Как найти напряженность поля в центре сферы

Любые заряженные тела создают вокруг себя электростатическое поле. Рассмотрим особенности электростатического поля, создаваемого точечным зарядом и заряженной сферой.

Электростатическое поле точечного заряда

Направление силовых линий электростатического поля точечного заряда

Модуль напряженности не зависит от значения пробного заряда q₀:

E=FKq0=kQq0r2q0=kQr2

Модуль напряженности точечного заряда в вакууме:

E=kQr2

Модуль напряженности точечного заряда в среде:

E=kQεr2

Сила Кулона:

−FKулона=q−E

Потенциал не зависит от значения пробного заряда q₀:

φ=Wpqo=±kQq0rq0=±kQr

Потенциал точечного заряда в вакууме:

φ=±kQr

Потенциал точечного заряда в среде:

φ=±kQεr

Внимание! Знак потенциала зависит только от знака заряда, создающего поле.

Эквипотенциальные поверхности для данного случая — концентрические сферы, центр которых совпадает с положением заряда.

Работа электрического поля по перемещению точечного заряда:

A12=±q(φ1−φ2)

Пример №1. Во сколько раз увеличится модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом Q в некоторой точке, при увеличении значения этого заряда в 5 раз?

Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом, определяется формулой:

E=kQεr2

Формула показывает, что модуль напряженности и электрический заряд — прямо пропорциональные величины. Следовательно, если заряд, который создает поле, увеличится в 5 раз, то модуль напряженности создаваемого поля тоже увеличится в 5 раз.

Электростатическое поле заряженной сферы

Направление силовых линий электростатического поля заряженной сферы:

Модуль напряженности электростатического поля заряженной сферы:

Внутри проводника (расстояние меньше радиуса сферы, или r < R)	E=0
На поверхности проводника (расстояние равно радиусу сферы, или r = R)	E=kQR2
Вне проводника (расстояние больше радиуса сферы, или r > R)	E=kQr2=kQ(R+a)2 a — расстояние от поверхности сферы до изучаемой точки. r — расстояние от центра сферы до изучаемой точки.

Сила Кулона:

−FK=q−E

Потенциал:

Внутри проводника и на его поверхности (r < R или r = R)	φ=±kQR
Вне проводника (r > R)	φ=±kQr=±φ=±kQR+a

Пример №2. Определить потенциал электростатического поля, создаваемого заряженной сферой радиусом 0,1 м, в точке, находящейся на расстоянии 0,2 м от этой сферы. Сфера заряжена положительна и имеет заряд, равный 6 нКл.

6 нКл = 6∙10^–9 Кл

Так как сфера заряжена положительно, то потенциал тоже положителен:

Задание EF18107

Два неподвижных точечных заряда действуют друг на друга с силами, модуль которых равен F. Чему станет равен модуль этих сил, если один заряд увеличить в n раз, другой заряд уменьшить в n раз, а расстояние между ними оставить прежним?

Ответ:

а) F

б) nF

в) Fn

г) n²F

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

3.Применить закон Кулона к обоим зарядам для 1 и 2 случая.

4.Установить, как меняется сила, с которой заряды действуют друг на друга.

Решение

Запишем исходные данные:

• Первая пара зарядов: q₁ и q₂.

• Вторая пара зарядов: q₁’ = nq₁ и q₂’=q₂/n.

• Расстояние между зарядами: r₁ = r₂ = r.

Закон Кулона:

FK=k|q1||q2|r2

Применим закон Кулона к парам зарядов. Закон Кулона для первой пары:

FK1=k|q1||q2|r2

Закон Кулона для второй пары:

FK2=k|nq1|∣∣q2n∣∣r2=k|q1||q2|r2

Коэффициент n сократился. Следовательно, силы, с которыми заряды взаимодействуют друг с другом, не изменятся:

FK1=FK2

После изменения зарядов модуль силы взаимодействия между ними останется равным F.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18591

В трёх вершинах квадрата размещены точечные заряды: +q, –q, +q (q >0) (см. рисунок). Куда направлена кулоновская сила, действующая со стороны этих зарядов на точечный заряд +2q, находящийся в центре квадрата?

Ответ:

а) ↘

б) →

в) ↖

г) ↓

---

Алгоритм решения

1.Сделать чертеж. Обозначить все силы, действующие на центральный точечный заряд со стороны остальных точечных зарядов.

2.Найти равнодействующую сил геометрическим способом.

