Как найти напряжение нелинейного элемента

Содержание:

Расчет нелинейных электрических цепей:

Законы Кирхгофа в первой форме записи (Нелинейные электрические цепи

Приведение нелинейных цепей к линейным

Такое приведение можно сделать, если нелинейные элементы цепи работают в узком диапазоне напряжений и токов, где соответствующие участки вольтамперных характеристик близки к прямым.

Нелинейные электрические цепи

Пусть это, например, имеет место для участков ab и cd характеристик 1 и 2 (рис. 4.1) нелинейных резисторов R1 и R2 цепи рис. 4.2, а. Так как продолжения этих прямых составляют с осью токов углы Нелинейные электрические цепи и пересекают ось напряжений в точках Нелинейные электрические цепи, уравнения прямых получают следующий вид:

Нелинейные электрические цепи

где R11 и R12 — дифференциальные сопротивления этих резисторов, имеющие постоянные значения на участках ab и cd; k — масштабный коэффициент.
Следовательно, каждый такой нелинейный элемент может быть представлен в виде эквивалентной схемы, состоящей из последовательного соединения — резисторов R11 или R12 и источника напряжения U01 или — U02 включенного навстречу внешнему напряжению, так как последнее должно преодолеть напряжение этого источника.

Нелинейные электрические цепи

В результате нелинейная цепь рис. 4.2, а заменяется линейной цепью рис. 4.2, б. Так как при принятом положительном направлении напряжение U02 второго источника отрицательно, его направление совпадает с напряжением U всей цепи. Полученная цепь рис. 4.2, б рассчитывается обычными методами. Решение будет правильным только в том случае, если токи I1 и I2 не выйдут за пределы участков ab и cd (см. рис. 4.1).

Графические методы расчета нелинейных цепей

Вольтамперная характеристика одиночного нелинейного резистора (см. рис. 1.9—1.11) сразу позволяет определить ток по заданному напряжению или напряжение по заданному току. При последовательном соединении любого числа нелинейных и линейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования ординат характеристик отдельных резисторов в соответствии с зависимостью

Нелинейные электрические цепи

На рис. 4.3 показано такое построение для двух последовательно соединенных резисторов. По характеристике всей цепи для заданного значения напряжения U’ определяется соответствующий ему ток I’, а по Рис. 4.3 нему — напряжения Нелинейные электрические цепи участков цепи.

Нелинейные электрические цепи

Если нужно определить ток и напряжения на участках цепи из двух приемников только при одном значении напряжения U всей цепи, нет надобности строить вольтамперную характеристику всей цепи, следует лишь отложить горизонталь для заданного значения U, а oт нее вниз — характеристику U2 (I) (рис. 4.4, а). Её пересечение с характеристикой U1(I) даст рабочую точку и определит тем самым ток I’ цепи и напряжения U’1 и U’2 на участках.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 4.4, а иллюстрирует также графическое решение задачи определения тока и напряжения цепи при питании нелинейного резистора с вольтамперной характеристикой Ul (I) от источника напряжения с нелинейной внешней характеристикой U2 (I).

При параллельном соединении нескольких линейных и нелинейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования абсцисс характеристик, т. е. токов отдельных резисторов:

Нелинейные электрические цепи

На рис. 4.5 показано такое построение для двух параллельно соединенных резисторов. По характеристике для всей цепи для любого заданного тока I определяется напряжение U’, а по нему — токи I1‘ и I2‘ участков цепи.

Нелинейные электрические цепи

Для определения токов ветвей только при одном значении тока I всей цепи можно применить упрощенное построение, аналогичное рис. 4.4, а и показанное на рис. 4.4, б для резисторов с теми же вольтамперными характеристиками. Характеристика U (I2) строится влево от вертикали для заданного значения I. Ее пересечение с характеристикой U (I1) определяет напряжение U’ цепи и токи I1‘ и I2‘ на ее участках.

При смешанном соединении, например при расчете цепи рис. 4.6, а, также строится вольтамперная характеристика всей цепи по характеристикам отдельных резисторов (рис. 4.6, б). С помощью суммирования абсцисс, т. е. токов I2 и I3, строится характеристика параллельного разветвления U23 (I1), затем, суммируя ординаты этой характеристики и характеристики Ul (I1), т. е. напряжения U23 и U1 строят характеристику U(I1) всей цепи. По этой характеристике для заданного напряжения U’ определяется ток I’1 цепи,
после чего по характеристикам Ul (I1) и U23 (I1), находят напряжения Нелинейные электрические цепи участков, а для напряжения U’23 по характеристикам U2 (I2) и U3(I3) — токи Нелинейные электрические цепи

Совершенно аналогичны построения, если цепь со смешанным соединением, помимо линейных и нелинейных резисторов, содержит источники электрической энергии, например источники напряжения, вольтамперные характеристики которых без учета внутренних сопротивлений представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс.

Нелинейные электрические цепи

Их ординаты и следует алгебраически просуммировать с ординатами
вольтамперных характеристик участков (в том числе внутренних сопротивлений), соединенных последовательно с этими источниками, чтобы получить полные характеристики ветвей. При этом необходимо соблюдать правило знаков. Так как напряжение всей ветви должно преодолевать э. д. с. включенного в ветвь источника, то при э. д. с., направленной навстречу току (рис. 4.7, а), нужно при суммировании брать ее с положительным знаком (рис. 4.7, б), и наоборот.

После построения аналогичных характеристик для всех ветвей подобно предыдущему постепенно строится характеристика всей цепи и по заданному ее напряжению обратным построением определяются напряжения и токи всех ветвей цепи. Аналогичным образом решаются задачи при заданных источниках тока.

Если любая сложная цепь содержит одну нелинейную ветвь, для расчета может быть применен метод эквивалентного источника энергии: вся цепь, кроме нелинейной ветви, заменяется эквивалентным источником напряжения или тока, после чего задача сводится к только что рассмотренной задаче последовательного или параллельного соединения двух элементов — нелинейной ветви и внутреннего сопротивления (проводимости) эквивалентного источника. Это позволит определить ток или напряжение нелинейной ветви, после чего может быть рассчитана линейная часть цепи.

Метод последовательных приближений

Этот метод, называемый также итерационным, является приближенным аналитическим способом решения нелинейных алгебраических уравнений.
В качестве примера рассматривается расчет простой цепи рис. 4.8, состоящей из резистора с нелинейным сопротивлением R(I) с заданной вольтамперной характеристикой, питаемого от источника напряжения с заданной постоянной э. д. с. Нелинейные электрические цепи и нелинейной внешней характеристикой, из которой может быть получена вольтамперная характеристика его внутреннего сопротивления RB. Вольтамперные характеристики могут быть заданы не графически, а аналитически.

Нелинейные электрические цепи

Расчет этой цепи может быть произведен по уравнению

Нелинейные электрические цепи

где n — порядковый номер приближения.

Задавшись произвольно нулевым приближением тока I0, по вольтамперным характеристикам находят соответствующие ему напряжения: U0 на внешнем сопротивлении R0 и U0B на внутреннем сопротивлении R0B. Затем определяют эти сопротивления и суммарное сопротивление цепи:

Нелинейные электрические цепи

а из исходного уравнения — первое приближение тока

Нелинейные электрические цепи

Исходя из этого значения тока, весь ход расчета повторяется для определения второго приближения I2 и так до тех пор, пока из-за сходимости итерационного процесса результат не начнет практически повторяться.

Как известно из математики, итерация в зависимости от вида характеристик может дать расходящийся процесс. Тогда сходимость можно получить на основе исходного уравнения для другой величины, например для напряжения на приемнике:

Нелинейные электрические цепи

В случае сложной цепи, например моста с двумя нелинейными резисторами (рис. 4.9), исходные уравнения могут быть составлены по методу контурных токов. При этом контуры должны быть выбраны так, чтобы контурный ток нелинейных ветвей одновременно был их действительным током. В противном случае действительный ток нельзя находить путем алгебраического суммирования проходящих по нелинейной ветви двух контурных токов, так как принцип наложения для нелинейных сопротивлений неприменим.

Правильный выбор контурных токов показан на рис. 4.9. Здесь токи нелинейных участков цепи Нелинейные электрические цепи
Тогда система уравнений получает вид:

Нелинейные электрические цепи

Если нелинейное сопротивление R2(I2) с увеличением тока убывает, a R3(I3) — возрастает, можно показать, что для обеспечения сходимости итерационного процесса из этой системы уравнений надо найти ток I3 = IA и напряжение U2 = R2IB = R2I2 выразив их через все постоянные заданные величины и нелинейные сопротивления R2 и R3. Результаты расчетов целесообразно вносить в табл. 4.1,
из которой видны последовательность и способ получения отдельных величин.
Таблица 4.1

Нелинейные электрические цепи

Закончив вычисления после практической сходимости итерационного процесса и определив тем самым напряжения и токи нелинейных
участков цепи, на основе законов Кирхгофа определяют напряжения
и токи всех линейных участков, например ток I1 из уравнения

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

В автоматике, электронике и радиотехнике широко применяются элементы электрических цепей, имеющие нелинейную зависимость между током и напряжением U = f(I).

Электрическая цепь, в которую входят нелинейные элементы, называется нелинейной.

Нелинейную вольт-амперную характеристику имеют электровакуумные приборы (см. рис. 2.6), фотоэлементы (см. рис. 2.7), газоразрядные приборы (см. рис. 2.8—2.10), полупроводниковые приборы (см. рис. 2.15).

Большую группу нелинейных элементов представляют нелинейные сопротивления: терморезисторы, варисторы, бареттеры и др.

В данной главе рассмотрены принципы решения некоторых задач расчета электрических цепей с нелинейными элементами на основе их вольт-амперных характеристик.

Эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей

Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Однако рассмотренные ранее методы расчета для нелинейных цепей непосредственно применить нельзя.

Аналитический расчет нелинейной цепи можно выполнить при условии, что вольт-амперные характеристики нелинейных элементов выражаются относительно простыми уравнениями I = f(U). Например, для электронной лампы известна зависимость I = kU3/2. Кроме того, характеристики некоторых нелинейных элементов в определенном интервале изменения напряжения и тока прямолинейны или близки к прямой. В таких случаях можно составить для нелинейного элемента эквивалентную схему замещения с линейными элементами и ввести ее в аналитический расчет.

В других случаях схемы замещения остаются нелинейными, но с их помощью достигаются упрощения схем нелинейных цепей.

Статическое и динамическое сопротивления нелинейного элемента

У нелинейных элементов различают статическое и динамическое сопротивления (рис. 6.1, а).

Статическим сопротивлением в данной точке a вольт-амперной характеристики называют отношение напряжения к току, соответствующих этой точке:
Нелинейные электрические цепи
где mu и m — масштабы напряжения и тока; mR = mu /mi — масштаб сопротивления.

Динамическое сопротивление в точке a определяется отношением бесконечно малых приращений напряжения dU и тока dI:

Нелинейные электрические цепи

Динамическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике в точке a.

Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.1. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Приведение нелинейных цепей к линейным

Если продолжить линейный участок h-b-a характеристики до пересечения с осью напряжения, то он пересечет ее в точке f.

Отрезок Нелинейные электрические цепи в принятом масштабе напряжений выражает постоянное напряжение U0. Нетрудно заметить, что в любой точке h прямолинейной части вольт-амперной характеристики напряжение складывается из постоянного напряжения U0 и изменяющейся части, определяемой произведением тока и динамического сопротивления IRдин, т. е. прямая Нелинейные электрические цепи выражается уравнением
Нелинейные электрические цепи
На основании уравнения (6.3) нелинейный элемент можно представить схемой последовательного соединения э. д. с. Е0 = U0 и динамического сопротивления Rдин (рис. 6.1, б). При этом
Нелинейные электрические цепи
Аналогичную схему замещения можно получить для нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой, обращенной выпуклостью к оси токов (рис. 6.2, а). Э. д. с. Е0 в этом случае будет направлена по направлению тока. На примере данной характеристики покажем, что нелинейный элемент можно представить схемой параллельного соединения источника тока и динамической проводимости Gдин.

В линейной части характеристики ток можно представить в виде суммы
Нелинейные электрические цепи
Этому равенству соответствует схема замещения рис. 6.2, б.

Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.2. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.3. Вольт-амперные характеристики и схемы замещения нелинейного двухполюсника

После замены нелинейных элементов эквивалентными схемами замещения с линейными элементами нелинейную цепь можно рассчитать одним из методов, применяемых для расчета линейных цепей.
 

Нелинейный активный двухполюсник

Нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого не проходит через начало координат (рис. 6.3, а), можно представить схемой последовательного соединения постоянной э. д. с. и нелинейного сопротивления.

Если характеристику нелинейного элемента перенести так, чтобы она проходила через начало координат, то получится зависимость I(U) нелинейного сопротивления эквивалентной схемы, в которую кроме этого нелинейного сопротивления последовательно включен источник э. д. с. Е0.
Эквивалентная схема рис. 6.3, б представляет собой активный нелинейный двухполюсник, для которого справедливо уравнение по второму закону Кирхгофа. В данном случае
Нелинейные электрические цепи

Эту схему вводить в аналитический расчет нельзя, так как она остается нелинейной в отличие от схемы рис. 6.1, б или 6.2, б, но ее можно использовать для упрощения более сложной схемы, в которую она входит как часть.
В некоторых случаях полезно или необходимо обратное построение: по известной вольт-амперной характеристике нелинейного сопротивления и величине э. д. с. Е последовательно с ним включенного источника строят вольт-амперную характеристику активного нелинейного двухполюсника (рис. 6.3, в).

Графический расчет нелинейных электрических цепей

Многие нелинейные элементы, применяемые в практике, имеют вольт-амперные характеристики, у которых нет линейных участков, и уравнения для их аналитического выражения.

Расчет цепей, содержащих такие элементы, осуществляется графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик и дают результаты достаточной точности.
Исходные данные для расчета (вольт-амперные характеристики элементов цепи) задаются в виде графиков или таблиц.

Задачу определения тока одного элемента по напряжению этого элемента или обратную задачу решают просто: заданную величину отмечают на оси координат, находят соответствующую ей точку кривой, а затем на другой оси определяют искомую величину.
Рассмотрим, как решаются такие задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи.
 

Последовательное соединение двух нелинейных элементов

Для расчета такой цепи (рис. 6.4, а) заданные вольт-амперные характеристики элементов и I(U1) и I(U2) строят в общей системе координат (рис. 6.4, б).
Далее строят вольт-амперную характеристику I(U) всей цепи, выражающую зависимость тока в цепи от общего напряжения.
Ток I обоих участков цепи одинаков, а общее напряжение U = U1 + U2.

Для построения общей вольт-амперной характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых I(U1) и I(U2).

Проведем прямую, параллельную оси абсцисс и соответствующую току I1. Отрезки 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе выражают напряжения U1, U2 на участках. Сложив эти отрезки, на той же прямой получим точку 4 общей вольт-амперной характеристики.

Для других значений тока аналогично найден еще ряд точек, через которые проведена общая вольт-амперная характеристика.

Построение вольт-амперных характеристик (рис. 6.4, б) является подготовительным этапом для решения различных задач, относящихся к подобным цепям. Требуется, например, определить ток в цепи и напряжения U1 и U2 на участках, если общее напряжение U известно.

На оси абсцисс находим точку 5, определяющую напряжение U (отрезок 0-5 в масштабе напряжений выражает напряжение в цепи). Через нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с общей вольт-амперной характеристикой I(U) в точке 4. Из точки 4 проводим линию, параллельную оси абсцисс. Отрезок 5-4 выражает ток в цепи, а отрезки 1-2 и 1-3 — напряжения на участках (соответственно U1 и U2).
 

Параллельное соединение двух нелинейных элементов

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 6.5, а) к ним приложено одно и то же напряжение U, а ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях: I = I1 + I2.

Для построения общей вольт-амперной характеристики I(U) нужно для ряда значений U сложить ординаты вольт-амперных характеристик элементов, как показано на рис. 6.5, б. При напряжении U1 (отрезок 0-1) сумма отрезков 1-2 (ток I1) и 1-3 (ток I2) равна отрезку 1-4 (ток I).

