Как найти напряжение переменного тока с индуктивностью

Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянных токов. Однако эти законы остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся во времени тока или напряжения, если их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью света с. Если за время τ = l/c, которое необходимо для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи l, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения тока в начале и конце цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для них справедливо неравенство:

где Т – период изменения тока.

3 м τ = 10 -8 с. Таким образом, вплоть до периодов Т

10 -6 с, что соответствует частоте 10 6 Гц, токи в такой цепи можно считать квазистационарными. Ток промышленной частоты 50 Гц будет квазистационарным для цепей длиной l

Рис.3.9.1. Представление переменных токов с помощью векторных диаграмм

Мгновенные значения квазистационарного тока подчиняются закону Ома, и для него справедливы правила Кирхгофа. Пусть к зажимам сопротивления R (Рис.3.9.1), не обладающего индуктивностью или емкостью (такое сопротивление называется активным), приложено напряжение, изменяющееся со временем по закону:

где U m – амплитудное значение напряжения. При выполнении условия квазистационарности ток через сопротивление определяется законом Ома:

Здесь введено обозначение амплитудного значения тока:

Удобно при описании переменных токов использовать векторные диаграммы. Выберем произвольное направление, которое назовем осью токов. Отложим вдоль этого направления вектор тока длиной I m. Поскольку напряжение и ток в данном случае изменяются во времени синхронно, вектор напряжения также будет направлен вдоль оси токов. Его длина равна RI m .

3.9.2. Переменный ток, текущий через индуктивность

Рис.3.9.2. Переменный ток, текущий через индуктивность

Подадим переменное напряжение на концы индуктивности L с пренебрежимо малыми сопротивлением и емкостью (Рис.3.9.2). Через индуктивность будет течь переменный ток, вследствие чего возникнет ЭДС самоиндукции:

Используя второе правило Кирхгофа, можем записать:

В данном случае все напряжение приложено к индуктивности. Следовательно, величина

и есть падение переменного напряжения на индуктивности.

Перепишем уравнение (3.9.6) в виде:

Постоянный ток в данном примере отсутствует, поэтому const = 0. Следовательно, имеем:

Из сопоставления (3.9.11) и (3.9.4) следует, что роль сопротивления в цепи с индуктивностью играет величина:

которую называют реактивным индуктивным сопротивлением.

Как видно из (3.9.12), величина индуктивного сопротивления растет при увеличении частоты тока. Постоянному току индуктивность сопротивления не оказывает.

Используя (3.9.6) и (3.9.11), падению напряжения на индуктивности можно придать вид:

Из сравнения (3.9.13) и (3.9.10) следует, что между током и напряжением в цепи с индуктивностью существует сдвиг фаз на 90 0 , причем ток отстает по фазе от напряжения. На векторной диаграмме это обстоятельство можно отразить как на Рис.3.9.2б.

3.9.3. Переменный ток, текущий через емкость

Рис.3.9.3. Ток и напряжение в цепи с емкостью

Пусть переменное напряжение подано на емкость С (Рис.3.9.3) Индуктивностью и сопротивлением подводящих проводов пренебрегаем. Емкость непрерывно перезаряжается, благодаря чему через нее протекает переменный ток. Напряжение на конденсаторе можно считать равным внешнему напряжению:

Умножая (3.9.14) на С и дифференцируя по времени, получим ток:

Величина Х С в цепи с емкостью играет роль сопротивления и называется реактивным емкостным сопротивлением.

Для постоянного тока Х С = ±, так как постоянный ток течь через конденсатор не может. Переменный ток через конденсатор проходит, причем сопротивление току тем меньше, чем больше частота.

Заменив в соотношении (3.9.14) амплитуду напряжения, используя (3.9.16), имеем:

Сравнив (3.9.17) и (3.9.15), можно сделать вывод, что между током и напряжением в цепи с емкостью существует сдвиг фаз на 90 0 , причем ток опережает по фазе напряжение. На векторной диаграмме это обстоятельство можно отразить как на Рис. 3.9.3б.

3.9.4. Переменный ток, текущий через цепь с емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением

Рис.3.9. 4. Цепь с индуктивностью, емкостью и активным сопротивлением

Рассмотрим цепь, включающую в себя активное сопротивление, индуктивность и емкость (Рис.3.9.4). Подадим на эту цепь переменное напряжение с частотой ω . В цепи возникнет переменный ток с той же частотой. Он вызовет падение напряжения на активном сопротивлении U R . Фаза этого напряжения совпадает с фазой тока, поэтому вектор напряжения откладывают вдоль оси токов. Падение напряжения на индуктивности U L опережает ток по фазе на 90 0 , поэтому вектор, изображающий U L , должен быть повернут относительно оси токов на 90 0 против часовой стрелки. Наконец, падение напряжения на емкости U С отстает по фазе от тока на 90 0 и должно быть изображено вектором U С , повернутым относительно оси токов на 90 0 по часовой стрелки.

Сложив векторы, изображающие U L , U R и U С , получим вектор, изображающий приложенное напряжение U. Его длина равна U m . Этот вектор образует с осью токов угол φ, тангенс которого можно вычислить из Рис.3.9.4:

Угол φ дает разность фаз между напряжением U и силой тока i. Из Рис.3.9.4 следует также, что:

Итак, если напряжение на зажимах цепи изменяется по закону:

то в такой цепи будет течь ток:

называется полным сопротивлением цепи. При этом величина

носит наименование реактивного сопротивления . Поэтому формулу (3.9.23) можно представить в виде:

Ток отстает от напряжения (φ > 0) или опережает его (φ L и Х С .

Если , то φ > 0, и ток отстает от напряжения по фазе;

Если , то φ

, то φ = 0, и ток и напряжение изменяются синфазно.

Для выполнения 3 условия необходимо, чтобы частота имела значение:

Если частота внешнего напряжения имеет значение (3.9.25), полное сопротивление цепи имеет наименьшее значение, равное:

Соответственно, сила тока будет иметь наибольшее значение. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи:

Падения напряжения на индуктивности и емкости равны по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений , а частота (3.9.25) – резонансной.

При ω = ω рез имеем для амплитуд напряжений на индуктивности и емкости :

Если , то падения напряжения на индуктивности и емкости будут превышать напряжение, приложенное к цепи.

Если емкость в цепи отсутствует, приложенное напряжение равно сумме напряжений на сопротивлении и индуктивности (Рис. 3.9.5):

Тогда из Рис. 3.9.5 следует, что:

Эти формулы совпадут с выражениями (3.9.18) и (3.9.20) соответственно, если в последних положить , т.е. С = ± . Таким образом, отсутствие емкости в цепи означает именно условие С = ± . Действительно, постепенный переход от цепи, содержащей емкость, к цепи без емкости можно представить себе как сближение обкладок конденсатора вплоть до их полного соприкосновения. Но в этом случае расстояние между ними уменьшается, а емкость возрастает.

3.9.5. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Рис.3.9.5. Векторная диаграмма для цепи с индуктивностью и сопротивлением

Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

P(t) = U(t)I(t) = U m cosωt·I m cos(ωt-φ).

