлений
вектора $bar{a}$ . Он равен
$$bar{a}_{0}=(cos alpha ; cos beta ; cos gamma)=left(frac{2}{3} ;-frac{1}{3} ;-frac{2}{3}right)$$
Ответ. $cos alpha=frac{2}{3}, cos beta=-frac{1}{3}, quad cos gamma=-frac{2}{3}, bar{a}_{0}=left(frac{2}{3} ;-frac{1}{3} ;-frac{2}{3}right)$
Читать дальше: как найти угол между векторами.
Направляющие косинусы вектора.
Навигация по странице:
- Определение направляющих косинусов
- Формулы для направляющих косинусов
- для плоских задач
- для пространственных задач
- Примеры задач с направляющими косинусами вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи
Определение направляющих косинусов
Определение. Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.
Основное соотношение. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.
Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Формулы вычисления направляющих косинусов вектора
Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач
В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой
| cos α = | ax | ; | cos β = | ay |
| |a| | |a| |
 |
| рис. 1 |
Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой
| cos α = | ax | ; | cos β = | ay | ; | cos γ = | az |
| |a| | |a| | |a| |
Свойство:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
 |
| рис. 2 |
Примеры задач с направляющими косинусами вектора
Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора
Пример 1. Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.
Решение:
Найдем модуль вектора a:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5.
Найдем направляющие косинусы вектора a:
| cos α = | ax | = | 3 | = 0.6 |
| |a| | 5 |
| cos β = | ay | = | 4 | = 0.8 |
| |a| | 5 |
Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.
Пример 2. Найти значение векора a если его длина равна 26, а направляющие косинусы cos α = 5/13, cos β = -12/13.
Решение:
ax = |a| · cos α = 26 ·
513
= 10
ay = |a| · cos β = 26 · (-
1213
) = -24
Ответ: a = {10; -24}.
Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора
Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.
Решение:
Найдем модуль вектора a:
|a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.
Найдем направляющие косинусы вектора a:
| cos α = | ax | = | 2 | = | 1 |
| |a| | 6 | 3 |
| cos β = | ay | = | 4 | = | 2 |
| |a| | 6 | 3 |
| cos γ = | az | = | 4 | = | 2 |
| |a| | 6 | 3 |
Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 13, cos β = 23, cos γ = 23.
Пусть
дан вектор
(
х,
у,
z).
Обозначим
углы наклона этого вектора к осям Ох,
Оу иOz соответственно
буквами
,и
.Три числа cos
,
cos
и
cos
принято называть направляющими
косинусами вектора
.
Полагая
=
(1;0; 0)получаем из (9)
Аналогично
Из
формул (11) – (13) следует:
1)
сos2
+ cos2
+
cos2
= 1,
т.е.
сумма квадратов направляющих
косинусов любого ненулевого вектора
равна единице;
т.е.
направляющие косинусы
этого вектора пропорциональны его
соответствующим проекциям.
Примечание.
Из формул (11)-(13) видно, что проекции
любого единичного вектора
на
оси координат соответственно совпадают
с его направляющими косинусами и,
следовательно,
Пример.
Найти направляющие косинусы вектора
(1;
2; 2). По формулам (11)-(13) имеем
4. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.
Определение.
Векторным произведением двух векторов
и
называется
новый вектор
,
модуль которого равен площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
приведенных к общему началу, и который
перпендикулярен к перемножаемым векторам
(иначе говоря, перпендикулярен к плоскости
построенного на них параллелограмма)
и направлен в такую сторону, чтобы
кратчайший поворот от
к
вокруг
полученного вектора
представлялся
происходящим против часовой стрелки,
если смотреть из конца вектора
(рис.
40).
Если
векторы
и
коллинеарны,
то их векторное произведение считается
равным нулевому вектору. Из этого
определения следует, что
|
|
= |
|
|
| sin
,
где
–
угол между векторами
и
(0
).
Векторное произведение векторов
и
обозначается
символом
х
или
[
]
или [
,
].
Выясним
физический смысл векторного произведения.
Если вектор
изображает
приложенную в некоторой точкеМ силу,
а вектор
идет
из некоторой точкиО в точкуМ, то
вектор
=[
]
представляет собой момент силы
относительно
точкиО.
Свойства
векторного произведения
1
. При перестановке
сомножителей векторное произведение
меняет знак, т.е.
х
=
-(
x
).
2.
(
)х
=
х(
)=
(
х
),где
–
скаляр.
3.
Векторное произведение
подчиняется распределительному закону,
т.е.
(
+
)
x
=
x
+
x
.
4.
Если векторное произведение
двух векторов равно нулевому вектору,
то либо равен нулевому вектору хотя бы
один из перемножаемых векторов
(тривиальный случай), либо равен нулю
синус угла между ними, т.е. векторы
коллинеарны.
Обратно,
если два ненулевых вектора
коллинеарны, то их векторное произведение
равно нулевому вектору.
Таким
образом, для того чтобы
два ненулевых вектора
и
были
коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы их векторное произведение равнялось
нулевому вектору.
