Как найти напряженность тонкого стержня

при непрерывном

распределении зарядов

В качестве примера получения выражения для напряженности поля с помощью принципа суперпозиции найдем напряженность поля тонкого стержня конечной длины, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда t

Выберем бесконечно малый элемент dl стержня с зарядом dq. Поскольку напряженности от различных элементов направлены по-разному, введем оси проекций х и у. Итегрируя, найдем результирующие напряженности Ех и Еу.

	dE— напряженность от элемента стержня dl с зарядом dq = t×dl, dEх и dEy – проекции dE на направления х и у.
	Чтобы проинтегрировать, сведем к одной переменной a
	длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника (А, С, dl)
		модуль напряженности

Для бесконечно длинной нити a1 ® 0, a2 ® 180о, следовательно, Еу = 0 и Е = Ех (cos180o = -1), r – расстояние от точки, в которой определяется напряженность, до нити.

Этот пример показывает, что вычисление напряженности полей представляет собой достаточно сложную задачу даже в нашем случае, когда мы не учитывали поле вблизи концов стержня.

Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:

1)  принципа суперпозиции — это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях или

2)  теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).

Теорема Гаусса.

Сначала введем понятие «поток вектора» — это скалярная величина

(Н×м2/Кл = В×м)	элементарный поток вектора напряженности Е, n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Еn – проекция вектора Е на направление нормали n
	поток вектора напряженности через конечную площадку S
	-²- -²- -²-через замкнутую поверхность S

	при дискретном распределении зарядов	Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на eо» (eо – электрическая постоянная)
	при непрерывном распределении зарядов

Применение теоремы Гаусса.

Чтобы найти напряженность с помощью теорем Гаусса, нужно взять интеграл. А как его взять, если мы Е еще только пытаемся найти? Кроме того, под интегралом «мешает» cosa. Надо суметь выбрать такую замкнутую поверхность (ее удобно называть гауссовой), в каждой точке которой было бы Е = const, и cosa = const. Тогда в левой части теоремы Е и cosa можно будет вынести из-под знака интеграла. Поэтому практически теорему Гаусса можно применить только в следующих случаях: сфера, шар, длинная нить, длинный цилиндр, бесконечная плоскость.

1) Сфера, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м2)

Рассмотрим области : 1) вне сферы () и внутри ее (). Выберем поверхности: 1) S1 и 2) S2 – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.

(¨)	Потоки вектора Е через S1 () и S2. () E^n, a = 0, cosa = 1.
(¨¨)	по теореме Гаусса; F2 = 0, т. к. S2 не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из (¨) и (¨¨), найдем E(r).
q = s×2pR2 – полный заряд сферы	Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности.

2)Тонкая длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда t (Кл/м)

В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l.

Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.

Принцип
суперпозиции позволяет рассчитать
электростатические поля любой системы
неподвижных зарядов, поскольку если
заряды не точечные, то их всегда можно
свести к совокупности точечных зарядов.

Методика
расчета напряженности состоит из двух
частей:

• Первая
  (дифференцирование) заключается в
  разбиении заряженных тел на малые
  области, каждая из которых может
  считаться точечным зарядом, и применении
  к ним формулы напряжённости
  электростатического поля точечного
  заряда.

• Вторая
  (интегрирование) заключается в векторном
  суммировании напряжённостей
  электростатических полей.

.

Задача
2.8. Вычислить
напряжённость поля, создаваемого тонким
стержнем длиной ℓ,
несущим равномерно распределённый по
длине заряд с линейной плотностью +
τ в точке,
равноудалённой от концов стержня,
находящейся на расстоянии r₀
от его середины.

Решение.
Выделим на стержне бесконечно малый
участок
,
заряд которого можно считать точечным
(рис. 27, а):

(1)

Воспользуемся
формулой напряжённости поля точечного
заряда в дифференциальном виде:

(2)

Сделаем
геометрические преобразования. Из
(см. рис. 27, а):

(3)

Из

(рис. 27, б):

(4)

Так
как угол
мал, то

Из

(см. рис. 27, а):

.
(5)

Подставив
в формулу (4) а
и r
из (5) и (3), получим:

(6)

Подставив
r
из (3) и
из (6) в формулу (2), получим:

. (7)

Так
как
вектор, то.

