In this video, the instructor shows how to find an unknown coordinate given the other coordinate of that point and the equation that passes thought the point. A point is said to lie on the graph, if the point can satisfy that equation of the line. To check if a particular point satisfies an equation, all you have to do is substitute the value of the point in that equation and check if it validates the equation. Now, substitute the given point with an unknown coordinate in that equation. If the point lies on that line, then the equation should evaluate to true. So, simplify that equation giving out the value of the missing coordinate. This video shows how to find a missing coordinate in a point that lies on a given equation.
Want to master Microsoft Excel and take your work-from-home job prospects to the next level? Jump-start your career with our Premium A-to-Z Microsoft Excel Training Bundle from the new Gadget Hacks Shop and get lifetime access to more than 40 hours of Basic to Advanced instruction on functions, formula, tools, and more.
Buy Now (97% off) >
Other worthwhile deals to check out:
- 97% off The Ultimate 2021 White Hat Hacker Certification Bundle
- 98% off The 2021 Accounting Mastery Bootcamp Bundle
- 99% off The 2021 All-in-One Data Scientist Mega Bundle
- 59% off XSplit VCam: Lifetime Subscription (Windows)
- 98% off The 2021 Premium Learn To Code Certification Bundle
- 62% off MindMaster Mind Mapping Software: Perpetual License
- 41% off NetSpot Home Wi-Fi Analyzer: Lifetime Upgrades
Построение ортогональных проекций точек
Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.
По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:
- Записать их координаты.
- Достроить проекции т. A и B на плоскость П3.
- Определить положение точек в пространстве (октант или плоскость проекций).
- Построить наглядное изображение точек в системе плоскостей П1, П2, П3.
Определение координат точек по их проекциям
Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно Aх, Aу. Координата х для т. A равна длине отрезка AхO со знаком плюс, так как Aх лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка AуO со знаком минус, так как т. Aу лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A” имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A” на ось z и найдем Az. Координата z точки A равна длине отрезка AzO со знаком минус, так как Az лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).
Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В’. Так как она лежит на оси х, то Bx = B’ и координата Bу = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка BхO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B” к оси z, таким образом найдем Bz. Аппликата z точки B равна длине отрезка BzO со знаком минус, так как Bz лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.
Построение проекций точек
Точки A и B в плоскости П3 имеют следующие координаты: A”’ (y, z); B”’ (y, z). При этом A” и A”’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B” и B”’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса AуO. После этого проведем перпендикуляр из Aу до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A” к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A”’.
Точка B”’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B” к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B”’.
Определение положения точек в пространстве
Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П1, П2 и П3, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П2.
Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.
| Октанты | Знаки координат | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П2. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.
Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П1, П2, П3
Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П1, П2, П3, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.
Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки Aх и Aу. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Aх и Aу соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.
Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Bх и Bz, определит положение точки B.
Алгоритм решения
Задача решается
способом секущих плоскостей. В нашем
примере для построения линии пересечения
рационально использовать горизонтальные
плоскости уровня. Они рассекут конус и
шар по окружностям, которые на плоскости
П1 изображаются без искажения.
-
Граница
проведения секущих плоскостей
определяется точками 1 и 2 (12 и
22), высшей и низшей точками линии
пересечения. Первую секущую плоскость
Г проведем через экватор шара. Она
рассечет шар по окружности с радиусом
R , а конус по окружности
с радиусом R1. -
Строим
горизонтальную проекцию сечения конуса.
(Горизонтальная проекция сечения шара
плоскостью Г совпадает с проекцией
экватора). В пересечении контуров этих
сечений (окружностей) получим
горизонтальные проекции точек 31
и 41 линии пересечения. Эти точки
одновременно являются и опорными. Они
на горизонтальной проекции отделяют
видимую часть линии пересечения от не
видимой, т.к. лежат на экваторе шара.