Отсюда,
в частности, следует, что векторное
произведение вектора на самого себя
равно нулевому вектору:
х
=0
(
х
еще
называют векторным
квадратом вектора
.
5. Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства.
Пусть
даны три вектора
,
и
.
Представим себе, что вектор
умножается
векторно на
и
полученный вектор
х
умножается
скалярно на вектор
,
тем самым определяется число (
х
)
.
Оно называется илисмешанным
произведениемтрех векторов
,
и
.
Для
краткости смешанное произведение (
х
)
будем обозначать
или
(
).
Выясним
геометрический смысл смешанного
произведения
.
Пусть рассматриваемые векторы
и
некомпланарны.
Построим параллелепипед на векторах
,
и
как
на ребрах.
Векторное
произведение
x
есть
вектор
(
=
),
численно равный площади параллелограммаOADB(основание построенного
параллелепипеда), построенного на
векторах
и
и
направленный перпендикулярно к плоскости
параллелограмма (рис. 41).
Скалярное
произведение (
x
)
=
есть
произведение модуля вектора
и
проекции вектора
на
(см.
п. 1, (2)).
Высота
построенного параллелепипеда есть
абсолютная величина этой проекции.
Следовательно,
произведение |
|
по
абсолютной величине равно произведению
площади основания параллелепипеда на
его высоту, т.е. объему параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
.
Рис.42
При
этом важно отметить, что скалярное
произведение
дает
объем параллелепипеда иногда с
положительным, а иногда с отрицательным
знаком. Положительный знак получается,
если угол между векторами
и
острый;
отрицательный – если тупой. При остром
угле между
и
вектор
расположен
по ту же сторону плоскостиOADB,
что и вектор и, следовательно, из конца
вектора
вращение
от
к
будет
видно так же, как и из конца вектора
,
т.е. в положительном направлении (против
часовой стрелки).
При
тупом угле между
вектор
расположен
по другую сторону плоскостиOADB,
чем вектор
,
и, следовательно, из конца вектора
вращение
от
к
будет
видно в отрицательном направлении (по
часовой стрелке). Иными словами,
произведение
положительно,
если векторы
,
и
образуют
систему, одноименную с основной Oxyz
(взаимно расположены так же, как оси Ox,
Oy, Oz), и оно отрицательно, если векторы
,
образуют
систему, разноименную с основной.
Таким
образом, смешанное
произведение
есть
число,абсолютная
величина которого выражает объем
параллелепипеда,построенного
на векторах
,
как
на ребрах.
Знак
произведения положителен, если векторы
,
,
образуют
систему, одноименную с основной, и
отрицателен в противном .
Отсюда
следует, что абсолютная величина
произведения
=(
х
)
останется той же, в каком бы порядке мы
ни брали сомножители
,
,
.
Что касается знака, то он будет в одних
случаях положительным, в других –
отрицательным; это зависит от того,
образуют ли наши три вектора, взятые в
определенном порядке, систему, одноименную
с основной, или нет. Заметим, что у нас
оси координат расположены так, что они
следуют одна за другой против часовой
стрелки, если смотреть во внутреннюю
часть (рис. 42). Порядок следования не
нарушается, если мы начнем обход со
второй оси или с третьей, лишь бы он
совершался в том же направлении, т.е.
против часовой стрелки. При этом множители
переставляются в круговом порядке
(циклически). Таким образом, получаем
следующее свойство:
Смешанное
произведение не меняется при круговой
(циклической) перестановке его
сомножителей. Перестановка двух соседних
сомножителей меняет знак произведения
=
=
=-(
)=-(
)=-(
).
Наконец,
из геометрического смысла смешанного
произведения непосредственно следует
следующее утверждение.
Необходимым
и достаточным условием компланарности
векторов
,
,
является равенство нулю
их смешанного произведения:
=0(14)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
18.04.2015421.31 Кб24бп.rtf
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Макеты страниц
Направление вектора в пространстве определяется углами, 
, которые вектор составляет с осями координат (рис. 70). Косинусы этих углов 
называются направляющими косинусами вектора.
Рис. 70
С помощью выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор 
. Тогда
Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:
Так как по формуле 
, то
Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:
откуда
т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора 
на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если 
.
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:
По формуле (58) находим модуль вектора 
по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора:
Направляющие косинусы вектора.
Определение направляющих косинусов
Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.
Соответственно, координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.
Формулы вычисления направляющих косинусов вектора
Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач
В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = < ax ; ay > можно найти воспользовавшись следующей формулой
| cos α = | ax | ; | cos β = | ay |
| | a | | | a | |
|
| рис. 1 |
Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = < ax ; ay ; az > можно найти воспользовавшись следующей формулой
| cos α = | ax | ; | cos β = | ay | ; | cos γ = | az |
| | a | | | a | | | a | |
|
| рис. 2 |
Примеры задач с направляющими косинусами вектора
Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора
Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.
