Как найти направляющий вектор плоскости по уравнению - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Направляющий вектор прямой: определение и примеры

Важным геометрическим объектом, который изучают в плоском пространстве, является прямая. В трехмерном же пространстве, помимо прямой, появляется еще плоскость. Оба объекта удобно задавать с помощью направляющих векторов. Что это такое, как применяют эти вектора для определения уравнений прямой и плоскости? Эти и другие вопросы освещаются в статье.

Прямая и способы ее задавания

Каждый школьник хорошо представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. С точки зрения математики, прямая представляет собой набор точек, которые в случае их попарного произвольного соединения между собой приводят к получению совокупности параллельных векторов. Это определение прямой используют для написания уравнения для нее как в двумерном, так и в трехмерном пространстве.

Вам будет интересно: Шаболда — это слово с непростой судьбой

Для описания рассматриваемого одномерного объекта пользуются разными видами уравнений, которые перечислены в списке ниже:

общего вида;
параметрическое;
векторное;
каноническое или симметричное;
в отрезках.

Каждый из названных видов имеет некоторые преимущества по отношению к другим. Например, уравнением в отрезках удобно пользоваться при изучении поведения прямой относительно осей координат, уравнение общего вида удобно при нахождении направления, перпендикулярного заданной прямой, а также при вычислении угла ее пересечения с осью x (для плоского случая).

Вам будет интересно: Телескопы рефлекторные: описание, устройство, история создания

Поскольку тема данной статьи связана с направляющим вектором прямой, то далее будем рассматривать только уравнение, где этот вектор является принципиальным и содержится явно, то есть векторное выражение.

Задание прямой через вектор

Предположим, что у нас имеется некоторый вектор v¯ с известными координатами (a; b; c). Поскольку координат три, то вектор задан в пространстве. Как изобразить его в прямоугольной системе координат? Делается это очень просто: на каждой из трех осей откладывается отрезок, длина которого равна соответствующей координате вектора. Точка пересечения трех перпендикуляров, восстановленных к плоскостям xy, yz и xz, будет концом вектора. Началом же его является точка (0; 0; 0).

Тем не менее приведенное положение вектора не является единственным. Аналогичным образом можно нарисовать v¯, располагая его начало в произвольной точке пространства. Эти рассуждения говорят о том, что задать конкретную прямую с помощью вектора нельзя. Он задает семейство из бесконечного числа параллельных прямых.

Вам будет интересно: Формула угла между плоскостью и прямой. Примеры использования формулы

Теперь зафиксируем некоторую точку P(x0; y0; z0) пространства. И зададим условие: через P должна проходить прямая. В этом случае вектор v¯ тоже должен содержать эту точку. Последний факт означает, что можно задать одну единственную прямую, используя P и v¯. Она запишется в виде следующего уравнения:

Здесь Q – любая точка, принадлежащая прямой. Эту точку можно получить, подобрав соответствующий параметр λ. Записанное уравнение называется векторным, а v¯ получил название направляющего вектора прямой. Располагая его так, чтобы он проходил через P, и изменяя его длину с помощью параметра λ, мы получаем каждую точку Q прямой.

В координатной форме уравнение запишется так:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)

И в явном (параметрическом) виде можно записать:

Если в приведенных выражениях исключить третью координату, то мы получим векторные уравнения прямой на плоскости.

Для каких задач полезно знать направляющий вектор ?

Как правило, это задачи на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Также определяющий направление прямой вектор используется при вычислении дистанции между прямыми и точкой и прямой, для описания поведения прямой относительно плоскости.

Две прямые будут параллельными, если таковыми являются их направляющие вектора. Соответственно, перпендикулярность прямых доказывается с помощью перпендикулярности их векторов. В этих типах задач достаточно рассчитать скалярное произведение рассматриваемых векторов, чтобы получить ответ.

В случае задач на вычисление расстояний между прямыми и точками направляющий вектор входит явно в соответствующую формулу. Запишем ее:

Здесь P1P2¯ – построенный на точках P1 и P2 направленный отрезок. Точка P2 является произвольной, лежащей на прямой с вектором v¯, точка же P1 является той, до которой следует определить расстояние. Она может быть как самостоятельной, так и принадлежать другой прямой или плоскости.