(3.9.31)

соотношению (3.9.31) можно придать вид:

Практический интерес представляет среднее по времени значение Р(t), которое обозначим через Р. Так как среднее значение cos(2ωt-φ ) = 0, то выполняется:

Средняя мощность выделяется в активном сопротивлении в виде тепла. Используя векторную диаграмму Рис. 3.9.4, можно получить:

Подставляя (3.9.34) в (3.9.33) и учитывая, что , получаем:

Такую же мощность развивает постоянный ток, для которого сила тока равна величине:

Величина (3.9.36) называется действующим , или эффективным , значением силы тока. Аналогично для напряжения имеем действующее значение:

Используя (3.9.36) и (3.9.37), формулу (3.9.33) можно представить в виде:

Входящий в (3.9.38) множитель cosφ называют коэффициентом мощности . Если реактивное сопротивление Х = 0, то, согласно (3.9.34), cosφ = 1, и P = UI (выделяется максимальная мощность). При чисто реактивном сопротивлении цепи R = 0 и cosφ = 0, поэтому средняя мощность также равна нулю. В данном случае невозможно получить выделяемую мощность, отличную от нуля. В электротехнике для сокращения потерь поэтому стремятся сделать значение cosφ как можно больше.

3.9.6. Свободные колебания тока в электромагнитном контуре без потерь

В цепи, содержащей параллельно соединенные индуктивность и емкость, возникают электрические колебания. Такая цепь называется колебательным контуром (Рис.3.9.6).

Рис.3.9.6. Электромагнитные колебания в колебательном контуре

Для того, чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока, вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды величиной q m (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна . Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться, и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля начнет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленная током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна величине .

Так как считается, что активное сопротивление равно нулю, полная энергия не расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля в нем равны нулю, энергия магнитного поля и величина тока достигают максимального значения (стадия 2).

В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора достигнут первоначальной величины, сила тока становится равной нулю (стадия 3). Отметим, что знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны тем, что были на начальном уровне.

Затем те же процессы протекают в обратном порядке (стадии 4 и 5), и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе описанного процесса периодически изменяются (колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе, сила тока, текущего через индуктивность.

Колебаниям в контуре можно сопоставить колебания пружинного маятника.

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы m, величина, обратная емкости С -1 , — роль коэффициента жесткости k. Наконец, заряду q соответствует смещение маятника х, а силе тока — скорость.

Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падения напряжения на емкости и на индуктивности в сумме должны дать нуль:

Разделив (3.9.39) на величину L и используя выражение для тока , получим:

то уравнение (3.9.40) принимает вид:

Это дифференциальное уравнение 2 порядка, известное как уравнение колебаний. Его решением является функция:

Следовательно, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой формулой (10.41). Это – собственная частота контура. Для периода колебаний из (10.41) можно получить формулу Томсона :

3.9.7 Электромагнитные волны

В процессах преобразования электрической энергии в энергию магнитного поля и обратно, происходящих в электромагнитном контуре, возникают электромагнитные колебания, обусловленные неразрывной связью между переменным магнитным и переменным электрическим полями. Максвелл теоретически вычислил, что такие электромагнитные колебания могут распространяться в свободном пространстве со скоростью света, приобретая при этом свойства электромагнитных волн (Рис.3.9.7).

Рис.3.9.7. Структура электромагнитной волны

Как видно из рисунка, векторы электрического и магнитного полей образуют с направлением распространения правовинтовую систему. В фиксированной точке пространства эти векторы изменяются со временем по гармоническому закону. Поскольку волна должна распространяться в пространстве, векторы электрического и магнитного полей должны зависеть от координаты:

Это – уравнения плоской электромагнитной волны, где

модуль волнового вектора, совпадающего с направлением распространения электромагнитной волны, ω и λ — циклическая частота и длина волны,

скорость электромагнитной волны, совпадающая со скоростью света.

Экспериментальное подтверждение теории Максвелла было сделано Г.Герцем в 1888г. Для получения волн Герц использовал изобретенный им вибратор. В колебательном контуре электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное – внутри катушки. В окружающее пространство эти поля попасть не могут. Чтобы появилось излучение, нужно модифицировать колебательный контур, сделать его открытым. Этого можно достигнуть, увеличивая расстояние между пластинами конденсатора и между витками катушки (Рис.3.9.8). В пределе можно прийти к вибратору Герца – устройству, которое будет излучать электромагнитные волны, если через вибратор пропускать переменный электрический ток.

Рис.3.9.8. Открытый колебательный контур

Источник

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Рассмотрим цепь, содержащую в себе катушку индуктивности , и предположим, что активное сопротивление цепи, включая провод катушки, настолько мало, что им можно пренебречь. В этом случае подключение катушки к источнику постоянного тока вызвало бы его короткое замыкание, при котором, как известно, сила тока в цепи оказалась бы очень большой.

Иначе обстоит дело, когда катушка присоединена к источнику переменного тока. Короткого замыкания в этом случае не происходит. Это говорит о том. что катушка индуктивности оказывает сопротивление проходящему по ней переменному току .

Каков характер этого сопротивления и чем оно обусловливается?

Чтобы ответить ил этот вопрос, вспомним явление самоиндукции. Всякое изменение тока в катушке вызывает появление в ней ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению тока. Величина ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна величине индуктивности катушки и скорости изменения тока в ней. Но так как переменный ток непрерывно изменяется, то непрерывно возникающая в катушке ЭДС самоиндукции создает сопротивление переменному току.

Для уяснения процессов, происходящих в цепи переменного тока с катушкой индуктивности, обратимся к графику. На рисунке 1 построены кривые линии, характеризующие соответственно тик в цепи, напряжение на катушке и возникающую в ней ЭДС самоиндукции. Убедимся в правильности произведенных па рисунке построений.

Цепь переменного тока с катушкой индуктивности

С момента t = 0, т. е. с начального момента наблюдения за током, он начал быстро возрастать, но по мере приближения к своему максимальному значению скорость нарастания тока уменьшалась. В момент, когда ток достиг максимальной величины, скорость его изменения на мгновение стала равной нулю, т. е. прекратилось изменение тока. Затем ток начал сначала медленно, а потом быстро убывать и по истечении второй четверти периода уменьшился до нуля. Скорость же изменения тока за эту четверть периода, возрастая от пуля, достигла наибольшей величины тогда, когда ток станет равным нулю.

Рисунок 2. Характер изменений тока во времени в зависимости от величины тока

Из построений на рисунке 2 видно, что при переходе кривой тока через ось времени увеличение тока за небольшой отрезок времени t больше, чем за этот же отрезок времени, когда кривая тока достигает своей вершины.

Следовательно, скорость изменения тока уменьшается по мере увеличения тока и увеличивается по мере его уменьшения, независимо от направления тока в цепи.

Очевидно, и ЭДС самоиндукции в катушке должна быть наибольшей тогда, когда скорость изменения тока наибольшая, и уменьшаться до нуля, когда прекращается его изменение. Действительно, на графике кривая ЭДС самоиндукции e _L за первую четверть периода, начиная от максимального значения, упала до нуля (см. рис. 1).

