Как найти напряжение конденсатора в схеме

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Основные положения и соотношения

1. Общее выражение емкости конденсатора

C= Q U .

2. Емкость плоского конденсатора

C= ε a ⋅S d = ε r ⋅ ε 0 ⋅S d ,

здесь

S — поверхность каждой пластины конденсатора;

d — расстояние между ними;

ε_a = ε_r·ε₀ — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

ε_r — диэлектрическая проницаемость среды (относительная диэлектрическая проницаемость);

ε 0 = 1 4π⋅ с 2 ⋅ 10 −7 ≈8,85418782⋅ 10 −12    Ф м  – электрическая постоянная.

3. При параллельном соединении конденсаторов С₁, С₂, …, С_n эквивалентная емкость равна

C= C 1 + C 2 +…+ C n = ∑ k=1 n C k .

4. При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет:

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 ,

а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям:

U 1 =U⋅ C 2 C 1 + C 2 ;    U 2 =U⋅ C 1 C 1 + C 2 .

5. Преобразование звезды емкостей в эквивалентный треугольник емкостей или обратно (рис. а и б)

Рис. 0

осуществляется по формулам:

Y→Δ { C 12 = C 1 ⋅ C 2 ΣC ;   C 13 = C 1 ⋅ C 3 ΣC ;   C 23 = C 2 ⋅ C 3 ΣC , где          ΣC= C 1 + C 2 + C 3 , Δ→Y { C 1 = C 12 + C 13 + C 12 ⋅ C 13 C 23 ; C 2 = C 12 + C 23 + C 12 ⋅ C 23 C 13 ; C 3 = C 13 + C 23 + C 13 ⋅ C 23 C 12 .

6. Энергия электростатического поля конденсатора:

W= C⋅ U 2 2 = Q⋅U 2 = Q 2 2C .

7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э.д.с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:

1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения:

ΣQ=Σ Q ′ .

2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах:

∑ k=1 n E k = ∑ k=1 n U C k = ∑ k=1 n Q k C k .

Приступая к решению задачи, надо задаться полярностью зарядов на обкладках конденсаторов.

Решение задач на расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Задача. Доказать формулу эквивалентной емкости при последовательном соединении конденсаторов (рис. 1).

Рис. 1

Решение

На рис. 1 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения U₁₂, то на левую пластину конденсатора С₁ перейдет заряд +q, на правую пластину конденсатора С₃ заряд –q.

Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора С₁ будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С₁ и С₂ соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора C₂ будет равен +q, и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по величине заряд.

Найти эквивалентную емкость — это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и батарея конденсаторов.

Разность потенциалов U₁₂ = φ₁ — φ₂ складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов

U 12 = φ 1 − φ 2 =( φ 1 − φ A )+( φ A − φ B )+( φ B − φ 2 )= U 1A + U AB + U B2 .

Воспользовавшись формулой напряжения на конденсаторе

U= q C ,

запишем

q C = q C 1 + q C 2 + q C 3 .

Откуда эквивалентная емкость батареи из трех последовательно включенных конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 .

В общем случае эквивалентная емкость при последовательном соединении конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Задача 1. Определить заряд и энергию каждого конденсатора на рис. 2, если система подключена в сеть с напряжением U = 240 В.

Рис. 2

Емкости конденсаторов: C₁ =50 мкФ; C₂ =150 мкФ; C₃ =300 мкФ.

Решение

Эквивалентная емкость конденсаторов C₁ и C₂, соединенных параллельно

C₁₂ = C₁ + C₂ = 200 мкФ,

эквивалентная емкость всей цепи равна

C= C 12 ⋅ C 3 C 12 + C 3 = 200⋅300 500 =120  мкФ.

Заряд на эквивалентной емкости

Q = C·U = 120·10^–6·240 = 288·10^–4 Кл.

Той же величине равен заряд Q₃ на конденсаторе C₃, т.е. Q₃ = Q = 288·10^–4 Кл; напряжение на этом конденсаторе

U 3 = Q 3 C 3 = 288⋅ 10 −4 300⋅ 10 −6 =96  В.

Напряжение на конденсаторах C₁ и C₂ равно

U₁ = U₂ = U — U₃ = 240 — 96 = 144 В.

их заряды имеют следующие значения

Q₁ = C₁·U₁ = 50·10^–6·144 = 72·10^–4 Кл;

Q₂ = C₂·U₂ = 150·10^–6·144 = 216·10^–4 Кл.

Энергии электростатического поля конденсаторов равны

W 1 = Q 1 ⋅ U 1 2 = 72⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈0,52  Дж; W 2 = Q 2 ⋅ U 2 2 = 216⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈1,56  Дж; W 3 = Q 3 ⋅ U 3 2 = 288⋅ 10 −4 ⋅96 2 ≈1,38  Дж.

