Как найти направляющий вектор отрезка

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a→ является направляющий вектором прямой a, то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t·a→ при любом значении t, соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a1 являются параллельными, то вектор a→ будет направляющим и для a, и для a1.

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a, то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей Ox, Oy и Oz направляющими будут координатные векторы i→, j→ и k→.

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой Oxy, а потом с системой Oxyz, расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в Oxy можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x-x1ax=y-y1ay. С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a→=(ax, ay).

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида Ax+By+C=0. Если A=0, то исходное уравнение можно переписать как By+C=0. Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i→=1, 0.

А если B=0, то уравнение прямой мы можем записать как Ax+C=0. Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j→=0, 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

А как быть в случае, если ни один коэффициент в Ax+By+C=0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n→=A, B.

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках xa+yb=1 и  уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.  

Рассмотрим конкретную задачу.

Разберем  еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, будет перпендикулярен нормальным векторам n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2). То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2).

n1→×n2→=i→j→k→A1B1C1A2B2C2 – это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.

Направляющий вектор прямой

В геометрии можно встретить множество задач на изучение прямой в пространстве и ее свойств. В трехмерном пространстве рассматривают не только прямую, но и плоскость. Данные объекты достаточно просто задать, используя направляющие векторы.

Направляющим вектором прямой является любой ненулевой вектор, находящийся на рассматриваемой прямой или на прямой, параллельной ей.

Согласно определению, можно сделать вывод о существовании бесконечного множества направляющих векторов прямой, которая задана. Кроме того, какой-либо направляющий вектор прямой расположен либо на рассматриваемой прямой, либо на прямой, которая ей параллельна. Таким образом, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Отсюда следует, что при (vec{a}) направляющем векторе прямой а, каждое из направлений (t*vec{a}), где t определяется некоторым ненулевым действительным значением, также представляет собой направляющий вектор прямой а, что следует из условия коллинеарности векторов.

Исходя из термина направляющего вектора прямой, следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. По-другому, данное утверждение можно сформулировать так: в том случае, когда прямые а и а1 параллельны, вектор (vec{a}) является направляющим вектором прямой а, при этом вектор (vec{a}) также является направляющим вектором прямой а1.

Кроме того, из определений направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой следует, что каждый нормальный вектор прямой а является перпендикуляром каждому направляющему вектору прямой а.

На примере можно рассмотреть направляющий вектор прямой. Предположим, что в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz. Координатные векторы ( vec{i}, vec{j}, vec{k}) представляют собой направляющие векторы координатных прямых Ох, Оу, Оz соответственно.

Можно рассмотреть другой пример, где задан вектор (vec{v}). Его координаты известны (а; b; с). Так как имеется три координаты, то можно заключить, что вектор задан в пространстве. Для того чтобы изобразить рассматриваемый вектор в прямоугольной системе координат, на каждой из трех осей требуется отложить прямую, ограниченную двумя точками, то есть отрезок с длиной, равной соответствующей координате сектора.

Три перпендикуляра, которые восстановлены к плоскостям xy, yz и xz, будут пересекаться в точке, являющейся концом вектора. Начало вектора совпадает с точкой (0; 0; 0). Однако рассматриваемое положение вектора не единственное. Таким же образом можно задать вектор (vec{v}) с началом в произвольной точке пространства.

Отсюда следует вывод о невозможности задания конкретной прямой с помощью вектора. С его помощью можно определить комплекс из бесконечного числа параллельных прямых.

Далее можно отметить в пространстве какую-либо точку P(x0; y0; z0). Следует определить условие, что через данную точку должна проходить прямая. Таким образом, заданная точка будет располагаться на векторе (vec{v}). Исходя из этого, можно сделать вывод, что прямая, заданная с помощью (Р) и (vec{v}), является единственной. Уравнение данной прямой будет иметь вид:

(Q=P+lambda*vec{v})

 где Q является любой точкой, которая принадлежит рассматриваемой прямой.

Данная точка получается путем подбора соответствующего параметра (lambda). Представленная запись уравнения является векторной, а (vec{v}) представляет собой направляющий вектор прямой. В том случае, когда этот вектор пересекает Р и изменяется в длине по параметру (lambda), получается какая-либо точка Q прямой. Координатная форма уравнения:

((x;y;z) = (x_{0};y_{0};z_{0})+lambda*(a;b;c))

Параметрический вид уравнения:

(x=x_{0}+lambda*a;)

(y = y_{0}+lambda *b;)

(z = z_{0} + lambda *c)

Когда нужно знать направляющий вектор

Данные знания пригодятся при решении задач на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Кроме того, направляющий вектор используют для расчета расстояния между прямыми, а также точкой и прямой, описания поведения прямой относительно плоскости.