На протяжении следующей четверти периода ток от максимального значения уменьшался до нуля, однако скорость его изменения постепенно возрастала и была наибольшей в момент, когда ток стал равным нулю. Соответственно и ЭДС самоиндукции за время этой четверти периода, появившись вновь в катушке, постепенно возрастала и оказалась максимальной к моменту, когда ток стал равным нулю.

Однако направление свое ЭДС самоиндукции изменила на обратное, так как возрастание тока в первой четверти периода сменилось во второй четверти его убыванием.

Продолжив дальше построение кривой ЭДС самоиндукции, мы убеждаемся в том, что за период изменения тока в катушке и ЭДС самоиндукции совершит в ней полный период своего изменения. Направление ее определяется законом Ленца: при возрастании тока ЭДС самоиндукции будет направлена против тока (первая и третья четверти периода), а при убывании тока, наоборот, совпадать с ним по направлению (вторая и четвертая четверти периода).

Таким образом, ЭДС самоиндукции, вызываемая самим переменным током, препятствует его возрастанию и , наоборот, поддерживает его при убывании .

Обратимся теперь к графику напряжения на катушке (см. рис. 1). На этом графике синусоида напряжения на зажимах катушки изображена равной и противоположной синусоиде ЭДС самоиндукции. Следовательно, напряжение на зажимах катушки в любой момент времени равно и противоположно ЭДС самоиндукции, возникающей в ней. Напряжение это создается генератором переменного тока и идет на то, чтобы погасить действие в цепи ЭДС самоиндукции.

Таким образом, в катушке индуктивности, включенной в цепь переменного тока, создается сопротивление прохождению тока. Но так как такое сопротивление вызывается в конечном счете индуктивностью катушки , то и называется оно индуктивным сопротивлением.

Индуктивное сопротивление обозначается через X _L и измеряется, как и активное сопротивление, в омах.

Индуктивное сопротивление цепи тем больше, чем больше частота источника тока, питающего цепь, и чем больше индуктивность цепи. Следовательно, индуктивное сопротивление цепи прямо пропорционально частоте тока и индуктивности цепи; определяется оно по формуле X L = ω L , где ω — круговая частота, определяемая произведением 2π f . — индуктивность цепи в гн.

Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей индуктивное сопротивление, звучит так: величина тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна индуктивному сопротивлению це п и , т. е. I = U / X _L , где I и U — действующие значения тока и напряжения, а X _L — индуктивное сопротивление цепи.

Рассматривая графики изменения тока в катушке. ЭДС самоиндукции и напряжения на ее зажимах, мы обратили внимание на то, что изменение этих в еличин не совпадает по времени. Иначе говоря, синусоиды тока, напряжения и ЭДС самоиндукции оказались для рассматриваемой нами цепи сдвинутыми по времени одна относительно другой. В технике переменных токов такое явление принято называть сдвигом фаз .

Если же две переменные величины изменяются по одному и тому же закону (в нашем случае по синусоидальному) с одинаковыми периодами, одновременно достигают своего максимального значения как в прямом, так и в обратном направлении, а также одновременно уменьшаются до нуля, то такие переменные величины имеют одинаковые фазы или, как говорят, совпадают по фазе.

В качестве примера на рисунке 3 приведены совпадающие по фазе кривые изменения тока и напряжения. Такое совпадение фаз мы всегда наблюдаем в цепи переменного тока, состоящей только из активного сопротивления.

В том случае, когда цепь содержит индуктивное сопротивление, фазы тока и напряжения, как это видно из рис. 1 не совпадают, т. е. имеется сдвиг фаз между этими переменными величинами. Кривая тока в этом случае как бы отстает от кривой напряжения на четверть периода.

Следовательно, при включении катушки индуктивности в цепь переменного тока в цепи появляется сдвиг фаз между током и напряжением, причем ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода . Это значит, что максимум тока наступает через четверть периода после того, как наступил максимум напряжения.

ЭДС же самоиндукции находится в противофазе с напряжением на катушке, отставая, в свою очередь, от тока на четверть периода. При этом период изменения тока, напряжения, а также и ЭДС самоиндукции не меняется и остается равным периоду изменения напряжения генератора, питающего цепь. Сохраняется также и синусоидальный характер изменения этих величин.

Рисунок 3. Совпадение по фазе тока и напряжения в цепи с активным сопротивлением

Выясним теперь, каково отличие нагрузки генератора переменного тока активным сопротивлением от нагрузки его индуктивным сопротивлением.

Когда цепь переменного тока содержит в себе лишь одно активное сопротивление, то энергия источника тока поглощается в активном сопротивлении, нагревая проводник.

Когда же цепь не содержит активного сопротивления (мы условно считаем его равным нулю), а состоит лишь из индуктивного сопротивления катушки, энергия источника тока расходуется не на нагрев проводов, а только на создание ЭДС самоиндукции, т. е. она превращается в энергию магнитного поля. Однако переменный ток непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению, а следовательно, и магнитное поле катушки непрерывно изменяется в такт с изменением тока. В первую четверть периода, когда ток возрастает, цепь получает энергию от источника тока и запасает ее в магнитном поле катушки. Но как только ток, достигнув своего максимума, начинает убывать, он поддерживается за счет энергии, запасенной в магнитном поле катушки посредством ЭДС самоиндукции.

Таким образом, источник тока, отдав в течение первой четверти периода часть своей энергии в цепь, в течение второй четверти получает ее обратно от катушки, выполняющей при этом роль своеобразного источника тока. Иначе говоря, цепь переменного тока, содержащая только индуктивное сопротивление, не потребляет энергии : в данном случае происходит колебание энергии между источником и цепью. Активное же сопротивление, наоборот, поглощает в себе всю энергию, сообщенную ему источником тока.

Говорят, что катушка индуктивности, в противоположность омическому сопротивлению, не активна по отношению к источнику переменного тока, т. е. реактивна . Поэтому индуктивное сопротивление катушки называют также реактивным сопротивлением .

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Переменный ток, текущий через индуктивность

Подадим переменное
напряжение (92.1) на концы индуктивностиL (например, катушки) с
пренебрежимомалыми
сопротивлением и емкостью (рис. 220, а).
В индуктивности
начнет течь переменный ток, в следствие
чего возникнет э. д. с.
самоиндукции.

Всякий проводник (например, прямолинейный
отрезок провода) обладает некоторой
емкостью и индуктивностью. Поэтому
«чистые» активное
сопротивление R,
индуктивность
L и
емкость С
являются абстракциями.

(полагаем, что L
не зависит от i).
Уравнение (35.1) закона
Ома запишется следующим образом (R
= 0, разность потенциалов
равна U,):

Откуда

В рассматриваемом случае все внешнее
напряжение приложено к индуктивности
L. Следовательно,величина

есть не что иное,
как падение напряжения на индуктивности.

Перепишем уравнение (93.1) в виде

Интегрирование дает

Постоянной
составляющей тока, очевидно, нет; поэтому
const = 0. Таким образом,

где

Сопоставляя соотношения (92.3) и (93.4), мы
видим, что роль сопротивления в данном
случае играет величина

которую
называют реактивным
индуктивным
сопротивлением
или
просто индуктивным
сопротивлением.
Если L взять
в генри, а 
— в сек^-1,
то X_L
будет выражено в омах.