Задача 2. Плоский слоистый конденсатор (рис. 3), поверхность каждой пластины которого S = 12 см², имеет диэлектрик, состоящий из слюды (ε_r1 = 6) толщиною d₁ = 0,3 мм и стекла (ε_r2 = 7) толщиною d₂ =0,4 мм.

Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E₁ = 77 кВ/мм, E₂ = 36 кВ/мм.

Рис. 3

Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.

Решение

Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 = ε a1 ⋅S d 1 ⋅ ε a2 ⋅S d 2 ε a1 ⋅S d 1 + ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ ε a2 ⋅S ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 .

Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив ε_a1 = ε_r1·ε₀ и ε_a2 = ε_r2·ε₀, получим

C= ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ ε r2 ⋅S ε r1 ⋅ d 2 + ε r2 ⋅ d 1 =8,85⋅ 10 −12 ⋅ 6⋅7⋅12⋅ 10 −4 6⋅0,4⋅ 10 −3 +7⋅0,3⋅ 10 −3 =99⋅ 10 −12   Ф.

Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через U_пр, при этом заряд конденсатора будет равен

Q = C·U_пр.

Напряжения на каждом слое будут равны

U 1 = Q C 1 = C⋅ U пр ε a1 ⋅S d 1 = ε a2 ⋅ d 1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр ; U 2 = Q C 2 = C⋅ U пр ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ d 2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр .

Напряженности электростатического поля в каждом слое

E 1 = U 1 d 1 = ε a2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ′ пр ; E 2 = U 2 d 2 = ε a1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ″ пр .

Здесь U’_np — общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U”_np — общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.

Из последнего выражения находим

U ′ пр = E 1 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a2 =49,5  кВ; U ″ пр = E 2 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a1 =27,0  кВ.

Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное

27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.

Задача 3. Обкладки плоского конденсатора с воздушным диэлектриком расположены на расстоянии d₁ = 1 см друг от друга. Площадь обкладок S = 50 см². Конденсатор заряжается до напряжения U = 120 В и затем отсоединяется от источника электрической энергии.

Определить, какую надо совершить работу, если увеличить расстояние между пластинами до d₂ = 10 см. Краевым эффектом можно пренебречь; другими словами, емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между обкладками.

Решение

Энергия заряженного плоского конденсатора равна

W 1 = C 1 ⋅ U 2 2 = ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 ,

где С₁ — емкость до раздвижения обкладок.

Так как конденсатор отключен от источника, то при изменении расстояния между обкладками его заряд остается постоянным. Поэтому из~ соотношения

Q = C₂·U₂,

где C₂ — емкость конденсатора после раздвижения обкладок, следует, что, так как C₂ = ε₀·S/d₂ стало меньше в 10 раз (d₂ увеличилось в 10 раз), то напряжение на конденсаторе U₂ увеличилось в 10 раз, т. е. U₂ = 10U.

Таким образом, энергия конденсатора после отключения и раздвижения обкладок на расстояние d₂ будет больше первоначальной

W 2 = ε 0 ⋅S d 2 ⋅ U 2 2 2 = ε 0 ⋅S 10 d 1 ⋅ ( 10U ) 2 2 =10⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =10⋅ W 1 .

Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, затраченной на раздвижение обкладок.

Таким образом, надо совершить работу, равную

W 2 − W 1 =9⋅ W 1 =9⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =2,86⋅ 10 −7   Дж.

Задача 4. Для схемы (рис. 4) определить напряжение каждого конденсатора в двух случаях: при замкнутом и разомкнутом ключе К.

Даны: C₁ = 30 мкФ; C₂ = 20 мкФ; r₁ = 100 Ом. r₂ = 400 Ом. r₃ = 600 Ом, U = 20 В.

Решение

Ключ К разомкнут. Конденсаторы соединены между собой последовательно; их ветвь находится под полным напряжением источника; напряжение распределяется между ними обратно пропорционально емкостям

U 1 = C 2 C 1 + C 2 ⋅U= 20⋅ 10 −6 30⋅ 10 −6 +20⋅ 10 −6 ⋅20=8  В; U 2 =U− U 1 =20−8=12  В.

Рис. 4

Ключ К замкнут. Через сопротивления r₁ и r₂ протекает ток

I= U r 1 + r 2 = 20 500 =0,04  А,

а через сопротивление r₃ ток не протекает.

Поэтому точки c и d равнопотенциальны (φ_c = φ_d). Следовательно, напряжение между точками a и c (U_ac = φ_a — φ_c) равно напряжению между точками a и d (U_ad = φ_a — φ_d).

Таким образом, напряжение на первом конденсаторе равно падению напряжения на сопротивлении r₁

U_C1 = I·r₁ = 0,04·100 = 4 В.

Аналогично напряжение на втором конденсаторе равно

U_C2 = I·r₂ = 0,04·400 = 16 В.