Предположим, что по заданному значению U = U1 нужно определить токи в ветвях и общий ток I. На оси абсцисс откладываем отрезок 0-1, выражающий напряжение U1, и через точку 1 проводим линию, параллельную оси ординат. Определяем точки 2, 3, 4 пересечения прямой с вольт-амперными характеристиками. Отрезки 1-2, 1-3, 1-4 в масштабе токов выражают токи в цепи I1, I2, I.

Аналогично решают задачи при параллельном соединении нелинейного элемента с линейным, а также при большем числе линейных и нелинейных элементов.
 

Смешанное соединение нелинейных элементов

При смешанном соединении нелинейных элементов графический расчет цепи производится методом «свертывания» схемы: в соответствии со схемой соединения элементов складываются их вольт-амперные характеристики.
Рассмотрим решение этой задачи применительно к схеме рис. 6.6, а.
Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.4. К расчету нелинейной электрической цепи при последовательном соединении элементов

Нелинейные электрические цепи

Рис. 6.5. К расчету нелинейной электрической цепи при параллельном соединении элементов    

Нелинейные электрические цепи

Рис. 6.6. К расчету нелинейной электрической цепи при смешанном соединении элементов

По заданным характеристикам I2(U2), I3(U3) параллельно соединенных элементов строится вольт-амперная характеристика участка цепи между точками b, c.
Для примера на рис. 6.6, б при напряжении U2 (отрезок 0-1) определены токи I2 (отрезок 1-2) и I3 (отрезок 1-3), а затем ток I1 = I2 + I3 (отрезок 1-4).

Далее строим вольт-амперную характеристику I1(U) всей цепи, учитывая, что участок цепи между точками b, c включен последовательно с нелинейным элементом на участке a-b. Для примера при токе I1 (отрезок 0-7) определены напряжения U1 (отрезок 7-5) и U2 (отрезок 7-4), а также общее напряжение U = U1 + U2 (отрезок 7-6).

После построения вольт-амперных характеристик порядок решения задачи зависит от ее условия. Пусть задано напряжение в цепи. Требуется определить токи в схеме и напряжения на участках.

Отложив на оси абсцисс отрезок 0-11, выражающий напряжение U, проведем линию 11-6 параллельно оси ординат до пересечения с кривой I1(U). Отрезком 11-6 определяется ток I1 в неразветвленной части цепи. Прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная через точку 6, пересекает кривые I1(U1) и I2(U2) в точках 5 и 4. Отрезками 7-4 и 7-5 определяются напряжения U2 и U1 на участках. Напряжение U2 — общее для параллельно соединенных участков с токами I2 и I3. Для определения этих токов через точку 4 проводится прямая, параллельная оси ординат. Пересечение этой прямой с кривыми I2(U2) и I3(U2) в точках 2 и 3 дает отрезки 1-2 и 1-3, определяющие токи I2 и I3.

Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.7. К задаче 6.6
 

Задача 6.6.

Для поддержания постоянным тока нагрузки при колебаниях входного напряжения U последовательно с нагрузочным резистором Rн = 1 Ом (рис. 6.7, а) включен бареттер Б, вольт-амперная характеристика которого дана в табл. 6.2.

Таблица 6.2

 U, В 0 0,5 1 2 4 6 8 10 12 14
 I, А 0 1 1,6 2 2,1 2,15 2,2 2,25 2,5 3,2

Построить график изменения тока в цепи при изменении входного напряжения
Решение. Определим ток в цепи и напряжение на участках графически. Для этого на одном чертеже построим вольт-амперные характеристики бареттера и нагрузочного резистора (рис. 6.7, б), выбрав предварительно масштабы по обеим осям.

Для построения на миллиметровой бумаге рекомендуются масштабы:
напряжений mu = 2 В/см; токов mi = 1 А/см.
Вольт-амперная характеристика нагрузочного резистора — прямая, проходящая через начало координат под углом α к оси токов (см. пунктир Oa на рис. 6.7,6). Определим угол
Нелинейные электрические цепи

Ток в цепи и падение напряжения U1 связаны между собой двумя зависимостями: вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента I(U1) и уравнением Нелинейные электрические цепи которое при постоянной величине Rн изображается на графике прямой. Точка пересечения этой прямой с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента на графике определяет величины I и U1, удовлетворяющие обеим зависимостям.

Построим указанную прямую при заданной величине Rн = 1 Ом и входном напряжении V = 8 В. Для этого определим положение точек, в которых прямая пересекается с осями координат:
при I = 0

Нелинейные электрические цепи
при U1 = 0

Нелинейные электрические цепи

Прямая, построенная по двум точкам, пересекается с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента в точке b.

Спроектируем эту точку на оси координат и найдем величины тока и напряжения на участках: I = 2.2 А; U1 = 5,8 В; U2 = 2,2 В. Аналогично находим те же величины для других напряжений U, для чего прямую перемещаем параллельно самой себе (на рис. 6.7, б показаны такие характеристики для U = 6 и 10 В).

График I(U) для заданной цепи построен на рис. 6.7, в. Из графика видно, что при изменении входного напряжения в пределах от 5до 13 В ток в цепи остается практически постоянным.

Примеры упрощения схем нелинейных цепей

Расчеты разветвленных нелинейных электрических цепей при наличии в схеме произвольного количества элементов представляют значительные трудности. В зависимости от вида схемы принимается тот или другой путь расчета, но во всех случаях основой является систематическое упрощение схемы. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.
 

Цепь с двумя узлами

Между двумя узлами 1 и 2 (рис. 6.8) включены три ветви, две из которых представляют собой последовательное соединение нелинейного сопротивления и постоянной э. д. с.
Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.8. Схема нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Нелинейные электрические цепи

Рис. 6.9. К расчету нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Нелинейные сопротивления заданы вольт-амперными характеристиками I1(U1); I2(U2); I3(U3) (рис. 6.9).

Ток каждой ветви можно выразить в зависимости от напряжения между узлами: U1.2 = Е1 — U1(I1); U1.2 = E2 — U2(I2); U1.2 = U3(I3).

Построение кривых I1(U1.2) и I2(U1.2) проводится так: для ряда значений тока определяют разность э. д. с. и соответствующих значений напряжения; через полученные точки проводят кривые. Кривая I3(U1.2) совпадает с заданной кривой I3(U3), так как U1.2 = U3.

Далее строится кривая (I1 + I2)(U1.2); для ряда значений U1.2 определяют сумму токов I1 + I2, которая согласно первому закону Кирхгофа равна I3 : I1 + I2 = I3.
Поэтому точка 3, в которой пересекаются кривые (I1 + I2) и I3(U3), определяет величину тока I3 (отрезок 3-4). Опустив перпендикуляр к оси U через точку 3, находят другие величины: ток I1 — отрезок 1-4; ток I2 — отрезок 2-4; напряжение U1.2 — отрезок 0-4.

Заметим, что кривая (I1 + I2)(U1.2) является вольт-амперной характеристикой нелинейного активного двухполюсника, эквивалентного двум ветвям исходной схемы. Построение этой кривой означает замену двух ветвей (1 и 2) одной ветвью, что является упрощением заданной схемы. Нетрудно представить, что такой путь можно применить при наличии в схеме большего числа ветвей и постепенно привести ее к схеме простейшего активного нелинейного двухполюсника.
 

Цепь с одним нелинейным сопротивлением

Предположим, что в разветвленную цепь входит несколько линейных элементов, в том числе источники э. д. с., и одно нелинейное сопротивление (рис. 6.10, а). Ветвь с нелинейным сопротивлением можно выделить, а оставшуюся линейную часть представить в виде активного двухполюсника.
Включим в нелинейную ветвь э.д.с. E’ такой величины, чтобы ток в ней уменьшился до нуля. Для активного линейного двухполюсника такое состояние является режимом холостого хода, поэтому Е’ = Ux, где Ux — напряжение холостого хода.

Для того чтобы получить ток, т. е. возвратиться к первоначальному режиму, можно в нелинейную ветвь включить еще одну э. д. с. Е”, равную по величине Е’, но направленную ей встречно (рис. 6.10., б). Можно сказать, что ток в нелинейной ветви вызывает только э. д. с. Е”, а остальные э. д. с. (Е’ и активного двухполюсника) тока не вызывают и их можно из схемы исключить, накоротко замкнув точки, к которым эти источники присоединены.
В результате получается схема последовательного соединения пассивного линейного двухполюсника с активным нелинейным двухполюсником (рис. 6.10, в).

Отсюда следует порядок расчета первоначально заданной нелинейной цепи: 1) определяют напряжение холостого хода и входное сопротивление линейного двухполюсника (рис. 6.10, г); 2) находят, например графически, ток и напряжение в нелинейной ветви; 3) определяют токи в линейной части цепи, считая сопротивление нелинейной ветви R = U/I постоянным.

Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.10. К расчету разветвленной электрической цепи с одним нелинейным элементом

Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями

В сложную цепь могут входить два нелинейных сопротивления, которые простым преобразованием не приводятся к одному сопротивлению (рис. 6.11, а).
Упрощение и расчет такой цепи можно осуществить в следующем порядке. Выделим нелинейные сопротивления, а оставшуюся часть цепи представим активным линейным четырехполюсником, у которого к первичным и вторичным зажимам присоединено по одному нелинейному сопротивлению.
В каждой нелинейной ветви можно провести преобразования, такие же как на рис. 6.10, и провести аналогичные рассуждения (рис. 6.11, б). В данном случае линейный четырехполюсник можно представить Т-образной схемой замещения и получить схему с двумя узлами, изображенную на рис. 6.11, в.
Нелинейные электрические цепи
Рис. 6.11. К расчету разветвленной электрической цепи с двумя нелинейными элементами

Затем надо определить сопротивления Т-схемы четырехполюсника и решить задачу так, как указано в начале этого параграфа. При необходимости от Т-схемы четырехполюсника известными способами можно перейти к исходной схеме, считая при этом сопротивления нелинейных ветвей постоянными, так как токи в них найдены.

Подобный путь применяют для расчета цепей с тремя (и более) нелинейными сопротивлениями.
 

Метод последовательных приближений

Суть этого метода заключается в предварительном выборе ожидаемого результата и последовательной его проверке и уточнении.
Рассмотрим метод на примере относительно простой цепи последовательного соединения двух нелинейных сопротивлений рис. 6.4, а. Даны напряжение на зажимах цепи и вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

Ток в цепи по закону Ома
Нелинейные электрические цепи
где n — порядковый номер приближения.
Первое значение тока I1 в цепи выбирают ориентировочно, если имеются для этого какие-то основания, а если их нет, то произвольно. По вольт-амперным характеристикам определяют напряжения на нелинейных элементах U1 и U2 и затем по закону Ома — сопротивления R1 и R2:

Нелинейные электрические цепи
По формуле (6.6) находят второе приближение тока:

Нелинейные электрические цепи
По найденной величине тока I2 и вольт-амперным характеристикам снова определяют напряжения на нелинейных элементах и их сопротивления, а затем опять находят ток и так до тех пор, пока результат на начнет практически повторяться. Обычно достаточно точный ответ достигается после 4-5 повторений расчета, если процесс приближений обладает сходимостью. В случае расходящегося процесса задачу следует решать на основе уравнения для другой величины [вместо (6.6)], например для напряжения на одном из нелинейных элементов
Нелинейные электрические цепи
 

Задача 6.7.

Лампа накаливания включена параллельно с линейным резистором R2 = 30 Ом (рис. 6.12, а). Построить зависимость эквивалентного сопротивления Rэк цепи от напряжения U на его зажимах.
Методом последовательных приближений определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи I = 5 А. Вольт-амперная характеристика лампы задана в табл. 6.3.

Таблица 6.3

 U, В 0 20 40 60 80 100 120
 I, А 0 0,6 1,1 1,5 1,85 2,15 2,4

Решение. Построим вольт-амперные характеристики элементов цепи. На рис. 6.12, б: I1(U) — характеристика лампы и I2(U) — характеристика резистора R2. Сложив ординаты этих характеристик при различных значениях напряжения, получим вольт-амперную характеристику всей цепи, т. е. зависимость тока в неразветвленной части цепи от приложенного напряжения I(U). Эквивалентное сопротивление схемы найдем как отношение Rэк = U/I для различных значений приложенного напряжения.
Результаты вычислений приведены на графике рис. 6.12, б.

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Нелинейными называются цепи, в которые включены нелинейные элементы (нэ).

Элемент электрической цепи, сопротивление которого зависит от чины и направления тока в нем или от напряжения, называется нелинейным. Нелинейными такие элементы называются потому, что их вольт-амперная характеристика (т. е. зависимость тока от напряжения, приложенного к элементу) Нелинейные электрические цепи — нелинейная. Виды нелинейной зависимости показаны рис. 5.26, 5.36, 5.46 и др.

Примерами нелинейных элементов могут служить электронные газонаполненные лампы, полупроводниковые приборы, ламп накаливания и пр. нелинейную цепь наряду с нелинейными элементами могут быть включены линейные. Сопротивление линейных элементов практически не зависит от тока или напряжения (резистор). Вольт-амперная характеристика линейного элемента — прямая линия, ходящая через начало координат, точку О (рис. 5.1).

Вторую точку (точку А) для построения вольт-амперной характеристики линейного элемента определяют вычислением тока Г в линейном менте при произвольно выбранном напряжении U’, приложенном к этому элементу, т.е. Нелинейные электрические цепи, где Нелинейные электрические цепи – заданное сопротивление линейного элемента — величина постоянная, аналитический расчет нелинейных цепей весьма сложен, так как противление нелинейного элемента — непостоянная величина, зависящая от величины тока. Таким образом, в уравнении закона Ома Нелинейные электрические цепи две переменные величины. Поэтому при расчете линейных цепей к нелинейным элементам не применим закон а ни для участка, ни для замкнутой нелинейной цепи.

Нелинейные электрические цепи

Для расчета нелинейных цепей рационально использовать графо-аналитический метод, который предусматривает построение суммарной вольт-амперной характеристики цепи. По суммарной характеристике и характеристикам элементов определяются искомые величины (обычно токи и напряжения).

Построение суммарной вольт-амперной характеристики нелинейной цепи зависит от схемы соединения элементов нелинейной цепи и производится по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов и построенным характеристикам линейных элементов, если они включены в цепь.

Кроме того, если в нелинейной цепи имеется линейный элемент, то расчет нелинейной цепи можно производить построением так называемой нагрузочной характеристики (рис. 5.36).

Неразветвленная нелинейная цепь

В неразветвленной нелинейной электрической цепи все элементы соединены последовательно и по всем элементам проходит одинаковый ток (рис. 5.2а).

Для расчета цепи с последовательно соединенными нелинейными элементами Нелинейные электрические цепи по заданным вольт-амперными характеристикам этих элементов строится суммарная вольт-амперная характеристика нелинейной цепи (рис. 5.26).

При последовательном соединении элементов для построения суммарной вольт-амперной характеристики суммируются абсциссы (напряжения) вольт-амперных характеристик элементов при различных токах (например, в точках 1, 2, 3, 4 рис. 5.26).

Зная напряжение, приложенное к цепи (Нелинейные электрические цепи), по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) определяем ток в нелинейной цепи (Нелинейные электрические цепи). Этот ток создает падение напряжения на пер-элементе U1 (точка С) и на втором элементе U2 (точка В). и же задан ток Нелинейные электрические цепи в рассматриваемой цепи, то по суммарной вольт-амперной характеристике можно найти напряжение цепи (точка А) и напряжение на элементах Нелинейные электрические цепи (точки С и В). нелинейных элементов различают статическое Нелинейные электрические цепи и динамиков Нелинейные электрические цепи сопротивления.

Нелинейные электрические цепи

Статическое сопротивление Нелинейные электрические цепи – это сопротивление нелинейного элемента в режиме работы цепи, т. е. сопротивление нелинейного элемента в определенной точке его вольт-амперной характеристики.

Нелинейные электрические цепи

Вычислить статические сопротивления нелинейных элементов в режиме работы рассматриваемой цепи, т. е. сопротивления для С и В вольт-амперных характеристик (при токе Нелинейные электрические цепи рис 5.26), можно следующим образом:

Нелинейные электрические цепи

Динамическое сопротивление нелинейных элементов (Нелинейные электрические цепи) в режиме работы цепи определяется как

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи бесконечно малое приращение напряжения (определяет-по вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов чек С и В), a dl – бесконечно малое приращение тока у этих чек.

