Как найти натуральную величину треугольника методом треугольника

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения.

Одна из практических задач начертательной геометрии – определение натуральных величин объектов. Натуральную величину отрезков (Н.В.) можно определять различными способами. Определим натуральную величину отрезка АВ из предыдущего параграфа методом прямоугольного треугольника.

Отрезок АВ задан двумя точками А(10, 18, 30) и В(55, 25, 10). В основу этого метода положен прямоугольный треугольник, образованный самим отрезком (гипотенуза треугольника), одной из его проекций (первый катет) и отрезком, равным разнице между координатами на второй проекции. На рисунке 9 один из катетов – это горизонтальная проекция отрезка АВ, а второй катет – это разница между координатами z концов отрезка.

Рисунок 9. Определение натуральной величины отрезка АВ методом прямоугольного треугольника.

Проекция А1В1 лежит на горизонтальной плоскости проекций. Чтобы легче понять суть метода прямоугольного треугольника, представим себе, что мы треугольник АВК поворачиваем вокруг отрезка А1В1, как бы «укладывая» его на плоскость Н. Тогда гипотенуза нашего треугольника окажется лежащей на горизонтальной плоскости и отразится в натуральную величину. Задача решена, отрезок А0В1 является натуральной величиной отрезка АВ.

Выполним построение на эпюре.

1. На эпюре отрезка АВ от точки В2 проведем горизонтальную прямую и отметим расстояние Δz – это разница между координатами z точек А и В. (Рисунок 10).

Рисунок 10. Определение величины Δz.

2. От точки А1 отложим перпендикуляр – проведем прямую под углом 90° (рисунок 11).

Рисунок 11. Восстановление перпендикуляра из точки А1.

3. На проведенном перпендикуляре отложим расстояние Δz и отметим точку А0. Соединим точки В1 и А0 . Мы получили решение задачи (рисунок 12).

Рисунок 12. Определение натуральной величины отрезка АВ.

Упражнение 3.

Исправьте ошибку, допущенную на рисунке 13 при определении натуральной величины отрезка CD.

Рисунок 3. Исправьте ошибку, допущенную на эпюре.

Источник

Натуральная величина треугольника определяется 2 методами:

замена плоскостей проекции;
плоскопараллельное перемещение.

Это задание является обязательным для студентов в учебных заведениях и для его решения необходимо изучить тему: » Способы преобразования чертежа».

Для наглядности я использовал определенное задание и на его примере покажу как находится натуральная величина треугольника.

Алгоритм определения натуральной величины плоскости:

Замена плоскостей проекции

1.) Для построения чертежа использовал задание, расположенное снизу. Первоначально строятся точки по координат в плоскостях П1 и П2.

2.) Строится дополнительная горизонтальная линия 11 в верхнем изображении (проводится линия от средне расположенной точки по высоте), затем опускают дополнительные отрезки на нижнее изображение (как указано на рисунке снизу) и соединяют прямой. Эта прямая необходима для того, чтобы на ней расположить вспомогательную плоскость.

3.) Построив прямую на нижнем рисунке, чертится под углом 90⁰ ось Х1 (от точки С1 располагаем на произвольном расстоянии, но не слишком далеко). Затем отмеряются расстояния:

от С2 до оси Х;
от В2 до оси Х;
от А0 до оси Х.

Полученные размеры откладываются от оси Х1 (размеры указаны разными цветами на рисунке снизу) и соединяют, далее подписываются точки.

4.) Строится еще одна дополнительная ось Х2, расположенная параллельно отрезку В4С4А4. От точек В4,С4 и А4 проводят прямые перпендикулярные оси Х2.

5.) Отмеряются расстояния:

от В1 до Х1;
от С1 до Х1;
от А1 до Х1.

Полученные результаты измерений откладываются от иси Х2 (на изображении снизу отмечены зелеными и голубым цветами).

6.) Соединяются точки и подписывают полученную плоскость заглавными «Н.В.»

Плоскопараллельное перемещение

7.) Откладывается отрезок на оси Х (обозначен синим цветом).

8.) Переносятся точки на текущее построение.

9.) Соединяют точки, получившиеся при переносе из плоскостей проекций. 10.) Методом вращения точки А2′, С2′ переносятся на горизонтальную прямую, а точка В2′ не меняет свое положение (относительно ее и происходило вращение).11.) Откладывается точка (располагают от оси Х на небольшом расстоянии, т.е. произвольном), относительно которой и будет откладываться плоско параллельное перемещение плоскости. 12.) От точек А2′, С2′ и В2′ опускаются прямые. Далее циркулем необходимо отмерить расстояния:

от С1 до В1;
от С1 до А1.