Отметим, что рассчитывать расстояние между прямыми имеет смысл только тогда, когда они являются параллельными или скрещивающимися. Если же они пересекаются, то d равно нулю.

Приведенная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой, только в этом случае P1 должна принадлежать плоскости.

Решим несколько задач, чтобы нагляднее показать, как пользоваться рассматриваемым вектором.

Задача на составление векторного уравнения

Известно, что прямая описывается следующим равенством:

Следует написать соответствующее выражение в векторной форме.

Это типичное уравнение прямой, известное каждому школьнику, записано в общем виде. Покажем, как его переписать в векторной форме.

Выражение можно представить в виде:

Видно, что если его раскрыть, то получится исходное равенство. Теперь разделим его правую часть на два вектора так, чтобы только один из них содержал иксы, имеем:

(x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4)

Остается вынести x за скобки, обозначить его греческим символом и поменять вектора правой части местами:

(x; y) = (0; -4) + λ × (1; 3)

Мы получили векторную форму записи исходного выражения. Координаты направляющего вектора прямой равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

В пространстве заданы две прямые:

(x; y; z) = (1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z) = (3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Они являются параллельными, скрещивающимися или пересекающимися?

Ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) будут направляющими для этих прямых. Выразим в параметрической форме эти уравнения и подставим координаты первого во второе. Получаем:

x = 3 + γ = 1 – λ => γ = -2 – λ;

y = 2 + 2 × γ = 3 × λ => γ = 3 / 2 × λ – 1;

z = 2 = -2 + λ => λ = 4

Подставляем найденный параметр λ в два уравнения выше, получаем:

γ = 3 / 2 × λ – 1 = 5

Параметр γ не может одновременно принимать два разных значения. Это означает, что прямые не имеют ни одной общей точки, то есть являются скрещивающимися. Параллельными они не являются, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу (для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго).

Математическое описание плоскости

Для задания плоскости в пространстве приведем уравнение общего вида:

A × x + B × y + C × z + D = 0

Здесь латинские большие буквы представляют собой конкретные числа. Первые три из них определяют координаты нормального вектора плоскости. Если его обозначить n¯, тогда:

Этот вектор является перпендикулярным плоскости, поэтому его называют направляющим. Его знание, а также известные координаты какой-либо точки, принадлежащей плоскости, однозначно задают последнюю.

Если точка P(x1; y1; z1) плоскости принадлежит, тогда свободный член D рассчитывается следующим образом:

D = -1 × (A × x1 + B × y1 + C × z1)

Решим пару задач с использованием общего уравнения для плоскости.

Задача на нахождение нормального вектора плоскости

Плоскость задана в следующем виде:

(y – 3) / 2 + (x + 1) / 3 – z / 4 = 1

Как найти направляющий вектор для нее?

Из приведенной выше теории следует, что координаты нормального вектора n¯ являются коэффициентами, стоящими перед переменными. В связи с этим для нахождения n¯ следует записать уравнение в общем виде. Имеем:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y – 1 / 4 × z – 13 / 6 = 0

Тогда нормальный вектор плоскости равен:

Задача на составление уравнения плоскости

Даны координаты трех точек:

Как будет выглядеть уравнение плоскости, содержащей все эти точки.

Через три точки, которые одной прямой не принадлежат, можно провести только одну плоскость. Чтобы найти ее уравнение, сначала вычислим направляющий вектор плоскости n¯. Для этого поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, принадлежащие плоскости, и вычислим их векторное произведение. Оно даст вектор, который этой плоскости будет перпендикулярен, то есть n¯. Имеем:

M1M2¯ = (1; -1; 5); M1M3¯ = (-1; -2; -2);

n¯ = [M1M2¯ × M1M3¯] = (12; -3; -3)

Возьмем точку M1 для составления выражения плоскости. Получаем:

D = -1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0) = -12;

12 × x – 3 × y – 3 × z – 12 = 0 =>

4 × x – y – z – 4 = 0

Мы получили выражение общего типа для плоскости в пространстве, определив сначала направляющий вектор для нее.

Свойство векторного произведения следует запомнить при решении задач с плоскостями, поскольку оно позволяет простым способом определять координаты нормального вектора.

Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a → является направляющий вектором прямой a , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t · a → при любом значении t , соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a 1 являются параллельными, то вектор a → будет направляющим и для a , и для a 1 .