Решение

Сделаем чертеж. В центр помещен положительный заряд. Он будет отталкиваться от положительных зарядов и притягиваться к отрицательным:

Модули всех векторов сил, приложенных к центральному точечному заряду равны, так как модули точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата равны, и находятся они на одинаковом расстоянии от этого заряда.

Складывая векторы геометрически, мы увидим, что силы, с которыми заряд +2q отталкивается от точечных зарядов +q, компенсируют друг друга. Поэтому на заряд действует равнодействующая сила, равная силе, с которой он притягивается к отрицательному точечному заряду –q. Эта сила направлена в ту же сторону (к нижней правой вершине квадрата).

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22574

На неподвижном проводящем уединённом шарике радиусом R находится заряд Q. Точка O – центр шарика, OA = 3R/4, OB = 3R, OC = 3R/2. Модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке C равен EC. Определите модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке A и точке B?

Установите соответствие между физическими величинами и их значениями.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

---

Алгоритм решения

1.Записать формулы для нахождения напряженности электростатического поля внутри и снаружи заряженной сферы.

2.Определить величину напряженности поля в указанных точках.

3.Установить соответствие между величинами и их значениями.

Решение

Внутри заряженной сферы напряженность электростатического поля равна 0. Поэтому напряженность в точке А равна 0.

EA=0

Снаружи заряженной сферы напряженность электростатического поля равна:

E=kQr2=kQ(R+a)2

Найдем напряженность электростатического поля в точке В, которая находится на расстоянии 3R от центра заряженной сферы:

EB=kQr2=kQ(3R)2=kQ9R2

Чтобы выразить EB через Eс, найдем напряженность электростатического поля в точке С, которая находится на расстоянии 3R/2 от центра заряженной сферы:

EС=kQr2=kQ(32R)2=4kQ9R2

Найдем отношение EB к Eс:

EBEС=kQ9R2÷4kQ9R2=kQ9R2·9R24kQ=14

Следовательно:

EB=EС4

Ответ: 14

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 7.4k

Электрическое поле заряженного шара в физике – формулы и определение с примерами

2018-05-14   

Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса $R$, заряженной равномерно с поверхностной плотностью $sigma$.

Решение:

Рассмотрим кольцевой элемент, как показано на рисунке. Тогда заряд, элемента, $dq = (2 pi R sin theta) R d theta sigma$,

Следовательно, потенциал, обусловленный рассматриваемым элементом в центре полушария,

$d phi = frac{1}{4 pi epsilon_{0} } frac{dq}{R} = frac{2 pi sigma R sin theta d theta }{4 pi epsilon_{0} } = frac{ sigma R}{2 epsilon_{0} } sin theta d theta$

Таким образом, потенциал от всего полушария

$phi = frac{R sigma}{2 epsilon_{0} } int_{0}^{ pi /2} sin theta d theta = frac{ sigma R}{2 epsilon_{0} }$

Тогда из симметрии задачи электрическое поле полусферы направлено к отрицательной оси у. Получаем

$dE_{y} = frac{1}{4 pi epsilon_{0} } frac{dq cos theta}{R^{2} } = frac{ sigma}{2 epsilon_{0} } sin theta cos theta d theta$

Таким образом, $E = E_{y}^{ prime} = frac{ sigma}{2 epsilon_{0} } int_{0}^{ pi /2} sin theta cos theta d theta = frac{ sigma }{4 epsilon_{0} } int_{0}^{ pi /2} sin 2 theta d theta = frac{ sigma}{4 epsilon_{0} }$ вдоль YO

Содержание книги

Предыдующая страница

§9. Электрическое поле и его свойства

9.11 Примеры расчета потенциалов электростатических полей.

Поле равномерно заряженной сферы.

Пусть электрическое поле создается зарядом Q, равномерно распределенным по поверхности сферы радиуса R (Рис. 190). Для вычисления потенциала поля в произвольной точке, находящейся на расстоянии r от центра сферы, необходимо вычислить работу, совершаемую полем при перемещении единичного положительного заряда от данной точки до бесконечности. Ранее мы доказали, что напряженность поля равномерно заряженной сферы вне ее эквивалентно полю точечного заряда, расположенного в центре сферы. Следовательно, вне сферы потенциал поля сферы будет совпадать с потенциалом поля точечного заряда

(~varphi(r) = frac{Q}{4 pi varepsilon_0 r}) . (1)

В частности, на поверхности сферы потенциал равен (~varphi_0 = frac{Q}{4 pi varepsilon_0 R}) . Внутри сферы электростатическое поле отсутствует, поэтому работа по перемещению заряда из произвольной точки, находящейся внутри сферы, на ее поверхность равна нулю A = 0, поэтому и разность потенциалов между этими точками также равна нулю Δφ = –A = 0. Следовательно, все точки внутри сферы имеют один и тот же потенциал, совпадающий с потенциалом ее поверхности (~varphi_0 = frac{Q}{4 pi varepsilon_0 R}) .