Задача 5. Определить напряжение на зажимах конденсаторов и их энергию после перевода рубильника из положения 1 в положение 2, показанное пунктиром на рис. 5, если U = 25 В; C₁ = 5 мкФ; C₂ = 120 мкФ. Конденсатор C₂ предварительно не был заряжен.

Рис. 5

Решение

Когда рубильник находится в положении 1, то конденсатор C₁ заряжен до напряжения U и его заряд равен

Q = C₁·U = 5·10^–6·25 = 125·10^–6 Кл.

После перевода рубильника в положение 2, заряд Q распределяется между конденсаторами C₁ и C₂ (рис. 5). Обозначим эти заряды через Q’₁ и Q’₂.

На основании закона сохранения электричества имеем

Q = Q’₁ + Q’₂ = 125 10^–6 Кл. (1)

По второму закону Кирхгофа имеем

0= U C1 − U C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 2 ,

или

Q ′ 1 5⋅ 10 −6 − Q ′ 2 120⋅ 10 −6 =0.   (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем

Q’₁ = 5 10^–6 Кл; Q’₂ = 120 10^–6 Кл.

Доставка свежих и аппетитных японских суши в Новороссийске – ям ям..

Напряжение на зажимах конденсаторов станет равным

U C1 = Q ′ 1 C 1 = U C2 = Q ′ 2 C 2 = 5⋅ 10 −6 5⋅ 10 −6 =1  В.

Энергия обоих конденсаторов будет равна

W= C 1 ⋅ U C1 2 2 + C 2 ⋅ U C2 2 2 =62,5⋅ 10 −6   Дж.

Подсчитаем энергию, которая была запасена в конденсаторе С₁, при его подключении к источнику электрической энергии

W нач = C 1 ⋅U 2 = 5⋅ 10 −6 ⋅ 25 2 2 =1562,5⋅ 10 −6   Дж.

Как видим, имеет место большая разница в запасе энергии до и после переключения. Энергия, равная 1562,5·10^–6 — 62,5·10^–6 = 1500·10^–6 Дж, израсходовалась на искру при переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и на нагревание соединительных проводов при перетекании зарядов из конденсатора C₁ в конденсатор C₂ после перевода рубильника в положение 2.

Задача 6. Вычислить напряжение, которое окажется на каждом из конденсаторов схемы (рис. 6) после перевода рубильника К из положения 1 в положение 2.

Емкости конденсаторов равны: C₁ = 10 мкФ; C₂ = 30 мкФ; C₃ = 60 мкФ; напряжение U = 30 В, а э. д. с. E = 50 В.

Рис. 6

Решение

Рубильник находится в положении 1. Заряд конденсатора C₁ равен

Q₁ = C₁·U = 10·10^–6·30 = 0,3·10^–3 Кл.

В указанном положении рубильника конденсаторы C₂ и C₃ соединены последовательно друг с другом, поэтому их заряды равны: Q₂ = Q₃. Знаки зарядов показаны на рис. 6 отметками без кружков. По второму закону Кирхгофа имеем

E= U C2 + U C3 = Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = Q 2 ⋅ C 2 + C 3 C 2 ⋅ C 3 ,

откуда

Q 2 = Q 3 = C 2 ⋅ C 3 C 2 + C 3 ⋅E= 30⋅ 10 −6 ⋅60⋅ 10 −6 90⋅ 10 −6 ⋅50=1⋅ 10 −3   Кл.

При переводе рубильника в положение 2 произойдет перераспределение зарядов. Произвольно задаемся новой полярностью зарядов на электродах (показана в кружках; предположена совпадающей с ранее имевшей место полярностью); соответствующие положительные направления напряжений на конденсаторах обозначены стрелками. Обозначим эти заряды через Q’₁, Q’₂ и Q’₃. Для их определения составим уравнения на основании закона сохранения электрических зарядов и второго закона Кирхгофа.

Для узла a

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = Q₁ + Q₂ — Q₃. (1)

Для контура 2ebda2

0= U ′ C1 − U ′ C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 1 .

Для контура bcadb

E= U ′ C2 − U ′ C3 = Q ′ 2 C 2 + Q ′ 3 C 3 .

Уравнения (1) — (3), после подстановки числовых значений величин, примут вид

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = 0,3·10^–3; (4)

3Q’₁ — Q’₂ = 0; (5)

2Q’₂ + Q’₃ = 3·10^–3. (6)

Решая совместно уравнения (4) — (6), получим

Q’₁ = 0,33·10^–3 Кл; Q’₂ = 0,99·10^–3 Кл; Q’₃ = 1,02·10^–3 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность обкладок соответствует предварительно выбранной.

Напряжения на конденсаторах после перевода рубильника будут равны

U C1 = Q ′ 1 C 1 = 0,33⋅ 10 −3 10⋅ 10 6 =33  В; U C2 = Q ′ 2 C 2 = 0,99⋅ 10 −3 30⋅ 10 6 =33  В; U C3 = Q ′ 3 C 3 = 1,02⋅ 10 −3 60⋅ 10 6 =17  В.