Вели в неразветвленную нелинейную цепь включен линейный элемент с заданным сопротивлением R, то для расчета такой нелинейной цепи можно произвести суммирование абсцисс (напряжений) всех элементов цепи, включая линейный, построив предварительно его вольт-амперную характеристику в той же системе ординат (рис. 5.1).

По суммарной вольт-амперной характеристике нелинейной пи определяется режим работы цепи и ее элементов. Для расчета нелинейной цепи с последовательно включенным линейным элементом с сопротивлением R (рис. 5.3а) можно воспользоваться построением нагрузочной характеристики рис. 5.36).

Нагрузочная характеристика представляет собой прямую линию, проведенную через две точки А и В (рис. 5.36). Точка А расположена на оси ординат (ток). Точка В- на оси абсцисс (напряжение).

Нелинейные электрические цепи

Построение нагрузочной характеристики осуществляется с использованием двух уравнений (5.3 и 5.4) для рассматриваемой цепи в системе координат Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Откуда Нелинейные электрические цепи

Точка В соответствует величинам Нелинейные электрические цепи (см. (5.3)). Точка А соответствует величинам Нелинейные электрические цепи (см. (5.4)). При построении в тех же координатных осях заданной вольт-амперной характеристики нелинейного элемента отмечается точка пересечения С этих характеристик, которая является единственно возможной при заданном режиме работы цепи:

  • отрезок DC – ток цепи Нелинейные электрические цепи,
  • отрезок OD – напряжение на нелинейном элементе Нелинейные электрические цепи,
  • отрезок DB — напряжение на линейном элементе Нелинейные электрические цепи

Такой метод расчета неразветвленных нелинейных цепей называется методом пересечений.

На рис. 5.36 можно проследить изменения режима работы цепи (Нелинейные электрические цепи) при изменениях напряжения сети U’ (пунктирные линии). На том же рисунке показаны изменения режима работы цепи при изменении сопротивления линейного элемента R (перемещение точки С’ на рис. 5.36).

Если точка А, соответствующая измененному значению напряжения сети U’ или сопротивления линейного элемента R (см. (5.4)), выходит за пределы графика (рис. 5.36), то определяют Нелинейные электрические цепи, который нагрузочная характеристика (прямая) составляет вертикалью, проведенной из точки В (на оси U), соответствующей напряжению сети U’, т. е.

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи – принятый на графике масштаб тока; Нелинейные электрические цепи – принятый на графике масштаб напряжения; U” – произвольно выбранное напряжение (например, U’); I” – ток, соответствующий напряжению U” и сопротивлению R”, т.е.:

Нелинейные электрические цепи

Тогда нагрузочную характеристику из точки В доводят только до сечения с вольт-амперной характеристикой нелинейного мента (точка С’ рис. 5.36) и определяют режим работы цепи, соответствующий измененному значению сопротивления линейного элемента R или напряжения сети V.

Разветвленная нелинейная цепь

В разветвленной нелинейной электрической цепи нелинейные менты могут быть соединены параллельно. При параллельном соединении нелинейных элементов напряжение на всех элементах будет одинаковым.

Для расчета цепи с параллельным соединением нелинейных ментов Нелинейные электрические цепи (рис. 5.4а) строится суммарная вольт-амперная характеристика цепи по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов, при этом суммируются ординаты (токи), соответствующие различным значениям напряжений (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 5.46).

Нелинейные электрические цепи

При заданном значении тока в неразветвленной части нелинейной цепи Г по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) можно определить напряжение цепи U’. Это напряжение создает ток в первом элементе Нелинейные электрические цепи (точка С) и во втором элементе Нелинейные электрические цепи (точка В).

Если задано напряжение U’, приложенное к элементам, то по суммарной вольт-амперной характеристике определяется ток в неразветвленной части цепи (точка А), а по вольт-амперным характеристикам элементов определяются токи Нелинейные электрические цепи (точки С и В рис. 5.46).

Включение в нелинейную цепь линейного элемента не меняет характера и порядка расчета.

Нелинейная цепь со смешанным соединением элементов

Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элементов (в общем виде) рассмотрен на примере 5.1 (рис. 5.5).

Пример 5.1

По заданному напряжению цепи U’ требуется определить токи Нелинейные электрические цепи, напряжения на участках Нелинейные электрические цепи (рис. 5.5а), а также сопротивления нелинейных элементов в заданном режиме работы цепи. Заданы вольт-амперные характеристики нелинейных элементов Нелинейные электрические цепи (рис. 5.56) и сопротивление линейного элемента Нелинейные электрические цепи.

Решение

По заданному сопротивлению Я линейного элемента строится вольт-амперная характеристика этого элемента (см. рис. 5.1). Линейный элемент с сопротивлением Нелинейные электрические цепи включен параллельно с нелинейным элементом Нелинейные электрические цепи, и суммарная вольт-амперная характеристика для участка АВ цепи (Нелинейные электрические цепиAB) строится так же, как на рис. 5.46 суммируются ординаты (токи) характеристик Нелинейные электрические цепи и R).

Участок АВ соединен последовательно с нелинейным элементом Нелинейные электрические цепи. Суммарная вольт-амперная характеристика цепи (I) строится так же, как на рис. 5.26.

Нелинейные электрические цепи

Напряжение цепи U’, по суммарной характеристике цепи К) определяется ток в неразветвленной части цепи рис. 5.56). Этот ток создает падение напряжения Нелинейные электрические цепи (точка С) и на параллельном участке (точка Е).

Напряжение на участке АВ (UAB) в разветвленной цепи создает А (точка D) и (точка L).

Определив напряжения и токи нелинейных элементов, можно определить статические сопротивления этих элементов в заданном режиме работы цепи

Нелинейные электрические цепи

Таким образом, по вольт-амперным характеристикам соединен-смешанно элементов и их суммарным характеристикам можно определить все параметры нелинейной цепи (Нелинейные электрические цепи), если задан хотя бы один из этих параметров (рис. 5.56).

Стабилизаторы тока и напряжения

Есть такие нелинейные элементы, вольт-амперная характеристика которых имеет участки, параллельные оси абсцисс или оси ординат (рис. 5.6). Такие нелинейные элементы применяют в качестве стабилизаторов тока (рис. 5.6а) и стабилизаторов напряжения ис. 5.66).

Нелинейные электрические цепи

В качестве стабилизатора тока можно использовать, например бареттер (стальная нить в атмосфере водорода). На участке В’В’ (рис. 5.6а) характеристика бареттера почти параллельна оси абсцисс. Если бареттер включить последовательно с участком (io цепи (рис. 5.8), то ток Нелинейные электрические цепи цепи почти не изменяется при изменении напряжения или сопротивления (рис. 5.6а) — бареттер стабилизирует ток в цепи.

Эффективность стабилизации характеризует коэффициент стабилизации, показывающий, во сколько раз относительное изменение тока Нелинейные электрические цепи меньше относительного изменения напряжения Нелинейные электрические цепи:

Нелинейные электрические цепи

Для стабилизации напряжения применяют газоразрядные или полупроводниковые (кремниевые) стабилизаторы. Рабочий участок В’В” вольт-амперной характеристики стабилизатора напряжения почти параллелен оси ординат (рис. 5.66). Стабилизатор напряжения включается параллельно сопротивлению Нелинейные электрические цепи, на котором он стабилизирует напряжение.

Последовательно с разветвленным участком (ab) включается балластное сопротивление Нелинейные электрические цепи (рис. 5.7). Как видно из рис. 5.66, изменение балластного сопротивления в определенных пределах от Нелинейные электрические цепи почти не вызывает изменения напряжения на стабилизаторе и, следовательно, на нагрузке R (U на рис. 5.7).

Пример 5.2

Для стабилизации напряжения и тока накала электронной лампы (4 В; I А) включен бареттер Б (рис. 5.8а), вольт-амперная характеристика которого приведена на рис. 5.86.

Определить все токи и напряжения на бареттере U1 и нити накала U2, если напряжение сети Нелинейные электрические цепи, а сопротивление Нелинейные электрические цепи. Определить пределы изменения напряжений сети, при которых ток цепиНелинейные электрические цепи остается практически неизменным.

Решение

Масштаб напряжения на графике Нелинейные электрические цепи

Масштаб тока на графике принят Нелинейные электрические цепи

Нагрузочная характеристика строится в координатах:Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи, где сопротивление нити накала лампы Нелинейные электрические цепи Ом.

Следовательно, точка пересечения вольт-амперной характеристики бареттера и нагрузочной характеристики В (рис. 5.86) сет координаты Нелинейные электрические цепи, а ток цепи Нелинейные электрические цепи. Напряжение R Нелинейные электрические цепи, а токи Нелинейные электрические цепи

Нагрузочная характеристика проведена под углом Нелинейные электрические цепи к оси орди-т. е.

Нелинейные электрические цепи

Нагрузочные характеристики, соответствующие пределам изменил напряжений сети, при которых ток цепи Нелинейные электрические цепи остается практики неизменным (Нелинейные электрические цепи), проводятся параллельно основной нагрузочной характеристике под углами Нелинейные электрические цепи к оси ординат.

Таким образом, как следует из графиков рис. 5.86, эти напряжения соответственно равны

Нелинейные электрические цепи

Определение нелинейных электрических цепей переменного тока

Нелинейные элементы

Нелинейными электрическими цепями переменного тока называются цепи, в состав которых входят один или несколько нелинейных сопротивлений (нелинейных элементов) переменного тока.

Характерной чертой нелинейных элементов переменного тока являются нелинейная вольт-амперная, кулон-вольтовая, вебер-амперная и другие характеристики.

Переменному току оказывают сопротивление активные сопротивления, индуктивности и емкости. В соответствии с этим нелинейные сопротивления переменного тока могут быть разделены на три группы: 1) группа нелинейных активных сопротивлений; 2) группа нелинейных индуктивных сопротивлений; 3) группа нелинейных емкостных сопротивлений.

Каждая из этих групп сопротивлений подразделяется на управляемые и неуправляемые.

  1. В качестве управляемых нелинейных активных сопротивлений широкое распространение получили электронные и полупроводниковые приборы, магнитные усилители и другие устройства. Неуправляемыми нелинейными активными сопротивлениями являются электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители, лампы накаливания и др. Нелинейные элементы этой группы способствуют созданию несинусоидальных токов в электрических цепях.
  2. Под нелинейными индуктивными сопротивлениями, или иначе нелинейными индуктивностями, понимают катушки с ферромагнитными сердечниками, для которых зависимость магнитного потока в сердечнике от тока в катушке нелинейна. Катушка с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока искажает форму кривой тока, т. е. является генератором несинусоидального тока. Катушку со стальным сердечником называют дросселем (рис. 19.4).
  3. Для нелинейных конденсаторов зависимость заряда Q на обкладках от напряжения, приложенного к конденсатору, нелинейна. Нелинейные конденсаторы называют варикоидами или вари капами. Пространство между обкладками нелинейного конденсатора заполнено сегнетодиэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого зависит от напряженности электрического поля между обкладками конденсатора. Сегнетодиэлектрики обладают гистерезисом, т.е. отставанием изменения электрического смещения в диэлектрике от изменения электрического поля в нем.

Такие явления, как выпрямление переменного тока в постоянный, стабилизация напряжения, умножение и деление частоты, получение сигналов различной формы и т. д., можно получить только в нелинейных цепях переменного тока.

В настоящей главе рассматривается работа двух нелинейных элементов: вентили (1-я группа нелинейных активных сопротивлений) и катушки с ферромагнитным сердечником (2-я группа нелинейных индуктивных сопротивлений).
 

Выпрямители – источники несинусоидального тока

Выпрямителями называют аппараты, преобразующие переменный ток в постоянный.

Основным элементом любого выпрямителя является электрический вентиль. Электрический вентиль обладает малым сопротивлением в прямом направлении и большим в обратном направлении. Вентиль имеет нелинейную вольт-амперную характеристику (рис. 19.1), поскольку обладает практически односторонней проводимостью. Графическое изображение электрического вентиля в электрических схемах и положительное направление прямого напряжения и тока показано на рис. 19.1а.

Вентиль, сопротивление которого в прямом направлении равно нулю, а в обратном – бесконечно большое, считается идеальным вентилем. Характеристика идеального вентиля дана на рис. 19.1б. Вентиль, сопротивлением которого в прямом направлении пренебречь нельзя, а обратным током можно пренебречь, имеет вольт-амперную характеристику, изображенную на рис. 19.1в. Вольт-амперная характеристика реального полупроводникового вентиля изображена на рис. 19.1г.
Нелинейные электрические цепи

Как видно, если к реальному вентилю приложено увеличивающееся по величине обратное напряжение Нелинейные электрические цепи то его ток в обратном направлении увеличивается незначительно. Однако когда это обратное напряжение превышает номинальное Нелинейные электрические цепи обратный ток становится ощутимым и при некотором обратном предельном напряжении вентиль теряет свои вентильные свойства.

Основными параметрами вентилей наряду с вольт-амперной характеристикой являются допустимая температура, плотность тока и допустимое обратное напряжение.

В выпрямителях вентиль включается по различным схемам.

В схеме однополупериодного выпрямителя вентиль включается последовательно с потребителем R, ток которого необходимо выпрямить (рис. 19.2а).
Нелинейные электрические цепи
Если к цепи, изображенной на рис. 19.2а, приложено синусоидальное напряжение Нелинейные электрические цепи (и обратным током вентиля можно пренебречь), то ток в положительный полупериод изменяется также по синусоидальному закону:

Нелинейные электрические цепи

В течение же отрицательного полупериода напряжения Нелинейные электрические цепи тока в цепи нет, так как предполагается Нелинейные электрические цепи Таким образом, в рассматриваемой цепи создается однополупериодное выпрямление синусоидального тока (рис. 19.2б). При однополупериодном выпрямлении образуется значительная пульсация тока, т.е. большая переменная составляющая (гармоника) выпрямленного тока и незначительная величина среднего значения (постоянная составляющая) этого тока Нелинейные электрические цепи (см. кривую 5 таблицы 18.1).

Таким образом, на сопротивлении R в результате выпрямления синусоидального напряжения и создается несинусоидальный ток и несинусоидальное напряжение Нелинейные электрические цепи

Если вентили включены по мостовой схеме (рис. 19.3а) и к мосту подведено синусоидальное напряжение Нелинейные электрические цепи то по сопротивлению потребителя R проходит несинусоидальный пульсирующий ток, полученный в результате двухполупериодного выпрямления (рис. 19.3б).
Нелинейные электрические цепи
В положительный полупериод синусоидального напряжения и ток проходит через вентили 1, 2 и через потребитель слева направо (рис. 19.3а). В отрицательный полупериод напряжения и ток проходит через вентили 3, 4 и через потребитель также слева направо. Таким образом, ток через потребитель изменяется по величине, но не меняется по направлению (рис. 19.3б), т.е. через потребитель проходит пульсирующий ток, который складывается из постоянной составляющей и четных гармоник. Таким же будет и напряжение Нелинейные электрические цепи на потребителе (см. кривую 6 таблицы 18.1). При двухполупериодном выпрямлении постоянная составляющая несинусоидального тока и напряжения больше, чем при однополупериодном выпрямлении, а пульсации, т.е. гармоники, меньше.

При выпрямлении трехфазного тока (см. кривую 7 таблицы 18.1) несинусоидальный ток раскладывается на постоянную составляющую и гармоники, кратные трем, т. е. 3, 6, 9 и т.д. При этом постоянная составляющая тока (напряжения) на потребителе увеличивается, а пульсации уменьшаются (по сравнению с однофазным током). Для уменьшения пульсаций на потребителе в любой схеме соединения вентилей используются электрические фильтры (см. § 18.7).
 

Катушка с ферромагнитным сердечником

Наиболее распространенным нелинейным элементом переменного тока в электрических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 19.4).
Нелинейные электрические цепи
Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоидальному закону Нелинейные электрические цепи то при отсутствии рассеяния он индуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС самоиндукции

Нелинейные электрические цепи

Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напряжение, приложенное к ней, равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, определяемой по (11.9):

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи, а действующее значение напряжения

Нелинейные электрические цепи
или Нелинейные электрические цепи
Если к катушке со стальным сердечником приложено синусоидальное напряжение, то в сердечнике возникает синусоидальный магнитный поток.