Итак, распределение потенциала поля равномерно заряженной сферы имеет вид (Рис. 191)

(~varphi(r) = left{begin{matrix} frac{Q}{4 pi varepsilon_0 R} , mbox{ npu } r < R \ frac{Q}{4 pi varepsilon_0 r} , mbox{ npu } r > R end{matrix}right.) . (2)

Обратите внимание, поле внутри сферы отсутствует, а потенциал отличен от нуля! Этот пример является яркой иллюстрацией, того, что потенциал определяется значением поля от данной точки до бесконечности.

Поле равномерно заряженного кольца.

Вычислим потенциал поля, создаваемого зарядом Q, равномерно распределенным по тонкому кольцу радиуса R, причем ограничимся расчетом потенциала поля только на оси кольца (Рис. 192). Ранее мы вычислили напряженность поля на оси кольца, как функцию расстояния до его центра. Поэтому для вычисления потенциала можно, в принципе, подсчитать работу, совершаемую полем при перемещении заряда от данной точки до бесконечности. Однако, в данном случае проще воспользоваться принципом суперпозиции для потенциала поля. Для этого мысленно разобьем кольцо на малые участки, несущие заряд ΔQ_k. Тогда в точке, находящейся на расстоянии z от его центра, этот заряд создает поле, потенциал которого равен

(~delta varphi_k = frac{Delta Q_k}{4 pi varepsilon_0 r} = frac{Delta Q_k}{4 pi varepsilon_0 sqrt {R^2 + z^2}}) .

Так как все точки кольца находятся на одинаковом расстоянии (~r = sqrt {R^2 + z^2}) от рассматриваемой точки, то суммирование потенциалов полей, создаваемых зарядами ΔQ_k сводится к суммированию самих зарядов

(~varphi = sum_{k} {delta varphi_k} = sum_{k} {frac{Delta Q_k}{4 pi varepsilon_0 sqrt {R^2 + z^2}}} = frac{1}{4 pi varepsilon_0 sqrt {R^2 + z^2}} sum_{k} {Delta Q_k} = frac{Q}{4 pi varepsilon_0 sqrt {R^2 + z^2}}) . (3)

График этой функции показан на рисунке. Там же повторен график зависимости напряженности поля кольца на его оси от расстояния до центра кольца. Напомним, что значения потенциала φ(z₀) в точке с координатой z₀ численно равно площади под графиком зависимости E(z) в интервале от z₀ до (~z to infty) .

Обратите внимание – так как проекция вектора напряженности не изменяет свой знак, то функция φ(z) является монотонной.

Поле равномерно заряженной бесконечной пластины.

Ранее мы показали, что электрическое поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной пластиной является однородным, то есть напряженность поля одинакова во всех точках, причем вектор напряженности направлен перпендикулярно плоскости, а его модуль равен (~E_0 = frac{sigma}{2 varepsilon_0}) . Семейством силовых линий такого поля явяется набор параллельных прямых, перпендикулярных пластине. На рис. 194 так же изображен график зависимости проекции вектора напряженности поля E_x на ось Z перпендикулярную пластине (начало отсчета этой оси расположим на пластине). Понятно, что потенциал данного поля зависит только от координаты z, то есть эквипотенциальные поверхности в данном случае являются плоскостями, параллельными заряженной пластине.

При традиционном выборе нулевого уровня потенциала (~varphi(z to infty) = 0) , потенциал произвольной точки равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность. Так как модуль напряженности постоянен, то такая работа (а, следовательно, и потенциал) оказывается равной бесконечности! Следовательно, указанный выбор нулевого уровня потенциала в данном случае непригоден.