Из
рис. 27, а:
.

Чтобы
найти полную напряжённость, нужно
проинтегрировать её составляющие:

.

Модуль напряжённости

.

Для
половины стержня угол φ
изменяется от 0 до α,
а для всего стержня – от α
до – α

Так
как
,
то.

Так
как
,
то.

Из

на рис. 27, а выразим :

.

Окончательно
получим:

.

Задача 2.9.
На тонком кольце равномерно распределен
заряд с линейной плотностью заряда+
τ.Определить напряженность
электростатического поля в точке,
расположенной на оси кольца и удаленной
на расстояниеа от плоскости
кольца.

Решение.
Выделим на кольце элемент длины
(рис. 28). ЗарядdQ=τ,находящийся на выделенном участке,
можно считать точечным. Напряженность
электростатического поля,
создаваемого точечным зарядомdQ:

,

где
– расстояние от элемента
до заданной точки.

Выразим вектор
через проекцииина оси координат:

.

Напряженность
найдем интегрированием вдоль длины
окружностиℓ:

.

Так как кольцо
симметрично относительно заданной
точки, то все проекции на ось х
скомпенсируют друг друга, то есть
интеграл

.

Тогда

,

где

.

Из
рис. 28:

;

.

С
учетом того, что длина окружности ℓ
= 2πR, а коэффициент,
окончательно получим:

.

2.3. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

Электростатическое
поле обладает потенциальной энергией,
поэтому наряду с напряженностью поля
для описания полей используется такая
характеристика поля, какпотенциал.

Потенциал
электростатического поля φ
– СФВ, являющаяся энергетической
характеристикой поля и численно равная
потенциальной энергии, которой обладал
бы в данной точке поля единичный
положительный точечный заряда:

(2.10)

За
единицу измерения потенциала в СИ
принимают 1 Вольт

[φ] = 1В = .

Потенциал
не зависит ни от потенциальной энергии
W_П
ни от заряда q
₊,
а является характеристикой поля.

 Подчеркнем,
что, в отличие от напряженности, потенциал
– не векторная, а скалярная
величина. Он может быть как положительным,
так и отрицательным. Потенциал поля,
созданного положительным зарядом,
положителен,
а потенциал поля, созданного отрицательным
зарядом, отрицателен.

Для потенциала
справедлив принцип
суперпозиции:
потенциал поля, созданного в данной
точке системой положительных и
отрицательных зарядов, равен алгебраической
сумме потенциалов полей, созданных
каждым зарядом в отдельности с учетом
их знаков:

. (2.11)

Численное значение
потенциала зависит от выбора нулевого
уровня φ.

Нулевой уровень
потенциала
– геометрическое место точек поля,
потенциал которых принимается равным
нулю и выбирается произвольно: в
бесконечности, на поверхности Земли и
т. д.

Потенциал поля,
созданного точечным зарядом Q
на расстоянии r
от него:

. (2.12)

Для
графического изображения распределения
потенциала пользуютсяэквипотенциальными
поверхностями
– поверхностями, во всех точках которых
потенциал φ
имеет одно и то же значение.

Форма эквипотенциальных
поверхностей может быть разная, например,
для точечного заряда эквипотенциальные
поверхности – концентрические
сферы
(рис. 29).

Эквипотенциальных
поверхностей вокруг каждого заряда
можно провести бесчисленное множество.
Однако их обычно проводят так, чтобы
разности потенциалов между соседними
эквипотенциальными поверхностями были
одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных
поверхностей характеризует напряженность
поля в разных точках. Чем гуще
эквипотенциальные поверхности, тем
больше напряженность поля.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

2017-05-27   

Тонкий стержень длины $l = 10 см$ равномерно заряжен зарядом $Q = – 3 cdot 10^{-9} Кл$ (рис.). Найти напряженность поля и потенциал в точке С, лежащей на оси стержня. Расстояние от середины стержня до этой точки $x_{0} = 20 см$. Определить, при каком наименьшем значении $x_{0}/l$ напряженность можно рассчитывать по формуле поля точечного заряда, если относительная погрешность не превышает 5%.