Одна прямая будет параллельна второй прямой в том случае, когда их направляющие вектора параллельны. Аналогично, перпендикулярность прямых доказывают через перпендикулярность их векторов. Подобные задачи предполагают необходимость определения скалярного произведения рассматриваемых векторов для получения ответа.

Когда требуется вычислить расстояние между прямыми и точками, целесообразно использовать формулу с направляющим вектором:

(d=frac{left|left[vec{P_{1}P_{2} }*vec{v}right]right|} {left| vec{v}right|})

В данном случае (vec{P_{1}P_{2} }) является построенным на точках P1 и P2 направленным отрезком. Точка P2 произвольно расположена на прямой с вектором (*vec{v}), а до точки Р1 требуется определить расстояние. Данная точка является самостоятельной, либо расположена на другой прямой или находится в другой плоскости.

Следует заметить, что рассчитывать расстояние целесообразно только между параллельными или скрещивающимися прямыми. В том случае, когда прямые пересекаются, d обладает нулевым значением. Записанная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой. Но при этом P1 расположена в рассматриваемой плоскости.

Задача на составление векторного уравнения

Представим, что имеется следующее уравнение прямой:

(y = 3 × x – 4)

Необходимо записать векторное уравнение данной прямой.

Допустимо переписать выражение в виде:

((x; y) = (x; 3 × x – 4))

При раскрытии данного уравнения будет получено выражение из условия.

Далее можно разделить правую часть уравнения на вектора таким образом, чтобы лишь один из них включал неизвестные:

((x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4))

Затем следует вынести х за скобки, обозначить его (lambda) и поменять вектора правой части местами:

((x; y) = (0; -4) + lambda * (1; 3))

Таким образом, получена векторная форма уравнения прямой из условия. Координаты ее направляющего вектора равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

Представим, что в пространстве задана пара прямых:

((x; y; z) = (1; 0; -2) + lambda * (-1; 3; 1);)

((x; y; z) = (3; 2; 2) + lambda * (1; 2; 0))

Необходимо определить, какие эти прямые: параллельные, скрещивающиеся или пересекающиеся. При этом ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) являются направляющими для заданных прямых. Можно выразить в параметрической форме рассматриваемые уравнения и подставить координаты первого во второе:

(x = 1 – lambda;)

(y = 3 * lambda;)

(z = -2 + lambda;)

(x = 3 + gamma = 1 – lambda => gamma = -2 – lambda;)

(y = 2 + 2 * gamma = 3 * lambda => gamma = 3 / 2 * lambda – 1;)

(z = 2 = -2 + lambda => lambda = 4)

При подстановке определенного параметра (lambda )в два уравнения выше, получится:

(gamma = -2 – lambda = -6;)

(gamma = 3 / 2 *lambda – 1 = 5)

Для параметра (gamma) не предусмотрено наличие сразу двух значений. Таким образом, прямые не обладают ни одной общей точкой, то есть являются скрещивающимися. Параллельность данных прямых исключается, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу, то есть для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго.

Математическое описание плоскости

Задать плоскость в пространстве можно путем приведения уравнения общего вида:

(A * x + B * y + C * z + D = 0)

В данном случае латинскими большими буквами обозначают конкретные числа. Первая тройка таких чисел определяет координаты нормального вектора плоскости. В том случае, когда он обозначен (vec{n}), можно записать: (vec{n} = (A; B; C)). Рассматриваемый вектор перпендикулярен к плоскости, поэтому его называют направляющим.

Его знание, а также известные координаты любой точки, находящейся на плоскости, однозначно задают последнюю. Если точка P (x1; y1; z1) плоскости принадлежит, то свободный член D рассчитывается следующим образом:

(D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1))

Уравнение прямой по направляющему вектору

Любой ненулевой вектор (vec{a} (а1; а2)) с компонентами, соответствующими условию А а1 + В а2 = 0, представляет собой направляющий вектор прямой.

Ах + Ву + С = 0

В качестве примера можно вывести уравнение прямой, которая проходит через точку А (1, 2) с направляющим вектором (vec{a} ) (1, -1). Для этого требуется записать уравнение в виде:

Ax + By + C = 0

Согласно определению, коэффициенты должны соответствовать следующим условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, то есть А = В

В таком случае:

Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0

Если х = 1, у = 2 получаем:

С/ A = -3

Таким образом:

х + у – 3 = 0

Общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид:

Ax + By + C = 0

где x, y – являются координатами точек прямой, A, B, C – определяются, как действительные числа при условии ({A^2} + {B^2} ne 0).