Поэтому следует воспользоваться произволом выбора нулевого уровня. Достаточно выбрать произвольную точку с координатой z = z₀, и приписать ей произвольное значение потенциала φ(z₀) = φ(₀) (Рис. 195). Теперь, чтобы вычислить значение потенциала в произвольной точке φ(z), можно воспользоваться соотношением между напряженностью и потенциалом поля (~Delta varphi = – vec E cdot Delta vec r) . Учитывая, что в данном случае напряженность поля постоянна (при z > 0) это выражение записывается в виде

(~varphi(z_0) – varphi(z) = -E_0 (z_0 – z)) ,

из которого следует искомая зависимость потенциала от координаты (при z > 0)

(~varphi(z) = varphi_0 – E_0 (z – z_0)) . (4)

В частности, можно задать произвольное значение потенциала самой пластины, то есть положить при z = z₀ = 0 φ = φ(₀). Тогда значение потенциала в произвольной точке определяется функцией

(~varphi(z) = varphi_0 – E_0 |z|) , (5)

график которой показан на рисунке 196.

То, что потенциал относительно бесконечности оказался бесконечно большим, вполне очевидно – ведь и бесконечная пластина обладает бесконечно большим зарядом. Как мы уже подчеркивали, такая система является идеализацией – бесконечных пластин не существует. В реальности все тела имеют конечные размеры, поэтому для них традиционный выбор нулевого потенциала возможен, правда в этом случае распределение поля может быть очень сложным. В рамках же рассматриваемой идеализации удобнее воспользоваться использованным нами выбором нулевого уровня.

Задание для самостоятельной работы.

1. Покажите, что при произвольном выборе нулевого уровня потенциала функция (4) может быть обобщена на все значения координаты z (в том числе и отрицательные) следующим образом

   (~varphi(z) = varphi_0 – E_0 (|z| – z_0)) .

   Постройте график этой функции.

Поле двух параллельных равномерно заряженных пластин.

Найдем распределение потенциала поля, создаваемого двумя одинаковыми равномерно заряженными параллельными пластинами, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку ^[1] (Рис. 197). Обозначим поверхностную плотность заряда на одной пластине +σ, а на другой –σ . Расстояние между пластинами h будем считать значительно меньшим размеров пластин. Введем систему координат, ось z которой перпендикулярна пластинам, начало координат разместим по средине между пластинами. Очевидно, для бесконечно больших пластин все характеристики поля (напряженность и потенциал) зависят только от координаты z. Для расчета напряженности поля в различных точках пространства воспользуемся полученным выражением для напряженности поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной пластиной и принципом суперпозиции.

Каждая равномерно заряженная пластина создает однородное поле, модуль напряженности которого равен (~E_0 = frac{sigma}{2 varepsilon_0}) , а направления указаны на рисунке 198.

Складывая напряженности полей по принципу суперпозиции, получим, что в пространстве между пластинами напряженность поля (~E = 2E_0 = frac{sigma}{varepsilon_0}) вдвое превышает напряженность поля одной пластины (здесь поля отдельных пластин параллельны), а вне пластин поле отсутствует (здесь поля отдельных пластин противоположны).

Строго говоря, для пластин конечных размеров поле не является однородным, силовые линии поля пластин конечных размеров показаны на рисунке 199. Наиболее сильные отклонения от однородности наблюдаются вблизи краев пластин (часто эти отклонения называют краевыми эффектами). Однако, в области прилегающей к середине пластин поле с высокой степенью точности можно считать однородным, то есть в этой области можно пренебречь краевыми эффектами. Заметим, что погрешности такого приближения тем меньше, чем меньше отношение расстояния между пластинами к их размерам.

Для однозначного определения распределения потенциала поля, необходимо выбрать уровень нулевого потенциала. Будем считать, что потенциал равным нулю в плоскости расположенной по средине между пластинами, то есть, положим φ = 0 при z = 0.

Не смотря на произвол в выборе нулевого уровня потенциала, наш выбор может быть логически обоснован на основании симметрии системы. Действительно, рассматриваемая система зарядов зеркально повторяет себя при зеркальном отражении относительно плоскости z = 0 и одновременном изменении знаков зарядов. Поэтому желательно, чтобы и распределение потенциала обладало такой же симметрией: восстанавливалось при зеркальном отражении с одновременным изменением знака всех функций поля. Выбранный нами способ выбора нулевого потенциала удовлетворяет такой симметрии.