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей O x , O y и O z направляющими будут координатные векторы i → , j → и k → .

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой O x y , а потом с системой O x y z , расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x – x 1 a x = y – y 1 a y . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x – 1 4 = y + 1 2 – 3 . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4 , – 3 . Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: 4 , – 3 .

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = – 1 y = 7 – 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.

Решение

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = – 1 + 0 · λ y = 7 – 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = ( 0 , 5 ) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , – 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: 0 , – 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .

А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x – 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) . Он будет для нее направляющим.

Ответ: ( 0 , 1 )

А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y – 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

3 x + 2 y – 10 = 0 ⇔ 3 x = – 2 y + 10

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

3 x = – 2 y + 10 ⇔ 3 x = – 2 ( y – 5 ) ⇔ x – 2 = y – 5 3

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Вектор a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z

2) параметрического уравнения прямой в пространстве x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.

Рассмотрим конкретную задачу.

Прямая в пространстве задана уравнением вида x – 1 4 = y + 1 2 0 = z – 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , – 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , – 3 · t при условии, что t является действительным числом.

Ответ: 4 · t , 0 , – 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = – 4 – λ .

Решение

Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = – 4 – 1 · λ .

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 – это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z – 1 = 0 2 x + 4 y – 4 z + 5 = 0 .

Решение

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z – 1 = 0 и 2 x + 4 y – 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , – 4 .

У нас получится:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 – 4 = i → · 2 · ( – 4 ) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 – – k → · 2 · 2 – i → · 3 · 4 – j → · 1 · ( – 4 ) = – 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →

Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = – 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = – 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: – 20 , 10 , 0

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.

Направляющий вектор прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный прямой, которую он определяет или совпадающий с ней.

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline$ и $overline$. Вектор $overline$ при этом будет колинеарен вектору $overline$.

Вектор $overline$ можно выразить через сумму векторов $overline$:

$overline = overline + overlineleft(1right).$

Вектор $overline$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline$ и связан с ним соотношением $overline= toverline~~left(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.~~

Рисунок 1. Направляющий вектор прямой L

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

$overline = overline + toverline~~left(3right)$~~

Данное равенство носит название векторного уравнения прямой.

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

Общее уравнение прямой;

Уравнение с угловым коэффициентом;

Через параметрические уравнения;

Каноническое уравнение;

С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

Готовые работы на аналогичную тему

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac= fracleft(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline~~$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.~~

Даны две точки $(5; 10)$ и $(2;1)$. Составьте уравнение прямой и выпишите координаты направляющего вектора.

Подставим координаты данных точек в уравнение $(5)$ и получим:

Ответ: координаты направляющего вектора $overline~~$ равны $(3;9)$.~~

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид: $begin x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline~~=(l; m)$.~~

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

Теперь разделим всё на $A$:

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline~~$ будут равны $(B; -A)$.~~

Дано общее уравнение прямой $6x-7y + 5 = 0$. Получите направляющий вектор для данной прямой.

Воспользуемся уравнением прямой $(7)$. Из этого уравнения получается, что координаты направляющего вектора равны $(6;7)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline~~= (1;k)$.~~

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25.02.2022

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/napravljajuschij-vektor-prjamoj-koordinaty-napravl/

http://spravochnick.ru/matematika/napravlyayuschiy_vektor_pryamoy/

[/spoiler]

Источник

Что такое направляющий вектор прямой

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Определение 1

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a→ является направляющий вектором прямой a, то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t·a→ при любом значении t, соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a1 являются параллельными, то вектор a→ будет направляющим и для a, и для a1.

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a, то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей Ox, Oy и Oz направляющими будут координатные векторы i→, j→ и k→.

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой Oxy, а потом с системой Oxyz, расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в Oxy можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x-x1ax=y-y1ay. С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a→=(ax, ay).

Приведем пример задачи.

Пример 1

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x-14=y+12-3. Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4, -3. Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: 4, -3.

Пример 2

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x=-1y=7-5·λ, при этом λ∈R. Найдите координаты направляющих векторов.

Решение

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x=-1+0·λy=7-5·λ. Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a→=(0, 5). Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t·a→ или 0, -5·t, где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: 0, -5·t, t∈R, t≠0

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида Ax+By+C=0. Если A=0, то исходное уравнение можно переписать как By+C=0. Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i→=1, 0.