В том случае, когда прямая задана общим уравнением:

Ax + By + C = 0

В таком случае вектор:

(mathbf{n}left( {A,B} right))

Его координаты соответствуют коэффициентам A, B. Данный вектор представляет собой вектор нормали к данной прямой.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору представляет собой каноническое уравнение прямой и имеет вид:

(largefrac{{x – {x_1}}}{X}normalsize = largefrac{{y – {y_1}}}{Y}normalsize)

где вектор (mathbf{s}left( {X,Y} right)) направлен вдоль прямой, а точка (Pleft( {{x_1},{y_1}} right)) расположена на этой прямой.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

При рассмотрении данной темы стоит привязать рассматриваемую прямую и ее направляющие векторы к прямоугольной системе координат. Алгоритм действий:

• рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости;
• рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной системе координат Oxyz, принадлежащей трехмерному пространству.

Прямая линия в прямоугольной системе координат Oxy определяется некоторым уравнением прямой на плоскости. При этом направляющие вектора прямой в системе координат Oxy соответствуют координатам направляющих векторов.

Определить координаты направляющего вектора прямой при известном уравнении рассматриваемой прямой можно в том случае, когда прямая линия задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями.

Каноническое уравнение прямой на плоскости можно записать в виде:

(frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}})

Один из направляющих векторов этой прямой можно записать так:

(vec{a}(a_{x}; a_{y}))

Отсюда следует вывод о том, что числа в знаменателях канонического уравнения прямой соответствуют координатам направляющего вектора рассматриваемой прямой.

(frac{x-1}{4}=frac{y+1/2}{-3})

Необходимо рассчитать координаты любого направляющего вектора данной прямой.

Решение

Согласно каноническому уравнению прямой на плоскости, координаты какого-то из направляющих векторов рассматриваемой прямой соответствуют числам в знаменателях. Таким образом, искомый направляющий вектор обладает координатами (4; -3).

Ответ: (4; -3)

Подобным образом можно определить прямую с направляющим вектором (vec{a}(a_{x}; a_{y})) с помощью параметрических уравнений прямой на плоскости:

(x=x_{1}+a_{x}*lambda)

(y=y_{1}+a_{y}*lambda)

Таким образом, коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора прямой.

(x=-1)

(y=7-5*lambda)

При этом (lambda in R). Требуется определить координаты направляющих векторов заданной прямой.

Решение

В первую очередь следует преобразовать уравнение прямой:

(x=-1+0*lambda)

(y=7-5*lambda)

Коэффициенты с параметром (lambda) соответствуют координатам направляющего вектора прямой:

(vec{a}(0; -5))

Данный вектор является одним из направляющих векторов исходной прямой. Так как направляющие вектора прямой коллинеарны, их можно записать в виде: (t*vec{a}). В координатной форме запись будет иметь вид: ((0; -5*t)). В данном случае t является любым действительным числом, которое не равно нулю.

Ответ: ((0; -5*t), t in R, tneq 0)

Далее можно рассмотреть принцип поиска координат направляющего вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида: (Ax + By + C = 0.)

Ели А=0 в выражении Ах + Ву + С = 0, то уравнение будет записано в виде:

Ву + С = 0

Данное уравнение определяет прямую, которая параллельна оси абсцисс. Таким образом, направляющим вектором прямой (Ву + С = 0) является координатный вектор (vec{i}(1; 0).)

Если В=0, то запись общего уравнения прямой будет следующая:

(Ах + С = 0)

Данная прямая параллельна оси ординат. В связи с этим, ее направляющим вектором будет координатный вектор (vec{j}(1; 0).)

Решение

С помощью уравнения х-2=0 в прямоугольной системе координат Oxy можно задать прямую, которая будет параллельна оси Oy. Таким образом, роль ее направляющего вектора играет координатный вектор (vec{j}(0; 1).)

Ответ: (0; 1)

В том случае, когда общее уравнение прямой имеет вид (Ах + Ву + С = 0) с коэффициентами А и В, не равными нулю, координаты направляющего вектора находят одним из следующих методов:

• приведение заданного уравнения в канонический вид, что позволит распознать координаты направляющего вектора;
• поиск координат пары не совпадающих точек на данной прямой, принятие их в качестве начала и конца направляющего вектора прямой и определение его координат;
• поиск координат любого вектора, который перпендикулярен к нормальному вектору (vec{n}(A; B)) прямой (Ах + Ву + С = 0.)