Фронтальные проекции этих точек
находятся на плоскости Г (Г2). -
Для
построения промежуточных точек в
пределах высшей (12) и низшей (22)
точек линии пересечения проводим целый
ряд секущих плоскостей (Г2,
Г2…), строим
их сечения, в пересечении которых
определяются искомые точки. В нашем
примере построена лишь одна пара
промежуточных точек. -
Плавной
кривой соединяем эти точки. Окончательную
обводку делаем по лекалу. -
На
проекциях линии пересечения отмечаем
точки 5, 6, 7 и 8 пересечения ближней и
дальней образующей конуса с поверхностью
шара, а также точки 9 и 10 пересечения
второго главного меридиана сферы с
поверхностью конуса, которые также
являются опорными. -
Видимость
линии пересечения на горизонтальной
и профильной проекции определяем по
сфере. На горизонтальной проекции линия
пересечения видна от точки 1(11)
до точек 3(31) и 4(41), а далее
от этих точек до точки 2(21) не
видимая. Часть основания конуса (под
сферой) изображается линией невидимого
контура. На профильной плоскости
проекций линия пересечения видна только
от точки 1(13) до точек 9(93) и
10(103). Очерковый второй главный
меридиан сферы обводим линией видимого
контура от наивысшей точки до точек
9(93) и 10(103). Очерковые
образующие конуса существуют от вершины
S(S3) до точек 5(53) и 6(63)
и от основания до точек 7(73) и
8(83). Часть образующих конуса (за
сферой) изображаем линиями невидимого
контура.
Контрольные вопросы
-
Сформулируйте
правило построения линии взаимного
пересечения поверхностей многогранников. -
Сформулируйте
правило построения линии взаимного
пересечения многогранника с поверхностью
вращения. -
Сформулируйте
правило построения линии взаимного
пересечения поверхностей вращения. -
Сущность
метода вспомогательных плоскостей.
Рисунок 27 – Пример
выполнения листа 1 задания 5
Рисунок 28 – Пример
выполнения листа2 задания 5
Приложения (варианты задач к заданиям) Задание 01.1 «Точка. Прямая»
Вариант
1
Задана
прямая АВ координатами точек: А /145,25,50/
, B /25,95,90/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А правее на 50мм,
дальше на 15мм, и выше на 30 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки С правее на 60мм,
ближе на 25мм и ниже на 50мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это на чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:2.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
2
Задана
прямая АВ координатами точек: А /160,90,95/
, B /40,50,25/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А правее на 70мм,
ближе на 10мм, и ниже на 55 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки С левее на 60мм, ближе
на 50мм и ниже на 25мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это на чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=2:1.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
3
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /130,80,60/, B /30,60,100/ .
Точка
С расположена относительно точки А
правее на 80мм,
ближе
на 40мм, выше на 5мм. D /150,30, ? /.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:2.
5.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант 4
Задана
прямая АВ координатами точек: А /180,25,35/
, B /40,110,80/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
правее
на 70мм, ближе на 60мм, и ниже на 25 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки С
правее
на 70мм, дальше на 60мм и выше на 65мм.
3.
Через точку С провести прямую СF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=5:2.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
5
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /140,45,25/, B /80,105,95/ .
Точка
С расположена относительно точки А
правее на 105мм,
дальше
на 40мм, выше на 10мм. D /155, ?,40 /.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую
прямую АВ. Назвать эту прямую и записать
ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=4:3.
5.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
6
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /165,80,105/, B /30,35,25/ .
Точка
С расположена относительно точки А
правее на 40мм,
ближе
на 60мм, ниже на 105мм. D /90, ?, 90 /.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:4.
5.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант 7
Задана
прямая АВ координатами точек: А /70,85,80/
, B /170,50,35/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
левее
на 35мм, ближе на 85мм, и ниже на 75 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
правее
на 40мм, дальше на 30мм и выше на 35мм.
3.