Задача 7. Определить заряд и напряжение конденсаторов, соединенных по схеме рис. 7, если C₁ = 5 мкФ; C₂ = 4 мкФ; C₃ = 3 мкФ; э. д. с. источников E₁ = 20 В и E₂ = 5 В.

Рис. 7

Решение

Составим систему уравнений на основании закона сохранения электричества и второго закона Кирхгофа, предварительно задавшись полярностью обкладок конденсаторов, показанной в кружках

− Q 1 + Q 2 − Q 3 =0; E 1 = U C1 − U C3 = Q 1 C 1 − Q 3 C 3 ; E 2 =− U C2 − U C3 =− Q 2 C 2 − Q 3 C 3 .

Подставляя сюда числовые значения и решая эту систему уравнений, получим, что Q₁ = 50 мкКл; Q₂ = 20 мкКл; Q₃ = –30 мкКл.

Таким образом, истинная полярность зарядов на обкладках конденсаторов C₁ и C₂ соответствует выбранной, а у конденсатора C₃ — противоположна выбранной.

Задача 8. Пять конденсаторов соединены по схеме рис. 3-22, а, емкости которых C₁ = 2 мкФ; C₂ = 3 мкФ; C₃ = 5 мкФ; C₄ = 1 мкФ; C₅ = 2,4 мкФ.

Рис. 8

Индивидуалка Дана (34 лет) т.8 926 650-82-63 Москва, метро Сокол.

Определить эквивалентную емкость системы и напряжение на каждом из конденсаторов, если приложенное напряжение U = 10 В.

Решение

1-й способ. Звезду емкостей C₁, C₂ и C₃ (рис. 8, а) преобразуем в эквивалентный треугольник емкостей (рис. 8, б)

C 12 = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 + C 3 =0,6  мкФ; C 13 = C 1 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,0  мкФ; C 23 = C 2 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,5  мкФ.

Емкости C₁₂ и C₅ оказываются соединенными параллельно друг другу и подключенными к точкам 1 и 2; их эквивалентная емкость

C₆ = C₁₂ + C₅ = 3 мкФ.

Аналогично

C₇ = C₁₃ + C₄ = 2 мкФ.

Схема принимает вид изображенный на рис. 8, в. Емкость схемы между точками а и b равняется

C ab = C 23 + C 6 ⋅ C 7 C 6 + C 7 =2,7  мкФ.

Вычислим напряжение на каждом из конденсаторов.

На конденсаторе C₇ напряжение равно

U 7 = C 6 C 6 + C 7 ⋅U=6  В.

Таково же напряжение и на конденсаторах C₄ и C₁₃

U₄ = U₃₁ = 6 В.

Напряжение на конденсаторе C₆ равно

U₆ = U — U₇ = 4 В;

U₅ = U₁₂ = 4 В.

Вычислим заряды

Q₄ = C₄·U₄ = 6·10^–6 Кл;

Q₅ = C₅·U₅ = 9,6·10^–6 Кл;

Q₁₂ = C₁₂·U₁₂ = 6·10^–6 Кл;

Q₁₃ = C₁₃·U₃₁ = 2,4·10^–6 Кл.

По закону сохранения электричества для узла 1 схем 8, а и б имеем

–Q₄ — Q₁ + Q₅ = –Q₄ — Q₁₃ + Q₁₂ + Q₅,

отсюда

Q₁ = Q₁₃ — Q₁₂ = 3,6·10^–6 Кл,

а напряжение на конденсаторе, емкостью C₁ составляет

U 1 = Q 1 C 1 =1,8  В.

Далее находим напряжения и заряды на остальных конденсаторах

U₃₁ = U₁ + U₃,

отсюда

U₃ = U₃₁ — U₁ = 4,2 В;

Q₃ = C₃·U₃ = 21·10^–6 Кл,

также

U₁₂ = U₂ — U₁ = 4,2 В,

откуда

U₂ = U₁₂ + U₁ = 5,8 В;

Q₂ = C₂·U₂ = 17,4·10^–6 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность зарядов на обкладках совпадает с предварительно выбранной.

2-й способ. Выбрав положительные направления напряжений на конденсаторах (а тем самым и знаки зарядов на каждом из них) по формуле закона сохранения электричества (закона сохранения заряда) составляем два уравнения и по второму закону Кирхгофа три уравнения (рис. 8, а)

для узла 1

Q₅ — Q₁ — Q₄ = 0; (1)

для узла О

Q₁ + Q₂ — Q₃ = 0; (2)

для контура О13О

Q 1 C 1 − Q 4 C 4 + Q 3 C 3 =0;  (3)

для контура О12О

Q 1 C 1 + Q 5 C 5 − Q 2 C 2 =0;  (4)

для контура a3О2b

Q 3 C 3 + Q 2 C 2 =U.  (5)

Система уравнений (1) — (5) — содержит пять неизвестных: Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ и Q₅. Решив уравнения, найдем искомые заряды, а затем и напряжения на конденсаторах. При втором способе решения эквивалентную емкость схемы С_ab можно найти из отношения

C ab = Q U ,

где Q = Q₃ + Q₄, или Q = Q₂ + Q₅.