Затем эти размеры откладываются от С1′ (обозначены красным и синим цветами).

13.) Соединяются и подписываются точки (А1′, В1′ и С1′). Опускают прямые от С2″ и А2″14.) От точек С1 и А1 отводят прямые до пересечения с прямыми опущенными от точек С2″ и А2″. В месте пересечения ставится точка.15.) Завершающим шагом является соединение точек и обводка линиями всего чертежа.Пример чертежа на тему «Натуральная величина треугольника» смотрите здесь.

Просмотрели 652

Источник

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A’A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A₀B’ треугольника A₀A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П₁, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’₁F’₁ (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’₁F’₁ = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E”₁ и F”₁. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M”₁. При этом исходим из того, что M” в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N”₁ и M”₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

Способ прямоугольного треугольника

Способ прямоугольного треугольника является одним из тех методов в котором находится действительная величина отрезка или расстояние между двумя точками прямой по двум проекциям. В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований.

Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB₁) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскости проекций на КЧ необходимо построить прямоугольный треугольник: – первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов); – из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций; – гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка.

Ортогональная проекция отрезка общего положения всегда будет меньше его действительной величины.

Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка или расстояния между двумя точками прямой может быть использован способ прямоугольного треугольника. Где выполняется построение прямоугольного треугольника: – за один его катет принимается горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция отрезка; – а за другой катет – разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции; – гипотенуза, полученного таким образом, прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка или расстояния между двумя точками прямой.

Графическое определение действительной величины отрезка [AB] или расстояния между двумя точками прямой A и B путем построения прямоугольных треугольников ΔA`B`B₀ или ΔA”B”A₀.

Используя способ прямоугольного треугольника, можно также решать задачу по построению на эпюре: – проекции отрезка, наперед заданной величины; – проекции расстояния между двумя точками прямой, наперед заданной величины.

Даны проекции равностороннего треугольника ABC(A`B`C`,A”B”. ) .
Построить недостающие проекции треугольника.

Построение равностороннего треугольника выполняется с использованием способа прямоугольного треугольника

Другие графические способы определение действительной величины, натурального вида или натуральной величины отрезка, плоской фигуры изложены в статье: Метод преобразования. Определение действительной величины треугольника ΔABC показаны на примере решения двух задач в статье: Графическая работа 3

Способ прямоугольного треугольника применяется в статье графическая работа 1: Графическая работа 1

Если вы искали не Способ прямоугольного треугольника а: Проекции треугольника, нажмите на ссылку.

Построение треугольника в плоскости общего положения смотри: Вращение вокруг следа

Построение натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника

Из рисунке 23 можно заключить, что отрезок прямой АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет равен проекции отрезка (А1 =А′В′), а другой катет равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций π₁ (В1 = ВВ′ – АА′).

Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости проекций, имеют разные знаки, то надо иметь в виду разность алгебраическую.

Угол φ, который образован между катетом А1 (А1 = А′В′) и гипотенузой (отрезком прямой АВ) – это угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости проекций π₁.

Угол прямой линии с плоскостью проекции определяется как угол, составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной величины отрезка.

На рис. 24 заданы проекции А′В′ и А′′В′′ прямой общего положения АВ. Чтобы определить ее натуральную величину и углы наклона к плоскостям проекций π₁ и π₂, необходимо построить прямоугольные треугольники на плоскостях π₁ и π₂, исходя из их пространственных положений.

Гипотенуза в прямоугольных треугольниках А′А₀В′ и А′′В′′В₀ есть истинная величина отрезка прямой АВ(А₀В′ = А′′В₀ = [АВ]).

Угол α, образованный между гипотенузой А₀В′ и горизонтальной проекцией А′В′ в треугольнике А′А₀В′ – это угол наклона отрезка прямой АВ с горизонтальной плоскостью проекций π₁

(А₀В′; А′В′ = [АВ]; π₁ =

(А′′В₀; А′′В′′ = [АВ]; π₂ =

Рис. 26 Рис. 27

Профильные прямые АВ и СDна рисунке 26 заданы проекциями А′В′║С′D′ и А′′В′′║С′′D′′, но построенные профильные проекции этих прямых не подтверждают параллельность прямых в пространстве.

В случае, изображенном на рисунке 27, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций π₁, поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

1) Пересекающиеся прямые ( а∩в)

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых.