Через точку С провести прямую СF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку D провести прямую DЕ,
параллельную плоскости П
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=4:1.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
8
Задана
прямая АВ координатами точек: А /145,10,75/
, B /45,35,25/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
правее
на 5мм, ближе на 80мм, и ниже на 55 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
левее
на 10мм, ближе на 20мм и выше на 35мм.
3.
Через точку С провести прямую СF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку D провести прямую DЕ,
параллельную плоскости П
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=2:3.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
9
Задана
прямая АВ координатами точек: А /150,90,60/
, B /15,30,10/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
правее
на 75мм, дальше на 10мм и ниже на 45 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
левее
на 120мм, дальше на 5мм и выше на 80мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:5.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
10
Задана
прямая АВ координатами точек: А /150,5,45/
, B /25,55,115/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
правее
на 45мм, ближе на 45мм, и ниже на 35 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
левее
на 25мм, дальше на 35мм и выше на 35мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку C провести прямую CЕ,
параллельную плоскости П
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=2:5.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
11
Задана
прямая АВ координатами точек: А /160,65,95/
, B /40,50,20/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки В
левее
на 110мм, дальше на 45мм, и выше на 40 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки А
правее
на 55мм, ближе на 15мм и ниже на 85мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=4:1.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
12
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /125,95,120/, B /25,60,45/ .
Точка
С расположена относительно точки А
левее на 35мм,
дальше
на 30мм, ниже на 40мм. D /65,105, ? /.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
пересекающую
прямую АВ. Назвать эту прямую и записать
ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=2:3.
5.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
13
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /75,10,40/, B /130,105,100/ .
Точка
С расположена относительно точки А
ближе на 50мм и выше на 50мм.
D
/135,40, ? /.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
пересекающую
прямую АВ. Назвать эту прямую и записать
ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:2.
5.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
14
Задана
прямая АВ координатами точек: А /165,65,95/
, B /40,20,15/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
правее
на 35мм, дальше на 25мм и ниже на 65 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
левее
на 30мм, ближе на 5мм и выше на 65мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=1:3.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
15
Задана
прямая АВ координатами точек: А
/125,105,100/ , B /20,15,25/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
левее
на 5мм, дальше на 65мм и ниже на 70 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
левее
на 20мм, ближе на 60мм и ниже на 10мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=5:2.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
16
Задана
прямая АВ координатами точек: А /150,90,60/
, B /15,30,10/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
правее
на 75мм, дальше на 10мм и ниже на 45 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
левее
на 120мм, дальше на 5мм и выше на 80мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:5.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
17
Задана
прямая CD координатами точек: C /145,25,50/ ,
D /25,95,90/.
1.
Построить точку A, расположенную
относительно точки C
правее
на 110мм, ближе на 10мм и ниже на 20 мм.
2.
Построить точку B, расположенную
относительно точки D
левее
на 60мм, дальше на 25мм и выше на 10мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку A провести прямую AЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую CD. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую CD точкой К в отношении
CК:КD=1:4.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
18
Задана
прямая CD координатами точек: C/40,50,25/ ,
D /160,90,95/.
1.
Построить точку A, расположенную
относительно точки C
левее
на 50мм, дальше на 30мм и выше на 55 мм.
2.
Построить точку B, расположенную
относительно точки A
левее
на 60мм, ближе на 100мм и ниже на 80мм.
3.
Через точку B провести прямую BF,
параллельную прямой CD.
4.
Через точку A провести прямую AЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую CD. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую CD точкой К в отношении
CК:КD=5:2.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
19
Задана
прямая АВ координатами точек: А /40,50,25/
, B /140,80,80/.
1.
Построить точку D, расположенную
относительно точки А
левее
на 70 мм, дальше на 40 мм и выше на 70 мм.
2.
Построить точку С , расположенную
относительно точки D
ближе
на 60мм и ниже на 80мм.
3.
Через точку В провести прямую ВF,
параллельную прямой CD.
4.
Через точку A провести прямую AЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую CD. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=2:3.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
20
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /30,30,100/, B /130,80,25/ .