Найдем направляющие косинусы вектора a :
| cos α = | ax | = | 3 | = 0.6 |
| | a | | 5 |
| cos β = | ay | = | 4 | = 0.8 |
| | a | | 5 |
Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.
ax = | a | · cos α = 26 · 5 13 = 10
ay = | a | · cos β = 26 · (- 12 13 ) = -24
Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора
Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.
Найдем направляющие косинусы вектора a :
| cos α = | ax | = | 2 | = | 1 |
| | a | | 6 | 3 |
| cos β = | ay | = | 4 | = | 2 |
| | a | | 6 | 3 |
| cos γ = | az | = | 4 | = | 2 |
| | a | | 6 | 3 |
Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 1 3 , cos β = 2 3 , cos γ = 2 3 .
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно – 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = – 9 3 · 6 = – 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = – 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , – 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 70 ) = – a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 = – 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = – 1 5 · 14 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = – a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = – a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , – 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , – 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 – 2 , – 2 – ( – 1 ) ) = ( 5 , – 1 ) B C → = ( 7 – 3 , – 2 – 2 ) = ( 4 , – 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( – 1 ) · ( – 4 ) 5 2 + ( – 1 ) 2 · 4 2 + ( – 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 – 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → – a → 2 = a → + b → – 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 – b → – a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Векторы на плоскости и в пространстве, способы решения задач, примеры, формулы (продолжение)
Векторы на плоскости и в пространстве веб-страницы: 1 2 3
23 Косинус угла или угол между векторами
Косинус угла между двумя ненулевыми векторами = ( x 1; y 1; z 1) и = ( x 2; y 2; z 2) равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение длин этих векторов
Косинус угла между векторами в координатах
Угол между векторами
Если = 1, то угол между векторами равен 0 0 , векторы сонаправлены.
Если = 0, то угол между векторами равен 90 0 , векторы перпендикулярны.
Если = -1, то угол между векторами равен 180 0 , векторы противоположно направлены.
Повторимся. Если какой-то вектор задан координатами начала и конца, то отнимая от соответствующих координат конца вектора координаты начала, получаем координаты этого вектора.
Задача. Найти угол между векторами (0; -2; 0), (-2; 0; -4).
Скалярное произведение векторов
= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,
следовательно угол между векторами равен = 90 0 .
24 Свойства скалярного произведения векторов
Свойства скалярного произведения справедливы при любых , , , k :
1. , если , то , если = , то = 0.
2. Переместительный закон
3. Распределительный закон
4. Сочетательный закон .
25 Направляющий вектор прямой
Направляющий вектор прямой – это ненулевой вектор, лежащий на заданной прямой или на прямой, параллельной данной прямой.
Если прямая M 1 M 2 задана двумя точками M 1( x 1; y 1; z 1) и M 2( x 2; y 2; z 2), то направляющим является вектор или противоположный ему вектор = – . Координаты направляющих векторов прямой M 1 M 2
= (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ; z 2 – z 1 );
= (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2 ; z 1 – z 2 ) .
Систему координат желательно задать так, чтобы прямая проходила через начало координат, тогда координаты единственной точки на прямой, не совпадающей с началом координат и будут координатами направляющего вектора этой прямой.
Задача. Определить координаты направляющего вектора прямой, проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).
Построим заданные точки в системе координат Oxyz .
Направляющий вектор прямой проходящей через точки M 1(1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) обозначим . Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора
= (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ; z 2 – z 1 )
= (0 – 1; 1 – 0; 0 – 0) = (-1; 1; 0)
Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M 1, с концом в точке M 2 и равный ему вектор из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)
26 Угол между двумя прямыми
Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых на плоскости и угла между такими прямыми:
1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми. Поэтому угол между прямыми 0 0 0 .
Пересекающиеся прямые могут быть, в частности, перпендикулярны φ = 90 0 .
2. Прямые параллельны, то есть не совпадают и не пересекаются, φ=0 0 .
3. Прямые совпадают, φ = 0 0 .
Угол между прямыми на плоскости может быть в диапазоне
Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых в пространстве и угла между такими прямыми:
1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми. Поэтому угол между прямыми 0 0 0 .
2. Прямые параллельны, то есть не совпадают и не пересекаются, φ=0 0 .
3. Прямые совпадают, φ = 0 0 .
4. Прямые скрещиваются, то есть не пересекаются в пространстве и не параллельны. Углом φ между скрещивающимися прямыми является угол между прямыми, проведенными параллельно этим прямым так, чтобы они пересекались. Поэтому угол между с крещивающимися прямыми
Угол между 2-мя прямыми в пространстве равен углу между прямыми, проведенными параллельно этим прямым в одной плоскости. Поэтому угол между прямыми в пространстве может быть в диапазоне
26.1 Косинус угла между направляющими векторами прямых
Угол θ (тета) между векторами и может быть в диапазоне
Если угол φ между прямыми α и β равен углу θ между направляющими векторами этих прямых φ = θ, то равны и косинусы этих углов
Если угол между направляющими векторами прямых θ > 90 0 , то угол между прямыми φ = 180 0 – θ и
cos φ = cos (180 0 – θ ) = – cos θ .