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций(рис. 28).

Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к оси проекций или на чертеже без осей проекций, эти точки оказались бы на линии связи, установленного для нее направления.

Рис. 28

Рис. 29

Если одна из данных пересекающихся прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции прямых на этой плоскости, то нельзя утверждать, что прямые пересекаются между собой в пространстве. Это может быть подтверждено построением недостающих проекций (рис. 29).

Прямыеаив на рисунке 29 не пересекаются (а ∩ в), это видно по расположению профильных проекций этих прямых.

2) Скрещивающиеся прямые (а ÷ в)

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рис. 30 изображены две скрещивающиеся прямые а и вобщего положения.

Хотя одноименные проекции прямых а и в пересекаются между собой, но эти точки представляют собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит прямой а, другая прямой в. Так точки К и N принадлежат прямой а, точки М и L принадлежат прямой в. В данном примере на рис.30имеют место фронтально – конкурирующие точки – М и N, а К и L – горизонтально – конкурирующие. Точка М закрывает собой точку N по отношению к плоскости проекций π₂, а по отношению к плоскости π₁ точка К закрывает собой точку L. Направление взгляда указано стрелками.

Если хотя бы одна из скрещивающихся прямых параллельна профильной плоскости проекций, то о взаимном расположении прямых можно судить по изображению прямых на профильной плоскости проекций.

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций называется фронтальным следом прямой.

Точка пересечения с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой.

На рисунке 31 показаны точки Н и F, в которых прямая, заданная отрезком АВ пересекает плоскости проекций π₁ и π₂.

Горизонтальная проекция Н′ горизонтального следа Н совпадает с этим следом, а его фронтальная проекция Н′′ лежит на оси проекций х.

Фронтальная проекция F′′ фронтального следа F совпадает с этим следом, а его горизонтальная проекция F′ лежит на той же оси проекций – х.

Рис. 31

Чтобы найти горизонтальный след прямой АВ, надо продолжить фронтальную проекцию А′′В′′ до пересечения с осью «х» и через найденную фронтальную проекцию Н′′ горизонтального следа Н, провести линию связи проекций Н′′ и Н′ до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А′В′, что определит горизонтальную проекцию Н′ горизонтального следа Н, которая совпадает с самим следом (H′≡H), (рис. 32).

Рис. 32

Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию А′В′ до пересечения с осью х и найденную горизонтальную проекцию F′ фронтального следа F проводим линию связи проекций F′ и F′′ до пересечения с продолжением фронтальной проекции А′′В′′, что обозначит фронтальную проекцию F′′ фронтального следа F, которая совпадает с самим следом (F′′≡F).

Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа – у = 0.

По положению точек Н и F можно судить, к каким четвертям пространства отнесена данная прямая. На рисунке 32прямая АВ проходит через, I, II, IV четверти.

Прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

Безосные чертежи

Пусть дан некоторый отрезок прямой АВ, отнесенный к системе плоскостей π₁ и π₂. По чертежу этого отрезка (рис. 33) можно судить о его расположении относительно системы плоскостей; наличие оси х фиксирует это.

Пусть горизонтальная плоскость проекций π₁ будет приближена к неподвижному отрезку АВ, соответственно ось х займет некоторое положение х₁, при этом ни длина, ни положение, относительно линий связи проекций А′В′ и А′′В′′ не изменятся (рис. 33).

Приближение (ось х₂ на рис. 33) фронтальной плоскости проекций π₂ или удаление (ось х₁ на рис. 33) горизонтальной плоскости проекций π₁ от отрезка не отразится на проекциях этого отрезка прямой АВ.

Следовательно, удаление или приближение к отрезку прямой плоскостей проекций параллельно самим себе не изменяет проекций этого отрезка. Поэтому на чертежах во многих случаях можно отказаться от изображения оси х (рис. 34).

Рис. 33 Рис. 34

По безосному чертежу нельзя определить расстояния концов отрезка, точек А и В, до плоскостей проекций π₁ и π₂, так как положение π₁ и π₂ не зафиксировано, хотя их направления известны, как соответственно перпендикулярные линиям связи. По такому чертежу можно судить о разности расстояний точек А и В до плоскостей проекций, следовательно, о взаимном расположении, например, отдельно взятых отрезков прямых.

Контрольные вопросы

1. Как могут быть заданы проекции прямой на эпюре?

2. Сколько положений может занимать прямая линия относительно плоскостей проекций?

3. В чем заключена сущность метода прямоугольного треугольника?