Точка
С расположена относительно точки А
левее на 120мм,
ближе
на 30мм, ниже на 60мм. D /90, 50,?/.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:5.
5.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
21
Задана
прямая АВ координатами точек: А /40,110,80/
, B /180,25,35/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
левее
на 20мм, дальше на 50мм, и выше на 15 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
правее
на 70мм, ближе на 75мм и ниже на 25мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=2:3.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
22
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /80,105,80/, B /140,45,25/ .
Точка
С расположена относительно точки А
левее на 75мм, дальше на 25мм
и
ниже на 40мм. D /135,40, ? /.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
пересекающую
прямую АВ. Назвать эту прямую и записать
ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=3:5.
5.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
23
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: А /30,35,25/, B /165,80,105/ .
Точка
С расположена относительно точки А
левее на 20мм, дальше на 30мм
и
выше на 55мм. D /135,40, ? /.
Найти
недостающую координату точки D и записать
ее.
2.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
3.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=5:3.
5.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
24
Задана
прямая АВ координатами точек: А /170,50,35/
, B /70,85,80/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
правее
на 40мм, дальше на 20мм, и выше на 35 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки С
правее
на 25мм, ближе на 60мм и ниже на 65мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=5:2.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
25
Задана
прямая АВ координатами точек: А /45,35,25/
, B /145,10,75/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки В
правее
на 90мм, ближе на 45мм и ниже на 15 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки А
левее
на 85мм, дальше на 10мм и ниже на 5мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку С провести прямую СЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=5:3.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
26
Задана
прямая АВ координатами точек: А /15,30,10/
, B /150,60,45/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки В
дальше
на 35мм и выше на 45 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки А
левее
на 60мм, ближе на 30мм и ниже на 10мм.
3.
Через точку С провести прямую СF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку D провести прямую DЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=1:4.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
27
Задана
прямая АВ координатами точек: А /25,55,115/
, B /150,5,45/.
1.
Построить точку С, расположенную
относительно точки А
левее
на 65мм, дальше на 45мм, и ниже на 15 мм.
2.
Построить точку D, расположенную
относительно точки В
правее
на 45мм, ближе на 45мм и ниже на 35мм.
3.
Через точку С провести прямую СF,
параллельную прямой АВ.
4.
Через точку D провести прямую DЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую АВ. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую АВ точкой К в отношении
АК:КВ=5:2.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
28
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: C /80,105,80/, B /140,45,25/ .
Точка
A расположена относительно точки C левее
на 75мм, дальше на 25мм
и
ниже на 40мм. B /135,40, ? /.
Найти
недостающую координату точки B и записать
ее.
2.
Через точку B провести прямую BF,
параллельную прямой CD.
3.
Через точку A провести прямую AЕ,
параллельную плоскости П
,
пересекающую
прямую CD. Назвать эту прямую и записать
ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую CD точкой К в отношении
CК:КD=3:5.
5.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
29
1.
Построить проекции пересекающихся
прямых АВ и СD, заданных
координатами
точек: C /140,45,25/, D /80,105,95/ .
Точка
A расположена относительно точки C правее
на 105мм,
дальше
на 40мм, выше на 10мм. B /155, ?,40 /.
Найти
недостающую координату точки B и записать
ее.
2.
Через точку B провести прямую BF,
параллельную прямой CD.
3.
Через точку A провести прямую AЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую
прямую CD. Назвать эту прямую и записать
ее
натуральную
величину.
4.
Разделить прямую CD точкой К в отношении
CК:КD=4:3.
7.
Пересечь прямую АВ горизонтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Вариант
30
Задана
прямая CD координатами точек: C /40,50,25/ , D
/140,80,80/.
1.
Построить точку B, расположенную
относительно точки C
левее
на 70 мм, дальше на 40 мм и выше на 70 мм.
2.
Построить точку A , расположенную
относительно точки B
ближе
на 60мм и ниже на 80мм.
3.