Этот случай изображен на рисунке
Поэтому косинус угла между прямыми всегда равен модулю косинуса угла между векторами
Если заданы координаты ненулевых векторов = ( x 1; y 1; z 1) и = ( x 2; y 2; z 2), то косинус угла θ между ними
Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых
cos φ = | cos θ| =
Для лучшего запоминания сформулируем следующее правило. Прямые являются одинаковыми геометрическими объектами, поэтому и одинаковые тригонометрические функции cos присутствуют в формуле.
Косинус угла между прямыми
cos φ =
Угол между прямыми
Если каждая из двух прямых задана двумя точками, то можно определить направляющие векторы этих прямых и косинус угла между прямыми.
Если cos φ = 1, то угол φ между прямыми равен 0 0 , можно принять для этих прямых один из направляющих векторов этих прямых, прямые параллельны или совпадают. Если прямые не совпадают, то они параллельны. Если прямые совпадают, то любая точка одной прямой принадлежит другой прямой.
Если скалярное произведение направляющих ненулевых векторов прямых = ( x 1; y 1; z 1) и = ( x 2; y 2; z 2) равно нулю
и, следовательно, cos φ = 0, то угол φ между прямыми 90 0 (прямые перпендикулярны), прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.
Если 0 ≤ cos φ 0 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.
Задача. Определить угол между прямыми M 1 M 3 и M 2 M 3 с координатами точек M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).
Построим заданные точки и прямые в системе координат Oxyz .
Направляющие векторы прямых направим так, чтобы угол θ между векторами был меньше 90 0
тогда он будет совпадать с углом φ между заданными прямыми. Изобразим векторы = и = , а также углы θ и φ:
Определим координаты направляющих векторов и
= = (1 – 0; 0 – 0; 0 – 1) = (1; 0; -1);
= = (0 – 0; 1 – 0; 0 – 1) = (0; 1; -1).
Косинус угла между прямыми равен косинусу угла между векторами
cos φ = cos θ =
cos φ = cos θ =
Следовательно, углы равны
Ответ: угол между прямыми φ = 60 0 .
27 Нормальный вектор прямой
Нормальный вектор прямой – это вектор перпендикулярный прямой.
28 Нормальный вектор плоскости
Нормальный вектор плоскости – это вектор перпендикулярный плоскости.
29 Общее уравнение плоскости
Общее (нормальное) уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0,
где a , b , c – координаты нормального (перпендикулярного к плоскости) ненулевого вектора плоскости ( a ; b ; c ) (вектор ненулевой, поэтому его координаты одновременно не равны нулю и его длина в квадрате не равна нулю | | 2 = a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0).
Особые положения плоскости:
– плоскость проходит через начало координат при d = 0 и уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz = 0, поэтому желательно задавать систему координат так, чтобы плоскость проходила через начало координат для упрощения уравнения плоскости;
– плоскость параллельна той оси координат, обозначение которой отсутствует в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю, например, при c = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by + d = 0. В этом случае на положение плоскости не влияет координата z ;
– плоскость содержит ту ось координат, обозначение которой отсутствует, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю и d = 0, например, при c = d = 0 плоскость содержит ось Oz, но не содержит z и d в уравнении ax + by = 0;
– плоскость параллельна координатной плоскости, обозначения которой отсутствуют в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующие коэффициенты равны нулю, например, при b = c = 0 плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и не содержит y , z в уравнении ax + d = 0.
– если плоскость совпадает с координатной плоскостью, то уравнение такой плоскости представляет из себя равенство нулю обозначения координатной оси, перпендикулярной данной координатной плоскости, например, при x = 0 заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .
Желательно задавать систему координат так, чтобы плоскость была параллельна или совпадала с как можно большим числом осей координат для значительного упрощения уравнения плоскости.
Задача. Нормальный вектор задан уравнением
Представить уравнение плоскости в нормальной форме.
Координаты нормального вектора
= ( a ; b ; c ) = (1+ s +3 t ; 2+2 s – t ; -1+6 s + t )
Уравнение плоскости в нормальной форме, проходящей через начало координат
(1+ s +3 t ) x + (2+2 s – t ) y + (-1+6 s + t ) z = 0.
30 Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Если дана точка M 0 ( x 0; y 0; z 0), через которую проходит плоскость перпендикулярно не нулевому вектору ( a ; b ; c ), то можно подставить координаты точки M 0 ( x 0; y 0; z 0) и координаты a , b , c нормального вектора в общее уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0 (1)
Получаем уравнение с одной неизвестной d
Уравнение плоскости (1) после подстановки d
ax + by + cz – ( ax 0 + by 0 + cz 0) = 0
ax + by + cz – ax 0 – by 0 – cz 0 = 0
сгруппирует относительно коэффициентов a, b и c
ax – ax 0 + by – by 0 + cz – cz 0 = 0
Вынесем за скобки коэффициенты a, b и c. Получаем уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0; y 0; z 0) перпендикулярно не нулевому вектору ( a ; b ; c )
a ( x – x 0) + b ( y – y 0) + c ( z – z 0) = 0
Это уравнение можно получить, если для заданной точки M 0 ( x 0; y 0; z 0) выбрать произвольную точку M ( x ; y ; z ) на плоскости и найти скалярное произведение вектора = (x – x 0 ; y – y 0 ; z – z 0 ) с перпендикулярным к плоскости вектор ом (a; b; c), которое должно быть равно нулю
a ( x – x 0 ) + b ( y – y 0 ) + c ( z – z 0 ) = 0.