4. Назовите признак параллельности прямых на эпюре.

5. Всегда ли подтверждается признак параллельности двух прямых на эпюре?

6. Каково необходимое и достаточное условие на эпюре признака пересекающихся прямых ?

7. Что характерно на эпюре для скрещивающихся прямых?

8. Сколько следов имеют проецирующие прямые, прямые уровня, прямые общего положения?

9. О чем можно судить на безосном чертеже прямой линии?

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №3

Плоскость. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Точка и прямая в плоскости. Главные линии плоскости.

План лекции

1. Способы задания плоскости на эпюре.

2. Следы плоскости.

3.Положения плоскости относительно плоскостей проекций.

4. Прямая в плоскости.

5. Точка в плоскости.

6. Главные линии плоскости.

3.1. Способы задания плоскости на эпюре

Положение плоскости в пространстве определяется:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линии(рис. 1);

Рис. 1

б) прямой линией и точкой взятой вне прямой(рис. 2);

Рис. 2

в) двумя пересекающимися прямыми(рис. 3);

Рис. 3

г) двумя параллельными прямыми(рис. 4);

Рис. 4

д) проекциями любой плоской фигуры – треугольника, квадрата, окружности(рис. 5). Собственно это вариант способа задания плоскости пересекающимися прямыми. А задание плоскости треугольником вытекает из способа её задания тремя точками.

Рис. 5

Пусть некоторая плоскость α задана отдельно взятыми точками А, В, С (рис. 5). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые, получим проекции треугольника АВС, который задает так же некоторую плоскость α.

Следы плоскости

Плоскость может быть изображена на эпюре при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций(рис. 6).

Рис. 6

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами этой плоскости на плоскостях проекций или короче следами плоскости.

На рисунке 6 изображена плоскость α пересекающая горизонтальную плоскость проекций по прямой, обозначаемой h_oα и фронтальную плоскость по прямой, обозначаемой ƒ_оα.

Прямая h_o_α называется горизонтальным следом плоскости, прямая ƒ_о_α – фронтальным следом плоскости α.

Точка пересечения плоскости α с осью проекций х (точка пересечения следов плоскости) называется точкой схода следов, обозначена х_α.

След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на этой плоскости. Так горизонтальный след плоскости α сливается со своей горизонтальной проекцией (h′_о_α≡h_o_α), фронтальная проекция этого следа (h′′_о_α) располагается на оси проекций х.

Фронтальный след плоскости α сливается со своей фронтальной проекцией (f′′_o_α≡f_o_α), горизонтальная проекция этого следа (f′_о_α) располагается на оси проекций х.

На чертеже плоскость может быть задана следами(рис. 6). Такой чертеж нагляден и удобен для построений.

Угол, образованный между следами на чертеже не равен углу, образованному следами плоскости в пространстве.

Если рассматривать плоскость в системе π₁, π₂, π₃, то в общем случае плоскость пересечет каждую из осей проекций (рис. 7), т.к. плоскостьα пересекаетx, y, z). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

Рис. 7

Положения плоскости

Плоскость, как и прямая линия, относительно плоскостей проекций может занимать семь положений.

Плоскости общего положения

Такие плоскости не перпендикулярны ни к одной из плоскостей проекций. Следы плоскостей общего положения никогда не перпендикулярны к осям проекций. На рис. 8 дан пример плоскости общего положения.

2) Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций (возможны три случая):

а) горизонтальная плоскость;

Рис. 8

Фронтальная проекция точки А, лежащей в плоскости α, будет расположена на фронтальном следе этой плоскости.

б) фронтальная плоскость;

Рис. 9

Горизонтальная проекция точки В, лежащей в плоскости β, будет расположена на горизонтальном следе плоскости

в) профильная плоскость;

Рис. 10

Горизонтальная проекция точки С, лежащей в плоскости α, будет расположена на горизонтальном следе этой плоскости, фронтальная проекция точки С – на фронтальном следе плоскости α.

3) Плоскости, перпендикулярные одной плоскости проекций (возможны так же три случая):

а) горизонтально – проецирующая плоскость;

Рис.11

На рисунке 11 плоскость α_┴π₁. Фронтальный след перпендикулярен к плоскости π₁ и к оси проекций х. Горизонтальный же след составляет с осью проекций не прямой угол, равный углу между горизонтально – проецирующей плоскостью и плоскостьюпроекций π₂.