Через точку D провести прямую DF,
параллельную прямой AB.
4.
Через точку C провести прямую CЕ,
параллельную плоскости П
,
и
пересекающую прямую AB. Назвать эту
прямую и записать ее
натуральную
величину.
5.
Определить взаимное положение прямых
АВ и СD и доказать это
на
чертеже.
6.
Разделить прямую CD точкой К в отношении
CК:КD=2:3.
7.
Пересечь прямую АВ фронтально-проецирующей
прямой MN.
Координаты
точек Е , F, M, M взять произвольно.
Таблица 2.1 –
Варианты задач к заданию 2
|
№ вар |
A |
B |
C |
D |
E |
||||||||||
|
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
|
|
1 |
160 |
65 |
95 |
40 |
50 |
95 |
90 |
5 |
20 |
100 |
0 |
20 |
40 |
90 |
50 |
|
2 |
165 |
80 |
105 |
30 |
75 |
25 |
100 |
20 |
0 |
165 |
15 |
15 |
50 |
70 |
50 |
|
3 |
160 |
90 |
90 |
25 |
40 |
75 |
135 |
0 |
0 |
180 |
0 |
50 |
25 |
75 |
35 |
|
4 |
125 |
95 |
130 |
25 |
60 |
45 |
165 |
5 |
5 |
160 |
75 |
45 |
35 |
30 |
65 |
|
5 |
150 |
110 |
45 |
15 |
75 |
75 |
75 |
30 |
0 |
130 |
5 |
90 |
15 |
90 |
30 |
|
6 |
135 |
50 |
20 |
55 |
95 |
90 |
75 |
0 |
5 |
40 |
35 |
70 |
130 |
90 |
10 |
|
7 |
170 |
0 |
95 |
35 |
90 |
90 |
65 |
15 |
0 |
120 |
90 |
10 |
30 |
10 |
70 |
|
8 |
30 |
30 |
25 |
120 |
15 |
120 |
75 |
120 |
0 |
135 |
45 |
30 |
15 |
60 |
60 |
|
9 |
160 |
20 |
50 |
55 |
90 |
90 |
80 |
5 |
0 |
130 |
20 |
90 |
45 |
75 |
35 |
|
10 |
75 |
80 |
85 |
170 |
100 |
60 |
105 |
0 |
5 |
125 |
5 |
110 |
90 |
100 |
0 |
|
11 |
130 |
80 |
75 |
30 |
60 |
100 |
90 |
5 |
0 |
170 |
35 |
60 |
40 |
40 |
40 |
|
12 |
70 |
80 |
80 |
170 |
100 |
60 |
105 |
0 |
5 |
130 |
5 |
110 |
90 |
110 |
0 |
|
13 |
160 |
105 |
85 |
25 |
80 |
35 |
110 |
0 |
10 |
185 |
80 |
25 |
70 |
60 |
85 |
|
14 |
145 |
10 |
75 |
45 |
60 |
75 |
130 |
90 |
20 |
135 |
45 |
20 |
60 |
90 |
90 |
|
15 |
170 |
65 |
70 |
50 |
80 |
60 |
95 |
0 |
10 |
170 |
90 |
40 |
50 |
0 |
30 |
|
16 |
150 |
60 |
80 |
30 |
70 |
65 |
60 |
10 |
0 |
30 |
35 |
135 |
120 |
70 |
0 |
|
17 |
170 |
65 |
30 |
25 |
95 |
105 |
105 |
10 |
0 |
160 |
90 |
90 |
25 |
55 |
45 |
|
18 |
165 |
30 |
0 |
30 |
30 |
70 |
120 |
90 |
105 |
165 |
60 |
90 |
30 |
60 |
10 |
|
19 |
150 |
0 |
90 |
50 |
90 |
25 |
110 |
100 |
0 |
160 |
35 |