Решение:

Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкому стержню. Конфигурация зарядов не позволяет установить точное расположение силовых линий в пространстве, поэтому для определения характеристик поля следует использовать принцип суперпозиции. Разобьем стержень на элементарные участки длины $dl$ с зарядом $dQ$. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд, создающий потенциал

$d phi = dQ/(4 pi epsilon_{0} r)$,

где $r$ — расстояние от элемента $dl$ до точки С.

Потенциал результирующего поля

$phi = int_{(Q)} frac{dQ}{4 pi epsilon_{0} r}$, (1)

где $(Q)$ показывает, что интеграл берется по всему заряду $Q$, создающему поле. Поскольку требуется найти напряженность и потенциал поля в точках, лежащих на оси стержня, введем ось ОХ. Тогда длина элемента $dl = dx$, положение элемента определяется его координатой х, а расстояние от этого элемента до точки С

$r = x_{0} – x$. (2)

Вследствие симметрии очевидно, что в точках, лежащих на оси ОХ, вектор $vec{E}$ направлен вдоль этой оси, поэтому

$E_{x} = – d phi / dx, E_{y} = E_{z} = 0$. (3)

Равномерное распределение заряда по стержню позволяет утверждать, что $dQ/dl = Q/l$, откуда $dQ = (Q/l)dl$.

Так как $dl = dx$ и при интегрировании по стержню переменная х изменяется в пределах от $- l/2$ до $+ l/2$, то согласно (1) и (2)

$phi = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} l} int_{-l/2}^{+l/2} frac{dx}{x_{0}- x}$.

Производя интегрирование, получаем

$phi = frac{Q}{ 4 pi epsilon_{0} l} ln frac{x + l/2}{x – l/2}$. (4)

Для $x_{0} = 20 см phi_{C} = – 138 В$.

Расстояние $x_{0}$ в выбранной системе координат представляет собой абсциссу х точки С, и выражение (4) можно записать как функцию координаты х:

$phi = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} l} ln frac{x_{0} + l/2}{x_{0} – l/2}$.

Тогда

$E_{x} = – frac{d phi}{dx} = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} l} left ( frac{1}{X – l/2} – frac{1}{x + l/2} right )^{1}$. (5)

Поскольку заряд $Q < 0$, то $E_{x} < 0$ и $E = – E_{x}$, если $x > l/2$ (справа от стержня), $E_{x} > 0$ и $E = E_{x}$, если $x < – l/2$ (слева от стержня). Следует заметить, что формулы, выведенные для потенциала и напряженности, справедливы только для $| x | > l/2$.

Подставляя $x = x_{0} = 20 см$ в (5), получаем $E_{0} = 720 В/м$, причем вектор $vec{E}_{0}$ направлен противоположно направлению оси ОХ.

Чтобы ответить на второй вопрос задачи, проанализируем выражение (5). Очевидно, что пренебречь $l/2$ по сравнению с х нельзя. В этом случае напряженность электрического поля обратится в нуль. Преобразуем выражение, стоящее в скобках: приведем дроби к общему знаменателю, после чего вынесем в знаменателе $x^{2}$ за скобки:

$frac{1}{x – l/2} – frac{1}{x + l/2} = frac{l}{x^{2} [1 – l^{2} /(4x^{2})]} = frac{1}{x^{2}} left ( 1 + frac{l^{2}}{4x^{2}} right )$

[последнее преобразование возможно, если членами, содержащими $l/(2x)$ в степени, большей 2, пренебречь]. Таким образом [см. (5)],

$E = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} x^{2}} left ( 1 + frac{l^{2}}{4x^{2}} right )$. (6)

По приближенной формуле напряженность поля точечного заряда

$E_{прибл} = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} x^{2}}$. (7)

Из сравнения выражений (6) и (7) видно, что погрешность приближенного расчета

$delta E = frac{|E – E_{прибл}|}{E_{прибл}} = frac{l^{2}}{4x^{2}}$.

По условию $delta E = 0,05$, следовательно, $x_{0}/l = sqrt{5} approx 2,2$, т. е. даже при таком небольшом удалении от стержня можно пользоваться приближенной формулой напряженности поля точечного заряда, если допустимая погрешность 5%.