Нелинейные электрические цепи

Ток в катушке при этом оказывается несинусоидальным. Это связано с нелинейной зависимостью между магнитим потоком и током Нелинейные электрические цепи На рис. 19.5а показана петля гистере-1иса, изображающая эту зависимость.

Нелинейные электрические цепи

Для каждого момента времени Нелинейные электрические цепиНелинейные электрические цепи по петле гистерезиса находят значение тока и откладывают его на ординате магнитного потока (смотри пунктирные линии на рис. 19.5). При увеличении магнитного потока пользуются участком ab петли гистерезиса, при уменьшении — участком be и т. д.

Как видно (рис. 19.56), кривая тока при синусоидальном магнитном потоке несинусоидальна.

Кривая намагничивания ферромагнитного материала (рис. 8.3) выражает зависимость индукции В в ферромагнитном материале от напряженности Я магнитного поля в катушке. Напряженность Н в катушке пропорциональна току I в катушке. Магнитный поток в ферромагнитном материале Нелинейные электрические цепи связан с напряжением Нелинейные электрические цепи, приложенным к катушке, прямой пропорциональностью (19.1). Следовательно, основную кривую намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода Нелинейные электрические цепи можно считать вольт-амперной характеристикой катушки с сердечником из ферромагнитного материала (рис. 8.3), если изобразить ее в координатах Нелинейные электрические цепи и I (рис. 19.5в). Таким образом, катушка с ферромагнитным сердечником является нелинейным элементом переменного тока, т. е. источником несинусоидальности.
 

Мощность потерь. Векторная диаграмма катушки со стальным сердечником

При расчете цепи катушки со стальным сердечником несинусоидальный намагничивающий ток Нелинейные электрические цепи часто заменяют эквивалентным синусоидальным, который имеет то же действующее значение, что и несинусоидальный. При этой замене пользуются поправочным коэффициентом Нелинейные электрические цепи зависящим от формы кривой тока, которая в свою очередь зависит от максимального значения индукции в сердечнике Нелинейные электрические цепи

Значение коэффициента Нелинейные электрические цепи для электротехнической стали при индукции, не превышающей Нелинейные электрические цепи принимается равным единице. При больших значениях магнитной индукции поправочный коэффициент можно найти по графику (рис. 19.6).

Нелинейные электрические цепи

При синусоидальном токе векторная диаграмма для катушки (без активного сопротивления) со стальным сердечником (без рассеяния) может быть построена как для идеальной индуктивности (рис. 11.4б), т. е. ток отстает от напряжения на угол 90°.

Если учесть потери на циклическое перемагничивание в сердечнике Нелинейные электрические цепи и на вихревые токи Нелинейные электрические цепи т.е. потери в стали Нелинейные электрические цепи то ток в катушке со стальным сердечником отстает от напряжения на угол Нелинейные электрические цепи (рис. 19.7а). При этом появляется активная составляющая тока

Нелинейные электрические цепи

совпадающая по фазе с напряжением, и реактивная составляющая тока

Нелинейные электрические цепи

Реактивная составляющая тока, совпадающая по фазе с магнитным потоком и намагничивающая сердечник, называется намагничивающим током катушки.

Угол Нелинейные электрические цепи на который ток Нелинейные электрические цепи опережает по фазе магнитный поток Ф (рис. 19.7а), называется углом потерь

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Потери в стали (магнитные потери) можно определить выражением

Нелинейные электрические цепи

где G — масса ферромагнитного сердечника, кг; Нелинейные электрические цепи — удельная мощность потерь в стали, Вт/кг.

Удельную мощность потерь вычисляют по формуле

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи — потери в стали при индукции Нелинейные электрические цепи 1 Тл и частоте Нелинейные электрические цепи – максимальное значение индукции.

Значения Нелинейные электрические цепи для различных марок электротехнической стали даны в Приложении 8.

Если не пренебрегать активным сопротивлением катушки R, то падение напряжения на этом сопротивлении Нелинейные электрические цепи совпадает по фазе с током Нелинейные электрические цепи На активном сопротивлении возникают потери мощности, которые являются электрическими потерями и называются потерями в меди Нелинейные электрические цепиЭти потери складываются с магнитными и создают суммарные потери в катушке со стальным сердечником Нелинейные электрические цепи Суммарные потери Р влияют на угол потерь Нелинейные электрические цепи и на активную составляющую тока катушки Нелинейные электрические цепи так как Нелинейные электрические цепи

Большая часть магнитного потока, т. е. основной поток Ф, замыкается в сердечнике, а незначительная часть потока Нелинейные электрические цепи рассеивается (рис. 19.46). Поток рассеяния Нелинейные электрические цепи индуктирует в катушке ЭДС рассеяния Нелинейные электрические цепи где Нелинейные электрические цепи — индуктивность рассеяния. На преодоление ЭДС рассеяние в напряжении, приложенном к катушке, появляется составляющая Нелинейные электрические цепи которая опережает ток на угол 90°. Поток рассеяния Нелинейные электрические цепи совпадает по фазе с током.

Следовательно, напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником складывается из напряжения Нелинейные электрические цепи создается основным магнитным потоком Ф, падения напряжения на активном сопротивлении катушки Нелинейные электрические цепи и напряжения Нелинейные электрические цепи т.е. Нелинейные электрические цепи Это выражение используется при построении векторной диаграммы катушки со стальным сердечником (рис. 19.7б).
 

Схема замещения

Эквивалентная схема катушки со стальным сердечником изображена на рис. 19.4в. На эквивалентной схеме выделены активное сопротивление R и индуктивное сопротивление рассеяния Нелинейные электрические цепи Оставшуюся катушку с сердечником можно считать идеальной.

Напряжение Нелинейные электрические цепи для идеальной катушки можно представить суммой падений напряжений на активном сопротивлении Нелинейные электрические цепии индуктивном Нелинейные электрические цепи

Эти соображения легли в основу построения схемы замещения катушки со стальным сердечником (рис. 19.8а).

Нелинейные электрические цепи
Реальная катушка (рис. 19.4а) и схема ее замещения (рис. 19.8б) при одинаковых напряжениях на зажимах U имеют одинаковые токи и мощности.

Активная составляющая тока определяет активную проводимость идеальной катушки Нелинейные электрические цепи а намагничивающий ток – реактивную проводимость Нелинейные электрические цепи На рис. 19.86 показана схема замещения катушки со стальным сердечником с учетом этих проводимостей.
 

Пример 19.1

На среднем стержне Ш-образного магнитопровода (рис. 19.9), выполненного из листовой Нелинейные электрические цепи стали Э42 (1512) с воздушным зазором Нелинейные электрические цепи расположена обмотка, к которой подведено напряжение U= 220 В при частоте Нелинейные электрические цепи 10 % объема сердечника заполнено изоляцией. Активным сопротивлением обмотки и рассеянием можно пренебречь. Размеры магнитопровода указаны в мм.
Нелинейные электрические цепи
Определить число витков обмотки W, ток в обмотке Нелинейные электрические цепи потери в стали Нелинейные электрические цепи коэффициент мощности цепи coscp и угол потерь Нелинейные электрические цепи для того, чтобы создать максимальную магнитную индукцию в среднем стержне Нелинейные электрические цепи

Решение

По выражению (19.1) определяется число витков обмотки

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи – площадь сечения среднего стержня сердечника; Нелинейные электрические цепи — коэффициент заполнения сердечника сталью, Нелинейные электрические цепи

Расчет намагничивающего тока Нелинейные электрические цепи произведен по закону полного тока для половины симметричной магнитной цепи. Сечение всех участков половины магнитной цепи Нелинейные электрические цепи одинаковое (рис. 19.9) и определяется по формуле

Нелинейные электрические цепи

Длина средней линии половины сердечника

Нелинейные электрические цепи

Напряженность магнитного поля в магнитопроводе (Приложение 5) для стали Э42 (1512) Нелинейные электрические цепи так как действующее значение заданной индукции Нелинейные электрические цепи а в Приложении 5 указаны действующие значения магнитной индукции. Напряженность в воздушном зазоре Нелинейные электрические цепи будет равна

Нелинейные электрические цепи

Поправочный коэффициент Нелинейные электрические цепи для максимальной индукции Нелинейные электрические цепи определяется из графика (рис. 19.6), Нелинейные электрические цепи Тогда намагничивающий ток Нелинейные электрические цепи определяется по формуле

Нелинейные электрические цепи

Масса стали сердечника

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи — плотность стали.

Потери в стали

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи так как для стали Э42 при толщине листов Нелинейные электрические цепи (Приложение 8).

Активная составляющая тока обмотки обусловлена этими потерями, т. е.

Нелинейные электрические цепи

Ток в обмотке (рис. 19.7) будет равен

Нелинейные электрические цепи

Коэффициент мощности цепи Нелинейные электрические цепи угол Нелинейные электрические цепи а угол потерь Нелинейные электрические цепи
 

Феррорезонанс

В цепи с нелинейной индуктивностью (катушка со стальным сердечником) существует нелинейная зависимость напряжения на индуктивности Нелинейные электрические цепи от тока Нелинейные электрические цепи (рис. 19.5в). Следовательно, резонанса напряжений, т. е. равенства напряжений на емкости Нелинейные электрические цепи и индуктивности Нелинейные электрические цепи, можно добиться изменением тока при последовательном соединении конденсатора и нелинейной индуктивности (рис. 19.10а).

Цепи, содержащие нелинейную индуктивность и линейную емкость, называют феррорезонансными, а явление равенства напряжений Нелинейные электрические цепи описанное выше, называют феррорезонансом.

Для объяснения явления феррорезонанса можно воспользоваться вольт-амперной характеристикой нелинейной индуктивности Нелинейные электрические цепи линейной емкости Нелинейные электрические цепи и линейного активного сопротивления Нелинейные электрические цепи

При построении суммарной вольт-амперной характеристики
Нелинейные электрические цепи

рассматриваемой цепи исходят из того, что напряжение источника U уравновешивается суммой напряжений:

Нелинейные электрические цепи

Из векторной диаграммы для рассматриваемой цепи (рис. 12.46) следует, что индуктивное напряжение UL опережает по фазе ток на угол 90°, а емкостное напряжение Uc — отстает на 90 (Для упрощения несинусоидальные величины заменены эквивалентными синусоидальными, т. е. вольт-амперная характеристика нелинейной катушки UL=f(I) аналогична характеристике, показанной на рис. 19.5в.) Следовательно,, реактивные напряжения UL и Uc находятся в противофазе, т. е. Up = UL – Uc.

Величину емкости можно подобрать так, чтобы прямая Uc=f(I) пересекла кривую UL=f(I). Точка их пересечения и является том кой феррорезонанса напряжений (UL = Uc), при котором Up = UL – Uс =0. Следовательно, Нелинейные электрические цепи (Up – реактивное напряжение цепи).

Из графика (рис. 19.106) следует, что с увеличением тока I напряжение U сначала растет (участок 0—2), затем уменьшается (участок 2—3), достигая минимального значения при феррорезонансе (точка 3), затем снова растет (участок 3—5).

Из того же графика видно, что при непрерывном увеличении напряжения источника U ток плавно увеличивается до значения Нелинейные электрические цепи и скачком увеличивается до Нелинейные электрические цепи, после чего продолжает плав но расти (участок 4—5).

При плавном уменьшении напряжения U ток Нелинейные электрические цепи уменьшается до Нелинейные электрические цепи и скачком уменьшается до /ь затем плавно падает до нуля (при U= 0).

Характерно, что при каждом скачке тока Нелинейные электрические цепи его фаза по отношению к напряжению Uизменяется на 180°, поэтому это явление называют «опрокидыванием фазы». «Опрокидывание фазы» в феррорезонансной цепи происходит потому, что до значения тока Нелинейные электрические цепи цепь имеет индуктивный характер, т. е. XL > Хс, а после значения тока Нелинейные электрические цепи — емкостной, т.е. XLC (рис. 19.105). Вызвано это тем, что после феррорезонанса происходит магнитное насыщение сердечника катушки, стабилизируется XL и UL, а I растет.

Явление «опрокидывания фазы» проиллюстрировано на рис. 19.10в, на котором показаны кривые напряжений U=f(I) и UL =f(I). Из кривой UL =f(I) видно, что напряжение на выводах катушки (точки В и С схемы — рис. 19.10а) остается почти неизменным (Нелинейные электрические цепи) даже при значительном изменении (Нелинейные электрические цепи) напряжения сети U (точки А и D), если незначительным значением напряжения Нелинейные электрические цепи можно пренебречь.

Это явление используется в феррорезонансных стабилизаторах напряжения, в которых значительное изменение входного напряжения (Нелинейные электрические цепи) на клеммах AD вызывает незначительное изменение выходного напряжения (Нелинейные электрические цепи) на клеммах ВС, к которому подключен потребитель.

При параллельном соединении катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора может возникнуть феррорезонанс токов, если Нелинейные электрические цепи

Элементы нелинейных цепей, их характеристики и параметры

Все ранее выполненные исследования касались анализа режима работы линейных электрических цепей. В их составе присутствовали исключительно линейные элементы, ток и напряжение в которых были связаны линейным уравнением. В подавляющем большинстве реальных цепей зависимость тока от напряжения в большей или меньшей степени отлична от линейной и в этом случае говорят о нелинейных цепях.

Цепь считается нелинейной, если емкость, сопротивление или индуктивность любого участка является функцией напряжения и тока, а также их направления. Особо подчеркнем, что принцип наложения в таких цепях неприменим. В отличие от линейных элементов, характеристики которых задаются аналитическими функциями, нелинейные задаются экспериментальными зависимостями, с помощью таблиц или приближенными эмпирическими формулами. Все это усложняет расчет цепей и требует специальных методов расчета.

Нелинейное сопротивление характеризуется нелинейной вольтамперной характеристикой, нелинейная катушка задаётся вебер-амперной характеристикой, ёмкость характеризуется кулон-вольтной характеристикой. Все перечисленные зависимости весьма разнообразны, но их можно систематизировать по двум основным группам: симметричные и несимметричные. Нелинейный элемент будет иметь симметричную характеристику, если форма кривой не зависит от направления тока или направления приложенного напряжения, в противном случае характеристика становится несимметричной. На рис. 9.1-9.2 изображены симметричные вольтамперные характеристики (В.А.Х.) и, соответственно, на рис. 9.3-9.4 – несимметричные.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.1. В.А.Х. лампы накаливания

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.2. В.А.Х. характеристика бареттера

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.3. В.А.Х. электрической дуги

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.4. В.А.Х. диода

Нелинейные элементы могут быть подразделены на управляемые и неуправляемые. Отличительной особенностью управляемых элементов является наличие семейства характеристик: транзисторы, тиристоры, магнитные усилители и т.д.

Статистические и дифференциальные характеристики нелинейных элементов

Режим работы нелинейного элемента (НЭ) во многом зависит от положения рабочей точки на характеристике (рис. 9.5). Пусть точка Нелинейные электрические цепи характеризует рабочий режим работы нелинейного элемента. При неизменном напряжении на зажимах НЭ положение точки Нелинейные электрические цепи также неизменно. В этом случае режим работы НЭ можно оценить с помощью статического сопротивления Нелинейные электрические цепи которое определяется отношением напряжения на НЭ к току, протекающему через него:

Нелинейные электрические цепи

Сопротивление Нелинейные электрические цепи численно равно тангенсу угла Нелинейные электрические цепи между осью ординат и секущей, идущей из начала координат и точку Нелинейные электрические цепи умноженному на отношение масштабов Нелинейные электрические цепи

Дифференциальное сопротивление Нелинейные электрические цепи равно отношению бесконечно малого приращения напряжения к бесконечно малому приращению тока, т.е.:

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.5. В.А.Х. НЭ

Численно дифференциальное сопротивление равно тангенсу угла наклона касательной Нелинейные электрические цепи проведенной к В.А.Х. в точке Нелинейные электрические цепи и осью ординат, умноженному на отношение масштабов напряжения и тока Нелинейные электрические цепи

Замена нелинейного элемента линейным и источником ЭДС – один из вариантов линеаризации цепи.