б) фронтально – проецирующая плоскость;

Рис. 12

На рисунке 12 плоскость β_┴ π₂. Горизонтальный след перпендикулярен к плоскости π₂ и к оси проекций х. Фронтальный след составляет с осью проекций не прямой угол, равный углу между фронтально – проецирующей плоскостью и плоскостью π₁.

в) профильно – проецирующая плоскость;

Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси х и, следовательно, параллельны между собой. Угол γ о – это угол, который образует профильно – проецирующая плоскость α с горизонтальной плоскостью проекций.

Прямая в плоскости

Построение прямой линии в плоскости основано на двух положениях, известных из геометрии:

1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельной ей.

Допустим, что плоскость α определена двумя пересекающимисяпрямыми АВ и ВС, а плоскость β двумя параллельными прямыми DE и FG на рисунке 20.

Согласно первому положению прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости.

Отсюда следует, что, если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных следах плоскости (рис. 21).

Из второго положения следует, что прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку (рис. 22).

Точка в плоскости

Чтобы построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости, надо построить прямую, лежащую в этой плоскости и отметить на этой прямой точку.

Рассмотрим задачу. Известно, что точка М расположена в плоскости α (а∩в). Задана фронтальная проекция этой точки – М′′. Определить горизонтальную проекцию точки – М′(рис. 23).

Чтобы найти горизонтальную проекцию точки – М′, через ее фронтальную проекцию проведем фронтальную проекцию прямой – n′′ так, чтобы она пересекала фронтальные проекции прямых а′′ и в′′. По фронтальным проекциям точек пересечения – 1′′ и 2′′ определятся их горизонтальные проекции, затем через точки 1′ и 2′ строится горизонтальная проекция прямой – n′. Проведя из точки М′′ линию связи, получим горизонтальную проекцию точки – М′.

Точка М принадлежит плоскости α (а∩в), т. к. она расположена на прямой n, лежащей в этой плоскости.

Главные линии плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относят горизонтали, фронтали, профильные прямыеи линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций. Горизонтали принято обозначать на чертежах буквой h(рис. 24, 25).

На рисунках 24, 25 построены горизонтали плоскостей α и β (∆АВС).

Т. к. горизонталь плоскости есть прямая, параллельная плоскости π₁, то фронтальную проекцию h′′ строят параллельно оси х. Плоскость α на рисунке74 задана следами и горизонтальный след этой плоскости есть ее нулевая горизонталь. Горизонтальная проекция горизонтали h′ параллельна горизонтальному следу плоскости h_о_α.

Построенная прямая АК на рисунке 25 является горизонталью плоскости β (∆АВС); эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки ей принадлежащие и параллельна плоскости π₁.

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций π₂.

Фронтали принято обозначать на чертежах буквой f(рис. 26, 27).

Построение фронталей начинают с построения горизонтальной проекции – f ′.

Т. к. фронталь плоскости есть прямая параллельная плоскости π₂, то горизонтальную проекцию f ′ строят паралельно оси х. Фронтальный след плоскости α есть ее нулевая фронраль, поэтому фронтальная проекция фронтали – f ′′ (рис. 26) параллельна фронтальному следу плоскости – f_о_α.

Построенная на рисунке 27 прямая AК является фронталью плоскости ∆АВС; эта прямая лежит в плоскости, т. к. проходит через точки А и К, принадлежащие ей, и параллельна плоскости π₂.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям π₁, π₂, π₃ называют прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к ее горизонталям, фронталям, или к профильным прямым. Соответственно определяется наклон плоскости к плоскостям π₁, π₂, π₃.

На рисунках 28, 29 построена линия наибольшего наклона к плоскости π₁, которая называется такжелинией ската.

[spoiler title=”источники:”]

http://ngeo.fxyz.ru/%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8/%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0/

http://zdamsam.ru/a6377.html

[/spoiler]

Источник

Определение натуральной величины отрезка

Содержание

Метод прямоугольного треугольника
Способ параллельного переноса
Поворот вокруг оси

Метод прямоугольного треугольника

Способ параллельного переноса

Пример построения

Поворот вокруг оси

Пример построения

Источник

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Ортогональная
проекция отрезка прямой общего положения
на любую плоскость проекций всегда
меньше длины самого отрезка. Для
определения натуральной величины
отрезка прямой служит метод прямоугольного
треугольника, который заключается в
следующем.

Предположим,
что точки А
и В
лежат в I
октанте (рис. 20, а). Соединим эти точки и
получим отрезок некоторой прямой АВ.

Из
точки А
проведем линию параллельную АВ,
которая в пересечении с линией проекционной
связи даст точку В₀.