А если B=0, то уравнение прямой мы можем записать как Ax+C=0. Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j→=0, 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

Пример 3

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x-2=0. Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j→=(0, 1). Он будет для нее направляющим.

Ответ: (0, 1)

А как быть в случае, если ни один коэффициент в Ax+By+C=0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Пример 4

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3x+2y-10=0. Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

3x+2y-10=0⇔3x=-2y+10

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

3x=-2y+10⇔3x=-2(y-5)⇔x-2=y-53

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2, 3

Ответ: -2, 3

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках xa+yb=1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Определение 2

Вектор a→=(ax, ay, az) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

2) параметрического уравнения прямой в пространстве x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

Рассмотрим конкретную задачу.

Пример 5

Прямая в пространстве задана уравнением вида x-14=y+120=z-3. Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4, 0, -3. Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4·t, 0, -3·t при условии, что t является действительным числом.

Ответ: 4·t, 0, -3·t, t∈R, t≠0

Пример 6

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x=2y=1+2·λz=-4-λ.

Решение

Перепишем данные уравнения в виде x=2+0·λy=1+2·λz=-4-1·λ.

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Ответ: 0, 2, -1

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, будет перпендикулярен нормальным векторам n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2). То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2).

n1→×n2→=i→j→k→A1B1C1A2B2C2 – это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Пример 7

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x+2y+3z-1=02x+4y-4z+5=0.

Решение

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x+2y+3z-1=0 и 2x+4y-4z+5=0. У них следующие координаты: 1, 2, 3 и 2, 4, -4.

У нас получится:

n1→×n2→=i→j→k→12324-4=i→·2·(-4)+j→·3·2+k→·1·4–k→·2·2-i→·3·4-j→·1·(-4)=-20·i→+10·j→+0·k→

Выходит, что вектор n1→×n2→=-20·i→+10·j→+0·k→⇔n1→×n2→=-20, 10, 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: -20, 10, 0

Источник

Основные виды
уравнений плоскости.

–общее
уравнение плоскости
;

2)
– уравнение плоскости, проходящей через
точкуМ₁(
x₁,
y₁,
z₁)
перпендикулярно нормальному вектору

;

–уравнение
плоскости в отрезках,
где а,
b,
с
– величины отрезков, отсекаемых
плоскостью на координатных осях Ох
,Оy,
Оz
соответственно ;

–уравнение
плоскости,
проходящей
через три точки
М₁(
x₁,
y₁,
z₁) , М₂(
x₂,
y₂,
z₂) , М₃(
x₃,
y₃,
z₃).

Основные виды
уравнений прямой.

–общее
уравнение прямой,
как пересечение двух плоскостей , где
направляющий вектор прямой находится
из векторного произведения нормальных
векторов плоскостей

;

–каноническое
уравнение прямой
или уравнение прямой , проходящей через
точку М₁(
x₁,
y₁,
z₁)
параллельно вектору ;.

– уравнение
прямой, проходящей через
две точки
М₁(
x₁,
y₁,
z₁) и
М₂(
x₂,
y₂,
z₂);

–векторное
уравнение прямой,
где
– радиус-вектор точки, лежащей на прямой,– направляющий вектор прямой, или в
параметрической форме.

Расстояние
от точки
до плоскости

определяется по формуле.

Угол
между двумя прямыми,
заданными в канонической форме
, определяется
как угол между их направляющими векторами

Угол
между прямой

и
плоскостью
определяется так :

Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(1,2,3)
параллельно прямой
.

Решение.
Так как прямые параллельны, значит
направляющий вектор для искомой прямой
будет таким же, как и для данной, т.е.
.
Поэтому применяем каноническое уравнение
прямой, проходящей через точкуА
(1,2,3)
параллельно вектору
, т.е..

Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А(2,-3,5)
параллельно прямой, заданной в виде
пересечения двух плоскостей:
.

Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей

Тогда
каноническое уравнение прямой, проходящей
через точку А(2,-3,5)
параллельно вектору
будет.

Задача.
Дана пирамида АВСD
с вершинами
А(1,5,7),
В(-1,0,1), С
( 3,-2,4 ), D
( 0,1,-1 ). Найти
угол между ребром АD
и гранью
АВС .