Если заранее известен участок Нелинейные электрические цепи характеристики, по которой будет перемещаться рабочая точка при изменении входного напряжения, и при этом участок рабочей части характеристики достаточно линеен, то его можно заменить линейным элементом и источником ЭДС. На рис. 9.6 показано определение параметров линеаризованного НЭ. Через точки  проведена прямая, причём сопротивление элемента Нелинейные электрические цепи пропорционально Нелинейные электрические цепи т.е.:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи – масштаб сопротивления, а участок слева от начала координат отсекает по оси абсцисс величину Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.6. Линеаризация НЭ

Следовательно, уравнение электрического равновесия на основании рис. 9.6 примет вид:

Нелинейные электрические цепи

Таким образом, исходный нелинейный элемент (рис. 9.7) заменяется на линейный, схема замещения которого изображена рис. 9.8.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.7. Исходный НЭ

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.8. Эквивалентная схема замещения НЭ

При ином наклоне характеристики НЭ (рис. 9.9) получим:

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.9. Вольт-амперная характеристика НЭ

Расчет электрической цепи при смешанном соединении нелинейных элементов

Рассмотрим общий принцип расчета нелинейных цепей с использованием графоаналитического метода.

Пусть дана цепь, содержащая три нелинейных элемента, каждый из которых задан своей вольтамперной характеристикой (рис. 9.10-9.11).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.10. Исследуемая цепь с НЭ

Применительно к цепи по рис. 9.10 запишем уравнения по законам Кирхгофа:

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.11. В.А.Х. элементов исходной цепи

Расчет будем вести в следующей последовательности.

Произвольно задаваясь значениями напряжения Нелинейные электрические цепи на параллельном участке цепи, просуммируем ординаты графиков 2 и 3 и построим вспомогательную зависимость Нелинейные электрические цепи заменяющую нелинейные элементы НЭ2 и НЭЗ. Теперь схема состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений Нелинейные электрические цепи и Нелинейные электрические цепи Задаваясь значением тока Нелинейные электрические цепи суммируем абсциссы графиков 1 и (2 + 3) и получим В.А.Х. для данной схемы соединения нелинейных элементов Нелинейные электрические цепи По заданному напряжению Нелинейные электрические цепи определяем ток Нелинейные электрические цепи

Из точки ординаты, соответствующей току Нелинейные электрические цепи опустим перпендикуляр до пересечения с кривой 2+3, тем самым найдем напряжение Нелинейные электрические цепи Точки пересечения с кривыми НЭ2 и НЭЗ дают значения токов Нелинейные электрические цепи и Нелинейные электрические цепи

Метод двух узлов

Для нелинейной цепи, имеющей два узла, расчет можно вести методом двух узлов. Покажем его применимость на примере цепи следующего вида (рис. 9.12).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.12. Нелинейная электрическая цепь

Каждый из элементов Нелинейные электрические цепи и Нелинейные электрические цепи задан своей В.А.Х. (рис. 9.13).

Напряжение на каждом из элементов может быть определено следующим образом:

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.13. В.А.Х. нелинейных элементов

Поскольку напряжение Нелинейные электрические цепи входящее в каждое из уравнений – общее, то для определения токов выполним следующие преобразования.

Трансформируем данные функции относительно общего напряжения Нелинейные электрические цепи т.е. построим зависимости Нелинейные электрические цепи При этом В.А.Х. каждого из элементов должны быть сдвинуты с учетом знака ЭДС в формулах (9.3) вправо или влево на величину ЭДС. Через соответствующие значения ЭДС, на которые сдвинуты графики, проводятся перпендикуляры, относительно которых В.А.Х. зеркально отражаются. Объясним такое построение на примере первой В.А.Х.: при Нелинейные электрические цепи и Нелинейные электрические цепи По мере роста тока Нелинейные электрические цепи в соответствии с В.А.Х. растет Нелинейные электрические цепи и уменьшается Нелинейные электрические цепи (см. формулу 9.3), при отрицательных значениях тока Нелинейные электрические цепи по модулю увеличивается. Аналогичные рассуждения можно провести и для других В.А.Х. На основании первого закона Кирхгофа:

Нелинейные электрические цепи

Задаваясь рядом значений Нелинейные электрические цепи просуммируем ординаты перестроенных кривых и получим зависимость Нелинейные электрические цепи При каком-то значении напряжения Нелинейные электрические цепи суммарный ток равен нулю, следовательно, при этом напряжении выполняется первый закон Кирхгофа, оно и является искомым решением задачи. Восстановив в этой точке перпендикуляр к оси абсцисс, найдем токи ветвей.

Первый и третий токи положительны, а второй ток отрицателен, т.е. его направление на схеме нужно изменить на противоположное.

Стабилизация напряжения и тока с помощью нелинейных элементов

В линейных цепях это явление не может быть реализовано.

В основе стабилизации лежит наличие у В.А.Х. элемента участков практически параллельных осям напряжений или токов.

Основная задача стабилизации состоит в том, что при существенных изменениях входных напряжений выходные напряжения или токи меняются незначительно. Вводится коэффициент стабилизации, например, по напряжению:

Нелинейные электрические цепи

Качество стабилизации зависит не только от наличия элемента с требуемой характеристикой, но и поддержания требуемого режима работы этого элемента, т.е. стабильности рабочей точки. Изобразим простейшие схемы стабилизации (рис. 9.14,a,b).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.14. Схемы стабилизации напряжения: а) последовательная, b) параллельная

Рассмотрим процесс стабилизации на примере последовательной цепи (рис. 9.14,а).

При значительном изменении напряжения на входе Нелинейные электрические цепи изменение напряжения на нагрузке Нелинейные электрические цепи незначительно, что очевидно из построений на рис 9.15.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.15. Стабилизация напряжения

Метод эквивалентного генератора

Если в схеме есть один нелинейный элемент, а остальные – линейные и необходимо рассчитать ток через нелинейный элемент, то выделяют ветвь с нелинейным элементом, а оставшуюся линейную схему представляют в виде активного двухполюсника (рис. 9.16).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.16. Активный двухполюсник, нагруженный нелинейным сопротивлением

Активный линейный двухполюсник замещается источником ЭДС и некоторым внутренним линейным сопротивлением Нелинейные электрические цепи Тогда расчетная схема применит вид (рис. 9.17).

Нелинейные электрические цепи

После проведенных преобразований, рассмотренных выше, определение тока в ветви с нелинейным элементом не представляет трудностей.

Нелинейные магнитные цепи при постоянных токах

Самостоятельную группу нелинейных цепей образуют магнитные цепи. Магнитной цепью называется совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, процессы в которых описываются понятиями магнитодвижущей или намагничивающей силы (МДС), магнитного потока и падения магнитного напряжения или разности магнитных потенциалов. Из курса физики известен закон полного тока, который формулируется так: циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охваченных этим контуром, т. е.:

Нелинейные электрические цепи

Этот закон связывает магнитное поле с напряженностью Нелинейные электрические цепи и электрическое поле, характеризуемое величиной тока Нелинейные электрические цепи

Магнитная индукция Нелинейные электрические цепи – это векторная величина, характеризующая силовое воздействие магнитного поля на ток:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи – намагниченность, характеризующая магнитный момент единицы объема вещества; Нелинейные электрические цепи относительная магнитная проницаемость; Нелинейные электрические цепи – магнитная постоянная вакуума; Нелинейные электрические цепи – абсолютная магнитная проницаемость вещества.

В системе СИ единица индукции В – тесла Нелинейные электрические цепи единица намагниченности Нелинейные электрические цепи и напряженности Нелинейные электрические цепи – ампер на метр Нелинейные электрические цепи

Магнитный поток Нелинейные электрические цепи через некоторую поверхность Нелинейные электрические цепи – это поток вектора магнитной индукции через эту поверхность:

Нелинейные электрические цепи

Для ферромагнитных материалов связь между Нелинейные электрические цепи и Нелинейные электрические цепи является нелинейной и характеризуется явлением гистерезиса, т. е. отставанием изменения магнитной индукции Нелинейные электрические цепи от изменения напряженности магнитного поля Нелинейные электрические цепи При этом магнитная проницаемость ферромагнитной среды может многократно превышать магнитную проницаемость вакуума. При расчетах реальных магнитных цепей всегда можно выделить участки, где его магнитные свойства, а также линейные размеры остаются неизменными. Это позволяет в законе полного тока (9.4) перейти от интеграла к сумме, что упрощает расчет цепей. Кроме того, если катушка, намотанная на магнитопровод, содержит Нелинейные электрические цепи витков, то вводится понятие МДС – магнитодвижущая или намагничивающая сила Нелинейные электрические цепи Для участка магнитопровода, представленного на рис. 9.18, закон полного тока может быть записан в форме:

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.18. Неразветвленный магнитопровод переменного сечения с зазором  Нелинейные электрические цепи

Поскольку магнитопровод неразветвлен и его сечение на разных участках неодинаково, то и магнитная индукция также не одинакова, а магнитный поток Нелинейные электрические цепи в любом сечении один и тот же. Это позволяет принять:

Нелинейные электрические цепи

Используя данное соотношение, подставим его в (9.6) и получим следующее выражение:

Нелинейные электрические цепи

откуда:

Нелинейные электрические цепи

Выражение (9.7) есть закон Ома для магнитных цепей.

Магнитное сопротивление участка цепи длиной Нелинейные электрические цепи и сечением Нелинейные электрические цепи будет:

Нелинейные электрические цепи

Разветвленные магнитные цепи, как и электрические цепи, можно описать законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю:

Нелинейные электрические цепи

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений магнитных напряжений в контуре равна алгебраической сумме МДС, действующих в этом контуре:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи падение магнитного напряжения; Нелинейные электрические цепи — МДС.

Постоянный магнит

Постоянный магнит нашел широкое практическое применение (генераторы тока, магнето, преобразующие элементы приборов магнитоэлектрической системы, динамики, громкоговорители и т.д.). Рассмотрим принцип расчета постоянного магнита. Если на замкнутый магнитопровод, выполненный из магнитотвердого материала (широкая петля гистерезиса) намотать обмотку и пропустить через неё ток, то магнитопровод можно довести до насыщения. Затем ток уменьшить до нуля, при этом напряженность также снижается до нуля, а индукция не обращается в нуль (кривая размагничивания стали, рис. 9.19). После этого катушку снимают и остается рассчитать магнитную индукцию Нелинейные электрические цепи и напряженность магнитного поля в теле магнитопровода Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.19. Кривая размагничивания стали

Для получения реального магнита в магнитопроводе делают тонкий пропил, при этом будем считать, что площадь сечения магнитопровода с пропилом и площадь без пропила стали одинаковы. Будем полагать известными кривую размагничивания магнитопровода, длину воздушного зазора Нелинейные электрические цепи и длину ферромагнитной части магнита Нелинейные электрические цепи В соответствии с законом полного тока запишем:

Нелинейные электрические цепи

Нуль в правой части уравнения объясняется отсутствием катушки на магнитопроводе.

Если зазор достаточно мал, то потоком рассеяния в зазоре можно пренебречь:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи — площадь поперечного сечения магнита, Нелинейные электрические цепи — площадь поперечного сечения воздушного зазора.

Так как магнитопровод не разветвленный, то магнитный поток в пропиле и стали, будет одинаков:

Нелинейные электрические цепи

После этого магнитопровод перестает быть однородным и из уравнения (9.8) получим:

Нелинейные электрические цепи

Тогда:

Нелинейные электрические цепи

Таким образом, между Нелинейные электрические цепи и Нелинейные электрические цепи имеется линейная зависимость. Это позволяет провести из начала координат прямую по уравнению (9.9) до пересечения с кривой размагничивания. Точка пересечения этих функций Нелинейные электрические цепи дает искомые результаты.

Особенности работы нелинейных элементов в цепях переменного тока

Работа нелинейных элементов в цепях переменного тока приводит к возникновению явлений, принципиально невозможных в линейных цепях, причем на этих особенностях базируются принципы действия новых приборов. С помощью нелинейных элементов осуществляется выпрямление переменного тока, умножение и деление частоты, стабилизация напряжения, усиление сигнала и т.д. Работа нелинейных элементов и электрических цепей, в которые входят эти элементы, описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, точных методов решения которых в математике не существует. Поэтому для проведения инженерных расчетов применяют различные приближенные методы расчёта этих дифференциальных уравнений и в соответствии с этим существуют разные методы расчета нелинейных цепей на переменном токе. Назовем некоторые из них.

  1. Метод малого параметра и условной линеаризации. Основан на пренебрежении относительно малыми величинами. При этом полученная условно линейная цепь рассчитывается известными методами расчета линейных цепей, но с учетом нелинейной зависимости между действующими значениями токов и напряжений.
  2. Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики. Основан на замене нелинейной зависимости неким аналитическим выражением так, чтобы оно достаточно точно описывало нелинейную зависимость и полученное дифференциальное уравнение решалось относительно просто.
  3. Метод кусочно-линейной аппроксимации и припасовывания линейного решения. Основан на замене нелинейной характеристики ломаной кривой и применении на каждом участке ломаной кривой методов линейной электротехники, а переход от одного участка ломаной кривой к другому участку осуществляется соответствующим выбором постоянных интегрирования.
  4. Итерационный метод. Основан на подстановке некоторого приближенного решения в исходное уравнение и последующем уточнении этого решения.

Нелинейные магнитные цепи при периодических процессах

Нелинейные магнитные цепи при периодических процессах также нашли широкое практическое применение, это различного рода электромагнитные аппараты и устройства, основным элементом которых является катушка с ферромагнитным сердечником (рис. 9.20). Исследование ее режимов работы позволит сделать количественную и качественную оценку происходящих в ней явлений.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.20. Катушка с ферромагнитным сердечником

В катушке с ферромагнитным сердечником необходимо выделить два магнитных потока: основной Нелинейные электрические цепи замыкающийся в сердечнике, и поток рассеяния Нелинейные электрические цепи замыкающийся вокруг витков катушки в воздухе, оба магнитных потока создают соответствующие ЭДС самоиндукции:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи — потокосцепление основного магнитного потока.

С учетом того, что сама обмотка, выполненная из медного провода, имеет сопротивление Нелинейные электрические цепи уравнение электрического равновесия катушки имеет вид:

Нелинейные электрические цепи

Уравнение (9.10) нелинейно, т.к. Нелинейные электрические цепи и, соответственно, Нелинейные электрические цепи нелинейно зависят от напряженности магнитного поля Нелинейные электрические цепи и, соответственно, тока Нелинейные электрические цепи С учетом того, что Нелинейные электрические цепи и падение напряжения на активном сопротивлении катушки Нелинейные электрические цепи мало, воспользуемся для расчета методом малого параметра и условной линеаризации. Пренебрегая этими составляющими, получим идеальную катушку.

Идеальная катушка индуктивности

Таким образом, уравнение равновесия идеальной катушки имеет вид:

Нелинейные электрические цепи

Будем считать, что напряжение сети изменяется по косинусоидальному закону Нелинейные электрические цепи Найдем закон изменения магнитного потока Нелинейные электрические цепи Учитывая, что Нелинейные электрические цепи основной магнитный поток определится по формуле:

Нелинейные электрические цепи

Действующее значение напряжения, выраженное через магнитный поток:

Нелинейные электрические цепи

Магнитный поток, так же, как и приложенное напряжение, изменяется по синусоидальному закону. ЭДС самоиндукции отстает от магнитного потока на угол 90°, в свою очередь напряжение и ЭДС находятся в противофазе, поэтому напряжение опережает магнитный поток на 90°.

Определим форму тока в катушке, считая, что магнитопровод изготовлен из магнитомягкого материала. Для решения этой задачи воспользуемся графоаналитическим методом (рис. 9.21).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.21. Графическое определение закона изменения тока в катушке

Форма тока получилась несинусоидальная, что указывает на искажение тока в нелинейных цепях и, соответственно, усложняет расчет. Если учесть петлю гистерезиса реального магнитопровода, то форма кривой тока еще более усложнится (рис. 9.22).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.22. Графическое определение закона изменения тока при учете петли гистерезиса

Появление угла Нелинейные электрические цепи говорит о том, что ток в катушке не совпадает с магнитным потоком по фазе, а именно, опережает его. При расчете методом малого параметра несинусоидальный ток можно заменить эквивалентной синусоидой, который будем считать эквивалентом реального несинусоидального тока. Это верно при условии равенства тепловых потерь при действии реального несинусоидального тока и эквивалентного синусоидального. Введение эквивалентных синусоид позволяет использовать комплексный метод расчета и строить векторные диаграммы.