Задача 9. В схеме рис. 9 найти распределение зарядов, если E₁ = 20 В; E₂ = 7 В; C₁ = 7 мкФ; C₂ = 1 мкФ; C₃ = 3 мкФ; C₄ = 4 мкФ; C₅ = C₆ = 5 мкФ.

Рис. 9

Решение

При выбранном распределении зарядов (в кружках), как показано на схеме, система уравнений будет иметь вид:

для узла а

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0;

для узла b

–Q₃ — Q₄ — Q₅ = 0;

для узла c

–Q₁ + Q₄ + Q₆ = 0;

для контура afcba

E 1 = U C1 + U C4 − U C3 = Q 1 C 1 + Q 4 C 4 − Q 3 C 3 ;

ля контура gdbag

E 2 = U C5 − U C3 + U C2 = Q 5 C 5 − Q 3 C 3 + Q 2 C 2 ;

для контура cbdc

0= U C4 − U C5 − U C6 = Q 4 C 4 − Q 5 C 5 − Q 6 C 6 .

Подставляя сюда числовые значения и решая полученную систему шести уравнений, найдем искомые заряды

Q₁ = 35 мкКл; Q₂ = –5 мкКл; Q₃ = –30 мкКл;

Q₄ = 20 мкКл; Q₅ = 10 мкКл; Q₆ = 15 мкКл.

Таким образом, истинные знаки зарядов Q₁, Q₄, Q₅ и Q₆ соответствуют выбранным, а знаки Q₂ и Q₃ противоположны выбранным.

Фактическое расположение знаков зарядов на конденсаторах дано не в кружках.

Задача 10. Определить заряд и энергию каждого конденсатора в схеме (рис. 10). Данные схемы: C₁ = 6 мкФ; C₂ = 2 мкФ; C₃ = 3 мкФ; r₁ = 500 Ом; r₂ = 400 Ом; U = 45 В.

Рис. 10

Решение

Через сопротивления протекает ток

I= U r 1 + r 2 =0,05  А.

Задавшись полярностью зарядов на обкладках конденсаторов, составим систему уравнений:

− Q 1 + Q 2 + Q 3 =0; U= U C1 + U C2 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 ; I⋅ r 1 = U C1 + U C3 = Q 1 C 1 + Q 3 C 3 ,

или

Q 1 = Q 2 + Q 3 ; 45= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 2 2⋅ 10 −6 ; 25= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 3 3⋅ 10 −6 .

Решив эту систему уравнений, найдем, что

Q₁ = 90 мкКл; Q₂ = 60 мкКл; Q₃ = 30 мкКл.

---

последовательное соединение конденсаторов,
параллельное соединение конденсаторов,
Расчет цепи конденсаторов,
Конденсатор в цепи постоянного тока,
Цепи с конденсаторами

Комментарии

Вообще говоря, в нормально нарисованной схеме напряжения на конденсаторах, если этот параметр важен, должны быть указаны явно. Если этого нет, то можно исходить из рациональных соображений.

Например, в схеме, где нет резонансных цепей, напряжение на конденсаторах явно не может превышать напряжение источника питания. Поэтому если у вас есть схема, питаемая батарейкой “Крона”, то напряжение на всех конденсаторах не может превышать 9 вольт. И как правило, любые конденсаторы, кроме разве что низковольтных электролитов, такое напряжение легко выдерживают – поэтому для обычных конденсаторов напряжение на схемах часто не указывают.

С резонансными цепями, понятное дело, всё сложнее, потому что там переменное напряжение на реактивных компонентах контура может в сотни раз превышать напряжение входного сигнала. Ну и тут надо для начала разобраться – а что за сигнал подаётся на резонанскую цепь. И если это входной контур какого-то радиочастотного тракта, где сигналы – микровольты, а даже и милливольты, то опять же по фигу. Напряженение на конденсаторе не превысит долей вольта. А обычные конденсаторы (керамика, стекло, слюда, лавсан…) – это всяко 10 вольт минимум, и то лишь для некоторых видов керамических конденсаторов. Для прочих больше.

Так что единственное, где этот параметр важен, – это блоки питания аппаратуры. Но там и так понятно, где какое напряжение, если вы хоть немного в этом разбираетесь и можете отличить входные цепи, непосредственно связанные с сетью, от вторичных низковольтных цепей.

Для школьников.

Сначала определимся со знаками зарядов на обкладках конденсаторов.