15 |
65 |
105 |
40 |
|
20 |
175 |
10 |
40 |
130 |
105 |
100 |
60 |
40 |
15 |
110 |
0 |
100 |
150 |
90 |
0 |
|
21 |
150 |
5 |
45 |
25 |
5 |
135 |
105 |
70 |
10 |
185 |
20 |
30 |
25 |
20 |
100 |
|
22 |
155 |
15 |
85 |
55 |
25 |
45 |
105 |
85 |
15 |
40 |
85 |
35 |
150 |
10 |
25 |
|
23 |
180 |
25 |
80 |
40 |
110 |
80 |
110 |
0 |
10 |
60 |
60 |
95 |
150 |
30 |
15 |
|
24 |
140 |
45 |
25 |
80 |
105 |
95 |
35 |
5 |
35 |
155 |
70 |
95 |
60 |
70 |
20 |
|
25 |
150 |
15 |
40 |
120 |
100 |
90 |
60 |
50 |
15 |
45 |
40 |
90 |
140 |
90 |
0 |
|
26 |
180 |
0 |
50 |
55 |
100 |
50 |
95 |
0 |
0 |
25 |
15 |
25 |
165 |
60 |
40 |
|
27 |
170 |
75 |
25 |
35 |
75 |
105 |
105 |
20 |
0 |
150 |
90 |
70 |
5 |
15 |
20 |
|
28 |
170 |
5 |
80 |
15 |
30 |
20 |
110 |
95 |
20 |
120 |
10 |
80 |
50 |
60 |
5 |
|
29 |
130 |
80 |
80 |
30 |
100 |
55 |
90 |
0 |
10 |
40 |
5 |
110 |
110 |
100 |
0 |
|
30 |
75 |
85 |
80 |
170 |
55 |
100 |
110 |
10 |
0 |
35 |
40 |
55 |
170 |
30 |
30 |
|
Таблица 3.1 – |
||||||||||||||||||||||||
|
№вар. |
Точки |
Коорд. |
№вар. |
Точки |
Коорд. |
№вар. |
Точки |
Коорд. |
№вар. |
Точки |
Коорд. |
№вар. |
Точки |
Коорд. |
||||||||||
|
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
||||||||||
|
1 |
S |
65 |
65 |
50 |
2 |
S |
60 |
45 |
35 |
3 |
S |
75 |
55 |
65 |
4 |
S |
70 |
55 |
65 |
5 |
S |
20 |
45 |
50 |
|
A |
45 |
5 |
55 |
A |
75 |
25 |
0 |
A |
45 |
55 |
5 |
A |
40 |
55 |
5 |
A |
10 |
10 |
20 |
|||||
|
B |
5 |
45 |
10 |
B |
30 |
15 |
50 |
B |
5 |
10 |
50 |
B |
0 |
10 |
50 |
B |
55 |
10 |
50 |
|||||
|
C |
70 |
15 |
0 |
C |
10 |
50 |
20 |
C |
70 |
0 |
20 |
C |
65 |
0 |
20 |
C |
80 |
60 |
0 |
|||||
|
6 |
S |
35 |
60 |
5 |
7 |
S |
75 |
5 |
10 |
8 |
S |
70 |
45 |
0 |
9 |
S |
70 |
5 |
35 |
10 |
S |
65 |
45 |
0 |
|
A |
65 |
0 |
20 |
A |
45 |
20 |
60 |
A |
80 |
0 |
20 |
A |
75 |
50 |
15 |
A |
75 |
0 |
20 |
|||||
|
B |
0 |
50 |
60 |
B |
0 |
10 |
20 |
B |
10 |
15 |
10 |
B |
35 |
0 |
0 |
B |
5 |
15 |
10 |
|||||
|
C |
10 |
10 |
0 |
C |
60 |
65 |
30 |
C |
60 |
30 |
50 |
C |
10 |
20 |
45 |
C |
55 |
30 |
50 |
|||||
|
11 |
S |
55 |
10 |
50 |
12 |
S |
75 |
25 |
10 |
13 |
S |
65 |
50 |
65 |
14 |
S |
60 |
40 |
45 |
15 |
S |
75 |