Уравнение электрического равновесия идеальной катушки запишется в виде:

Нелинейные электрические цепи

Анализ поведения тока идеальной катушки позволяет построить векторную диаграмму (рис. 9.23).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.23. Векторная диаграмма идеальной катушки

Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига между током и напряжением катушки Нелинейные электрические цепи не равен 90°, несмотря на пренебрежение тепловыми потерями на нагрев обмотки, т.е. активная мощность Нелинейные электрические цепи следовательно, эта мощность соответствует потерям на нагрев сердечника. Эту мощность принято называть потерями в стали Нелинейные электрические цепи Часть этой мощности затрачивается на перемагничивание стали (зависит от площади петли гистерезиса) и на нагрев, вызванный вихревыми токами (токи Фуко). Учет этого фактора является важным условием расчета любого электротехнического устройства, поскольку он задает тепловой режим и эффективность его работы.

Потери на гистерезис

Мощность этой составляющей потерь зависит от целого ряда факторов. Одной из эмпирических зависимостей, полученных для расчета потерь на перемагничивание, является формула Штейнмеца:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи — коэффициент, зависящий от сорта материала (стали); Нелинейные электрические цепи — частота переменного тока; Нелинейные электрические цепи – масса магнитопровода; Нелинейные электрические цепи — амплитуда магнитной индукции.

Степень Нелинейные электрические цепи зависит от величины магнитной индукции:

1) Нелинейные электрические цепи при Нелинейные электрические цепи

2) Нелинейные электрические цепи при Нелинейные электрические цепи

Потери на вихревые токи

Вихревые токи возникают ввиду того, что магнитопровод, изготовленный из стали, является проводящим, и под действием наведенной ЭДС линии тока расположены в контуре, перпендикулярно силовым линиям. Величина наведенной ЭДС зависит от частоты и магнитной индукции и мощность, расходуемая на тепловые потери, вызванные вихревыми токами, рассчитывается по формуле:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи — коэффициент, определяемый электропроводящими свойствами материала.

Для уменьшения этих потерь поступают следующим образом: магнитопровод набирают из листов стали, изолированных друг от друга с помощью лака или добавляют в ферромагнитный материал примеси, увеличивающие удельное сопротивление стали. Так как Нелинейные электрические цепи сильно зависит от частоты, то с ее увеличением частоты толщина листа уменьшается:

1) при Нелинейные электрические цепи

2) при Нелинейные электрические цепи

На очень высоких частотах магнитопровод изготавливают из магнитодиэлектриков – ферритов, которые представляют собой смесь из мелких ферромагнитных частиц и диэлектрика.

Схема замещения идеальной катушки

На векторной диаграмме идеальной катушки (рис. 9.23) показано разложение вектора тока на активную Нелинейные электрические цепи (совпадающую по фазе с напряжением) и реактивную (намагничивающую) Нелинейные электрические цепи составляющие тока. На этом основании делаем вывод, что схему замещения катушки можно представить в виде параллельно соединенных индуктивного и активного сопротивлений или проводимостей, что удобнее при параллельном соединении (рис. 9.24).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.24. Схема замещения идеальной катушки

Активная составляющая тока протекает по нелинейной активной проводимости Нелинейные электрические цепи и ей соответствует мощность потерь в стали:

Нелинейные электрические цепи

Реактивная составляющая тока протекает по нелинейной индуктивности и, соответственно, реактивная мощность:

Нелинейные электрические цепи

Векторная диаграмма и схема замещения реальной катушки

Возвращаясь к уравнению (9.10) и учитывая, что несинусоидальный ток заменен эквивалентным синусоидальным, перепишем это уравнение в комплексной форме:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи – сопротивление провода; Нелинейные электрические цепи – индуктивность потока рассеивания (является линейной, т.к. силовые линии замыкаются по воздуху, минуя магнитопровод); Нелинейные электрические цепи – индуктивное сопротивление потока рассеяния.

На основании уравнения (9.12) схема замещения реальной катушки примет вид (рис. 9.25):

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.25. Последовательно-параллельная схема замещения реальной катушки

Параметры схемы замещения могут быть получены на основании экспериментальных измерений напряжения, тока и мощности, потребляемой катушкой из цепи. По результатам этих измерений вначале строят более простую – последовательную схему замещения (рис. 9.26).

Параметры последовательной и последовательно-параллельной схем замещения связаны между собой следующими соотношениями:

Нелинейные электрические цепи

На основании схемы замещения можно построить и векторную диаграмму (рис. 9.27).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.26. Последовательная схема замещения реальной катушки

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.27. Векторная диаграмма реальной катушки

Трансформатор с ферромагнитным сердечником

Основным элементом трансформатора является рассмотренная выше катушка с ферромагнитным сердечником и дополнительно намотанной на него второй катушкой. По сравнению с линейным трансформатором у трансформатора с ферромагнитным сердечником резко увеличивается магнитный поток, что в свою очередь приводит к увеличению мощности, передаваемой из одной обмотки в другую, но трансформатор с ферромагнитным сердечником становится нелинейным и в его магнитопроводе появляются потери. Как и при анализе работы катушки, используют понятия эквивалентных синусоид. Потому напряжения, токи и магнитный поток считают синусоидальными. Подавляющее большинство трансформаторов конструируется с максимальной близостью к линейным. Область использования трансформаторов весьма широка – это силовые, измерительные, согласующие, сварочные и т.д. Так как принцип работы воздушного трансформатора ранее был подробно рассмотрен, то ограничимся лишь составлением и анализом схемы замещения трансформатора с сердечником (рис. 9.28).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.28. Схема замещения трансформатора с ферромагнитным сердечником

Запишем уравнения трансформатора для мгновенных величин токов и напряжений. Первые два – это уравнения электрического равновесия для первичной и вторичной цепи, третье – уравнение намагничивающих сил:

Нелинейные электрические цепи

В комплексной форме эта система уравнений примет вид:

Нелинейные электрические цепи

Некоторого пояснения требует уравнение магнитного равновесия.

В режиме холостого хода Нелинейные электрические цепи магнитный поток создается только током первичной обмотки и уравнение магнитного равновесия упростится:

Нелинейные электрические цепи

где Нелинейные электрические цепи — ток холостого хода трансформатора.

При этом МДС первичной обмотки равна Нелинейные электрические цепи При подключении нагрузки магнитный поток трансформатора создают обе катушки и их суммарная намагничивающая сила равна:

Нелинейные электрические цепи

Поскольку подводимое к первичной обмотке напряжение не изменилось, то не изменился и магнитный поток трансформатора:

Нелинейные электрические цепи

Следовательно, МДС в режиме холостого хода и в нагрузочном режиме равны:

Нелинейные электрические цепи

Тогда:

Нелинейные электрические цепи

где:

Нелинейные электрические цепи

У приведенной схемы замещения трансформатора (рис. 9.28) все вторичные параметры изменились и поэтому уравнения (9.13), описывающие его работу, видоизменятся:

Нелинейные электрические цепи

Для составления схемы замещения трансформатора необходимо определить ее параметры, т. е. сопротивления Нелинейные электрические цепи С этой целью проводят опыты холостого хода и короткого замыкания.

Опыт холостого хода.

Проводится при номинальном первичном напряжении Нелинейные электрические цепи и разомкнутых вторичных зажимах Нелинейные электрические цепи При этом напряжение холостого хода на вторичных зажимах Нелинейные электрические цепи принимают равным номинальному вторичному напряжению Нелинейные электрические цепи Схема замещения примет вид (рис. 9.29):

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.29. Схема замещения трансформатора при опыте XX

Ток холостого хода Нелинейные электрические цепи из-за резко возросшего сопротивления составляет порядка Нелинейные электрические цепи Таким образом, потери на нагрев первичной обмотки малы и ими можно пренебречь, а с учетом того, что Нелинейные электрические цепи то потери холостого хода принимают равными потерям в стали Нелинейные электрические цепи Таким образом, по показаниям трех приборов, включенных в цепь первичной обмотки (вольтметра, амперметра и ваттметра) рассчитывают параметры контура намагничивания Нелинейные электрические цепи

Примечание: сопротивлением Нелинейные электрические цепи можно пренебречь, т.к. основной магнитный поток трансформатора значительно больше потока рассеяния.

Поскольку у трансформаторов малы активные сопротивления обмоток, а также потоки рассеяния, то можно принять Нелинейные электрические цепи поэтому коэффициент трансформации определяют следующим образом:

Нелинейные электрические цепи

Опыт короткого замыкания.

Проводится при замкнутой накоротко вторичной обмотке трансформатора Нелинейные электрические цепи и таком пониженном первичном напряжении Нелинейные электрические цепи чтобы ток первичной обмотки равнялся номинальному току Нелинейные электрические цепи

Так как Нелинейные электрические цепи составляет Нелинейные электрические цепи от Нелинейные электрические цепи то пропорционально ему уменьшился магнитный поток в сердечнике, а пропорционально квадрату магнитного потока уменьшились потери в стали. Таким образом потери при коротком замыкании трансформатора принимают равными потерям в меди. По измеренным в режиме короткого замыкания величинам Нелинейные электрические цепи рассчитывают сопротивления обмоток Нелинейные электрические цепи

Примечание. При приведении вторичной обмотки к первичной сопротивления Нелинейные электрические цепи

Для режима короткого замыкания схема замещения представлена на рис. 9.30. Пунктиром показано положение ветви намагничивания.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.30. Схема замещения трансформатора в режиме КЗ

В режиме КЗ намагничивающей составляющей Нелинейные электрические цепи можно пренебречь и уравнение намагничивающих сил примет вид:

Тогда коэффициент трансформации можно определить следующим образом:

Нелинейные электрические цепи

Векторная диаграмма трансформатора под нагрузкой

Используя систему уравнений (9.13), а также соотношения, полученные выше, построим векторную диаграмму, приняв для определенности, что трансформатор работает под нагрузкой при Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.31. Векторная диаграмма трансформатора, работающего под нагрузкой Нелинейные электрические цепи

Построение диаграммы начнем с вектора Нелинейные электрические цепи который располагается на комплексной плоскости произвольно. С учетом заданного характера нагрузки Нелинейные электрические цепи вектор напряжения Нелинейные электрические цепи направлен с опережением относительно тока Нелинейные электрические цепи на угол Нелинейные электрические цепи К его концу пристраивается вектор падения напряжения на активном сопротивлении вторичной обмотки Нелинейные электрические цепи а перпендикулярно ему строится вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении Нелинейные электрические цепи Геометрическая сумма этих трех векторов дает вектор Нелинейные электрические цепи Вектор Нелинейные электрические цепи приводится к вектору Нелинейные электрические цепи с учетом соотношения Нелинейные электрические цепи С другой стороны этот же вектор Нелинейные электрические цепи Далее строим вектор Нелинейные электрические цепи который является частью напряжения Нелинейные электрические цепи Магнитный поток опережает ЭДС индукции на угол 90°. Ток холостого хода Нелинейные электрические цепи опережает магнитный поток на угол Нелинейные электрические цепи По заданному току Нелинейные электрические цепи строим вектор Нелинейные электрические цепи который определяется по формуле Нелинейные электрические цепи и суммируем его с вектором тока Нелинейные электрические цепи Геометрическая сумма этих токов дает ток первой катушки Нелинейные электрические цепи Определим напряжения в первом контуре. К концу вектора Нелинейные электрические цепи присоединяем вектор падения напряжения на активном сопротивлении первой катушки Нелинейные электрические цепи который располагается параллельно току Нелинейные электрические цепи Перпендикулярно ему располагается вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении первой катушки Нелинейные электрические цепи Сумма всех составляющих падений напряжений в первой катушке дает вектор Нелинейные электрические цепи трансформатора.

Феррорезонансные явления

В нелинейных цепях, составленных из нелинейных индуктивностей и линейных емкостей или наоборот, линейных индуктивностей и нелинейных емкостей возможны резонансные явления, как и в линейных цепях, но они характеризуются рядом особенностей. Феррорезонанс – это резонанс в цепи, содержащей катушку с ферромагнитным сердечником, который последовательно или параллельно подсоединен к линейному конденсатору. В линейных цепях резонанс возникал при изменении каких-либо параметров цепи: индуктивности Нелинейные электрические цепи емкости Нелинейные электрические цепи или частоты шине зависел от величины подводимого напряжения. В нелинейных цепях плавное изменение напряжения может привести к скачкообразному изменению фазы и амплитуды основной гармоники тока и наоборот, плавное изменение тока источника приводит к скачкообразному изменению фазы и амплитуды основной гармоники напряжения. Явление феррорезонанса сопровождается изменением знака угла сдвига фаз между основными гармониками тока и напряжения при плавном изменении напряжения или тока источника, вызванное нелинейностью катушки с ферромагниттным сердечником. Различают феррорезонанс напряжения и тока. Исследование данного явления будем производить в упрощенном варианте, считая, что токи, напряжения и магнитные потоки заменены эквивалентными синусоидами, а нелинейная индуктивность заменена условно нелинейной и зависящей от тока, а потери в стали катушки пренебрежимо малы, то есть активное сопротивление равно нулю.

Феррорезонанс напряжений

Феррорезонанс напряжений возникает в последовательном колебательном контуре (рис. 9.32).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.32. Схема для исследования феррорезонанса напряжения

На рис. 9.33 построены В.А.Х. линейной емкости Нелинейные электрические цепи нелинейной индуктивности Нелинейные электрические цепи и В.А.Х. всей цепи Нелинейные электрические цепи С учетом соотношений:

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.33. Вольтамперные характеристики цепи при феррорезонансе напряжений

График зависимости Нелинейные электрические цепи имеет явно выраженный минимум вблизи резонанса, что требует детального исследования этой функции.

При работе схемы от источника напряжения и плавном росте напряжения до Нелинейные электрические цепи происходит плавный рост тока, а при Нелинейные электрические цепи — скачок тока от Нелинейные электрические цепи до Нелинейные электрические цепи (см. рис. 9.33), сопровождаемый одновременно изменением фазы на 180°. На самом деле в реальных цепях необходимо учитывать активное сопротивление катушки и появление высших гармоник из-за ее нелинейности. Поскольку резонанс возникает на основной (первой) гармонике, то от остальных не скомпенсированных гармоник тока вблизи резонанса дополнительно появляются падения напряжения и поэтому реальная В.А.Х. всей цепи выглядит иначе (рис. 9.34), т.е. при резонансе суммарное напряжение не снижается до нуля из-за перечисленных выше причин.

Модуль напряжения сети подсчитывается по приведенной ниже формуле:

Нелинейные электрические цепи

Скачкообразное изменение тока при увеличении напряжения выше Нелинейные электрические цепи (из точки 2 в точку 4) и снижении напряжения ниже Нелинейные электрические цепи (из точки 3 в точку 1) носит название релейного или триггерного эффекта. Участок характеристики между точками 2 и 3 называется неустойчивым, т.к. он характеризуется отрицательным дифференциальным сопротивлением. Получить в явном виде эту часть характеристики представляется невозможным, т.к. при питании цепи от источника напряжения в интервале напряжений от Нелинейные электрические цепи до Нелинейные электрические цепи любому значению напряжения соответствует не одно, а несколько значений тока. Для получения всей характеристики необходимо подключить схему к источнику тока. Тогда каждому значению тока источника соответствует одно значение напряжения на В.А.Х. Это объясняется тем, что внутреннее сопротивление источника тока намного больше сопротивления цепи при всех его изменениях.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.34. Реальная вольт-амперная характеристика цепи при феррорезонансе напряжений

Феррорезонанс токов

Феррорезонанс токов наблюдается при параллельном соединении нелинейной индуктивности и линейного конденсатора (рис. 9.35).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.35. Схема для исследования феррорезонанса токов

Будем полагать, что известны В.А.Х. идеальной нелинейной индуктивности и идеальной емкости, построенные для действующих значений. На рис. 9.36 построены В.А.Х. рассматриваемых элементов и суммарная В.А.Х., полученная на основании уравнения:

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.36. Вольтамперные характеристики цепи при феррорезонансе токов

Из построений следует, что одному и тому же значению тока в диапазоне Нелинейные электрические цепи соответствуют три значения напряжения Нелинейные электрические цепи Это объясняется наличием участка, характеризуемого отрицательным дифференциальным сопротивлением. При некоторой резонансной величине напряжения сети ток в неразветвленной части цепи равен нулю.