Решение.
Найдем
уравнение грани АВС
, т.е.
уравнение плоскости, проходящей через
три точки А
,
В и С
.

Уравнение
ребра AD
– уравнение
прямой, проходящей через две точки А
и D
:

Тогда
угол между ребром и гранью будем находить
по формуле угла между прямой и плоскостью:

Задача.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку А(1,2,3)
и через прямую, данную в виде пересечения
двух плоскостей

Решение.
Воспользуемся
уравнением пучка плоскостей, проходящих
через данную прямую
.
Так как плоскость должна проходить
через точкуА,
то, подставив ее координаты в уравнение
пучка, найдем λ
:

Теперь,
подставив λ
в уравнение
пучка, получим искомую плоскость:

Задача.
Найти точку
пересечения прямой
и плоскости
.

Решение.
Параметрически уравнения прямой
запишутся в виде
.
Далее, подставив в уравнение плоскости,
найдемt
:
.

По
данному t
найдем
координаты точки пересечения

Задание 4.1.

Даны
координаты вершин пирамиды АВСD.
Найти:

1)
Уравнение грани АВС;

2)
Уравнение высоты DM,
опущенной из точки D
на грань АВС;

3)
Длину высоты ДМ;

4)
Уравнение ребра DC;

5)
Угол наклона ребра DC
к плоскости АВС.

1.
А(-3;-2;-4), B(-4;2;-7),
C(5;0;3),
D(-1;3;0)

2.
A(2;-2;1), B(-3;0;-5), C(0;-2;-1), D(-3;4;2)

3.
A(5;4;1), B(-1;-2;-2), C(3;-2;2), D(-5;5;4)

4.
A(3;6;-2), B(0;2;-3), C(1;-2;0), D(-7;6;6)

5.
A(1;-4;1), B(4;4;0), C(-1;2;-4), D(-9;7;8)

6.
A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4), D(3;1;-4)

7.
A(0;6;-5), B(8;2;5), C(2;6;-3), D(5;0;-6)

8.
A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1), D(7;-1;-8)

9.
A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4), D(9;-2;-10)

10.
A(3;4;-1), B(2;-4;2), C(5;6;0), D(11;-3;-12)

11.
A(2;1;3), B(3;-2;-4), C(-1;-3;-2), D(5;-3;4)

12.
A(4;1;1), B(-2;-1;3), C(1;-3;-4), D(6;-5;5)

13.
A(-3;-2;2), B(0;1;5), C(1;-2;-2), D(-1;9;-2)

14.
A(-1;0;4), B(2;2;5), C(3;2;4), D(2;3;1)

15.
A(-2;0;5), B(1;-4;-6), C(3;2;4), D(2;3;1)

16.
A(2;1;-1), B(0;3;-1), C(5;2;1), D(-2;-1;5)

17.
A(2;3;0), B(3;4;1), C(-2;5;-1), D(3;4;-5)

18.
A(-3;0;-4), B(2;7;2), C(4;-1;-1), D(-3;-2;7)

19.
A(1;-4;-4), B(-1;0;-3), C(2;5;1), D(5;6;-9)

20.
A(3;2;0), B(5;-2;-1), C(-4;3;-3), D(2;3;-3)

21.
A(1;1;1), B(6;3;2), C(0;7;1), D(2;3;4)

22.
A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5)

23.
A(-1;2;0), B(8;1;1), C(2;7;-1), D(4;3;6)

24.
A(-1;-1;0), B(9;2;1), C(0;8;-1), D(4;4;7)

25.
A(0;1;0), B(8;2;1), C(1;7;2), D(3;5;1)

Задание 4.2.

Даны
координаты точек А,
В, С. Требуется:

1)
составить каноническое уравнение
прямой АВ;

2)
составить уравнение прямой, проходящей
через точку С
параллельно прямой АВ;

3)
составить уравнение плоскости, проходящей
через точку С
перпендикулярно
прямой АВ;

4)
найти следы этой плоскости на
координатных плоскостях.