Обозначим потенциал положительно заряженной пластины +φ₀, тогда потенциал отрицательно заряженной пластины будет равен –φ₀. Эти потенциалы легко определить, используя найденное значение напряженности поля между пластинами и связь между напряженностью и разностью потенциалов электрического поля. Уравнение этой связи в данном случае имеет вид φ₀ – (-φ₀) = Eh. Из этого соотношения определяем значения потенциалов пластин (~varphi_0 = frac{sigma h}{2 varepsilon_0}) . Учитывая, что между пластинами поле однородное (поэтому потенциал изменяется линейно), а вне пластин поле отсутствует (поэтому здесь потенциал постоянен), зависимость потенциала от координаты z имеет вид (рис. 201)

(~varphi(z) = left{begin{matrix} +varphi_0 , & mbox{ npu } z < – frac{h}{2} \ +2 frac{varphi_0}{h}z , & mbox{ npu } – frac{h}{2} < z < + frac{h}{2} \ -varphi_0 , & mbox{ npu } z > + frac{h}{2} end{matrix}right.) . (6)

Задания для самостоятельной работы.

1. Во всех рассмотренных примерах проделайте обратную операцию: по найденному распределению потенциала с помощью формулы (~E_x = -frac{Delta varphi}{Delta x}) рассчитайте напряженности рассмотренных полей.
2. Строго выведите формулу (6).
3. Качественно объясните следующий «парадокс». В поле плоского конденсатора неоднозначно определен потенциал «бесконечности»: при движении в положительном направлении оси Z потенциал «бесконечности» оказался равным -φ₀; при движении в отрицательном направлении оси Z – +φ₀ , при движении вдоль осей X или Y- равен нулю. Так чему равен потенциал «бесконечности» в реальной системе двух пластин конечных размеров?

Примечания

1. ↑ Такая система называется плоским конденсатором, подробнее эти устройства мы будем изучать позже.

Следующая страница

Практикум абитуриента. Напряженность, напряжение, потенциал

Задача 1. Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Найти зависимость напряженности и потенциала от расстояния $r$ от центра сферы. Нарисовать графики.

Решение.

Найдем вначале напряженность поля.

Внутри сферы электрического поля нет: при $r < R, E = 0$.

Вне сферы напряженность поля такая же, как у точечного заряда $Q$, помешенного в центр сферы: при $r > R$ проекция напряженности на выбранное направление от центра

$E = frac{Q}{4pi varepsilon_0 cdot r^2}$,

где $varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

На поверхности сферы, при $r = R$, электрическое поле испытывает скачок

$Delta E = frac{Q}{4pi varepsilon_0 cdot R^2}$.

Зависимость $E$ от $r$ графически показана на рисунке.

Величину скачка $Delta E$ можно выразить через поверхностную плотность заряда

$sigma = frac{Q}{4pi cdot R^2}$

равную заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности сферы:

$Delta E = frac{sigma}{varepsilon_0}$.

Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности его проекция на направление нормали всегда испытывает скачок

$Delta E = frac{sigma}{varepsilon_0}$,

независимо от формы поверхности.

Выясним теперь, как меняется потенциал $varphi$ в зависимости от $r$. Мы знаем, что в любой точке тангенс угла наклона касательной к графику потенциала должен совпадать со значением проекции напряженности (взятой с противоположным знаком). При $0 < r < R$, $E = 0$, и, следовательно, во всех этих точках касательная к графику потенциала должна быть горизонтальной. Это означает, что на участке $0 < r < R$ потенциал не меняется:

$varphi = const$.

Вне сферы, при $r > R$, производная

$varphi^/ (r) = -E(r)$

отрицательна и величина ее убывает с расстоянием $r$. Поэтому и потенциал должен убывать с расстоянием, стремясь к нулю при $r to infty$. Действительно, чем дальше расположена точка, в которой мы ищем потенциал, тем меньшую работу надо совершать при перемещении единицы заряда из этой точки в бесконечность. Величина потенциала $varphi$ при $r > R$ такая же, как у точечного заряда, помещенного в центр сферы:

$varphi = frac{Q}{4pi varepsilon_0 cdot r}$

Может ли потенциал испытать скачок на поверхности сферы, то есть при $r = R$? Очевидно, что нет. Скачок потенциала означал бы, что при перемещении единичного заряда между двумя очень близкими точками 1 и 2 электрическое поле совершало бы конечную работу:

$varphi_1 – varphi_2 = E(R) cdot (r_2 – r_1)$

должно оставаться конечным при $(r_2 – r_1) to infty$, что невозможно. Таким образом, потенциал не испытывает скачков.

График зависимости $varphi$ от $r$ изображен на рисунке.