В реальной цепи при учете потерь и высших гармоник общая В.А.Х. цепи имеет вид, показанный на рис. 9.37.

При плавном изменении напряжения источника можно получить всю кривую Нелинейные электрические цепи Если же схема работает от источника тока, то при плавном изменении тока происходит скачкообразное изменение напряжения, т.е., наблюдается, как и при феррорезонансе напряжений, триггерный эффект.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.37. Реальная вольт-амперная характеристика цепи при феррорезонансе токов

На практике он используется при создании так называемых ферромагнитных стабилизаторов напряжения. Ниже (рис. 9.38,a,b) приведены примеры простейших схем стабилизации.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.38 а,b. Схемы ферромагнитных стабилизаторов напряжения

Ферромагнитный усилитель

Нелинейность свойств магнитопроводов лежит в основе работы многих устройств, среди которых особое место отводится управляемым нелинейным элементам. Примером таких устройств являются магнитные усилители, способные усиливать ток и мощность при сохранении формы выходного напряжения. Результирующий магнитный поток магнитного усилителя является суммой магнитных потоков, создаваемых МДС на различных частотах, источниками которых в магнитном усилителе служат рабочая обмотка и обмотка управления. Общий принцип работы простейшего магнитного усилителя рассмотрим на примере схемы рис. 9.39.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.39. Схема простейшего магнитного усилителя

На ферромагнитный сердечник наматывают две обмотки: Нелинейные электрические цепи – рабочая обмотка. Нелинейные электрические цепи – обмотка управления. Отличительной особенностью магнитного усилителя является то, что по обмотке управления протекает постоянный ток, который дополнительно создаёт в магнитопроводе постоянный магнитный поток. Последовательно с рабочей обмоткой подключено сопротивление нагрузки Нелинейные электрические цепи Рабочая обмотка питается от источника синусоидального тока. Магнитный усилитель сконструирован так, что в отсутствии тока управления магнитопровод не насыщен и его магнитная проницаемость велика.

Рассмотрим принцип работы магнитного усилителя. Для этого сделаем ряд графических построений (рис. 9.40) и при этом будем считать, что вебер-амперная характеристика магнитопровода известна. Используем магнитопровод из магнитомягкого материала (узкая петля гистерезиса).

При отсутствии тока в обмотке управления Нелинейные электрические цепи и синусоидальном напряжении магнитный поток и пропорциональная ему МДС рабочей обмотки также изменяются по синусоидальному закону. Это объясняется работой магнитного усилителя на линейной части вебер-амперной характеристики. При подаче на обмотку управления некоторого постоянного напряжения дополнительно появляется постоянный магнитный поток Нелинейные электрические цепи который суммируется с синусоидальным магнитным потоком рабочей обмотки Нелинейные электрические цепи Это приводит к росту магнитодвижущей силы Нелинейные электрические цепи и, как следствие, к смещению рабочей области веберамперной характеристики в зону насыщения. Результирующая кривая магнитного потока искажается, то есть амплитуды положительной и отрицательной полуволны имеют разные численные значения, значит и наводимые ими ЭДС самоиндукции существенно отличаются по амплитуде.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.40. Схема усиления сигнала

Напишем уравнение электрического равновесия для рабочей обмотки магнитного усилителя:

Нелинейные электрические цепи

Из данного уравнения следует, что уменьшение ЭДС самоиндукции в рабочей обмотке приведет к увеличению тока, протекающего через сопротивление нагрузки Нелинейные электрические цепи при неизменности амплитуды рабочего напряжения Нелинейные электрические цепи Таким образом, изменяя ток в обмотке управления, можно значительно изменять ток в нагрузке. Однако на практике такая схема не используется ввиду целого ряда присущих ей недостатков. Главный недостаток – влияние рабочей обмотки на обмотку управления. Этот недостаток может быть преодолён путём использования двух магнитопроводов (рис. 9.41).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.41. Схема магнитного усилителя мощности

Эффективность работы магнитного усилителя определяется коэффициентами усиления по току и мощности:

Нелинейные электрические цепи

Оптимальный режим работы магнитного усилителя можно рассчитать, если известно семейство его вольтамперных характеристик (рис. 9.42).

На основании второго закона Кирхгофа и учитывая, что Нелинейные электрические цепи получим:

Нелинейные электрические цепи

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.42. Семейство В.А.Х. магнитного усилителя

Данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиусом Нелинейные электрические цепи Проведя дугу окружности в первой четверти, находим точки пересечения с семейством В.А.Х. По величине рабочего напряжения и известному току управления находим рабочую точку и определяем по заданному току управления соответствующие ток и напряжение на рабочей обмотке.

Вентиль в цепи синусоидального тока

Полупроводниковые электронные приборы с практически односторонней проводимостью носят название вентиля (диода). Они относятся к классу активных нелинейных сопротивлений, которые так же задаются нелинейной В.А.Х. Кроме того, они относятся к классу безынерционных нелинейных элементов. На рис. 9.43 приведена В.А.Х. диода.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.43. Вольтамперная характеристика вентиля

Главное назначение вентиля – выпрямление переменного тока. Рассмотрим простейшую схему однополупериодного выпрямителя (рис. 9.44).

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.44. Схема однополупериодного выпрямителя

Реализация принципа выпрямления тока в нагрузке иллюстрируется рис. 9.45.

Нелинейные электрические цепи

Рис. 9.45. Графическое определение временной зависимости тока Нелинейные электрические цепи через вентиль

Из построения видно, что при отрицательной полуволне напряжения источника амплитуда тока резко уменьшается, а большей амплитуде входного напряжения соответствует больший выпрямительный эффект. Ток и, соответственно, падение напряжения на нагрузке имеют явно выраженную несинусоидальную форму и поэтому могут быть разложены в ряд, который содержит постоянную составляющую, первую и все четные гармоники. Если на нагрузке необходимо иметь постоянное напряжение, то перед нагрузкой включают фильтры, не пропускающие первую и все гармоники более высокого порядка. Аналогично работают выпрямители, построенные по более сложным схемам.

  • Магнитные цепи и их расчёт
  • Цепи переменного тока
  • Символический метод расчета цепей
  • Четырехполюсники
  • Линейные и нелинейные резисторы
  • Индуктивность и ее расчет
  • Энергия в электрических цепях
  • Линейные электрические цепи

Главная

Примеры решения задач ТОЭ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Простые нелинейные электрические цепи постоянного тока рассчитывают графическим способом. При этом считаются известными вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейных элементов, входящих в нелинейную цепь постоянного тока.

Нелинейный элемент, ВАХ которого в рабочем диапазоне приближенно можно изобразить прямолинейным участком, заменяют последовательным соединением линейного резистивного элемента с источником ЭДС. При этом сопротивление линейного элемента принимается равным дифференциальному сопротивлению нелинейного элемента в рабочей точке его ВАХ.

Нелинейный элемент в области рабочей точки характеристики можно также заменить параллельным соединением источника тока с линейным элементом, проводимость которого равна дифференциальной проводимости нелинейного элемента в этой точке.

Разветвленная нелинейная электрическая цепь постоянного тока с одним нелинейным элементом может быть рассчитана методом эквивалентного генератора. При этом заменяют линейную часть нелинейной цепи постоянного тока по отношению к нелинейному элементу эквивалентным источником. Полученную цепь последовательного соединения источника, линейного и нелинейного элементов рассчитывают графически.

Решение нелинейных уравнений, описывающих нелинейную электрическую цепь постоянного тока с двумя узлами, также проводят графически. При этом все уравнения необходимо строить в одинаковом масштабе, на одном графике в функции узлового напряжения.


Расчет нелинейных цепей постоянного тока


Задача 1.6.1 Графический метод расчета (для двух узлов) нелинейной цепи постоянного тока

Определить графическим методом значение токов в нелинейной цепи постоянного тока, показанной на рис. 1.6.1, если E1 = E3 = 100 В и R3 = 500 Ом.

Графический метод расчета нелинейной цепи постоянного тока с двумя узлами

Рис. 1.6.1

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов симметричны относительно начала координат и показаны на рис. 1.6.2 (I1 (U1) — кривая 1; I2 (U2) — кривая 2).

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов

Рис. 1.6.2

Решение. Для всех трех ветвей цепи напряжение Ucd одинаково (см. рис. 1.6.1).

Построим вольт-амперные характеристики ветвей I1 (Ucd); I2 (Ucd); I3 (Ucd) (рис. 1.6.3).

Графический метод расчета нелинейной цепи постоянного тока с двумя узлами

Рис. 1.6.3

Характеристика второй ветви I2 (Ucd) построена для нелинейного элемента 2.

Для первой ветви Ucd = U1 — E1. Из соответствующих значений U1 вольт-амперной характеристики 1 вычитаем E1. Результаты расчета характеристики I1 (Ucd) приведены в табл. 1.6.1.

Таблица 1.6.1

U1, В

100

80

60

40

30

20

10

5

0

Ucd = U1 — E1

0

-20

-40

Комментарий

Смотрите в одиночестве нарезки женских оргазмов русские, про парней, кто любит целочек, или видео, где как ебать негртянки на странице https://porntime.ru только безумная порнуха! Смотрите в одиночестве сперма не тонет видео, и другие на porntime.ru как когда девушка кончает ее дергает только безумная порнуха !. 1с комплексная автоматизация.

-60

-70

-80

-90

-95

-100

I1, А

1,1

1,0

0,9

0,8

0,72

0,6

0,45

0,3

0

Продолжение табл. 1.6.1

U1, В

-5

-10

-20

-30

-40

-60

-80

-100

Ucd = U1 — E1

-105

-110

-120

-130

-140

-160

-180

-200

I1, А

-0,3

-0,4

-0,6

-0,72

-0,8

-0,9

-1,0

-1,1

По данным таблицы строим вольт-амперную характеристику первой ветви I1 (Ucd).

Третья ветвь является линейной, ее вольт-амперная характеристика Ucd (I3) = E3 — R3·I3. Для построения ВАХ по точкам пересечения прямой и осей координат находим

U cd =0;   I 3 = E 3 R 3 = 100 500 =0,2  А; I 3 =0;      U cd = E 3 =100   В.

По первому закону Кирхгофа I1 + I2 = I3 построим зависимость I1 + I2 = f (Ucd), т. е. эквивалентную вольт-амперную характеристику первых двух ветвей. Эту характеристику получаем, складывая ординаты характеристик I1 (Ucd) и I2 (Ucd). В точке пересечения зависимостей I1 + I2 = f (Ucd) и I3 (Ucd) выполняется равенство I1 + I2 = I3, т. е. точка пересечения дает значения токов. Таким образом,

Ucd = –72 В; I1 = 0,68 А; I2 = –0,32 А; I3 = 0,36 А.

Задача 1.6.2 Приведение нелинейной цепи постоянного тока к графическому методу расчета для двух узлов

Определить значения токов во всех ветвях нелинейной цепи постоянного тока рис. 1.6.4.

Определить значения токов во всех ветвях нелинейной цепи постоянного тока

Рис. 1.6.4

Величины сопротивлений и входного напряжения указаны на рис. 1.6.4.

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов

Рис. 1.6.5

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов показаны на рис. 1.6.5 в виде кривых I1 = f (U1); I2 = f (U2).

Решение. Для определения токов I1 и I2 в ветвях с нелинейными элементами разомкнем эти ветви и найдем напряжения U1х и U2х из схемы рис. 1.6.6

Для определения токов I1 и I2 в ветвях с нелинейными элементами разомкнем эти ветви и найдем напряжения U1х и U2х из схемы рис. 1.6.6

Рис. 1.6.6

U 1x =U R 3 R 3 + R 4 =12⋅ 6 18 =4  В; U 2x =U R 4 R 3 + R 4 =12⋅ 12 18 =8  В.

2. Включим в соответствующие ветви с нелинейными элементами ЭДС E1х = U1х и E2х = U2х и замкнем накоротко зажимы a и c, к которым присоединен внешний источник напряжения (рис. 1.6.7).

Преобразованная схема нелинейной цепи постоянного тока

Рис. 1.6.7

Токи I1 и I2 в этой схеме будут равны действительным токам в соответствующих ветвях заданной схемы. После замены двух параллельных ветвей с сопротивлением R3 и одной эквивалентной ветвью получаем схему с двумя узлами (рис. 1.6.8), где

R 5 =2   Ом;   R 34 = R 3 ⋅ R 4 R 3 + R 4 =4   Ом.

Расчетная схема нелинейной цепи постоянного тока графическим методом для двух узлов

Рис. 1.6.8

Пользуясь схемой рис. 1.6.8, можно токи I1 и I2 определить графически, как это было сделано в предыдущей задаче 1.6.1.

Задача 1.6.3 Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом линеаризации

Рассчитать ток I и напряжения U1 и U2 в цепи рис. 1.6.9, а, применив метод линеаризации. Характеристика нелинейного элемента показана на рис. 1.6.9, б.

Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом линеаризации

Рис. 1.6.9

Решение

1. Выбираем рабочую точку A (U = 86 В; I = 0,7 А) в почти линейной части вольт-амперной характеристики. Проводим в этой точке касательную, которая на оси ординат отсекает точку с напряжением U = 70 В. Для рабочей точки дифференциальное сопротивление

R Д = ΔU ΔI = 86−70 0,7 =22,8  Ом.

2. Исходную схему замещаем эквивалентной линейной (рис. 1.6.9, в). Для этой цепи

I= U−E R+ R Д = 100−70 20+22,8 =0,7  А.

Напряжения на элементах

U 1 =E+I⋅ R Д =70+0,7⋅22,8=86  В; U 2 =I⋅R=0,7⋅20=14  В.

Полученная рабочая точка A лежит в линейной части вольт-амперной характеристики. Если полученные значения токов и напряжений не находятся в «окрестностях» рабочей точки, расчет необходимо повторить, выбрав другую рабочую точку.

Задача 1.6.4 Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом итераций

Определить значение токов в нелинейной цепи постоянного тока методом итераций (рис. 1.6.10), если Е1 = 135 В; E2 =115 В.

Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом итераций

Рис. 1.6.10

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов даны на рис. 1.6.2: I1 (U1) — кривая 1; I2 (U2) — кривая 2.

Решение

1. Составим уравнения для данной цепи, применив законы Кирхгофа

{ I 1 + I 2 − I 3 =0; I 1 ⋅ R 4 + U 1 + I 3 ⋅ R 3 = E 1 ; I 2 ⋅ R 5 + U 2 + I 3 ⋅ R 3 = E 2 .

Исключив переменную I3, число уравнений сокращаем до числа нелинейных элементов

{ I 1 ⋅ ( R 3 + R 4 )+ I 2 ⋅ R 3 + U 1 = E 1 ; I 1 ⋅ R 3 + I 2 ⋅ ( R 3 + R 5 )+ U 2 = E 2 .

2. Для обеспечения сходимости из первого уравнения находим U1, а из второго — I2

{ U 1 = E 1 − I 2 ⋅ R 3 − I 1 ⋅ ( R 3 + R 4 ); I 2 = E 2 − U 2 R 3 + R 5 − I 1 R 3 R 3 + R 5 .

Текущие значения токов и напряжений обозначаем индексом k, а уточненные значения — индексом (k +1). Окончательно получаем

{ U 1 ( k+1 ) = E 1 − I 2k ⋅ R 3 − I 1k ⋅ ( R 3 + R 4 ); I 2 ( k+1 ) = E 2 − U 2k R 3 + R 5 − I 1k R 3 R 3 + R 5 .

Значения I1k и U2k определяем из вольт-амперных характеристик соответствующих нелинейных элементов по известным U1k и I2k.

Сначала (k = 0) произвольно выбираем U10 = 40 В; I20 = 0,5 А.

Подставив их в итерационные уравнения, получаем

U11 = 50,2 В; I21 = 0,383 А.

Процедуру повторяем с уточненными значениями U12, I22 и т. д.

После семи шагов значения U1 и I2 будут изменяться незначительно. Вычисления прекращаем.