Как видно из (93.5), величина
индуктивного сопротивления растет с
частотой .
Постоянному току (
= 0) индуктивность не оказывает
сопротивления. Заменив в (93.1) U_m
через
,
получим для падениянапряжения
на индуктивности следующее выражение:

Из сравнения выражений
(93.3) и (93.6) вытекает, что падение
напряжения на индуктивности опережает
по фазе ток, текущий через индуктивность,
на π/2.
Если направить, как и на рис. 199, ось
токов горизонтально, получается

векторная диаграмма,
изображенная на рис. 200, б.
Сдвиг по фазе между
током и напряжением а индуктивности
легко понять, если учесть, что производная
косинуса имеет
наибольшее значение в тот момент, когда
косинус равен нулю, причем максимум
производной достигается на 1/4 периода
раньше, чем максимум самого косинуса
(рис. 201).

Переменный ток, текущий через емкость

Пусть напряжение (92.1) подано
на емкость С (рис.
202,а).
Индуктивностью цепи и сопротивлением
подводящих проводов
будем пренебрегать. Емкость непрерывно
перезаряжается, вследствие чего в цепи
течет переменный
ток. Поскольку сопротивление подводящих
проводов пренебрежимо
мало, напряжение на конденсаторе
можно считать равным внешнему напряжениюU:

14-я
лекция. Движение заряженной частицы в
однородном поле.

Определение
удельного заряда электрона. Опыт Томсона.
Опыт Буша. Определение заряда электрона
в опыте Милликена.

Определение удельного
заряда иона. Метод парабол Томсона.
Масс-спектрограф Астона. Масс-спектрограф
Бейнбриджа.

Ускорители
заряженных частиц. Генератор Ван-де-Граафа.
Бетатрон. Циклотрон. Протонный синхротрон.

Движение заряженной частицы в однородном поле

Представим
себе заряд
e’
влетающий в однородное магнитное поле
со скоростью
v,
перпендикулярной
к В.
Под
действием силы Лоренца заряд приобретает
постоянное по
величине
нормальное ускорение

(угол между v
и В
прямой).

Если
скорость изменяется только по направлению,
движение с постоянным по величине
нормальным ускорением представляет
собой равномерное движение по окружности
(см. т. I, § 20),
радиус которой определяется условием_n =
v²/R. Подставляя сюда
значение(64.1) для
_n
и решая
получившееся уравнение относительноR, получаем

Итак,
в случае, когда вектор v перпендикулярен
к В, заряженная
частица движется по
окружности,
радиус которой зависит от скорости
частицы, магнитной индукции поля и
отношения
заряда
частицы
е’ к
ее массе
т. Отношение
е’/т называется
удельным
зарядом.

Найдем время Tкоторое затрачивает
частица на один оборот. Для этого разделим
длину окружности2πR на скорость
частицыv. В результате получим

Период обращения частицы
по окружности оказывается не зависящим
от ее скорости, он определяется только
удельным зарядом частицы и магнитной
индукцией поля. На
рис. 119 показаны траектории движения в
однородном магнитном поле двух частиц
с одинаковым удельным зарядом, но
различными скоростями v₁
и v₂.
Если частицы выходят одновременно из
точки О,

то,
совершив за одинаковое время полный
оборот,они
снова
встретятся в точке О. Выясним характер
движения заряженной
частицы

Рис.119 Рис.120

В
случае, когда ее скорость образует с
направлением однородного
магнитного поля угол ,
отличный от π/2.
Разложим
вектор v
на две составляющие: v_
перпендикулярную
к В
и v_||,—
параллельную В
(рис. 120). Легко видеть, что

Сила Лоренца равна

и лежит в плоскости,
перпендикулярной к В.
Создаваемое этой силой ускорение
является для v_
нормальным.

Составляющая
силы Лоренца в направлении В
равна нулю; поэтому повлиять на величину
v
эта сила не может.
Таким образом,, движение частицы можно
представить как
наложение двух движений: 1) перемещения
вдоль направления В
с постоянной скоростью
v_||=
v cos
и 2) равномерного вращения в плоскости,
перпендикулярной
к вектору В.

Радиус
окружности, по которой
происходит вращение, определяется
формулой (64.2) с
заменой v
на v_= sin.
Траектория движения
представляет собой спираль, ось которой
совпадает с направлением В
(рис. 121).
Шаг спирали l
можно найти, умножив
v_|| на определяемый
формулой
(64.3) период обращения
Т:

Направление, в котором закручивается
спираль, зависит от знака заряда
частицы. Еслизаряд
положителен, спираль закручивается
против часовой стрелки. Спираль, по
которой движется отрицательно
заряженная частица, закручивается по
часовой стрелке (предполагается,
что мы смотрим на спираль вдоль направленияВ; частица при этом летит от нас,
если < π/2,
и на нас, если
> π/2).

Источник

Переменный электрический ток:

До сих пор рассматривались электрические цепи, содержащие в различных сочетаниях резисторы, конденсаторы и катушки, с источником постоянного тока либо без него. Теперь рассмотрим подключение таких цепей к источнику переменного тока.

Пусть источник тока создает переменное гармоническое напряжение (рис. 194)

Согласно закону Ома сила тока на участке цепи, содержащем только резистор сопротивлением R, подключенный к этому источнику, изменяется со временем также по синусоидальному закону:

где — амплитудное значение силы тока в цепи.

Как видно, сила тока в такой цепи также меняется с течением времени по синусоидальному закону.

Величины называются амплитудными значениями напряжения и силы тока. Значения напряжения U(t) и силы тока I(t), зависящие от времени, называют мгновенными.

Зная мгновенные значения U(t) и I(t), можно вычислить мгновенную мощность которая, в отличие от цепей постоянного тока, изменяется с течением времени.

С учетом зависимости силы тока от времени в цепи перепишем выражение для мгновенной тепловой мощности на резисторе в виде

Поскольку мгновенная мощность меняется со временем, то использовать эту величину в качестве характеристики длительно протекающих процессов на практике крайне неудобно.

Перепишем формулу для мощности по-другому:

Первое слагаемое не зависит от времени. Второе слагаемое — переменная составляющая — функция косинуса двойного угла и ее среднее значение за период колебаний равно нулю (см. рис. 194).

Поэтому среднее значение мощности переменного электрического тока за длительный промежуток времени можно найти по формуле

Это выражение позволяет ввести действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения, которые используются в качестве основных характеристик переменного тока.

Действующим (эффективным) значением силы переменного тока называется сила такого постоянного тока, который, проходя по цепи, выделяет в единицу времени такое же количество теплоты, что и данный переменный ток.
Поскольку для постоянного тока то с учетом ранее полученного выражения для среднего значения мощности переменного тока действующее значение силы тока

Аналогично можно ввести действующее значение и для напряжения

Таким образом, выражения для расчета мощности, потребляемой в цепях постоянного тока, остаются справедливыми и для переменного тока, если использовать в них действующие значения силы тока и напряжения:

Необходимо отметить, что закон Ома для цепи переменного тока, содержащей только резистор сопротивлением R, выполняется как для амплитудных и действующих, так и для мгновенных значений напряжения и силы тока, вследствие того, что их колебания совпадают по фазе (см. рис. 194).
Таким образом, резисторы оказывают сопротивление как постоянному, так и переменному току, при этом в обоих случаях в них происходит превращение электрической энергии во внутреннюю. Вследствие этого сопротивление резисторов R получило название активного или омического сопротивления.