Левая обкладка первого конденсатора заряжена отрицательно, так как она подсоединена к отрицательному полюсу источника. Следовательно, правая обкладка первого конденсатора имеет положительный знак.

Правая обкладка второго конденсатора, подсоединённая к положительному полюсу источника заряжена положительно, следовательно, его левая обкладка имеет отрицательный знак.

Заряды какого знака имеют обкладки третьего конденсатора не известно, так как он подключен и к положительному полюсу первого источника, и к отрицательному полюсу второго источника.

Предположим, что верхняя обкладка третьего конденсатора имеет положительный заряд. Если при решении задачи напряжение на третьем конденсаторе будет положительной величиной, то со знаком зарядов его обкладок угадали.

Теперь составим необходимые для расчётов уравнения.

Посмотрим, как можно выразить разность потенциалов между точками

Её можно выразить через сумму ЭДС источников и через сумму напряжений на конденсаторах. Тогда

Разность потенциалов между точками

равна ЭДС первого источника и в то же время равна сумме напряжений на первом и третьем конденсаторах:

Ещё можно записать уравнение для узла В, где алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, обведённых пунктирной линией, равна нулю, так как эти обкладки не соединены с источниками. Тогда:

Совместное решение этих трёх уравнений позволит найти выражения для нахождения напряжения на каждом конденсаторе:

Из последнего уравнения следует, что напряжение на третьем конденсаторе имеет положительный знак, когда

Если это условие выполняется, то знаки зарядов на обкладках третьего конденсатора проставлены правильно.

Таким образом, применяя правила для расчёта конденсаторных цепей, можно решать сложные задачи.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Как найти заряды конденсаторов в цепи, изображённой на рисунке?

Следующая запись: Подробнее о потенциальной энергии взаимодействия зарядов и потенциале точки электростатического поля.

Ссылки на занятия и статьи до электростатики даны в Занятии 1.

Ссылки на занятия и статьи (начиная с электростатики) даны в Занятии 45.

4 минуты назад, KpuBoe Co3DaHue сказал:

подозреваю интуитивно …

Подход неправильный. Просто посмотрите, какое на конденсаторе может быть максимальное напряжение, включая переменное, и умножьте на 1,4 (коэффициент использования конденсаторов по напряжению принят 0,7).

Например, на С6 при нижнем положении движка R6 будет напряжение питания 210 В (падением напряжения на обмотке I трансформатора Т1 можно пренебречь) плюс амплитуда переменного напряжения на обмотке I трансформатора Т1. Итого, С6 должен быть расчитан на максимальное напряжение 210 + 100 (амплитуда переменного, грубо, примерно, с запасом) * 1,4 = не менее 450 В.

Электрический конденсатор (англ. capacitor) — это устройство, которое может накапливать электрический заряд и хранить его некоторое время. Конденсаторы можно найти практически в любом электронном устройстве. Они бывают разных типов и размеров.

На электрических схемах конденсаторы обозначают двумя параллельными черточками. При этом, у полярных конденсаторов около положительного электрода дополнительно ставится плюсик.

Для чего нужен конденсатор?

У этого прибора есть множество применений. Мы не будем перечислять их все, отметим лишь некоторые.

1) Фильтрация пульсаций в цепях питания. Конденсаторы часто ставят на входе и выходе преобразователей напряжения, на входе питания микросхем. В этом случае конденсаторы служат своего рода амортизаторами, которые могут сгладить неровности напряжения, подобно амортизаторам автомобиля, сглаживающим неровности дороги.

2) Времязадающие электрические цепи. Конденсаторы разной ёмкости заряжаются и разряжаются за разное время. Эту особенность используют в устройствах, где необходимо отсчитывать определенные промежутки времени. Например, с помощью резистора и конденсатора задается период и скважность импульса в микросхеме таймера 555 (урок про таймер 555).

3) Датчики прикосновения. В роли одной из обкладок конденсатора может выступить человек. Эту особенность нашего тела используют в своей работе сенсорные кнопки, тачскрины и тачпады некоторых видов.

4) Хранение данных. Конденсаторы применяются для хранения данных в оперативной памяти — ОЗУ (SRAM). Каждый модуль такой памяти содержит миллиарды отдельных конденсаторов, которые могут быть заряжены или разряжены, что интерпретируется как единица или ноль.

И это далеко не все варианты применения этого незаменимого прибора. Попробуем разобраться, как устройство конденсатора позволяет ему выполнять столько полезных функций!

Устройство простейшего конденсатора

Конденсатор состоит их двух металлических пластин — электродов, называемых также обкладками, между которыми находится тонкий слой диэлектрика.

Собственно, все конденсаторы устроены именно таким (или почти таким) образом, разве что меняется материал обкладок и диэлектрика.

Чтобы увеличить ёмкость конденсатора, не увеличивая его размеры, применяют разные хитрости. Например, если мы возьмем две обкладки в виде длинных полосок фольги, проложим между ними хотя бы тот же полиэтилен и свернем все это как рулет, то получится очень компактный прибор с большой ёмкостью. Именно так устроены плёночные конденсаторы.