Рассмотрим
прямоугольный треугольник АВВ_О:

гипотенуза
АВ
определяет истинную величину этого
отрезка;
катет
АВ₀
равен горизонтальной проекцией АВ;
катет
ВВ₀
равен z
= z_В
– z_А.

На
ортогональном чертеже оказывается
достаточно данных для построения на
чертеже треугольника, равного
рассмотренному (рис. 20, б). Для этого к
горизонтальной проекции АВ
«пристроен» второй катет – разность
координат z.
Гипотенуза построенного треугольника
есть натуральная величина отрезка АВ.

сли
прямоугольный треугольник строится на
фронтальной проекции, то второй катет
окажется равным разности координат y
(табл. 3). Для
треугольника, построенного на профильной
проекции, вторым катетом будет x
(рис. 21).

Координаты
концов отрезка могут иметь разные знаки.
Тогда разность координат определяется
с учетом знака. Например, если координата
z
точки А
положительная, а точки В
отрицательная, то разность координат
будет равна

z_АВ
= z_A
– (-z_B)
= z_A
+ z_B.

Таблица 3

Геометрические
элементы при определении истинной
величины отрезка прямой методом
прямоугольного треугольника

Проекция отрезка прямой, выбираемая в качестве первого катета треугольника	Разность координат, откладываемая в качестве второго катета	Плоскость проекций, к которой определяется угол наклона	Обозначение угла наклона
горизонтальная: АВ	z_АВ=A_zB_z	₁	₁
фронтальная: АВ	y_AB=A_yB_y	₂	₂
профильная: АВ	x_AB=A_xB_x	₃	₃

В общем случае
натуральная величина отрезка
прямой общего положения равна гипотенузе
прямоугольного треугольника, одним
катетом которого является проекция
отрезка прямой, а вторым – разность
«третьих» координат.

Угол наклона прямой к плоскости проекций
– это угол между прямой и ее проекцией.
Следовательно, определяя истинную
величину отрезка прямой методом
прямоугольного треугольника, одновременно
можно найти и угол ее наклона к плоскости
проекций (₁,
₂, ₃).
Угол между гипотенузой и соответствующей
проекцией отрезка равен углу наклона
этой прямой к данной плоскости проекций.

Пример
3. Определить истинную величину отрезка
АВ и угол наклона к плоскости ₁
(рис. 22).

1. По таблице 3
определяем, что для нахождения угла
наклона к плоскости ₁
надо построить прямоугольный треугольник,
в котором одним катетом будет горизонтальная
проекция отрезка АВ,
а вторым – разность координат по оси
z.

2. Определяем
координаты по оси z
точек А и В и их разность:

z_АВ
= z_В – (-z_А)
= z_В + z_А.

3. Строим прямоугольный
треугольник, в котором за катет принимаем
горизонтальную проекцию АВ.
В качестве второго катета откладываем
расстояние, равное z_АВ.

4. Гипотенуза
построенного треугольника есть истинная
величина отрезка АВ, а угол при
вершине А (угол
₁) – угол
наклона прямой к плоскости ₁.

Лекция
3

СЛЕДЫ ПРЯМОЙ

Следом
прямой
называется точка пересечения прямой
линии с плоскостью проекций (является
точкой частного положения – лежит в
плоскости проекций).

Прямая общего положения пересекает все
три плоскости проекций и, следовательно,
имеет три следа. Прямая линия частного
положения не имеет следа на плоскости
проекций, если она параллельна этой
плоскости.

Выберем
две точки: точку М,
лежащую в плоскости проекций _1,
и точку N
– в плоскости проекций ₂
(рис. 23, а). Через эти точки проведем
прямую.

Точка
пересечения (M)
прямой линии с горизонтальной плоскостью
проекций называется горизонтальным
следом
прямой; точка пересечения (N)
прямой линии с фронтальной плоскостью
проекций называется фронтальным
следом
прямой; точка пересечения (P)
прямой линии с профильной плоскостью
проекций называется профильным
следом
прямой.

Следы прямой совпадут
с проекциями этих следов в той плоскости,
где они расположены: М

M,
N

N,
P

P.

Поскольку точка М
лежит в плоскости ₁,
то ее фронтальная проекция М
располагается на оси x,
а профильная М
– на оси y.
Горизонтальная проекция точки N
– N
также располагается на оси x,
а профильная проекция N
лежит на оси z.
Горизонтальная проекция профильного
следа P
лежит на оси y,
а фронтальная проекция P
– на оси z.