Таблица 1.6.2

Авто аукцион сша на русском по материалам http://www.shturman.club.

k

U1k, В

I2k, А

Из характеристик

Из уравнения

U2k, В

I1k, А

I2 (k+1), А

U1 (k+1), В

0

40

0,5

80

0,8

0,383

50,2

1

50,2

0,383

75

0,85

0,33

55,72

2

55,72

0,33

72

0,88

0,313

58,3

3

58,3

0,313

71

0,89

0,305

59,4

4

59,4

0,305

70,5

0,897

0,301

59,9

5

59,9

0,301

70,1

0,9

0,3

59,96

6

59,96

0,3

70,0

0,9

0,3

60,0

7

60,0

0,3

70,0

0,9

0,3

60,0

Результаты расчета нелинейной цепи постоянного тока методом итераций показаны в табл. 1.6.2. Из нее следует: U1 = 60 В; I2 = 0,3 А; из вольт-амперных характеристик (–I1) = 0,9 А; U2 = 70 В, а из первого уравнения законов Кирхгофа находим ток I3 = I1 + I2 = 1,2 А.


Ссылка на статью по нелинейным электрическим цепям постоянного тока НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

расчет нелинейных цепей постоянного тока

Выбор метода расчета
нелинейной цепи в значительной мере
зависит от того, как заданы ВАХ нелинейных
элементов – графиком, таблицей или
аналитическим выражением. В зависимости
от условий выбирают следующие методы:

1. Графический метод, когда ВАХ нелинейных
элементов и линейной части цепи
представлены в виде графиков, а система
уравнений Кирхгофа решается графически.

2. Аналитический метод, когда ВАХ
нелинейных элементов аппроксимированы
аналитическими функциями.

3. Графо-аналитический метод, когда ВАХ
линейной части цепи представлена
аналитически, а нелинейных элементов
– в виде графиков.

Нелинейные
электрические цепи простой конфигурации
удобно рассчитывать графическим методом.
Расчет нелинейной цепи сводится к
нахождению токов и напряжений на участках
цепи с помощью вольтамперных характеристик.

6.2.1. Последовательное соединение нелинейных элементов

На
рис. 6.3 а показано последовательное
соединение двух нелинейных элементов
НС1 и НС2, характеристики которыхипредставлены на рис. 6.3 б.

Рис. 6.3

Для
определения тока в цепи и напряжений
на нелинейных элементах запишем уравнение
по второму закону Кирхгофа:,
т.е. представим последовательное
соединение двух нелинейных элементов
одним нелинейным элементом с эквивалентной
ВАХ (рис. 6.3 в). Для получения эквивалентной
(результирующей) ВАХ необходимо сложить
абсциссыипри одинаковых ординатах,
для чего провести прямые, параллельные
оси абсцисс (),
и сложить напряжения при одинаковых
токах. По точкам строим результирующую
ВАХ.
Затем по напряжению источниканаходим токи напряженияина каждом нелинейном элементе.

Такие
же построения для расчета тока и
напряжений можно выполнить, если один
из элементов линейный. Аналогично
решается задача расчета цепи, состоящей
из трех или более последовательно
соединенных нелинейных элементов.

Ток и напряжения
на линейных элементах (рис. 6.3 а)
могут быть найдены без построения
результирующей характеристики по
второму закону Кирхгофа в виде.
Для этого кривуюследует перенести параллельно оси
абсцисс вправо от начала координат на
напряжение источника(рис. 6.4) и повернуть ее так, чтобы получить
зеркальное отображение относительно
оси тока. Точка пересечения зеркальной
характеристикиодного нелинейного элемента с
характеристикой другогодаст ток в цепи и напряженияи.

6.2.2. Параллельное соединение нелинейных элементов

На рис. 6.5 а показаны
соединенные параллельно два нелинейных
элементы НС1 и НС2, ВАХ которых
изаданы (рис. 6.5 б).Если напряжение
на входе цепиUизвестно,
то по ВАХилегко определить токиив нелинейных элементах и по первому
закону Кирхгофа найти ток в неразветвленной
части цепи.

Если
задан ток
то для определения напряженияи токов
иче–

Рис. 6.5

рез нелинейные элементы необходимо
построить результирующую характеристику
,
т.е. зависимость суммарного тока от
напряженияТак как при
параллельном соединении
то для построения этой характеристики
в соответствии с уравнениемсуммируем ординаты кривыхидля одних и тех же значений напряжения
(рис. 6.5 б). Полученная ВАХсоответствует эквивалентному НС12 (рис.
6.5 в). Далее по известному токунаходят напряжениеи токи в ветвях (рис. 6.5 б).

Таким же способом можно рассчитать
электрическую цепь с любым числом
параллельно включенных нелинейных
элементов.

Соседние файлы в папке Лекции

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

ads

Расчет электрических цепей, содержащих нелинейные элементы, может проводиться аналитическим или графическим методом расчета.

Рассмотрим расчет неразветвленной нелинейной электрической цепи графическим методом (рисунок 1).

Рисунок 1 – Неразветвленная электрическая цепь с нелинейными элементами.

Рисунок 1 – Неразветвленная электрическая цепь с нелинейными элементами

Для определения параметров нелинейной электрической цепи необходимо построить вольт-амперные характеристики нелинейных элементов в одном масштабе по оси абсцисс и ординат (рисунок 2).

Графический расчет неразветвленной нелинейной цепи

Рисунок 2 — Построение вольт-амперной характеристики неразветвленной цепи

При последовательном соединении элементов в электрической цепи сумма напряжений на каждом элементе равна прикладываемому к цепи напряжению источника напряжения. Для построения вольт-амперной характеристики цепи необходимо для одного и того же значения тока по оси произвести сложение координат абсцисс точек вольт-амперных характеристик нелинейных элементов (О’А= О’А’ + О’А’ ‘).

Вольт-амперная характеристика I1(U1) соответствует для нелинейного элемента НЭ1, характеристика I2(U2) — для НЭ2. ВАХ I (U) — является «суммой» двух первых характеристик.

Полученная ВАХ I(U) дает возможность по заданному напряжению найти ток в цепи н напряжения на нелинейных элементах и, наоборот, при заданном токе определить общее напряжение и напряжения на нелинейных элементах.

Например при заданном токе I’ напряжение на НЭ1 будет равно U’2, на НЭ2 — U’1


Рассмотрим графический метод расчета для параллельно соединенных элементов.

Рисунок 3 - Электрическая цепь с параллельно соединенными нелинейными элементами.

Рисунок 3 — Электрическая цепь с параллельно соединенными нелинейными элементами.

При расчете нелинейной электрической цепи с параллельно включенными элементами необходимо определить по вольт-амперным характеристикам токи в ветвях I1 и I2, т.к. напряжения на этих элементах равны.

Графический расчет при параллельном соединении двух нелинейных элементов

Рисунок 4 — График для определения токов при параллельном соединении двух нелинейных элементов.

Отложив на оси абсцисс заданное напряжение источника питания (отрезок 0А) и восстановив перпендикуляр из точки А, найдем отрезки AA1 и АА2, выражающие токи I1 и I2. Ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях.

Если требуется найти токи по заданному току в неразветвленной части цепи, то необходимо построить общую ВАХ I(U), складывая ординаты ВАХ параллельных ветвей, соответствующие одним и тем же значениям напряжения (рис. 4).


Графический метод расчета цепей со смешанным соединением нелинейных элементов заключается в построении общих вольт-амперных характеристик для разветвленных участков цепи и для последовательно соединенных участков. Полученная таким образом общая ВАХ цепи дает возможность определить токи и напряжения yа всех участках цепи.

Файл “Нелинейные цепи_методичка” внутри архива находится в следующих папках: Спецглавы электротехники 2524, Лабораторные работы, Нелинейные цепи_виртуальная ЛР. Документ из архива “Динамика вращательного движения”,
который расположен в категории “”.
Всё это находится в предмете “физика” из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана.
Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Лабораторная работа

«Исследование нелинейных электрических цепей постоянного тока»

Цель работы – исследование нелинейных цепей постоянного тока.

1. Основные теоретические сведения

Элементы электрической цепи, параметры которых зависят от тока, протекающего через них, или напряжения на их зажимах, являются нелинейными, а цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент, являются нелинейными цепями. Процессы в таких цепях описываются нелинейными уравнениями, причем, к расчету нелинейных цепей неприменим принцип суперпозиции.

Физические процессы, определяющие характеристики нелинейных элементов, часто настолько сложны, что не удается установить аналитическое выражение для них. В этом случае прибегают к графическому (вольт-амперные характеристики) или табличному представлению нелинейных зависимостей, полученных экспериментальным путем.

По виду вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейные элементы можно разделить на симметричные и несимметричные, на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками. Неоднозначной является характеристика, у которой каждому значению тока соответствует не одно, а несколько значений напряжения и наоборот, одному значению напряжения соответствует несколько значений тока.

Основным нелинейным элементом электрических цепей при постоянном токе является нелинейный резистор (рис. 1), параметры которого задаются вольт-амперной характеристикой (или).

Рис. 1. Нелинейный резистор

Примеры вольт-амперных характеристик нелинейных элементов изображены на рис. 2.

а б

в

Рис. 2. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов:

а – симметричная; б – неоднозначная; в – несимметричная

На рис. 2 ВАХ нелинейных элементов представлены, как , а не , т.е. как ампер-вольтные характеристики. Это характерно для отображения параметров элементов в электронике.

Симметричную ВАХ имеют, например, варисторы (рис. 2, а), неоднозначная ВАХ характерна для туннельных диодов (рис. 2, б), несимметричная – для выпрямительных диодов (рис. 2, в).

Характеристики нелинейных элементов

Основными параметрами нелинейного элемента являются статическое сопротивление и дифференциальное сопротивление

Графически статическое сопротивление определяется тангенсом угла наклона секущей, проходящей через начало координат и через рабочую точку (А), (рис. 3), а дифференциальное сопротивление – тангенсом угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике в точке А: .

Рис. 3. Определение параметров нелинейного элемента по ВАХ

Статическое и дифференциальное сопротивления на нелинейном участке вольт-амперной характеристики не равны друг другу и зависят от положения рабочей точки на ВАХ.

Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Для расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока используют графический, аналитический и графо-аналитический методы.

В случае применения графического метода характеристики линейных и нелинейных элементов представляют в виде графиков, а система алгебраических уравнений по законам Кирхгофа решается графическими построениями на плоскости. Для аналитического решения вольт-амперные характеристики нелинейных элементов записываются в виде аналитического выражения или , а расчет проводится по законам Кирхгофа. Графоаналитический метод сочетает в себе графический и аналитические методы расчета. Применяется для расчета разветвленных электрических цепей, содержащих один нелинейный элемент.

Графический метод расчета нелинейных цепей

Рассмотрим простейшую нелинейную электрическую цепь (рис. 4), для которой задана ВАХ нелинейного элемента и E = 15 В.

Рис. 4. Простейшая нелинейная цепь и ВАХ нелинейного элемента

Для такой схемы расчет тока является очень простым. Откладываем значение напряжения на нелинейном элементе (НЭ) на ВАХ и определяем ток по графику I = 0.1 А.

Если в цепь включены два последовательных нелинейных элемента, то через них протекает один ток, а напряжения суммируются (второй закон Кирхгофа). Следовательно, если заданы ВАХ последовательно включенных элементов, то можно, просуммировав значения напряжений на графике при одном токе, построить суммарную характеристику, т.е. упростить схему до элементарной. Графики суммируются следующим образом (рис. 5):

  1. Выбираем произвольно значение тока, например, I1;

  2. Определяем напряжение на первом нелинейном элементе (НЭ1) U11;

  3. К напряжению на втором нелинейном элементе (НЭ2) U21 прибавляем напряжение U11, на пересечении вертикали I1 с горизонталью U21+ U11 получаем точку А нового суммарного графика;

  4. Выбрав новое значение тока, например, I2, определяем положение на ВАХ точки В;

  5. По точкам А, B и т.д. строится результирующая ВАХ (). Чем больше определено точек суммарного графика, тем точнее будет решение;

  6. По результирующей ВАХ определяем ток в цепи ().

Рис. 5. Последовательное включение нелинейных элементов

При параллельном включении нелинейных элементов напряжение на них будет одинаковое, а токи суммируются (первый закон Кирхгофа). Следовательно, ВАХ параллельно включенных элементов нужно суммировать при одном напряжении (по горизонтали).

Графический метод расчета при комбинированном включении нелинейных элементов заключается в последовательном преобразовании схемы (сложение последовательных элементов при одном токе и параллельных при одном напряжении) к простейшему виду. После этого по соответствующим ВАХ определяют токи в ветвях и напряжения на элементах.

Графо-аналитический метод

Графо-аналитический метод применим для расчета цепей, содержащих один нелинейный элемент, и является разновидностью метода эквивалентного генератора.

Относительно нелинейного элемента всю остальную часть схемы можно заменить эквивалентным генератором напряжения, ЭДС которого равна напряжению на разомкнутых зажимах ветви с нелинейным элементом (режим холостого хода), а его внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению пассивного линейного двухполюсника (ЭДС замкнуты накоротко, источники токов разомкнуты) относительно разомкнутой ветви с нелинейным элементом.

Так как определение напряжения холостого хода и входного сопротивления проводится при исключенном из рассмотрения нелинейном элементе, то эти этапы расчета являются чисто линейными задачами. Таким образом, сложная схема сводится к схеме, представленной на рис. 6. Определение же тока в нелинейном элементе и напряжения на нем проводится графическим методом.

Рис. 6. Схема нагруженного эквивалентного источника напряжения

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для схемы рис. 6, будет следующим: , где – напряжение холостого хода, т.е. при сопротивлении нагрузки, равном бесконечности, а – входное сопротивление схемы, в которой все источники заменены на их внутренние сопротивления.

Ток в схеме (и напряжение на нелинейном элементе) можно определить по найденному значению ЭДС, построив линейную вольт-амперную характеристику сопротивления (зависимость ) и сложив две вольт-амперные характеристики и (рис.7).

Рис. 7. Графическое определения тока и напряжения на нелинейном элементе

На рис. 7 график напряжения представляет собой сумму двух ВАХ: .

Недостатком этого метода является то, что точность расчета зависит от того, насколько тщательно построены вольт-амперные характеристики, как исходные, так и полученные при суммировании графиков, а повышение точности при построении графиков приводит к увеличению трудоемкости расчета.

Однако расчет можно упростить, если исходное уравнение привести к виду:

В этом случае решение задачи, то есть ток и напряжение на нелинейном элементе, определяется по точке пересечения вольт-амперной характеристики нелинейного элемента и линейной вольт-амперной характеристики эквивалентного генератора (), которую легко построить по любым двум точкам (рис.8).

Как правило, ее строят по точкам, соответствующим режиму холостого хода и короткого замыкания: при напряжение (режим холостого хода) и при ток (режим короткого замыкания).

Линейную ВАХ схемы (рис. 8) называют нагрузочной прямой.

Рис. 8. ВАХ нелинейного элемента и нагрузочная прямая

Пересечение нагрузочной прямой с ВАХ нелинейного элемента и даст искомое решение – ток и напряжение .

2. Краткое описание средыMultisim

Рабочее окно среды Multisim (рис. 9) состоит из следующих групп:

– строка основного меню содержит: File, Edit, View, Place, MCU, Simulate, Transfer, Tools, Report, Options, Windows, Help. Каждый из перечисленных элементов имеет выпадающее меню.

– строка операций (дублирует элементы выпадающих меню): новый файл (New); открыть (Open File); открыть пример (Open a sample design); сохранить файл (Save File); печать (Print Circuit) и т. д.

– строка базы данных компонентов содержит группы элементов: источники (Place Sources); пассивные компоненты и коммутационные устройства (Place Basic); диоды (Place Diodes); транзисторы (Place Transistors); аналоговые микросхемы (Place Analog); цифровые микросхемы TTLсерии (Place TTL); цифровые микросхемы КМОП серии (Place CMOS) и т.д.

– группа элементов управления моделированием: запуск (Run); пауза (Pause); стоп (Stop) и т.д. В правом верхнем углу панели элементы управления продублированы в виде тумблера «0/I» (Toggle the Simulation Switch).

– столбец измерительных приборов (с правой стороны панели) содержит: мультиметр (Multimetr); функциональный генератор (Function Generation); ваттметр (Wattmetr); осциллограф (Oscilloscope); четырехканальный осциллограф (4 Channel Oscilloscope) и т.д.

– рабочее поле.

Добавить комментарий