Если теперь раскроем скобки
ax – ax 0 + by – by 0 + cz – cz 0 = 0
ax + by + cz – ax 0 – by 0 – cz 0 = 0
То получим общее уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0.
31 Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой, заданной двумя точками
Заданные точки M 1( x 1; y 1; z 1) и M 2( x 2; y 2; z 2) образуют нормальный вектор искомой плоскости, определим координаты вектора . К аждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора
= (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ; z 2 – z 1 ) = ( a, b, c)
Подставляем координаты нормального вектора в общее уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0
и получаем уравнение искомой плоскости, в котором d может быть любым
Плоскостей, перпендикулярных заданному вектору может быть бесконечное множество. Если задать координаты какой-то точки на этой плоскости и подставить эти координаты вместо x, y, z в найденное уравнение плоскости выше, то можно будет определить d
и единственное уравнение этой плоскости.
32 Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку
Если заданы точки M 1( x 1; y 1; z 1) и M 2( x 2; y 2; z 2), то уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
Эта плоскость проходит через середину отрезка, образованного заданными точками. Координаты середины отрезка M 1 M 2
, ,
Подставим координаты x, y, z
Подставим и п олучим уравнение плоскости, лежащей на одинаковом расстоянии от двух точек
( x 1 – x 2 ) x + ( y 1 – y 2 ) y + ( z 1 – z 2 ) z =0
Можно за нормальный принять и другое направление вектора
= (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ; z 2 – z 1 ) = ( a, b, c);
ax + by + cz + d = 0.
33 Определение координаты точки, лежащей на плоскости, расположенной на одинаковом расстоянии от двух точек
Точка, лежащая на одинаковом кратчайшем расстоянии от двух точек M 1( x 1; y 1; z 1) и M 2( x 2; y 2; z 2) располагается в центре отрезка M 1 M 2, поэтому к оординаты такой точки О равны половинам соответствующих координат концов отрезка
Искомая произвольная точка в любом случае лежит в плоскости, перпендикулярной вектору, образованному заданными точками и проходит через середину вектора .
Уравнение этой плоскости определили выше
( x 1 – x 2 ) x + ( y 1 – y 2 ) y + ( z 1 – z 2 ) z =0.
Нормальный вектор этой плоскости
= ( a, b, c);
Получили уравнение плоскости, лежащей на одинаковом расстоянии от двух точек
ax + by + cz + d = 0
Если искомая точка лежит на оси x, то y = 0 и z = 0 и уравнение плоскости значительно упрощается
Отсюда координата x
Координаты искомой точки
Если искомая точка лежит на оси y, то x = 0 и z = 0 и уравнение плоскости также значительно упрощается
Отсюда координата y
Координаты точки О (0; y; 0).
Если искомая точка лежит на оси z, то x = 0 и y = 0 и уравнение плоскости также значительно упрощается
Отсюда координата z
Координаты точки О (0; 0; z).
Систему координат желательно задавать так, чтобы искомая точка лежала на одной из осей координат.
34 Уравнение плоскости, проходящей через две точки и начало координат
Определим коэффициенты общего уравнения плоскости
ax + by + cz + d = 0.
Систему координат желательно задать так, чтобы плоскость проходила через начало этой системы координат. Точки M 1 ( x 1; y 1; z 1) и M 2 ( x 2; y 2; z 2), лежащие в этой плоскости, необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.
Плоскость будет проходить через начало координат, поэтому d = 0. Тогда общее уравнение плоскости принимает вид
Неизвестно 3 коэффициента a , b , c . Подстановка координат двух точек M 1 ( x 1; y 1; z 1) и M 2 ( x 2; y 2; z 2) в общее уравнение плоскости дает систему 2-х уравнений:
Система 2-уравнений позволяет определить лишь 2-е неизвестные величины. Требуются особые приемы для решения данной системы уравнений.
Если принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, например, a = 1, тогда полученная система 2-х уравнений
позволит определить оставшиеся 2 неизвестные коэффициенты b и c .
Если одна из координат точки нулевая, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий этой координате. Если у какой-то точки две координаты нулевые, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий одной из этих нулевых координат.
Если принимается a = 1, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента b и c :
Коэффициенты, являющиеся заданными координатами точек, ставятся впереди неизвестных b и c, а свободные от неизвестных члены, содержащие лишь заданные координаты, переносятся в правую часть уравнений
Систему этих уравнений проще решить методом исключений (метод Гаусса в высшей школе), помножив какое-то уравнение на такое число, чтобы коэффициенты при какой-то неизвестной стали равны. Тогда разность уравнений позволит исключить эту неизвестную и определить другую неизвестную. Подстановка найденной неизвестной в любое уравнение позволит определить и вторую неизвестную.