Если вместо полиэтилена взять бумагу и пропитать её электролитом, то на поверхности фольги образуется тонкий слой оксида, который не проводит ток. Такой конденсатор будет называться электролитическим.

Существует много разных видов конденсаторов: бумажные, плёночные, оксидные алюминиевые и танталовые, вакуумные и т.п. В нашем уроке мы будем использовать оксидные электролитические конденсаторы из-за их большой ёмкости и доступности.

Полярные и неполярные конденсаторы

Очень важным является разделение конденсаторов на полярные и неполярные.

Приборы на основе оксидов: электролитические алюминиевые и танталовые обычно являются полярными, а значит если перепутать их полярность — они выйдут из строя. Причём этот выход из строя будет сопровождаться бурной электрохимической реакций вплоть до взрыва конденсатора.

На полярных конденсаторах всегда имеется маркировка. Как правило на электролитических конденсаторах на корпусе контрастной полосой отмечается отрицательный вывод (катод), у танталовых (в желтых прямоугольных корпусах) полоской помечается положительный вывод (анод). Если есть сомнения в маркировке, то лучше найти документацию на этот конденсатор и убедиться.

Неполярные же конденсаторы можно включать в цепь какой угодно стороной. К примеру, многослойные керамические конденсаторы — неполярные.

Ёмкость и напряжение конденсатора

Теперь обратим внимание на две важные характеристики конденсатора: ёмкость и номинальное напряжение.

Ёмкость конденсатора характеризует способность конденсатора накапливать заряд. Это как ёмкость банки, в которой хранится, к примеру, вода. Кстати, не зря одним из первых электрических конденсаторов была так называемая Лейденская банка. Она представляла собой обыкновенную стеклянную посуду, снаружи обмотанную фольгой. В банку была налита токопроводящая жидкость — электролит. Фольга и электролит играли роль обкладок, а стекло банки служило тем самым диэлектрическим барьером.

Ёмкость электрического конденсатора измеряют в фарадах. В схемах ёмкость обозначают латинской буквой C. Как правило, ёмкость классических конденсаторов варьируется от нескольких пикофарад (пФ) до нескольких тысяч микрофарад (мкФ). Ёмкость указывается на корпусе конденсатора. Если единицы не указаны — то это пикофарады. Микрофарады часто обозначают как uF — так как буква u внешне похожа на греческую букву мю, которую используют вместо приставки микро.

Существует и особый вид конденсаторов, называемых ионисторами (англ. supercapacitor), которые имеют ёмкость в несколько фарад!  Чем больше ёмкость конденсатора, тем больше энергии в нём может храниться и тем дольше он заряжается, при прочих равных условиях.

Номинальное напряжение — второй важный параметр. Это такое напряжение, при котором конденсатор будет работать весь срок службы без критичного изменения своих параметров. Нельзя применять в 12-вольтовой цепи конденсатор на 6 вольт — он быстро выйдет из строя.

Именно эти два параметра обычно наносят на поверхность корпуса конденсатора. На фотографии ниже изображён электролитический конденсатор ёмкостью 470 мкФ и номинальным напряжением 16 Вольт.

А вот на керамических конденсаторах часто указывают только ёмкость. На картинке ниже конденсатор имеет маркировку 104. Что бы это значило?

Последняя цифра в этом коде — количество нулей после двухзначного числа в начале. 104 = 10 0000 пФ = 100 нФ = 0,1 мкФ

Параллельное и последовательное подключение конденсаторов

Как и в случае резисторов, конденсаторы можно составлять в цепочки. Это бывает нужно, когда в схеме необходима какая-то конкретная ёмкость, а у вас нет такого конденсатора.

Параллельное подключение

В отличие от резисторов, при параллельном подключении конденсаторов их ёмкости складываются. Например, если нам нужно получить ёмкость 3000 мкФ, а у нас есть два конденсатора по 1000 мкФ, и 10 штук по 100 мкФ, смело ставим их параллельно и получаем: 1000*2+100*10 = 2000 + 1000 = 3000 мкФ

Последовательно подключение

При последовательном подключении конденсаторы ведут себя как резисторы, соединённые параллельно. Например, посчитаем суммарную ёмкость двух конденсаторов на 100 мкФ, соединённых последовательно:

Суммарная ёмкость Ctot = 50 мкФ.

Заряд и разряд конденсатора — RC-цепочка

Теперь разберёмся с процессами, происходящими внутри конденсатора во время заряда и разряда. Для этого рассмотрим самую простую электрическую цепь с конденсатором. С левой стороны схемы подключим источник питания. Сверху разместим ключ и резистор, а справа сам конденсатор. Участок цепи, на котором есть конденсатор и резистор называют RC-цепью.