(3х + 2у – 10 = 0)

Решение

В первую очередь необходимо привести общее уравнение прямой к каноническому виду. В данном случае в левой части выражения остается лишь слагаемое 3х, а остальные компоненты следует перенести в правую часть, меняя знак на противоположный:

(3х + 2у – 10 = 0)

(3х = -2у + 10)

Преобразованное равенство имеет вид:

(3х = -2у + 10)

(3х = -2(у -5))

(frac{x}{-2}=frac{y-5}{3})

Полученное уравнение позволяет сделать вывод о том, что координаты направляющего вектора равны (2;-3).

Ответ: (2;-3)

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом записывают в таком виде:

(y=kx+b)

Определить координаты направляющего вектора прямой, описанной данным уравнением, можно с помощью приведения рассматриваемого уравнения к общему виду. В процессе требуется перенести компоненты в левую часть:

(y−kx–b=0)

Далее можно прибегнуть к алгоритму, характерному для общего уравнения. Уравнение с угловым коэффициентом, преобразованное в каноническое, запишем следующим образом:

(x1=y−bk)

Таким образом, координаты направляющего вектора для данного случая равны:

(vec{S}=(1;k))

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(y = kx + b)

где (k = tanalpha) представляет собой угловой коэффициент прямой, число b определяется, как координата точки пересечения прямой с осью Oy.

Угловой коэффициент прямой рассчитывают с помощью уравнения:

(k = tan alpha = largefrac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}}normalsize,)

где (Aleft( {{x_1},{y_1}} right), Bleft( {{x_2},{y_2}} right)) – являются координатами двух точек, расположенных на прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту имеет вид:

(y = {y_0} + kleft( {x – {x_0}} right),)

где k – является угловым коэффициентом, а точка (Pleft( {{x_0},{y_0}} right) ) расположена на рассматриваемой прямой.

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline{S}$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline{S}$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline{r_0}$ и $overline{r}$. Вектор $overline{MM_0}$ при этом будет колинеарен вектору $overline{S}$.

Вектор $overline{r}$ можно выразить через сумму векторов $overline{MM_0}$:

$overline{r} = overline{r_0} + overline{MM_0}left(1right).$

Вектор $overline{MM_0}$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline{S}$ и связан с ним соотношением $overline{MM_0}= toverline{S}left(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

• Общее уравнение прямой;
• Уравнение с угловым коэффициентом;
• Через параметрические уравнения;
• Каноническое уравнение;
• С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

«Направляющий вектор прямой» 👇

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

$frac{x-x_0}{l}= frac{y-y_0}{m}left(4right)$

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

$overline{S}=(l; m)$.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac{x-x_1}{x_2 – x_1}= frac{y-y_1}{y_2-y_1}left(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline{S}$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид:
$begin{cases} x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end{cases}$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline{S}=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

$Ax = – By – C$

Теперь разделим всё на $A$:

$x=-frac{By}{A} – frac{C}{A}$

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

$frac{x}{B}=-frac{y}{A} – frac{C}{AB}$

$frac{x}{B} = frac{y + frac{C}{B}}{-A}left(7right)$

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline{S}$ будут равны $(B; -A)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

$y = kx + b$

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

$y – kx – b= 0$

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

$frac{x}{1}=frac{y-b}{k}$,

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline{S}= (1;k)$.



2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением , то вектор  является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение  задаёт прямую, которая параллельна оси  и координаты полученного направляющего вектора  удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор  в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение  задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора  на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой  по точке  и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой  восстанавливаем её направляющий вектор:  – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки  должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

 – получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!

Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору .

Решение: формула  не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
 – полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки  в уравнение :

 – получено верное равенство, значит, точка  удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби  гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы  состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?

2.2.2. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Шпора,
шпаргалка – аналитическая геометрия и
математический анализ (формулы, ответы,
определения)

1.
Векторы. Действия над векторами.

Вектором
называют упорядоченная совокупность
чисел Х={X₁,X₂,…X_n}
вектор дан в n-мерном пространстве.
Т(X₁,X₂,X₃).
n=1,2,3. Геометрический вектор – направленный
отрезок. |AB|=|a|
– длинна. 2 вектора наз. коллинеарными,
если они лежат на 1 прямой или ||-ных
прямых. Векторы наз. компланарными, если
они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных
плоскостях. 2 вектора равны, когда они
коллинеарны, сонаправленны, и имеют
одиннаковую длинну.