Катушка индуктивности в цепях переменного тока

Реальный соленоид (катушка индуктивности) обладает активным сопротивлением R и индуктивностью L. В цепях постоянного тока главную роль играет его сопротивление R, тогда как в цепях переменного тока — его индуктивность L.

Рассмотрим физические процессы, происходящие в идеальной катушке, у которой отсутствует активное сопротивление (R=0), при включении ее в цепь переменного тока.

В катушке индуктивностью L переменный ток вызывает появление ЭДС самоиндукции:
где — амплитудное значение ЭДС самоиндукции (рис. 195).

При возрастании силы тока ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца будет препятствовать его увеличению. Для идеальной катушки, активное сопротивление которой равно нулю (R=0), согласно закону Ома для полной цепи где U(t) напряжение на концах катушки.

Следовательно, в любой момент времени внешнее напряжение на концах катушки равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции в катушке:

Сравнивая выражения для мгновенных значений силы тока I(t) и напряжения U(t), видим, что для их амплитудных значений можно записать закон Ома в виде

Величину называют индуктивным сопротивлением катушки. Оно пропорционально индуктивности катушки и частоте переменного тока в цепи

Обратите внимание на то, что фазы колебаний силы тока и напряжения не совпадают. Наличие сдвига фаз означает, что мгновенное значение напряжения U на катушке индуктивности опережает мгновенное значение силы I переменного тока по фазе на Такой сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения характерен в целом для цепей переменного тока, содержащих элементы, обладающие индуктивностью.
Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей только катушку индуктивности, выполняется и для действующих значении силы тока и напряжения так как тогда

Таким образом, если в цепь переменного тока включена катушка индуктивности, то закон Ома выполняется для амплитудных и действующих значений силы тока и напряжения, но не выполняется для их мгновенных значений, так как мгновенные значения силы тока и напряжения не совпадают по фазе (см. рис. 195).

Мгновенная мощность, потребляемая катушкой индуктивности от источника переменного тока, определяется по формуле

Поскольку среднее за период значение функции равно нулю, то и средняя мощность за период также равна нулю:

Как видно из рисунка 195, цепь с идеальной катушкой индуктивности в течение первой и третьей четвертей периода работает в режиме потребителя, запасая энергию магнитного поля в катушке, а в течение второй и четвертой — в режиме генератора, возвращая источнику запасенную энергию.

Поскольку потерь энергии в этом случае не происходит, то индуктивное сопротивление называют реактивным.

Конденсатор в цепях переменного тока
Электрический ток в различных средах
Электромагнитная индукция в физике
Правило Ленца для электромагнитной индукции
Потенциал электрического поля
Постоянный электрический ток
Законы постоянного тока
Переменный электрический ток

Источник

Катушка индуктивности в цепи переменного тока. Индуктивное сопротивление

Для школьников.

В предыдущих статьях рассмотрены цепи переменного тока, содержащие только активное сопротивление и содержащие только емкостное сопротивление.

Сейчас рассмотрим случай, когда в цепи переменного тока находится только катушка индуктивности (индуктивное сопротивление), а активным и емкостным сопротивлениями цепи можно пренебречь.

Начнём с опыта, позволяющего понять, когда появляется и от чего зависит индуктивное сопротивление в цепи переменного тока.

Две маленькие одинаковые электрические лампочки подключались к источникам одинакового напряжения. Но одна (правая) подключалась к источнику постоянного тока (аккумуляторной батарее), а другая (левая) – к источнику переменного тока.

Лампочки светили одинаково, так как количество выделяющегося тепла не зависит от того, какой ток протекает по нитям лампочек (постоянный или переменный).

Затем к лампочкам последовательно подключили катушки индуктивности, сделанные из толстой медной проволоки, содержащей большое число витков. Внутри катушек находятся железные сердечники.

Катушками индуктивности называются катушки, имеющие большую индуктивность и малое активное сопротивление (изготовлены из толстой проволоки). Часто активным сопротивлением такой катушки можно пренебречь.

Опыт показал, что в случае постоянного тока лампочка горит ярко, а в случае переменного тока она светит тускло. Как это объяснить?

В случае постоянного тока лампочка горит ярко, потому что сопротивление катушки мало.

Но почему катушка индуктивности очень сильно ослабляет переменный ток? Продолжаем рассматривать опыт.

Если из катушки (рис. б) постепенно вытягивать железный сердечник, то нить лампочки будет накаляться всё сильнее. При полном вытягивании сердечника лампочка будет светить довольно ярко. Убрав железный сердечник, во много раз уменьшили индуктивность катушки, значит дело в индуктивности.

Так как сила переменного тока быстро меняется, то в катушке возникает ЭДС самоиндукции.

В цепи только с индуктивным сопротивлением приложенное к цепи напряжение в каждый момент времени равно и противоположно ЭДС самоиндукции.

ЭДС самоиндукции по правилу Ленца направлена так, что стремится препятствовать изменению тока, то есть оказывает току сопротивление. Чем больше индуктивность катушки, тем большая ЭДС самоиндукции в ней возникает, тем больше индуктивное сопротивление. Индуктивное сопротивление зависит ещё от частоты тока, чем больше частота, тем больше это сопротивление.

При нарастании тока ЭДС самоиндукции препятствует этому нарастанию, поэтому ток позже достигает максимума, чем в отсутствие самоиндукции.

При убывании тока ЭДС самоиндукции стремится поддерживать ток. Поэтому нулевые значения тока достигаются в более поздний момент, чем в отсутствие самоиндукции.

Таким образом, при наличие индуктивности ток отстаёт по фазе от тока в отсутствие индуктивности, а следовательно, отстаёт по фазе от своего напряжения.

Можно сказать так: из-за явления самоиндукции ток в катушке индуктивности не может меняться скачком и отстаёт от напряжения.

Чем больше частота тока, тем больше будет ЭДС самоиндукции, стремящейся противодействовать изменению тока и тем больше будет сопротивление переменному току.

Индуктивное сопротивление находится по формуле, которая получена теоретически и подтверждена опытом:

Напряжение на индуктивном сопротивлении (индуктивное напряжение) :

Ток в цепи, содержащей только индуктивность, равен отношению напряжения на зажимах источника к индуктивному сопротивлению цепи:

В цепи, содержащей только индуктивное сопротивление, напряжение опережает ток на четверть Т/4 периода (или ток отстаёт от напряжения на четверть периода):

Из рисунка видно, когда ток ещё только проходит через нулевое положение, напряжение уже проходит через максимум, то есть мгновенные значения напряжения и тока меняются согласно уравнениям:

Разность фаз между током и напряжением, равная “пи” пополам, величина отрицательная.

На следующем рисунке показано, как меняются во времени мгновенные значения тока, напряжения и мощности в цепи переменного тока, содержащей только индуктивное сопротивление:

Мгновенные значения мощности находятся через произведение мгновенных значений напряжения и тока, уравнения для которых записаны выше.