35 Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Определим коэффициенты общего уравнения плоскости
ax + by + cz + d = 0,
проходящей через точки M 1 ( x 1; y 1; z 1), M 2 ( x 2; y 2; z 2) и M 3 ( x 3; y 3; z 3). У точек не должно быть двух одинаковых координат.
Неизвестно 4 коэффициента a , b , c и d . Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений. Принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента. Обычно принимается a = 1, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента b , c и d :
Систему уравнений лучше решать методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Можно переставлять уравнения в системе. Любое уравнение можно умножить или поделить на любой коэффициент не равный нулю. Любые два уравнения можно сложить и результирующее уравнение записать вместо любого из этих двух складываемых уравнений. Из уравнений исключаются неизвестные, получением нулевого коэффициента перед ними. В одном уравнении, обычно самом нижнем оставляется одна переменная, которая легко определяется. Найденная переменная подставляется во второе уравнение снизу, в котором обычно оставляется 2 неизвестные. Уравнения решаются снизу вверх и определяются все неизвестные коэффициенты.
Коэффициенты ставятся впереди неизвестных, а свободные от неизвестных члены переносятся в правую часть уравнений
В верхнюю строку обычно ставится уравнение, имеющее коэффициент 1 перед первой или любой неизвестной, или все первое уравнение делится на коэффициент перед первой неизвестной. В данной системе уравнений разделим первое уравнение на y 1
Перед первой неизвестной получили коэффициент 1:
Для обнуления коэффициента перед первой переменной второго уравнения помножим первое уравнение на – y 2, сложим его со вторым уравнением и полученное уравнение запишем вместо второго уравнения. Первая неизвестная во втором уравнении будет исключена, потому что
Аналогично исключаем первую неизвестную в третьем уравнении, помножив первое уравнение на – y 3, сложив его с третьим уравнением и полученное уравнение записав вместо третьего уравнения. Первая неизвестная в третьем уравнении будет также исключена, потому что
Аналогично исключаем вторую неизвестную в третьем уравнении. Решаем систему снизу вверх.
Задача. Определить общее уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0,
проходящей через точки M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).
Построим заданные точки в системе координат xyz .
Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений
Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 0; 0), изобразим его в системе координат
Общее уравнение плоскости
x + 0· y + 0· z + 0 = 0
Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .
Задача. Определить общее уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0,
проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).
Построим заданные точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1) в системе координат Oxyz .
Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений
; ;
Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 1; 1), в изображенной ранее системе координат он будет изображен точкой, поэтому покажем проекции нормального вектора на плоскости xOy , yOz , xOz .
Общее уравнение плоскости
36 Угол между прямой и плоскостью
Угол φ (см. рисунок) между прямой α и плоскостью β равен углу между направляющим вектором прямой и проекцией α’ прямой α на плоскость β. Проекция прямой α’ на плоскость β лежит в плоскости β, поэтому перпендикулярна вектору , нормальному к плоскости β.
Угол θ (тэта) между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости:
Отсюда угол между прямой и плоскостью
sin φ = sin (90 0 – θ),
но по формуле приведения
sin (90 0 – θ) = cos θ.
Если угол между векторами θ = 90 0 + φ (см. рисунок ниже), тогда угол между прямой и плоскостью равен
φ = θ – 90 0 = -(90 0 – θ).
sin φ = sin (-(90 0 – θ )) = -sin(90 0 – θ ) = -cos θ .
φ ≤ 90 0 , а 0 ≤ θ ≤ 180 0 , поэтому синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости
Если заданы координаты ненулевых векторов = ( x 1; y 1; z 1) и = ( x 2; y 2; z 2), то косинус угла θ между ними
Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой = ( x 1; y 1; z 1) и нормальным вектором = ( x 2; y 2; z 2) плоскости x 2 x + y 2 y + z 2 z + d = 0
sin φ = | cos θ| =
Для лучшего запоминания сформулируем следующее правило. Прямая и плоскость – это разные геометрические объекты, поэтому в формуле присутствуют и разные тригонометрические функции.
Синус угла между прямой и плоскостью
sin φ =
Угол между прямой и плоскостью
Если s in φ = 1, то угол φ между прям ой и плоскостью равен 9 0 0 , Прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
Если скалярное произведение направляющ его ненулевого вектора прямой = ( x 1; y 1; z 1) и ненулевого нормального вектора плоскости = ( x 2; y 2; z 2) равно нулю
и, следовательно, s in φ = 0, то угол φ между прямой и плоскостью равен 0 0 , прямая и плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то прямая лежит в плоскости.
Если 0 s in φ ≤ 1, то угол между прямой и плоскостью 0 0 0 , прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
Задача. Определить угол между плоскостью, проходящей через точки M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1), и прямой, проходящей через точки M 4 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).