При замыкании ключа, в такой цепи образуется электрический ток, сила которого зависит от сопротивления резистора и внутреннего сопротивления самого конденсатора. Заряженные частицы устремятся к конденсатору, но не смогут преодолеть слой диэлектрика (по крайней мере все разом). Вследствие чего, с одной стороны конденсатора накопятся отрицательно заряженные частицы, а с другой стороны — положительно заряженные. Концентрация заряженных частиц на обкладках создаст мощное электрическое поле между ними.

С течением времени, напряжение на конденсаторе растет, а сила тока падает. После завершения процесса заряда, ток в цепи упадет почти до нуля. Останется только очень маленький ток утечки, который образуется благодаря тому, что некоторым заряженным частицам всё же удается проскочить через слой диэлектрика. Напряжение, напротив, станет практически равным напряжению источника.

Когда мы отключим конденсатор от источника питания, этот самый ток утечки постепенно разрядит конденсатор. Эта особенность электрических конденсаторов не даёт нам сделать из них контейнер для длительного хранения энергии. Хотя частично эту проблему решают ионисторы.

Резистор и время заряда конденсатора

Зачем в цепи нужен резистор? Что на мешает подключить его напрямую к источнику? Тому есть две причины.

Резистор ограничивает ток, протекающий через конденсатор. Чем меньше заряженных частиц за единицу времени прибывает в конденсатор, тем больше времени для заряда ему потребуется.

Конденсатор заряжается и разряжается по экспоненциальному закону. Зная это, мы можем легко рассчитать время заряда/разряда в зависимости от его ёмкости и от сопротивления резистора.

По картинке можно понять, что за время T конденсатор заряжается на 63,2%. А вот за время 3T уже на 95%. Время T здесь равно произведению ёмкости конденсатора C на сопротивление R, последовательно соединенного резистора:

Например, у нас есть конденсатор ёмкостью 100 мкФ, соединенный с резистором 1 кОм. Посчитаем за сколько секунд он зарядится хотя бы до 95%:

Теперь умножаем это на 3 и получаем 3T = 0,3 секунды — за такое время конденсатор почти полностью будет заряжен.

Таким образом, меняя ёмкость конденсатора и резистора мы можем управлять временем его заряда, что нам ещё пригодится в будущем.

Вторая важная причина, по которой в цепи присутствует резистор — защита источника питания. Дело в том, что разряженные конденсаторы имеют очень низкое внутреннее сопротивление, которое составляет доли Ома. По сути, их можно рассматривать как обычные проводники. А что будет, если замкнуть выводы питания проводником? Будет короткое замыкание! Такой режим работы цепи является аварийным для источника питания, и его нужно всячески избегать.

Плавное выключение светодиода при помощи конденсатора

Проведем небольшой опыт. Для этого соберем на макетной плате цепь с кнопкой, конденсатором и светодиодом. В качестве источника питания используем контакты питания Ардуино Уно.

Принципиальная схема

Внешний вид макета

Подключим Ардуино  к питанию. Затем, нажмем кнопку и светодиод практически мгновенно загорится. Отпустим кнопку — светодиод медленно начнет гаснуть. Почему так происходит?

Сразу после подключения нашей схемы к источнику питания, в ней начинают происходит интересные процессы.

Как уже говорилось ранее, пока конденсатор пустой, ток через него максимален. Следовательно, конденсатор начинает стремительно набирать заряд. При этом светодиоду, который подключен параллельно, ничего не достается 🙁 Напряжение на нем близко к нулю.

С течением времени конденсатор насыщается, благодаря чему ток начинает постепенно переходить в параллельную цепь — через светодиод. Напряжение на светодиоде начинает расти. Наступает момент, когда напряжение на светодиоде принимает критическое значение (для красного светодиода около 1,8 В), при котором он стремительно отбирает остатки тока у конденсатора и вспыхивает!

Когда мы отпускаем кнопку, ситуация становится гораздо проще. Конденсатор становится источником питания для светодиода с резистором. Светодиод начинает медленно высасывать заряд из конденсатора, пока тот не разрядится. Тут мы и наблюдаем медленно угасание.

Меняя сопротивление R1, мы можем влиять на скорость вспыхивания светодиода. Однако, следует учитывать, что увеличивая R1 мы будем снижать ток в цепи, тем самым уменьшая максимальный заряд конденсатора и яркость светодиода.

Увеличивая C1, мы получим более длительное время работы светодиода после выключения источника. Это как поставить более ёмкую батарейку.

Наконец, меняя R2 можно регулировать яркость светодиода, и соответственно, время его работы. Ведь чем меньше тока мы забираем из конденсатора, тем на большее время его хватит.

К размышлению

Итак, мы познакомились с конденсатором — интересным и порой опасным жителем любой электронной платы. В следующих уроках уделим внимание резистору и индуктивности, а также более сложному их собрату — транзистору.