Видим, что мгновенная мощность в цепи, обладающей только индуктивностью, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой и имеет равные по модулю положительные и отрицательные значения.

В первую и третью части периода, когда ток в цепи растёт, мощность имеет положительное значение. В эти части периода магнитное поле вокруг электрической цепи усиливается за счёт энергии источника.

Убыванию тока соответствует отрицательное значение мощности. В эти части периода (второй и четвёртый) магнитное поле ослабевает, его энергия идёт обратно к источнику тока.

Таким образом, в цепи, содержащей только катушку индуктивности, происходит периодическая перекачка энергии от источника в энергию магнитного поля катушки индуктивности и возвращение её источнику.

Положительные и отрицательные значения мощности по модулю равны, поэтому средняя мощность за период в такой цепи равна нулю.

Эта мощность не расходуется во внешней части цепи, поэтому называется реактивной индуктивной мощностью:

Она образуется при работе электроприборов (трансформаторов, двигателей, электромагнитов и др., обладающих большой индуктивностью.)

Реактивная мощность в промышленных электрических цепях увеличивает нагрузку на провода и снижает коэффициент мощности цепи, поэтому реактивную нагрузку в электрической цепи на предприятиях снижают (об этом будет сказано в последующих статьях.)

Пример.

Катушка с индуктивностью 0,01 Гн включена в цепь переменного тока напряжением 120 В и частотой 50 Гц. Определить силу тока в катушке, индуктивное напряжение в ней и её реактивную мощность, если активным сопротивлением катушки можно пренебречь.

Используем формулы:

Ответ: 38,2 А; 120 В; 1460 Вт.

Из полученного ответа видим, что всё приложенное к катушке напряжение является индуктивным.

Итак, присутствие индуктивности в цепи переменного тока приводит к сдвигу фаз между током и напряжением в сети (колебания тока отстают от колебаний напряжения).

Емкостная мощность не совершает механической работы, не нагревает проводники.

Катушка индуктивности лишь периодически накапливает энергию магнитного поля и возвращает её обратно источнику тока.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Спасибо.

Предыдущая запись : Конденсатор в цепи переменного тока. Емкостное сопротивление.

Следующая запись: Занятие 71. Последовательное соединение сопротивлений. Резонанс напряжений.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58 .

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .

Источник

Катушка индуктивности в цепях переменного тока – формулы и определение с примерами

Переменный электрический ток:

Пусть источник тока создает переменное гармоническое напряжение (рис. 194)

Как видно, сила тока в такой цепи также меняется с течением времени по синусоидальному закону.

Аналогично можно ввести действующее значение и для напряжения

Катушка индуктивности в цепях переменного тока

Поскольку среднее за период значение функции равно нулю, то и средняя мощность за период также равна нулю:

Поскольку потерь энергии в этом случае не происходит, то индуктивное сопротивление называют реактивным.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Физика
Атомная физика
Ядерная физика
Квантовая физика
Молекулярная физика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Конденсатор в цепях переменного тока
Электрический ток в различных средах
Электромагнитная индукция в физике
Правило Ленца для электромагнитной индукции
Потенциал электрического поля
Постоянный электрический ток
Законы постоянного тока
Переменный электрический ток

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Катушка индуктивности. Описание, характеристики, формула расчета

Катушка индуктивности является пассивным компонентом электронных схем, основное предназначение которой является сохранение энергии в виде магнитного поля. Свойство катушки индуктивности чем-то схоже с конденсатором, который хранит энергию в виде электрического поля.

Индуктивность (измеряется в Генри) — это эффект возникновения магнитного поля вокруг проводника с током. Ток, протекающий через катушку индуктивности, создает магнитное поле, которое имеет связь с электродвижущей силой (ЭДС) оказывающее противодействие приложенному напряжению.

Возникающая противодействующая сила (ЭДС) противостоит изменению переменного напряжения и силе тока в катушке индуктивности. Это свойство индуктивной катушки называется индуктивным сопротивлением. Следует отметить, что индуктивное сопротивление находится в противофазе к емкостному реактивному сопротивлению конденсатора в цепи переменного тока. Путем увеличения числа витков можно повысить индуктивность самой катушки.

Накопленная энергия в индуктивности

Как известно магнитное поле обладает энергией. Аналогично тому, как в полностью заряженном конденсаторе существует запас электрической энергии, в индуктивной катушке, по обмотке которой течет ток, тоже существует запас — только уже магнитной энергии.

Энергия, запасенная в катушке индуктивности равна затраченной энергии необходимой для обеспечения протекания тока I в противодействии ЭДС. Величина запасенной энергии в индуктивности можно рассчитать по следующей формуле:

где L — индуктивность, I — ток, протекающий через катушку индуктивности.

Гидравлическая модель

Работу катушки индуктивности можно сравнить с работой гидротурбины в потоке воды. Поток воды, направленный сквозь еще не раскрученную турбину, будет ощущать сопротивление до того момента, пока турбина полностью не раскрутится.

Далее турбина, имеющая определенную степень инерции, вращаясь в равномерном потоке, практически не оказывая влияния на скорость течения воды. В случае же если данный поток резко остановить, то турбина по инерции все еще будет вращаться, создавая движение воды. И чем выше инерция данной турбины, тем больше она будет оказывать сопротивление изменению потока.

Также и индуктивная катушка сопротивляется изменению электрического тока протекающего через неё.

Индуктивность в электрических цепях

В то время как конденсатор оказывает сопротивление изменению переменного напряжения, индуктивность же сопротивляется переменному тока. Идеальная индуктивность не будет оказывать сопротивление постоянному току, однако, в реальности все индуктивные катушки сами по себе обладают определенным сопротивлением.

В целом, отношение между изменяющимися во времени напряжением V(t) проходящим через катушку с индуктивностью L и изменяющимся во времени током I(t), проходящим через нее можно представить в виде дифференциального уравнения следующего вида:

Когда переменный синусоидальной ток (АС) протекает через катушку индуктивности, возникает синусоидальное переменное напряжение (ЭДС). Амплитуда ЭДС зависит от амплитуды тока и частоте синусоиды, которую можно выразить следующим уравнением:

где ω является угловой частотой резонансной частоты F:

Причем, фаза тока отстает от напряжения на 90 градусов. В конденсаторе же все наоборот, там ток опережает напряжение на 90 градусов. Когда индуктивная катушка соединена с конденсатором (последовательно либо параллельно), то образуется LC цепь, работающая на определенной резонансной частоте.

Индуктивное сопротивление ХL определяется по формуле:

где ХL — индуктивное сопротивление, ω — угловая частота, F — частота в герцах, и L индуктивность в генри.

Индуктивное сопротивление — это положительная составляющая импеданса. Оно измеряется в омах. Импеданс катушки индуктивности (индуктивное сопротивление) вычисляется по формуле:

Схемы соединения катушек индуктивностей

Параллельное соединение индуктивностей

Напряжение на каждой из катушек индуктивностей, соединенных параллельно, одинаково. Эквивалентную (общую) индуктивность параллельно соединенных катушек можно определить по формуле:

Последовательное соединение индуктивностей

Ток, протекающий через катушки индуктивности соединенных последовательно, одинаков, но напряжение на каждой катушке индуктивности отличается. Сумма разностей потенциалов (напряжений) равна общему напряжению. Общая индуктивность последовательно соединенных катушек можно высчитать по формуле:

Эти уравнения справедливы при условии, что магнитное поле каждой из катушек не оказывает влияние на соседние катушки.