Построим заданные точки, плоскость в виде треугольника, лежащего в ней, прямую в системе координат Oxyz .
Координаты x всех точек плоскости равны 0, поэтому п римем a =1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0
дает систему 3-х уравнений, позволяющую найти 3 неизвестных коэффициента b, c, d
Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 0; 0), изобразим его в системе координат
Общее уравнение плоскости
x + 0· y + 0· z + 0 = 0
Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .
Направляющий вектор прямой проходящей через точки M 4(1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) обозначим . Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора
= (x 2 – x 4 ; y 2 – y 4 ; z 2 – z 4 )
= (0 – 1; 1 – 0; 0 – 0) = (-1; 1; 0)
Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M 4, с концом в точке M 2 и равный ему вектор из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)
Если ненулевые векторы и , то косинус угла θ между ними
Синус угла между прямой и плоскостью
sin φ = | cos θ| =
Подставляем координаты направляющего вектора прямой = <-1; 1; 0>и координаты нормального вектора плоскости = <1; 0; 0>.
sin φ =
sin φ =
Изобразим угол между прямой и плоскостью, равный углу между направляющим вектором прямой и проекцией этого вектора на координатную ось Oy .
Ответ: угол между прямой и плоскостью φ = 45 0 .
Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью BCD 1.
37 Угол между двумя плоскостями
Две плоскости могут быть параллельны или пересекаться по прямой.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между двумя пересекающимися прямыми, проведенными перпендикулярно линии пересечения плоскостей.
Поэтому угол между плоскостями 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .
Если заданы две плоскости
то соответствующие нормальные векторы этих плоскостей 1 ( a 1; b 1; c 1) и 2 ( a 2; b 2; c 2). Косинус угла θ между нормальными векторами плоскостей
Если угол φ между плоскостями α и β равен углу θ между нормальными векторами этих плоскостей φ = θ, то
Если угол между плоскостями φ = 180 0 – θ, то
cos φ = cos (180 0 – θ ) = – cos θ .
Косинус угла между плоскостями
равен модулю косинуса угла между нормальными векторами 1 ( a 1; b 1; c 1) и 2 ( a 2; b 2; c 2) этих плоскостей
cos φ = | cos θ| =
или можно записать так
Для лучшего запоминания сформулируем следующее правило. П лоскости являются одинаковыми геометрическими объектами, поэтому и одинаковые тригонометрические функции cos присутствуют в формуле.
Косинус угла между плоскостями
cos φ =
Угол между п лоскостями
Если cos φ = 1, то угол φ между плоскостями равен 0 0 , можно принять для этих плоскостей один из нормальных векторов этих плоскостей, плоскости параллельны или совпадают. Если плоскости не совпадают, то они параллельны. Если плоскости совпадают, то любая точка одной плоскости принадлежит другой плоскости.
Если скалярное произведение нормальных ненулевых векторов 1 ( a 1; b 1; c 1) и 2 ( a 2; b 2; c 2) плоскостей равно нулю
и, следовательно, cos φ = 0, то угол φ между плоскостями 90 0 (плоскости перпендикулярны), плоскости пересекаются по прямой.
Если 0 ≤ cos φ 0 0 , плоскости пересекаются по прямой.
37.1 Алгоритм нахождения угла между двумя плоскостями
1. Задать систему координат с началом на линии пересечения плоскостей. Плоскости проходят через начало координат, поэтому d = 0.
2. В системе координат построить не менее двух точек, задающих каждую плоскость, между которыми требуется определить угол. Эти две точки необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.
3. Определить координаты заданных двух точек для каждой плоскости.
4. Задать один коэффициент уравнения плоскости равным 1, обычно принимается a = 1. Если какая-то координата равна 0, то принять за 1 необходимо коэффициент, соответствующий этой координате.
5. Составить систему двух уравнений для каждой из 2-х плоскостей. В каждой системе уравнений каждое уравнение соответствует каждой из 2-х точек на плоскости.
6. Решить системы уравнений и составить уравнения двух плоскостей, из которых определяются координаты двух нормальных векторов.
7. Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих плоскостей
cos φ = | cos θ| =
Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 заданы ребра: AB = 16, AD = 14, СС1 = 24. Найти угол между плоскостями ABC и A 1 DB .
38 Углы между векторами, прямыми и плоскостями
Косинус угла θ между двумя ненулевыми векторами = ( x 1; y 1; z 1) и = ( x 2; y 2; z 2)
cos θ =
Косинус угла φ между двумя прямыми или двумя плоскостями
cos φ =
где θ — угол между направляющими векторами прямых или нормальными векторами плоскостей.
Угол φ между двумя прямыми или двумя плоскостями
φ = arccos
Синус угла φ между прямой и плоскостью
sin φ =
где θ — угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.
Угол φ между прямой и плоскостью
φ = arc s in
39 Расстояние от точки до плоскости
Если известны координаты точки M 0 ( x 0; y 0; z 0) и уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0, то есть a, b и c одновременно не равны нулю ), то расстояние от данной точки до плоскости определяется следующим образом.