1.умножение
на число: произведение вектора А на
число l наз. такой вектор В, который
обладает след. св-ми: а) А||В.б)
l>0, то АВ, l<0,
то А¯В.
в)l>1, то А<В,
)l<1, то А>В.
2. Разделить вектор на число n значит
умножить его на число, обратное
n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой
неск-их векторов а и в наз.
соединяющий начало 1-го и конец последнего
вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся
вектор c,
который, будучи сложенным с вектором в даст
вектор а.

2-3.
Декартова прямоугольная система
координат. Базис.

Базисом
на плоскости называется совокупность
фиксированной точки и 2х неколлинеарных
векторов, проведенных к ней.

Базисом
в пространстве наз. совокупность
фиксированной точки в пространстве и
3х некомпланарных векторов.

Любой
вектор на плоскости может быть разложен
по векторам базиса на плоскости. Любой
вектор в пространстве может быть разложен
по векторам базиса в пространстве.

ОС=OA+OB,
OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj.
Числа
х,у наз-ся координатами вектора ОС в
данном базисе

4.
Действия над векторами.

а=х₁i+y₁j+z₁k; b=х₂i+y₂j+z₂k

l*a=l(х₁i+y₁j+z₁k)=
l(х₁)i+l
(y₁)j+l(z1)k

a±b=(x₁±x₂)i+(y₁±y₂)j+(z₁±z₂)k

ab=x₁x₂ii+y₁x₂ij+x₂z₁ki+x₁y₂ij+y₁y₂jj+
z₁y₂kj+x₁z₁ik+y₁z₂jk+z₁z₂kk=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii=1; ij=0;
и т.д.

скалярное
произведение 2х векторов равно сумме
произведений соответствующих координат
этих векторов.

аа=x²+y²+z²=|a|² a{x,y,z}, aa=|a|*|a|,
то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cosj

а)ав=0,<=>а^в,
x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б)а||в –
коллинеарны, если , x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

5.
Скалярное произведение векторов и его
свойства.

-(“skala”-шкала)
2х векторов а и в наз.
число, равное произведению длин этих
векторов на cos угла между ними. (а,в)-
скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cosj,
j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0.
Равенство “0” скаляргного произведения
необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности (ортогональности).

6.
Векторное произведение 2х векторов.

левая
—– правая

Тройка
векторов а,в,с наз.
правоориентированной (правой), если с
конца 3го вектора с кратчайший
поворот от 1го ко 2му вектору мы будем
видеть против час. стрелки. Если кратчайший
поворот от 1го ко 2му по час. стрелки –
левая. Векторным произведением 2х
векторов а и в наз.
такой вектор с,
который удовлетворяет условиям: 1.
|c|=|a|*|b|*sinj.
2. c^a и c^b.
3. тройка а,в,с-правая.

7.
Смешанное произведение векторов и его
свойства.

Смешанным
произведением векторов наз.
векторно-скалярное произведение,
являющееся числом:a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c],
где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва:
1.
При
перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2.
не меняется при перестановке циклических
сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич.
смысл) необходимым и достаточным условием
компланарности 3х векторов явл.
равенство a*b*c=0

 
б)если
некомпланарные вектора a,b,c привести
к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда,
построенного на этих векторах

если a*b*c>0,
то тройка a,b,c –
правая

если a*b*c<0,
то тройка a,b,c –
левая

8.
Уравнение линии и поверхности.

1.
Уравнение сферы. Сфера- геометрическое
место точек, равноудаленных от 1ой точки,
называемой центром.

O(a,b,c)

|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²–
уравнение сферы. x²+y²+z²=r²–
ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0-
ур-е поверхности – ур-ю, удовлетворяющему
координатам x,y,z любой точки, лежащей на
поверхности.

2.
Уравнение окружности

|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²–
ур-е окружности

а=b=0,
то x²+y²=r²

F(x,y)=0-
ур-е линии на плоскости.

9.
Плоскость в пространстве.

Ур-е
в плоскости, проходящей через данную
точку, перпендикулярно заданному
вектору.

N-вектор
нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Для
того, чтобы точка MÎP, необходимо и
достаточно чтобы вектора N^M₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0
– ур-е плоскости, проходящей через данную
точку ^вектору.

