Как найти неделимое число

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4… (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

1. Записать все числа от 1 до n (например, записываются все числа от 1 до 100, если нужны все простые числа между ними);
2. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 2 (кроме 2);
3. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 3 (кроме 3);
4. И так далее по порядку со всеми невычеркнутыми числами до числа n (после 3 это 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.).

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

• 14 (это 2 х 7) и 15 (это 3 х 5), единственный общий делитель — 1; если числа следуют одно за другим (как 13 и 12 либо 10 и 11), то они всегда будут взаимно простыми;
• 7 (это 7 х 1) и 11 (это 11 х 1) — это два простых числа, а значит единственный общий делитель всегда будет только единица, простые числа всегда являются взаимно простыми;
• или 30 и 48 не являются взаимно простыми, т. к. 6 х 5 = 30 и 6 х 8 = 48 и 6 — это наибольший общий делитель, т. е.: НОД (30; 48) = 6.

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе “Теория чисел” (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Узнайте про Рациональные числа и Натуральные числа.

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 18 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Натуральные числа — это числа 1,2,3, … – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 … Множество целых чисел обозначается .

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где – целое, а – натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается .

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .

Число делится на число , если найдется такое число такое, что . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:

– Если делится на , то число называется делителем числа .

– Если числа и делятся на , то тоже делится на .

– Если числа и делятся на , а и – целые, то тоже делится на .

Формула деления с остатком. Если , то число делится на с остатком .

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

Например, 72 = 2³∙3².

Количество делителей натурального числа равно .

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

Признаки делимости

последняя цифра числа четная;

сумма цифр числа делится на 3;

число заканчивается на 0 или на 5;

число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4;

число, составленное из трех последних цифр числа , делится на 8;

сумма цифр числа делится на 9;

последняя цифра числа равна 0;

суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Тип лекции: обзорная; Время чтения: 5 минут;

Цель – узнать что такое число и какие бывают числа.

Зачем: это позволит не смешивать единорогов с дельфинами, а также даст возможность понимать математические определения.

Что такое число

Число – это математический инструмент, который обозначает количество “моделей”. Чтобы понять, что такое модель, представьте стол с четырьмя ножками. Число 4 обозначает ножки, каждая ножка состоит из разных кусочков материала, на них свои трещинки, но важно то, что это ножки. Берём не конкретную ножку, а идеальную модель ножки. Число 4 показывает количество этих моделей.

Математика упрощает реальные объекты до идеальных моделей, отбрасывая лишнее, сосредотачивается на главном. Число это и есть идеальная модель, точнее количество этих моделей. Это дает силу понимания и мы не складываем золото с ракушками.

Также важно знать: один и тот же объект можно выразить разными числами, это зависит от наших задач. Дерево можно представить как: 1000 веток или 50000 листьев или 100 л кислорода в сутки.

Число – это количество идеальных моделей.

Виды чисел

За каждым числом стоит объект и существует разделение на разные виды чисел в зависимости:

• от задач, которые решают числа
• от предметов, которые скрывается за числами

Числовое множество

Числовое множество – диапазон чисел. Когда мы говорим о видах чисел, подразумеваем, что эти числа принадлежат диапазону чисел, то есть числовому множеству.

Принадлежность к числовому диапазону обозначается символом ∈.

Ноль принадлежит множеству целых чисел записываем так: 0 ∈ Z

Натуральные числа N

Существуют объекты, которые при делении теряют свои свойства. Разделите бутылку на части она перестанет выполнять свою роль: перестанет быть сосудом. Если разделить самолёт, он также перестанет выполнять свою роль: перевозить пассажиров. Автомобиль, поезд, телевизор, стул, списку нет конца. Это называется исчисляемые предметы.

Для исчисляемых предметов существует специальный вид чисел: натуральные числа. Также в натуральные числа существуют в моменте здесь и сейчас, для работы с движением во времени существуют отрицательные числа, но об этом в отдельной лекции.

Натуральные числа – это обозначение неделимых предметов “здесь и сейчас”. Обозначаются символом N. Другое определение: Натуральные числа – это целые положительные числа от единицы до бесконечности.

Целые числа Z

За целыми числами скрывается исчисляемые предметы, то есть те, которые теряют свои свойства при делении, но эти числа уже не ограниченные настоящим временем: могут описывать движение предметов во времени. Отсюда и возникает диапазон отрицательных чисел. Подробно о том, что такое отрицательные числа мы поговорим в соответствующей лекции.

Целые числа – это натуральные числа, ноль и целые отрицательные числа. Обозначаются символом Z.

Рациональные числа Q

Существуют предметы, которые при делении не потеряют свои свойства: вода, воздух, зерно, свет, этот список можно продолжать без конца. Возникла потребность описывать маленькие части и здесь приходят на помощь дробные числа.

Рациональные числа – это целые числа и не целые, которые можно представить в виде дроби. Можно представить в виде дроби m/n, где m – целое число, n – натуральное число и n ≠ 0. Обозначаются символом Q. Рациональное число можно получить благодаря четырём арифметическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.

Иррациональные числа I

Некоторые предметы зависят от других. В равнобедренном прямоугольном треугольнике со стороной равной 1 гипотенуза будет равна √2.

Если мы попытаемся извлечь корень, то получим число с бесконечным количеством знаков после запятой: 1.4142135623730951. Эти знаки будут не периодичны, то есть непредсказуемыми.

Иррациональные числа – это дробные числа, которые нельзя выразить дробью. Обозначается символом I. К иррациональным числам также относятся число 𝜋, число Эйлера e, золотое сечение φ, все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов.

Действительные (вещественные) числа R

Действительные (вещественные) числа – это рациональные числа и иррациональные числа. Обозначается символом R.

Комплексные числа C

Комплексные числа – это служебные числа которые, не несут за собой реального предмета, но помогают решать квадратные уравнения и другие операции. Комплексные числа – это выражения, содержащие мнимую единицу: 3х + i, 4i, y – xi и так далее. Обозначаются символом C

Мнимая единица – это √-1 и обозначается символом i. Как мнимые числа спасли математику.

Заключение

Число – это математический инструмент, количество моделей какого-то объекта. Важно понимать что скрывается за числом. Один и тот же предмет может быть выражен разными числами зависимости от нашей задачи.

Числовое множество – диапазон чисел.

В зависимости от задач и объектов, которые скрываются за числами, числа делятся на следующие числовые множества:

• Натуральные числа N
• Целые числа Z
• Рациональные числа Q
• Иррациональные числа I
• Действительные (вещественные) числа R
• Комплексные числа C

Опрос для закрепления

Изображение anncapictures, _Alicja_, Mario Aranda с сайта Pixabay.

#математика просто #математика #числа #виды чисел #типы чисел #числовое множество #числовые множества