Проекцией точки M 0 на плоскость является точка M 1 ( x 1; y 1; z 1), поэтому вектор перпендикулярен плоскости и коллинеарен нормальному вектору плоскости ( a ; b ; c ). Следовательно,
= k .
Так как координаты нормального вектора плоскости (a; b; c), то координаты коллинеарного вектора k ( k a; k b; k c).
Координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора = ( x 1 – x 0; y 1 – y 0; z 1 – z 0), поэтому
= (x 1 – x 0 ; y 1 – y 0 ; z 1 – z 0 ) = k = ( k a; k b; k c);
Расстояние между точкой M 0 и плоскостью равно длине вектора , которая равна
| | = |k|| |
Длина нормального вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат
| |= | k |
Подстановка координат точки M 1 ( x 1; y 1; z 1) в уравнение плоскости дает равенство
Подставляем полученные ранее значения x 1, y 1, z 1
a(ka + x 0 ) + b(kb + y 0 ) + c(kc + z 0 ) + d = 0
Путем преобразований выразим k. Раскроем скобки
ka 2 + ax 0 + kb 2 + by 0 + kc 2 + cz 0 + d = 0,
ka 2 + kb 2 + kc 2 + ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0.
Вынесем k за скобку и перенесем члены, не содержащие k в правую часть равенства
k(a 2 + b 2 + c 2 ) = -(ax 0 + by 0 + cz 0 + d).
| |=
| |=
| |=
Расстояние от точки M 0 ( x 0; y 0; z 0) до плоскости, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0)
ℓ =
Расстояние между точкой и плоскостью равно модулю суммы произведений соответствующих координат нормального вектора и точки плюс d , деленного на длину (модуль) нормального вектора плоскости.
Другими словами р асстояние между точкой и плоскостью равно модулю левой части уравнения плоскости, в которую подставили координаты точки, деленного на длину (модуль) нормального вектора плоскости.
Желательно выбрать систему координат так, чтобы искомая плоскость проходила через начало координат, а так же, чтобы заданная точка M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) находилась на одной из осей координат. Тогда решаемая задача значительно упрощается за счет того, что d и две координаты точки нулевые. Уравнение расстояния от точки до плоскости значительно упрощается
ℓ =
в этом уравнении два члена в числителе обнулятся и останется один член.
Если заданная точка M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) совпадает с ось Ox, то координаты y, z точки равны нулю и получаем простейшее уравнение искомого расстояния, содержащее лишь координату x точки
ℓ =
Таким образом, е сли точка совпадает с ось Ox, то в уравнении присутствует лишь координата x точки.
Если заданная точка M 0 совпадает с ось O y , то координаты x , z точки равны нулю и получаем простейшее уравнение искомого расстояния
ℓ =
Таким образом, е сли точка совпадает с ось O y , то испо ль з уется лишь координата y точки.
Если заданная точка M 0 совпадает с ось O z , то координаты x , y точки равны нулю и получаем простейшее уравнение искомого расстояния
ℓ =
Таким образом, е сли точка совпадает с ось O z , то испо ль з уется лишь координата z точки.
Задача. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найти расстояние между плоскостью SAD и серединой ребра AB.
Задача. Определить общее уравнение плоскости
ax + by + cz + d = 0,
проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1). Найти расстояние от этой плоскости до точки M 0 (10; -3; -7).
Построим заданные точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1) в системе координат Oxyz .
Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений
; ;
Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 1; 1), в изображенной ранее системе координат он будет изображен точкой, поэтому покажем проекции нормального вектора на плоскости xOy , yOz , xOz .
Общее уравнение плоскости
Расстояние от точки M 0 до плоскости
ℓ =
ℓ =
40 Расстояние между двумя параллельными плоскостями
Плоскости параллельны, поэтому у них коллинеарные или равные нормальные векторы. Для параллельных плоскостей можно записать уравнения с равными коэффициентами a, b, c, одновременно не равны ми нулю ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0) и являющимися координатами нормального вектора одной из параллельных плоскостей
ax + by + cz + d 1 = 0;
ax + by + cz + d 2 = 0.
Достаточно определить расстояние от точки M 0 ( x 0; y 0; z 0) в какой-то плоскости до другой плоскости, заданной уравнением
ax + by + cz + d = 0
по ранее выведенной формуле
ℓ =
Если в условии задачи сказано, что плоскости параллельны, и требуется определить расстояние между этими плоскостями, то необходимо определить нормальный вектор (уравнение) одной из плоскостей, а также координаты точки в другой плоскости. Желательно для значительного упрощения задачи так задать систему координат, чтобы максимальное количество геометрических объектов совпадало с началом координат и осями координат.
Векторы на плоскости и в пространстве веб-страницы: 1 2 3
Вы можете поддержать развитие сайта, оплатить консультационные услуги Ольшевского Андрея Георгиевича
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/
http://super-code.ru/vektor-2/vektor-2.html
[/spoiler]