Охарактеризуем положение каждой проекции
каждого из трех следов на ортогональном
чертеже (рис. 23, б).

1) Построение
проекций горизонтального следа:

M
– фронтальная проекция горизонтального
следа лежит на пересечении фронтальной
проекции прямой с осью x;

М
– горизонтальная проекция горизонтального
следа лежит на пересечении линии
проекционной связи, проведенной из
проекции M
перпендикулярно оси x,
с горизонтальной проекцией прямой;

M
– профильная проекция горизонтального
следа лежит на пересечении профильной
проекции прямой с осью y_₃.

2) Построение
проекций фронтального следа:

N
– горизонтальная проекция фронтального
следа лежит в точке пересечения
горизонтальной проекции прямой с осью
x;

N
– фронтальная проекция фронтального
следа лежит на пересечении фронтальной
проекции прямой с линией проекционной
связи, проведенной из точки N
перпендикулярно оси x;

N
– профильная проекция фронтального
следа лежит на пересечении профильного
следа прямой с осью z.

3) Построение
проекций профильного следа:

P
– горизонтальная проекция профильного
следа лежит на пересечении горизонтальной
проекции прямой с осью y_₁.

P
– фронтальная проекция профильного
следа лежит на пересечении фронтальной
проекции прямой с осью z.

Пример 4. Построить
проекции следов отрезка прямой АВ (рис.
24).

1.
Находим фронтальную проекцию
горизонтального следа М,
продолжив
АВ
до пересечения с осью x.

2.
Из точки М
проводим линию проекционной связи до
ее пересечения с продолжением АВ.
Здесь расположена точка М.

3.
По двум проекциям М
и М
строим третью – М,
которая совпадает с точкой пересечения
профильной проекции прямой с осью y_₃.

4.
Находим горизонтальную проекцию
фронтального следа N
в пересечении АВ
с осью x.

5.
Через точку N
проводим линию проекционной связи до
ее пересечения с фронтальной проекцией
прямой AB
и получаем точку N.


– профильная проекция профильного следа
находится в точке пересечения профильной
проекции прямой с линией проекционной
связи, проведенной из P
перпендикулярно оси z.

6.
По двум проекциям фронтального следа
N
и N
строим третью его проекцию – N,
которая совпадает с точкой пересечения
профильной проекции прямой с осью z.

7.
В пересечении АВс
осью y_₁
строим точку Р
(горизонтальную проекцию профильного
следа).

8.
В пересечении АВ
с осью z
получаем точку фронтальную проекцию
профильного следа – Р.

9.
По двум проекциям Р
и Р
строим профильную проекцию – Р
(проекции Р
и Р
находятся на горизонтальной линии
проекционной связи).

ВЗАИМНОЕ
ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Две прямые могут
пересекаться, быть параллельными друг
другу и скрещиваться.

1)
Пересекающиеся
прямые имеют одну общую точку.
Если прямые линии пересекаются, то
одноименные проекции этих прямых тоже
пересекаются (рис. 25, а), причем проекции
точки пересечения лежат на одной линии
проекционной связи.

2)
Параллельные
прямые лежат в одной плоскости и не
имеют общих точек.
Одноименные проекции двух параллельных
прямых параллельны между собой (рис.
25, б).

3)
Скрещивающиеся
прямые, в отличие от пересекающихся и
параллельных прямых, не лежат в одной
плоскости.
Хотя одноименные проекции двух
скрещивающихся прямых и могут пересекаться,
но точки их пересечения не могут лежать
на одной линии проекционной связи (рис.
25, в).

Две
точки, лежащие на скрещивающихся прямых
и на одном перпендикуляре к плоскости
проекций, называются конкурирующими.
Проекции конкурирующих точек лежат в
точке пересечения одноименных проекций
скрещивающихся прямых (точки 1 и 2 на
фронтальной плоскости проекций, точки
3 и 4 на горизонтальной плоскости проекций
– см. рис. 25, в).

Построение
их проекций применяется для определения
взаимной
видимости
геометрических
элементов^¹.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ УГЛОВ

Плоский угол
проецируется на плоскость проекций
без искажения, если плоскость угла
параллельна плоскости проекций, или
иначе: плоский угол проецируется на
плоскость проекций без искажения, если
стороны угла параллельны плоскости
проекций.

Это справедливо в
отношении любого угла – острого или
тупого. Исключение составляет только
прямой угол, который проецируется на
плоскость проекций без искажения, если
хотя бы одна его сторона параллельна
плоскости проекций (рис. 26).

ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ПЛОСКОСТИ

Положение плоскости в пространстве
однозначно определяется положением
трех ее точек.

На эпюре, следовательно, плоскость
может быть задана следующими способами:

а)
проекциями трех точек, не лежащих на
одной прямой(рис. 27);

б) проекциями
прямой и точки вне этой прямой (рис.
28);

в)
проекциями двух параллельных прямых
(рис. 29);

г) проекциями двух
пересекающихся прямых (рис. 30);

д) следами плоскости
(рис. 31, а).

Прямые,
по которым плоскость пересекается с
плоскостями проекций, называются
следами
плоскости.
Следы
плоскости принято обозначать строчными
буквами греческого алфавита.

В
общем случае у плоскости будет три
следа:

горизонтальный
– h₀_;

фронтальный
– f₀_;

профильный
– p₀_.

Точки
на осях координат, в которых пересекаются
следы плоскости – Х_,
_
и _,
называются точками
схода следов,
а координатные отрезки ОХ_,
О_,
О_– параметрами
плоскости.

Три
параметра плоскости однозначно
определяют положение плоскости в
пространстве. Зная параметры плоскости,
можно изобразить плоскость и на эпюре
(рис. 31, б). Но, учитывая, что на эпюре мы
изображаем только
проекции
геометрических элементов, то и следы
плоскости мы задаем проекциями
следов,

(которые
совпадают с самими следами), которые
обозначаются соответственно h₀_,
f₀_
и p₀_.
Каждый след плоскости проходит через
две точки схода следов. Следовательно,
любые два следа плоскости позволяют
определить все три параметра плоскости.

Таким образом, любые два следа
плоскости однозначно определяют ее
положение в пространстве. Также как
положение точки в пространстве
определяются тремя ее координатами,
так и положение плоскости может быть
задано аналитически тремя ее параметрами.

Плоскость,
пересекающая все три плоскости проекций,
называется
плоскостью
общего положения.
Если плоскость параллельна одной или
двум осям координат, то она называется
плоскостью
частного положения.

ПЛОСКОСТИ
ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскости,
параллельные одной оси координат

Плоскость,
параллельная оси
z
(рис. 32).

У
такой плоскости параметры Х_,
и _
– конечные величины, а параметр _
= .
Следовательно, фронтальный и профильный
следы такой плоскости, которые должны
пройти через точку схода следов _,
будут параллельны оси z.
Плоскость, параллельная оси z
перпендикулярна горизонтальной плоскости
проекций и называется
горизонтально-проецирующей
плоскостью.

Рассмотрим
точку А,
лежащую в горизонтально-проецирующей
плоскости ,
и построим горизонтальную проекцию
этой точки. Для этого из точки А
опустим перпендикуляр на плоскость
проекций ₁.
Горизонтальная проекция любой точки,
лежащей в горизонтально-проецирующей
плоскости, будет всегда располагаться
на горизонтальном следе плоскости.

Плоскость,
параллельная оси y
(рис. 33).

Если
плоскость параллельна оси y,
то ее параметр по этой оси равен
бесконечности (Y_= )
и, следовательно, горизонтальный и
профильный следы плоскости будут
параллельны оси y.
Плоскость, параллельная оси y,
перпендикулярна фронтальной плоскости
проекций ₂
и называется фронтально-проецирующей
плоскостью.

Фронтальная проекция любой точки,
лежащей в этой плоскости (например,
точки В), всегда расположена на фронтальном
следе плоскости.

Плоскость,
параллельная оси x
(рис. 34).

У
такой плоскости параметр по оси x
равен бесконечности (Х_₌),
поэтому ее фронтальный и горизонтальный
следы будут параллельны оси x.
Такая плоскость перпендикулярна
профильной плоскости проекций ₃и называется
профильно-проецирующей
плоскостью.

Профильная проекция любой точки, лежащей
в этой плоскости (например, точки С),
всегда расположена на профильном следе
плоскости.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Алгоритм определения натуральной величины плоскости:

Замена плоскостей проекции

Плоскопараллельное перемещение

Определение натуральной величины отрезка

Метод прямоугольного треугольника

Способ параллельного переноса

Поворот вокруг оси

Способ прямоугольного треугольника

Построение натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника

Определение натуральной величины отрезка

Метод прямоугольного треугольника

Способ параллельного переноса

Поворот вокруг оси

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Вам также может понравиться

Как в планшете найти все фотографии

Как найти площадь поверхности формула физика

Как найти подачу станка

Добавить комментарий Отменить ответ