Добротность катушки индуктивности

На практике катушка индуктивности имеет последовательное сопротивление, созданное медной обмоткой самой катушки. Это последовательное сопротивление преобразует протекающий через катушку электрический ток в тепло, что приводит к потере качества индукции, то есть добротности. Добротность является отношением индуктивности к сопротивлению.

Добротность катушки индуктивности может быть найдена через следующую формулу:

где R является собственным сопротивлением обмотки.

Катушка индуктивности. Формула индуктивности

Базовая формула индуктивности катушки:

L = индуктивность в генри
μ 0 = проницаемость свободного пространства = 4π × 10 -7 Гн / м
μ г = относительная проницаемость материала сердечника
N = число витков
A = Площадь поперечного сечения катушки в квадратных метрах (м 2 )
l = длина катушки в метрах (м)

Индуктивность прямого проводника:

L = индуктивность в нГн
l = длина проводника
d = диаметр проводника в тех же единицах, что и l

Индуктивность катушки с воздушным сердечником:

L = индуктивность в мкГн
r = внешний радиус катушки
l = длина катушки
N = число витков

Индуктивность многослойной катушки с воздушным сердечником:

L = индуктивность в мкГн
r = средний радиус катушки
l = длина катушки
N = число витков
d = глубина катушки

Индуктивность плоской катушки:

L = индуктивность в мкГн
r = средний радиус катушки
N = число витков
d = глубина катушки

Конструкция катушки индуктивности

Катушка индуктивности представляет собой обмотку из проводящего материала, как правило, медной проволоки, намотанной вокруг либо железосодержащего сердечника, либо вообще без сердечника.

Применение в качестве сердечника материалов с высокой магнитной проницаемостью, более высокой чем воздух, способствует удержанию магнитного поля вблизи катушки, тем самым увеличивая ее индуктивность. Индуктивные катушки бывают разных форм и размеров.

Большинство изготавливаются путем намотки эмалированного медного провода поверх ферритового сердечника.

Некоторые индуктивные катушки имеют регулируемый сердечник, при помощи которого обеспечивается изменение индуктивности.

Миниатюрные катушки могут быть вытравлены непосредственно на печатной плате в виде спирали. Индуктивности с малым значением могут быть расположены в микросхемах с использованием тех же технологических процессов, которые используются при создании транзисторов.

Применение катушек индуктивности

Индуктивности широко используются в аналоговых схемах и схемах обработки сигналов. Они в сочетании с конденсаторами и другими радиокомпонентами образуют специальные схемы, которые могут усилить или отфильтровать сигналы определенной частоты.

Катушки индуктивности получили широкое применение начиная от больших катушек индуктивности, таких как дроссели в источниках питания, которые в сочетании с конденсаторами фильтра устраняют остаточные помехи и другие колебания на выходе источника питания, и до столь малых индуктивностей, которые располагаются внутри интегральных микросхем.

Две (или более) катушки индуктивности, которые соединены единым магнитным потоком, образуют трансформатор, являющимся основным компонентом схем работающих с электрической сетью электроснабжения. Эффективность трансформатора возрастает с увеличением частоты напряжения.

По этой причине, в самолетах используется переменное напряжение с частотой 400 герц вместо обычных 50 или 60 герц, что в свою очередь позволяет значительно сэкономить на массе используемых трансформаторов в электроснабжении самолета.

Так же индуктивности используются в качестве устройства для хранения энергии в импульсных стабилизаторах напряжения, в высоковольтных электрических системах передачи электроэнергии для преднамеренного снижения системного напряжения или ограничения ток короткого замыкания.

Конденсатор, катушка и резонанс в цепи переменного тока

теория по физике 🧲 колебания и волны

Опишем колебания, которые происходят в цепи переменного тока при включении в нее конденсатора и катушки индуктивности. А также рассмотрим условия, при выполнении которых в цепи переменного тока наступает резонанс. Получим формулы для вычисления амплитуд напряжений, введем понятия емкостного и индуктивного сопротивления и выясним, какую роль играют эти величины.

Конденсатор в цепи переменного тока

Постоянный ток не может существовать в цепи, содержащий конденсатор. Движению электронов препятствует диэлектрик, расположенный между обкладками. Но переменный ток в такой цепи существовать может, что доказывает опыт с лампой (см. рисунок ниже).

Пусть фактически такая цепь разомкнута, но если по ней течет переменный ток, конденсатор то заряжается, то разряжается. Ток, текущий при перезарядке конденсатора нагревает нить лампы, и она начинает светиться.

Найдем, как меняется сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивление проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь (см. рис. выше). Напряжение на конденсаторе будет равно:

u = φ 1 − φ 2 = q C . .

Учтем, что напряжение на конденсаторе равно напряжению на концах цепи:

q C . . = U m a x cos . ω t

Следовательно, заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

q = C U m a x cos . ω t

Тогда сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, будет равна:

i = q ´ = − C U m a x sin . ω t = C U m a x cos . ( ω t + π 2 . . )

Следовательно, колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на π 2 . . (см. график ниже). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того, как напряжение достигнет максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.

Амплитуда силы тока равна:

I m a x = U m a x C ω

Также будем использовать действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим, что:

Величина X C , равная обратному произведению циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называется емкостным сопротивлением. Роль этой величины аналогична роли активного сопротивления R в законе Ома.

Обратите внимание, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля. В следующую четверть периода (при разрядке конденсатора), эта энергия возвращается в сеть.

Пример №1. Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного контура q m a x = 10 − 6 Кл. Амплитудное значение силы тока в контуре I m a x = 10 − 3 А. Определите период колебания (потерями на нагревание проводника пренебречь).

Согласно закону сохранения энергии максимальное значение энергии электрического поля конденсатора равно максимальному значения магнитного поля катушки:

q 2 m a x 2 C . . = L I 2 m a x 2 . .

L C = q 2 m a x I 2 m a x . .

√ L C = q m a x I m a x . .

T = 2 π √ L C = 2 π q m a x I m a x . . = 2 · 3 , 14 10 − 6 10 − 3 . . ≈ 6 , 3 · 10 − 3 ( с )

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Соберем две электрических цепи, состоящих из лампы накаливания, катушки индуктивности и источника питания: в первом случае постоянного, во втором — переменного (см. рисунки «а» и «б» ниже).

Опыт покажет, что в цепи постоянного тока лампа светится ярче по сравнению с той, что включена в цепь переменного тока. Это говорит о том, что сила тока в цепи постоянного тока выше действующего значения силы тока в цепи переменного тока.

Результат опыта легко объясняется явлением самоиндукции. При подключении катушки к постоянному источнику тока сила тока нарастает постепенно. Возрастающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь спустя какое-то время сила тока достигает наибольшего значения, соответствующему данному постоянному напряжению.

Если напряжение быстро меняется, то сила тока не успевает достигнуть максимального значения. Поэтому максимальное значение силы тока в цепи переменного тока с катушкой индуктивности ограничивается индуктивность. Чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения, тем меньше амплитуда силы переменного тока.

Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (см. рисунок ниже). Для этого найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней.

Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна равняться нулю. Иначе, согласно закону Ома, сила тока была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля → E i , порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля → E к , создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.

Из равенства → E i = − → E к следует, что удельная работа вихревого поля (т.е. ЭДС самоиндукции e i ) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля.

Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжения на концах катушки, можно записать:

Напомним, что сила переменного тока изменяется по гармоническому закону:

i = I m a x sin . ω t

Тогда ЭДС самоиндукции равна:

e i = − L i ´ = − L ω I m a x cos . ω t

Так как u = − e i , то напряжение на концах катушки оказывается равным:

u = L ω I m a x cos . ω t = L ω I m a x sin . ( ω t + π 2 . . ) = U m a x ( ω t + π 2 . . )

Амплитуда напряжения равна:

U m a x = L ω I m a x

Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока на π 2 . . , или колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на π 2 . . , что одно и то же.

В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (см. график ниже).

Но в момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю. Амплитуда силы тока в катушке равна:

I m a x = U m a x L ω . .

Также будем использовать вместо амплитуд действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим:

Величина X L , равная произведению циклической частоты на индуктивность, называется индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление зависит от частоты. Поэтому в цепи постоянного тока, в котором отсутствует частота, индуктивное сопротивление катушки равно нулю.

Пример №2. Катушка с индуктивным сопротивлением X L = 500 Ом присоединена к источнику переменного напряжения, частота которого ν = 1000 Гц. Действующее значение напряжения U = 100 В. Определите амплитуду силы тока I m a x в цепи и индуктивность катушки L. Активным сопротивлением пренебречь.

Индуктивное сопротивление катушки выражается формулой:

X L = L ω = 2 π ν L

Так как амплитуда напряжения связана с его действующим значением соотношением U m a x = U √ 2 , то для амплитуды силы тока получаем:

Резонанс в электрической цепи

Механические и электромагнитные колебания имеют разную природу, но процессы, происходящие при этом, идентичны. Поэтому можно предположить, что резонанс в электрической цепи так же реален, как резонанс в колебательной системе, на которую действует периодическая сила.

Напомним, что в механической системе резонанс тем более заметен, чем меньше в колебательной системе трение между ее элементами. Роль трения в электрической цепи играет активное сопротивление R. Ведь именно наличие этого сопротивления в цепи приводит к превращению энергии тока во внутреннюю энергию проводника, который при этом нагревается. Следовательно, резонанс в электрической цепи будет отчетливо наблюдаться при малом активном сопротивлении R.

Если активное сопротивление мало, то собственная частота колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

Сила тока при вынужденных колебаниях должна достигать максимальных значений, когда частота переменного напряжения, приложенного к контуру равна собственной частоте колебательного контура:

Резонанс в электрическом колебательном контуре — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.

После включения внешнего переменного напряжения резонансное значение силы тока в цепи устанавливается не моментально, а постепенно. Амплитуда колебаний силы тока возрастает до тех пор, пока энергия, выделяющаяся за период на резисторе, не сравняется с энергией, поступающей в контур за это же время:

I 2 m a x R 2 . . = U m a x I m a x 2 . .

Упростив это уравнение, получим:

I m a x R = U m a x

Следовательно, амплитуда установившихся колебаний силы тока при резонансе определяется уравнением:

I m a x = U m a x R . .

При сопротивлении, стремящемся к нулю, сила тока возрастает до бесконечно больших значений. При большом сопротивлении сила тока возрастает незначительно. Это хорошо видно на графике ниже.

Пример №3. В цепь переменного тока с частотой ν = 500 Гц включена катушка индуктивностью L = 10 мГн. Какой емкости конденсатор надо включить в эту цепь, чтобы наступил резонанс?

Электрическая цепь, описываемая в условии, представляет собой колебательный контур. Резонанс в этой цепи наступит, когда частота переменного тока будет равна собственной частоте колебательного контура (ν = ν₀).

ν 0 = 1 2 π √ L C . .

К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с частотой ν.

Индуктивность L катушки колебательного контура можно плавно менять от максимального значения L_max до минимального L_min, а ёмкость его конденсатора постоянна.

Ученик постепенно уменьшал индуктивность катушки от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре всё время возрастала. Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.

Алгоритм решения

Решение

В колебательном контуре источником тока возбуждаются вынужденные колебания. Частота этих колебаний равна частоте источника — ν. Амплитуда колебаний зависит от того, как соотносятся между собой внешняя частота и частота собственных электромагнитных колебаний, которая определяется формулой:

ν 0 = 1 2 π √ L C . .

По мере увеличения внешней частоты от нуля до ν₀ амплитуда растет. Она достигает максимума тогда, когда происходит резонанс. При этом внешняя частота равна частоте собственных электромагнитных колебаний: ν = ν₀. Затем амплитуда начинает убывать.

В данном случае, ученик меняет не внешнюю частоту, а частоту собственных электромагнитных колебаний. При плавном уменьшении индуктивности контура от максимального значения L_max до минимального L_min частота возрастает от ν_0min до ν_0max. Причем:

ν 0 m i n = 1 2 π √ L m i n C . .

ν 0 m a x = 1 2 π √ L m a x C . .

Из того факта, что амплитуда всё время увеличивалась, можем сделать вывод, что частота ν₀ всё время приближалась к частоте источника тока, при этом ν > ν_0max. В противном случае наблюдалось бы уменьшений амплитуды силы тока.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания.

Из приведённого ниже списка выберите две величины, которые остаются постоянными при этих колебаниях.

а) период колебаний силы тока в контуре

б) фаза колебаний напряжения на конденсаторе

в) заряд конденсатора

г) энергия магнитного поля катушки

д) амплитуда колебаний напряжения на катушке

Алгоритм решения

Определить, от чего зависит каждая из перечисленных величин.
Установить, какие величины меняются, а какие нет.

Решение

В колебательном контуре происходят гармонические колебания. Поэтому период колебаний силы тока в контуре — величина постоянная.

Фаза — это величина, которая определяет положение колебательной системы в любой момент времени. Поскольку в системе происходят колебания, фаза меняется.

Заряд конденсатора — колебания происходят за счет постоянной перезарядки конденсатора. Следовательно, эта величина тоже меняется.

Энергия магнитного поля катушки — в колебательном контуре происходят взаимные превращения энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора, и обратно. Поэтому энергия магнитного поля катушки постоянно меняется.

В условии задачи сказано, что колебания незатухающие. Это значит, что полная механическая энергия колебательной системы сохраняется. Поскольку именно от нее зависит амплитуда колебаний напряжения на катушке, то эта величина также остается постоянной.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости силы тока i от времени t при свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре. Каким станет период свободных колебаний в контуре, если конденсатор в этом контуре заменить на другой конденсатор, ёмкость которого в 4 раза меньше? Ответ запишите в мкс.

[spoiler title=”источники:”]

http://fornk.ru/1970-katushka-induktivnosti-opisanie-xarakteristiki-formula-rascheta/

Конденсатор, катушка и резонанс в цепи переменного тока

[/spoiler]

Источник