65 |
55 |
|
A |
35 |
60 |
35 |
A |
60 |
65 |
20 |
A |
45 |
55 |
5 |
A |
75 |
0 |
25 |
A |
45 |
5 |
55 |
|||||
|
B |
5 |
25 |
10 |
B |
45 |
10 |
65 |
B |
5 |
10 |
45 |
B |
30 |
50 |
15 |
B |
5 |
50 |
10 |
|||||
|
C |
60 |
30 |
5 |
C |
5 |
10 |
20 |
C |
70 |
0 |
15 |
C |
10 |
20 |
50 |
C |
70 |
20 |
0 |
|||||
|
16 |
S |
10 |
0 |
15 |
17 |
S |
35 |
60 |
70 |
18 |
S |
35 |
5 |
50 |
19 |
S |
60 |
25 |
20 |
20 |
S |
65 |
0 |
20 |
|
A |
80 |
20 |
10 |
A |
60 |
0 |
55 |
A |
65 |
20 |
0 |
A |
45 |
60 |
20 |
A |
0 |
5 |
15 |
|||||
|
B |
45 |
0 |
70 |
B |
0 |
25 |
25 |
B |
0 |
60 |
20 |
B |
0 |
20 |
10 |
B |
40 |
25 |
60 |
|||||
|
C |
0 |
45 |
40 |
C |
75 |
65 |
10 |
C |
55 |
50 |
35 |
C |
60 |
30 |
65 |
C |
30 |
50 |
5 |
|||||
|
21 |
S |
70 |
65 |
55 |
22 |
S |
20 |
50 |
45 |
23 |
S |
55 |
50 |
0 |
24 |
S |
75 |
10 |
25 |
25 |
S |
70 |
25 |
5 |
|
A |
40 |
5 |
55 |
A |
10 |
20 |
10 |
A |
35 |
35 |
60 |
A |
60 |
20 |
65 |
A |
20 |
10 |
55 |
|||||
|
B |
0 |
50 |
10 |
B |
55 |
50 |
10 |
B |
5 |
10 |
25 |
B |
45 |
60 |
10 |
B |
5 |
65 |
15 |
|||||
|
C |
65 |
20 |
0 |
C |
80 |
0 |
60 |
C |
60 |
5 |
30 |
C |
5 |
20 |
10 |
C |
70 |
50 |
50 |
|||||
|
26 |
S |
70 |
50 |
5 |
27 |
S |
65 |
0 |
45 |
28 |
S |
10 |
15 |
0 |
29 |
S |
60 |
20 |
10 |
30 |
S |
35 |
65 |
20 |
|
A |
75 |
15 |
50 |
A |
75 |
20 |
0 |
A |
80 |
10 |
20 |
A |
45 |
55 |
15 |
A |
5 |
40 |
60 |
|||||
|
B |
35 |
0 |
0 |
B |
5 |
10 |
15 |
B |
45 |
70 |
0 |
B |
0 |
25 |
5 |
B |
0 |
5 |
15 |
|||||
|
C |
10 |
45 |
20 |
C |
55 |
50 |
30 |
C |
0 |
40 |
45 |
C |
60 |
10 |
60 |
C |
60 |
30 |
65 |
Варианты задач
задания 4
Варианты задачи
1 задания 4
Варианты задачи
1 задания 4
Варианты задачи
1 задания 4
Варианты задачи
1 задания 4
Варианты задачи
2 задания 4
Варианты задачи
2 задания 4
Варианты задачи
2 задания 4
Варианты задачи
2 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач 3
и 4 задания 4
Варианты задач
задания 5
Варианты задач 1
и 2 задания 5
Варианты задач 1
и 2 задания 5
Варианты задач 1
и 2 задания 5
Варианты задач 1
и 2 задания 5
Варианты задач 1
и 2 задания 5
Варианты задач 1
и 2 задания 5
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
