Как найти напряженность поля в вершине квадрата

Согласно принципу суперпозиции – результирующая напряженность равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: [vec E = {vec E_1} + {vec E_2} + {vec E_3}.]  Вектор напряженности совпадает с касательной к силовой линии в данной точке поля, силовые линии проводят от положительного заряда.
Напряжённость электрического  поля каждого точечного заряда q на расстоянии r от него: [{E_1} = Kfrac{q}{{varepsilon {r^2}}}.]  2 заряда расположены на одинаковом расстоянии  а от точки, в которой определяется напряженность и, так как  модули зарядов равны, то и модули напряженностей будут равны между собой и результирующая напряженность является диагональю квадрата, образованного векторами, модуль которых равен Е₁, а расстояние r = a. Диэлектрическая проницаемость вакуума ε = 1.
[ {E_{12}} = sqrt {{{left( {{E_1}} right)}^2} + {{left( {{E_1}} right)}^2}}  = sqrt {2 cdot {{left( {{E_1}} right)}^2}}  = {E_1}sqrt 2  = Kfrac{q}{{{a^2}}}sqrt 2 . ]
Третий заряд находится на расстоянии [ r = asqrt 2  ] (диагональ квадрата)  от четвертой вершины квадрата и создает в ней поле, напряженность которого  [ {E_3} = frac{{Kq}}{{{{left( {asqrt 2 } right)}^2}}} = frac{{Kq}}{{2{a^2}}}. ]
Вектор Е₃ совпадает с вектором  Е₁₂ и результирующая напряженность в четвертой вершине будет равна  [ E = {E_{12}} + {E_3} = frac{{Kqsqrt 2 }}{{{a^2}}} + frac{{Kq}}{{2{a^2}}} = frac{{Kq}}{{{a^2}}}left( {sqrt 2  + frac{1}{2}} right) = frac{{left( {2sqrt 2  + 1} right)Kq}}{{2{a^2}}}. ]
 [E = frac{{left( {2sqrt 2  + 1} right) cdot 9 cdot {{10}^9} cdot 5 cdot {{10}^{ – 9}}}}{{2 cdot {{0,4}^2}}} = 538;В/м.]
Ответ: 538 В/м.

2017-05-27   

В вершинах квадрата со стороной а расположены два положительных и два отрицательных заряда, значение каждого из них $Q$ (рис. а, б). Определить напряженность электрического поля и потенциал2 в центре этого квадрата.

Решение:

Поле создано четырьмя точечными зарядами. По условию задачи требуется найти характеристики поля в точке, которая равноудалена от всех четырех зарядов и лежит с ними в одной плоскости, т. е. находится в особых условиях по отношению к источникам поля. Поэтому и потенциал, и напряженность следует определять независимо друг от друга с помощью принципа суперпозиции:

$phi = phi_{1} + phi_{2} + phi_{3} + phi_{4}$, (1)

$vec{E} = vec{E}_{1} + vec{E}_{2} + vec{E}_{3} + vec{E}_{4}$. (2)

При расчете потенциала знаки зарядов учитываются автоматически и, по-видимому, значение результирующего потенциала не зависит от порядка расположения положительных и отрицательных зарядов в вершинах квадрата. Чтобы рассчитать напряженность по равенству (2), следует показать сначала на рисунке направления всех векторов $vec{E}_{i}$, зависящие от знака заряда $Q_{i}$. Очевидно, вектор напряженности $vec{E}$ зависит от порядка расположения зарядов в вершинах квадратов.

Расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки

$r = a sqrt{2}/2$.

Потенциал, создаваемый зарядом $Q_{i}$ в рассматриваемой точке, $phi_{i} = Q_{i}/(4 pi epsilon_{0} r)$. Следовательно,

$phi = sum Q_{i} / 4 pi epsilon_{0} r)$.

А так как, по условию задачи, алгебраическая сумма зарядов равна нулю, то и результирующий потенциал $phi = 0$ независимо от порядка расположения зарядов.

Рассмотрим распределение зарядов, показанное на рис. а. Напряженности $vec{E}_{2}$ и $vec{E}_{4}$ полей, созданных 2-м и 4-м зарядами в точке С, сонаправлены и равны по модулю: $| vec{E}_{2} | = | vec{E}_{4} |$. Аналогично, $| vec{E}_{1} | = | vec{E}_{3} |$. Поэтому напряженность результирующего поля

$vec{E} = 2 vec{E}_{1} + 2 vec{E}_{2}$.

Векторы $vec{E}_{1}$ и $vec{E}_{2}$ также равны по модулю и направлены ортогонально друг другу (по диагоналям квадрата), значит, результирующий вектор $vec{E}$ направлен вертикально вниз (см. рис. a) и тогда

$E = 4E_{1} cos 45^{ circ}$.

Напряженность поля, созданного каждым из зарядов,

$E_{i} = |Q_{i}| / ( 4 pi epsilon_{0} r^{2}) = |Q_{i}| / (2 pi epsilon_{0} a^{2})$.

Заряд $Q_{i}$ следует брать по модулю, так как знак каждого из зарядов был учтен при изображении соответствующего вектора $vec{E}_{i}$. Окончательно

$E = 4 | Q_{i} | cos 45^{ circ} / (2 pi epsilon_{0} a^{2}) = Q sqrt{2} /( pi epsilon_{0} a^{2})$.

При расположении зарядов, показанном на рис. б, $E = 0$.

Светило науки – 16 ответов – 307 раз оказано помощи

Для начала найдите расстояние от вершин квадрата до центра – R. Оно легко находится при помощи теоремы Пифагора (диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам). 
Теперь подсчитаем электрическое поле от одного из зарядов, создаваемое в центре квадрата (точке пересечения диагоналей). Как известно, напряженность поля, создаваемого зарядом q в точке, отстоящей от него на расстояние r равно: 
E = k*q/r^2 
где k – коэффициент, зависящий от выбранной системы отсчета. Чему он равен в системе СИ посмотрите в справочнике. Это тот же самый коэффициент, который присутствует в законе Кулона. 
Далее, не забываем, что напряженность электрического поля – величина векторная и для нее действует принцип суперпозиции, поэтому напряженности, создаваемые каждым из зарядов складываются векторно. Но в данном случае видно, что, так, как заряды одинаковы, то векторы напряженности электрического поля, создаваемые одинаковыми зарядами одного знака, расположенными в противоположных вершинах квадрата, будут равны, но противоположны по направлении. И поэтому, их сумма будет равна 0! Остаются 2 заряда с различными знаками. Векторы напряженности электрического поля, создаваемые в центре квадрата этими зарядами будут тоже равны по модулю (т.к. заряды равны), и направлены в одну сторону, вдоль диагонали квадрата, на которой они находятся. Соответственно суммарная напряженность электрического поля в центре квадрата будет равна сумме напряженностей, создаваемых каждыми из этих зарядов, то есть удвоенной величине напряженности, создаваемой одним из зарядов: 
E = 2k*q/R^2 
где R – длина половины диагонали квадрата. 
Потенциал создаваемый зарядом q в точке, отстоящей от него на расстояние r равен: 
fi = k*q/r 
Потенциал – величина скалярная, поэтому складывается как скаляр. Так что суммарный потерциал будет равен: 
Fi = k*q1/R + k*q2/R + k*q3/R + k*q4/R = 3k*q/R – k*q/R = 2k*q/R 

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)