1.
A(3;-1;5), B(7;1;1), C(4;-2;1). 2. A(-1;2;3), B(3;4;-1),
C(0;1;-1).

3.
A(2;-3;7), B(6;-1;3), C(3;-4;3). 4. A(0;-2;6), B(4;0;2),
C(1;-3;2).

5.
A(-3;1;2), B(1;3;-2), C(-2;0;-2). 6. A(-2;3;1), B(2;5;-3),
C(-1;2;-3).

7.
A(-4;0;8), B(0;2;4), C(-3;-1;4). 8. A(1;4;0), B(5;6;-4),
C(2;3;-4).

9.
A(4;-4;9), B(8;-2;5), C(5;-5;5). 10. A(5;5;4), B(9;7;0),
C(6;4;0).

11.
A(3;0;4), B(5;2;6), C(2;3;-3). 12. A(3;-2;2), B(-3;1;2),
C(-1;2;1).

13.
A(1;-1;1), B(-2;1;3), C(4;-5;-2). 14. A(3;-1;2), B(4;-1;-1),
C(2;0;2).

15.
A(-1;2;1), B(-3;1;2), C(3;-2;2). 16. A(9;-11;5), B(7;4;2),
C(-7;13;-3).

17.
A(2;4;-1), B(2;-4;2), C(3;6;0). 18. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5),
C(0;4;-4).

19.
A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1). 20. A(4;6;-1), B(7;2;4),
C(-2;0;-4).

21.
A(3;3;0), B(-1;2;-4), C(-9;7;8). 22. A(7;2;4), B(-2;0-4),
C(3;1;-4).

23.
A(8;2;5), B(2;6;-3), C(5;0;-6). 24. A(0;-6;1), B(4;2;1),
C(7;-1;-8).

25.
A(1;8;-5), B(0;4;-4), C(9;-2;-10).

Задание 4.3.

Даны
уравнение прямой в виде пересечения
двух плоскостей и координаты точки А.
Требуется:

1)
составить уравнение плоскости,
проходящей через данную прямую и точку
А;

2)
составить каноническое уравнение
прямой, проходящей через точку А
и параллельно оси ОX;

3)
найти угол между полученной прямой
и плоскостью;

4)
найти расстояние от начала координат
до плоскости.

1.
2x-y-3z=-1 A(3;0;2)

x+5y+z=0

2.
x+2y+3z=1 A(1;2;0)

2x-3y+2z=9

3.
x+y – z=1 A(-1;2;1)

8x+3y-6z=2

4.
x+y-z=-2 A(2;-3;0)

4x-3y+z=1

5.
2x+5y-3z=4 A(0;4;-2)

4x-3y+2z=9

6.
2x+7y-z=8 A(-3;0;5)

x+2y+z=4

7.
3x+4y+2z=8 A(1;3;0)

x+5y+z=0

8.
x-4y-2z=-3 A(5;1;-2)

3x+y+z=5

9.
x+y-z=1 A(-2;0;1)

x+2y+z=4

10.
3x+y+z=5 A(0;-5;2)

4x-3y+z=1

11.
x+4y-5z=-1 A(2;-1;2)

2x-y+3z=-2

12.
x+y-2z=-1 A(2;0;-1)

3x-y+z=2

13.
2x-y+z=3 A(1;1;-2)

2x+4y-z=4

14.
x+2y-3z=1 A(0;2;1)

2x-y+2z=-2

15.
3x-y+z=-2 A(1;-1;2)

x+2y-z=1

16.
2x-y+3z=6 A(1;2;4)

x+2y-z=-3

17.
3x+y+z=4 A(1;3;2)

x +3z=5

18.
3x+2y-5z=4 A(2;1;2)

x-2y+3z=4

19.
3x-5y+z=8 A(-1;2;3)

2x+y-z=-2

20.
2x-3y-3z=9 A(2;-5;3)

x-2y+z=-3

21.
x+y+z=3 A(1;1;7)

2x-3y+z=5

22.
x-y+2z=4 A(1;2;1)

2x+y+z=3

23.
x+y+2z=5 A(1;1;1)

3x+y+3z=-2

24.
x+2y-3z=3 A(1;2;0)

x+3y+z=2

25.
x+y+z=1 A(0;1;2)

x-3y+2z=10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт прямую в пространстве.

То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и

распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:

Задача 151

Записать канонические уравнения прямой

Решение: чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух

плоскостей….

1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Методом подбора. В системе уравнений обнулим

какую-нибудь координату, например, . Тогда получается система двух линейных

уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим

решение системы:

Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Но принадлежит ли?

Выполним проверку – подставим её координаты в исходную систему уравнений:

Получены верные равенства, значит, действительно .

В процессе подбора обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в

системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует

проводить мысленно или на черновике.

2) Как найти направляющий вектор прямой? Существует готовая формула: если прямая задана пересечением двух

плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.
В нашей задаче:

Однако всех формул не упомнишь и поэтому очень важно понимать, откуда они взялись. Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей: и , поэтому вектор «пэ» можно найти как векторное произведение векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей «снимаем» их векторы нормали:
и находим направляющий вектор прямой:

Проверим результат с помощью скалярного произведения:
, ч.т.п.

И, наконец, завершающий этап:

3) Составим канонические уравнения прямой по точке и

направляющему вектору :

Ответ:

Аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 152

Записать канонические уравнения прямой

Будьте внимательны! Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения

и подставьте в моё уравнение (или наоборот).

Полное решение и ответ в конце книги.

И сейчас самое время перейти к простейшим задачам с пространственной прямой:

5.5.1. Взаимное расположение прямых

5.4.3. Параметрические уравнения прямой

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Напомним, что три или более векторов называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам.

Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы:

а) точка $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ ;

Направляющие векторы плоскости

б) два неколлинеарных вектора $vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k},~vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k}$ (рис.4.15).

Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ и проходящей через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Выберем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) . Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}, $vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}},$ — радиус-векторы точек и $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ (рис.4.16).

Условие компланарности векторов $overrightarrow{M_{0}M},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения $langleoverrightarrow{M_{0}M},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle=0.$ Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:

$begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}=0,.$

(4.18)

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве Oxyz заданы:

а) точка $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ ;

б) два неколлинеарных вектора $vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k},~vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k}$ (рис.4.15).

Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ и проходящей через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Выберем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) . Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}, $vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}}$ -радиус-векторы точек и $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ (рис.4.16).

Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $overrightarrow{M_{0}M},$ $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: $overrightarrow{M_{0}M}=t_{1}vec{p}_{1}+t_{2}vec{p}_{2},$ где $t_{1},,t_{2}$ — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что $overrightarrow{M_{0}M}=vec{r}-vec{r}_{0},$ получим векторное параметрическое уравнение плоскости:

$vec{r}=vec{r}_{0}+t_{1}cdotvec{p}_{1}+t_{2}vec{p}_{2}, quad t_{1},t_{2}inmathbb{R},,$

(4.19)

где $vec{p}_{1},,vec{p}_{2}$ — направляющие векторы плоскости, а $vec{r}_{0}$ — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.

Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:

$begin{cases} x= x_{0}+a_{1}cdot t_{1}+a_{2}cdot t_{2},\ y= y_{0}+b_{1}cdot t_{1}+b_{2}cdot t_{2},\ z= z_{0}+c_{1}cdot t_{1}+c_{2}cdot t_{2}, end{cases}t_{1},t_{2}inmathbb{R},,$

(4.20)

где $a_{1},b_{1},c_{1}$ и $a_{2},b_{2},c_{2}$ — координаты направляющих векторов $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ соответственно. Параметры $t_{1},,t_{2}$ в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины $t_{1},,t_{2}$ пропорциональны расстоянию от заданной точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ до точки M(x,y,z), принадлежащей плоскости. При $t_{1}=t_{2}=0$ точка совпадает с заданной точкой $M_{0}$ . При возрастании $t_{1}$ (или $t_{2}$ ) точка перемещается в направлении вектора $vec{p}_{1}$ (или $vec{p}_{2}$ ), а при убывании $t_{1}$ (или $t_{2}$ ) — в противоположном направлении.

Замечания 4.4.

1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.

2. Любой вектор vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору vec{n}=Avec{i}+Bvec{j}+Cvec{k} для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:

langlevec{p},vec{n}rangle=acdot A+bcdot B+ccdot C=0.

Следовательно, координаты $a_{1},b_{1},c_{1}$ и $a_{2},b_{2},c_{2}$ направляющих векторов $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:

$a_{1}cdot A+b_{1}cdot B+c_{1}cdot C=0, quad a_{2}cdot A+b_{2}cdot B+c_{2}cdot C=0.$

3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.

4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) Acdot x+Bcdot y+Ccdot z+D=0 к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение $(x_{0},y_{0},z_{0})$ уравнения Ax+By+Cz+D=0, определяя тем самым координаты точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),$ принадлежащей плоскости;

2) найти любые два линейно независимых решения $(a_{1},b_{1},c_{1}),$ $(a_{2},b_{2},c_{2})$ однородного уравнения Acdot a+Bcdot b+Ccdot c=0 определяя тем самым координаты решения $(a_{1},b_{1},c_{1})$ и $(a_{2},b_{2},c_{2})$ направляющих векторов $vec{p}_{1}$ и $vec{p}_{2}$ плоскости;

3) записать параметрическое уравнение (4.20).

5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему, достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:

$vec{n}= Bigl[vec{p}_{1},vec{p}_{2}Bigr]= begin{vmatrix} vec{i}&vec{j}&vec{k}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2} end{vmatrix}= underbrace{begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\b_{2}&c_{2}end{vmatrix}}_{A}cdot vec{i}- underbrace{begin{vmatrix}a_{1}&c_{1}\a_{2}&c_{2}end{vmatrix}}_{B}cdot vec{j}+ underbrace{begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\a_{2}&b_{2}end{vmatrix}}_{C}cdot vec{k},,$

и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):

$Acdot(x-x_{0})+Bcdot(y-y_{0})+Ccdot(z-z_{0})=0,.$

6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.

Пример 4.8. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1) (см. рис.4.11). Требуется:

а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;

б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам overrightarrow{OK} и overrightarrow{OL}.

Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: 2x-y-z-3=0. Составим параметрическое уравнение:

1) находим любое решение уравнения 2x-y-z-3=0 , например, $x_{0}=y_{0}=0,$ $z_{0}=-3,$ следовательно, точка $M_{0}(0;0;-3)$ принадлежит плоскости;

2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения 2x-y-z=0 например (1;1;1) и (0;1;-1), следовательно, векторы $vec{p}_{1}=vec{i}+vec{j}+vec{k},$ $vec{p}_{2}=vec{j}-vec{k},$ являются направляющими для плоскости;

3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):

$begin{cases}x=0+1cdot t_{1}+0cdot t_{2},\ y=0+1cdot t_{1}+1cdot t_{2},\ z=-3+1cdot t_{1}+(-1)cdot t_{2}, end{cases}Leftrightarrow quad! begin{cases}x=t_{1},\ y=t_{1}+t_{2},\ z=-3+t_{1}-t_{2},end{cases} t_{1},t_{2}inmathbb{R},.$

б) Координаты середины M(3;1;2) отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов overrightarrow{OK}=vec{i}+2vec{j}+3vec{k}, и overrightarrow{OL}=5vec{i}+vec{k},:

$vec{n}= begin{bmatrix}overrightarrow{OK},overrightarrow{OL}end{bmatrix}= begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\ 1&2&3\ 5&0&1end{vmatrix} = 2cdotvec{i}+14cdotvec{j}-10cdotvec{k},.$

Составляем уравнение (4.14):

2cdot(x-3)+14cdot(y-1)-10cdot(z-2)=0 quad Leftrightarrow quad 2cdot x+14cdot y-10cdot z=0.

Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):

$begin{vmatrix}x-3&y-1&z-2\ 1&2&3\ 5&0&1end{vmatrix}=0 quad Leftrightarrow quad 2cdot x+14cdot y-10cdot z=0.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Направляющий вектор прямой: определение и примеры

Прямая и способы ее задавания

Задание прямой через вектор

Для каких задач полезно знать направляющий вектор ?

Задача на составление векторного уравнения

Задача на определение взаимного расположения прямых

Математическое описание плоскости

Задача на нахождение нормального вектора плоскости

Задача на составление уравнения плоскости

Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой

Что такое направляющий вектор прямой

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Направляющий вектор прямой

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

Готовые работы на аналогичную тему

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Что такое направляющий вектор прямой

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей

5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Параметрическое уравнение плоскости

Вам также может понравиться

Как удалить функцию найти айфон

Как найти точку доступа на планшете

Как составить план текста по литературе 2 класс пример

Добавить комментарий Отменить ответ