Как найти направляющий вектор прямой калькулятор

Этот калькулятор онлайн вычисляет расстояние от точки до прямой заданной в каноническом виде (для трехмерного случая):

$$ frac{x-x_0}{l} = frac{y-y_0}{m} = frac{z-z_0}{n} $$

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния от точки до прямой не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием двух
уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определять
заданием двух уравнений первой степени.

Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Oxyz и произвольная прямая L. Обозначим через ( pi_1 ), и ( pi_2 ) две
различные плоскости, пересекающиеся по прямой L, заданные соответственно уравнениями
$$ left{ begin{array}{l} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 end{array} right. tag{1} $$

Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую L в том и только в том случае, когда плоскости ( pi_1 ), и ( pi_2 ) не
параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. нормальные векторы этих плоскостей ( N_1(A_1;B_1;C_1) ) и ( N_2(A_2;B_2;C_2) ) не
коллинеарны (коэффициенты A₁, B₁, C₁ не пропорциональны коэффициентам A₂, B₂,
C₂).

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой.

Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор ( vec{a} ), лежащий на данной прямой или параллельный ей.
Вектор а называется направляющим вектором данной прямой. Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку
( M_0(x_0;y_0;z_0) ) и имеющей данный направляющий вектор ( vec{a}(l;m;n) )

Пусть ( M(x;y;z) ) — произвольная точка. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор
( vec{M_0M}(x-x_0; y-y_0; z-z_0) ) коллинеарен направляющему вектору ( vec{a}(l;m;n) ), т.е. когда координаты
вектора ( vec{M_0M} ) пропорциональны координатам вектора ( vec{a} ):

$$ frac{x-x_0}{l} = frac{y-y_0}{m} = frac{z-z_0}{n} tag{2} $$

Уравнения (2) и являются искомыми. Они называются каноническими уравнениями прямой.

Для того чтобы составить канонические уравнения (2), если прямая L задана уравнениями (1), необходимо:
1) найти какую-нибудь точку ( M_0(x_0;y_0;z_0) in L ); для этого следует задать числовое значение одной из неизвестных
координат ( x_0, ; y_0, ; z_0 ) и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (1), после этого две другие
координаты определяются в результате совместного решения уравнений (1);
2) найти направляющий вектор ( vec{a}(l;m;n) ). Так как прямая L определена пересечением плоскостей ( pi_1 ) и ( pi_2 ), то
она перпендикулярна каждому из нормальных векторов ( vec{N_1} ) и ( vec{N_2} ). Поэтому в качестве
вектора ( vec{a} ) можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам ( vec{N_1} ) и ( ; vec{N_2} ),
например их векторное произведение ( vec{a}= vec{N_1} times vec{N_2} ). Так как координаты векторов
( vec{N_1} ) и ( vec{N_2} ) известны:
( vec{N_1}(A_1;;B_1;;C_1), ;; vec{N_2}(A_2;;B_2;;C_2) ) , то по теореме найдем координаты вектора ( vec{a} ):

( vec{a} = left{ begin{vmatrix} B_1 & C_1 \ B_2 & C_2 end{vmatrix} ; ; ;
begin{vmatrix} C_1 & A_1 \ C_2 & A_2 end{vmatrix} ; ; ; begin{vmatrix} A_1 & B_1 \ A_2 & B_2 end{vmatrix} right} =
(l; m; n) )

Иногда прямую полезно задавать не в виде канонических уравнений (2), а иначе. Пусть прямая L задана уравнениями (2). Обозначим
через t каждое из равных отношений. Тогда

$$ frac{x-x_0}{l} = frac{y-y_0}{m} = frac{z-z_0}{n} = t $$
откуда
$$ x=x_0+lt, ;; y=y_0+mt, ;; z=z_0+nt tag{3} $$

Равенства (3) называются параметрическими уравнениями прямой L, проходящей через точку ( M_0(x_0;y_0;z_0) ) и имеющей
направляющий вектор ( vec{a}(l;m;n) ). В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр
( (-infty < t < +infty ) ) ; x, y, z – как функции от t. При изменении t величины x, y, z изменяются, так что точка
( M(x;y;z) ) движется по данной прямой.

Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом деле,
пусть непараллельные плоскость ( pi ) и прямая ( L ) заданы соответственно уравнениями
( Ax + By + Cz + D = 0 )
( x=x_0+lt, ;; y=y_0+mt, ;; z=z_0+nt )

Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для x, y, z из уравнений L в уравнение ( pi ).
В результате преобразований получаем
$$ t= -frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D }{Al+Bm+Cn} $$
причем знаменатель дроби не равен нулю, так как плоскость не параллельна прямой. Подставляя найденное значение t в уравнения прямой,
находим искомую точку ( M(x;y;z) ) пересечения прямой ( L ) с плоскостью ( pi ).

Рассмотрим две прямые ( L_1 ) и ( L_2 ), заданные соответственно уравнениями

$$ frac{x-x_1}{l_1} = frac{y-y_1}{m_1} = frac{z-z_1}{n_1} $$

$$ frac{x-x_2}{l_2} = frac{y-y_2}{m_2} = frac{z-z_2}{n_2} $$

При любом расположении прямых ( L_1 ) и ( L_2 ) в пространстве один из двух углов между ними равен углу ( varphi ) между их
направляющими векторами ( vec{a_1}(l_1;m_1;n_1) ) и ( vec{a_2}(l_2;m_2;n_2) ), а второй угол равен ( 180^circ – varphi ).
Угол ( varphi ) вычисляется по следующей формуле:

$$ cos varphi = frac{l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2}{sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} ; sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2} } $$