10.
Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D,
где
D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный
случай:

Если
D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если
A=0, то By+Сz+D=0

Если
B=0, то Ax +Сz+D=0

Если
C=0, то Ax+By+D=0

Если
A=B=0, то Сz+D=0

Если
A=C=0, то By+D=0

Если
A=D=0, то By+Сz=0

Если
B=D=0, то Ay+Сz=0

11.
Взаимное расположение плоскостей.

N₁,N₂-нормальные
векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть
P^Q<=>N₁^N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0
условие перпендикулярности P^Q.

2)
Пусть P^Q<=> N₁^N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂–
Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂–
Условие совпадения 2х плоскостей.

12.
Каноническое уравнение прямой в
пространстве.

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Чтобы
точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх.
и достаточно, чтобы M₀M||S

13.
Уравнение прямой в пространстве,
проходящей ч/з 2 заданные точки.

     
l       
m     n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Общее
уравнение прямой в пространстве.

Для
того, чтобы перейти от общего к
каноническому ур-ю прямой, надо задать
начальную точку и направляющий вектор:

1.
Найдем начальную точку:

Z=0 

M₀(x₀,y₀,0),
т.к. Z=0

2.
Найдем направляющий вектор S-?

P^N₁{A₁,B₁,C₁}

Q^N₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂

16. Взаимное расположение прямой на плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то  

б)

p
q<=> N₁||N₂,
то
A₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||q<=> N₁^N₂,
то
A₁A₂+B₁B₂=0

17. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала
запишем ур-е прямой, проходящей через
заданную точку ^ заданному вектору.

M₀(x₀,y₀)

M₀M{x-x₀,y-y₀}

n*M₀M=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общее
уравнение прямой на плоскости.

18-19.
Каноническое уравнение прямой линии
на плоскости. Уравнение прямой, проходящей
через 2 точки. Уравнение с угловым
коэффициентом.

y-y₁=k₁(x-x₁)

y=k₁x-k₁x₁+y₁

y₁-k₁x₁=b

y=k₁x+b

ур-е
прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть
даны 2 точки M₁(x₁,y₁),
M₂(x₂,y₂)
и x₁¹x₂,
y₁¹y₂.
Для составления уравнения прямой
М₁М₂ запишем
уравнения пучка прямых, проходящих
через точку М₁:
y-y₁=k(x-x₁).
Т.к. М₂лежит
на данной прямой, то чтобы выделить ее
из пучка, подставим координаты точки
М₂ в
уравнение пучка М₁:
y-y₁=k(x-x₁)
и найдем k:

Теперь
вид искомой прямой имеет вид:

 или
:

Уравнение
прямой, проходящей ч/з 2

20-21.
Угол между прямыми на плоскости. Условия
|| и^.

а) 

    

S₁{l₁,m₁} S₂{l₂,m₂},

или

p:y=k₁x+b₁,
k₁=tgj₁

q:y=k₂x+b₂,
k₂=tgj₂ =>tgj=tg(j₂-j₁)=

=(tgj₂-tgj₁)/(1+
tgj₁tgj₂)=

=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

б)
p||q, tgj=0, k₁=k₂

в)p^q,то 

22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.

1.
Ax+By+C=0, M₀(x₀,y₀)

2.
Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

23. Кривые линии 2-го порядка.

Кривые
2го порядка описываются с помощью общего
ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0,
где

а)
Каноническое ур-е эллипса

 –
Каноническое ур-е эллипса

Если
a=b, то x²+b²=a² –
ур-е окружности.

б)
Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в)
ур-е параболы: y²=2px
или y=ax²

г)
ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д)
ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

24. Парабола и ее свойства.

Множество
точек плоскости, координаты которых по
отношению к системе декартовых координат
удовлетворяет уравнению y=ax²,
где х и у – текущие координаты, а- нек.
число, наз. параболой.

Если
вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично
отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично
отн. оси ОУ

Точка
F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая 
x=-p/2 – ее директриса.

Любой
точке М(х,у), принадлежащей параболе,
расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1.
парабола предст. собой ¥ точек плоскости,
равноотстающих от фокуса и от директрисы
y=ax².

25.Эллипс и его свойства:

Кривая
второго порядка наз. эллипсом если
коэффициенты А и L имеют одинаковые
знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е 

наз.
канонич. ур.-ем эллипса, где При
а=в представляет собой ур-е окружности
х²+y²=а²

Точки
F₁(-c,0)
и F₂(c,0)
– наз. фокусами эллипса а.

Отношение
e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки
A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины
эллипса.

Св-во:
Для
любой точки эллипса сумма расстояний
этой точки до фокусов есть величина
постоянной, =2а.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #