Как найти неизвестное делимое с остатком

Главная цель урока: познакомить с правилом
нахождения неизвестного делителя при делении с
остатком.

Образовательные цели:

• повторить способы записи частного;
• повторить названия компонентов действия
  деления;
• повторить правило нахождения неизвестного
  делителя при делении нацело;
• составить формулу нахождения неизвестного
  делителя при делении с остатком;
• формировать умение сравнивать, выделять
  главное;
• учить устанавливать причинно-следственные
  связи, обобщать, делать выводы;
• закреплять вычислительные навыки;
• закреплять решение текстовых задач на деление с
  остатком;
• формировать умение целенаправленно работать в
  парах.

Воспитательные цели:

• воспитывать умение слушать одноклассников,
  высказывать свою точку зрения и обосновывать её;
• воспитывать интерес к математике.

Развивающие цели:

• развивать рефлексию.

Оздоровительные цели:

• профилактика утомления, нарушения осанки.

Оборудование:

• карточки с числами;
• схематическое изображение темы урока;
• формула нахождения неизвестного делителя при
  делении с остатком;
• распечатки для самостоятельной работы;
• карточки с условными знаками для проведения
  рефлексии;
• индивидуальные текстовые карточки для
  проведения рефлексии.

Ход урока

1. Организационный момент.

Эмоциональный настрой на урок

– Сегодня у нас много гостей на уроке.
Повернитесь, поздоровайтесь и улыбнитесь им. Вот
видите, и они вам улыбнулись. В классе стало уютно
от ваших улыбок.

2. Чистописание.

На доске написана цифра 9.

– Сегодня на уроке мы с вами будем повторять
написание цифры 9.

– Напишите три цифры.

– Оцените свою работу. Если вы считаете, что все
три цифры написали каллиграфически верно,
поставьте на полях тетради знак плюс, если нет –
знак минус.

3. Актуализация знаний.

“Разминка для головы и рук”

– Что движется быстрее скорости света?

– Мне интересно будет сегодня на уроке
наблюдать, как движутся ваши мысли. Не прячьте их.

18 : 9 2 27 : 9 3

– Что записано на доске?

– Прочитайте выражения разными способами.

– Найдите закономерность записи чисел и
выражений.

– Какое деление выполнили?

– Продолжите закономерность до конца строчки.

– Что общего во всех выражениях?

– Как найти неизвестный делитель?

– Найдите компоненты действия деления.

– Какой компонент неизвестен в первом примере?

На доске представлена таблица. У каждого
учащегося на парте карточка с числом, которое
является значением одного из выражений. Всем
учащимся необходимо выполнить устные вычисления
и прикрепить свою карточку в нужное место
таблицы. Примеры решаются по порядку, карточки
прикрепляются по мере решения примеров.

Разминка закончилась.

4. Сообщение темы и задач урока.

– Теперь нам надо узнать тему нашего урока.

На доске открывается схематическое
изображение темы урока.

– Какое деление сегодня мы будем выполнять на
уроке?

– Какие компоненты при делении с остатком умеем
находить?

– Какой компонент будем сегодня учиться
находить?

– Задача нашего урока составить формулу
нахождения неизвестного делителя при делении с
остатком.

5. Этап “открытия” нового знания.

На доске открывается запись.

– Подумайте, как мы будем находить неизвестный
делитель?

– Можем ли мы использовать формулу нам уже
известную?

– Почему?

– Давайте уберём остаток. Как это сделать?

86 – 5 = 81

– Теперь можем воспользоваться уже известной
нам формулой?

– Воспользуйтесь.

81 : 9 = 9

– Проверьте себя.

9 · 9 + 5 = 86

– Можем ли мы теперь ответить на главный вопрос
урока?

– Как найти неизвестный делитель при делении с
остатком?

На доске открывается формула нахождения
неизвестного делителя при делении с остатком.

в = (а – ч ) : с

– Откройте учебники на стр. 61, найдите №122.

– Используя данную формулу, вставьте числа в
“окошки”.

– Считайте устно и комментируйте свой ответ.

6. Физкультурная минутка.

1) И.п.- сидя за партой, руки за голову. 1-2-руки
вверх, потянуться; 3-4-И.п.

2) И.п.- сидя за партой, ноги на ширину плеч, руки
на пояс. 1-2- наклон вправо; 3-4 – И.п. То же влево.

3) И.п. – сидя за партой. 1-2- встать, выпрямиться;
3-4 – И.п.

7. Закрепление пройденного материала.

– Что мы будем делать дальше на уроке, ведь на
главный вопрос урока мы дали ответ?

– Зачем нам тренироваться в решении примеров на
нахождение неизвестного делителя?

Учащиеся получают карточки для
самостоятельной работы.

– Найдите неизвестный делитель. Закройте
окошки.

– Выполненную работу передайте члену своей
пары. Оцените работы.

– При выполнениеиработы без ошибок, передайте
члену пары карточку со знаком плюс. При ошибках в
вычислениях передайте карточку со знаком минус.

– Покажите карточки.

На доске открываются значения выражений,
представленные на карточках.

6   7   8   15   19   14

– А теперь сравните свои результаты с
результатами на доске.

– Если результаты совпали, оставьте карточку со
знаком плюс, если нет, верните ее обратно члену
пары, который проверял вашу работу.

– Покажите карточки.

8. Повторение.

– Откройте учебник на стр.64.

– Прочитайте задачу № 28.

– Как вы думаете, почему именно данная задача
включена в урок?

– Что в задаче известно?

– Что значит “по 6 банок тушёнки”?

– Что надо узнать?

– Можем сразу ответить на вопрос задачи?

– Почему?

– Как узнать?

– Теперь можем ответить на поставленный вопрос?

– Что для этого нужно сделать?

– А как письменно оформить нашу мысль?

– Что мы записали?

– Прочитайте, как рассуждали при решении данной
задачи Миша и Маша.

– С чьим рассуждением совпадает наше?

– Кто прав: Маша и мы или Миша?

9. Подведение итогов урока. Домашнее задание.
Инструктаж его выполнения.

– Оцените себя и покажите, кто может
самостоятельно в домашнем задании найти
делитель при делении с остатком?

Учащиеся показывают карточки с условными
знаками: +,-, ?.

– Кому необходимо пользоваться формулой при
решении примеров на нахождение неизвестного
делителя при делении с остатком?

Учащиеся показывают карточки с условными
знаками: +,-, ?.

– В домашнем задании я предлагаю вам составить
примеры на деление с остатком с неизвестным
делителем. Напечатайте примеры, используя
компьютер. У вас получатся карточки для
самостоятельной работы. Мы будем использовать их
на следующих уроках.

-Урок окончен. Ваши мысли двигались
действительно быстрее скорости света. Мне было
интересно и комфортно на уроке.

– А как вы ощущали себя на уроке?

Каждый учащийся работает с индивидуальными
текстовыми карточками

– Выберите утверждение. Отметьте галочкой.

Ощущал себя на уроке:

• хорошо;
• уверенно;
• смело;
• гордо;
• комфортно;
• глупо;
• неуверенно;
• испуганно;
• сердито;
• грустно.

Спасибо.

Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.

Общее представление о делении целых чисел с остатками

Деление целых чисел с остатком  рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.

Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b, отличное от нуля. Если b=0, тогда не производят деление с остатком.

Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b, при b отличном от нуля, на c и d. В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.

Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b. Запишем таким образом: 0≤d≤b. Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.

Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b, кратко можно зафиксировать: a:b=c (ост. d).

Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.

Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.

Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.

Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при  делении натуральных чисел с остатком.

При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a, которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину  частного с.  Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.

Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета  у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: (−7):2=−4 (ост. 1).

Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a=b·c+d. Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a=b·q+r, где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0≤r≤b.

Докажем возможность существования a=b·q+r.

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком

При помощи равенства a=b·c+d можно находить неизвестное делимое a, когда известен делитель b  с неполным частным c и остатком d.

Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b=(a−d):c, c=(a−d):b и  d=a−b·c. С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d=a−b·c. Рассмотрим решение подробно.

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления  с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.

Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Чтобы выполнить деление с остатком  положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.

Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному  от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток  равен остатку при делении a на b.

Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число  считают целым неположительным числом.

Получим алгоритм:

• найти модули делимого и делителя;
• делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное  и
• остаток;
• запишем число противоположное полученному.

Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.

Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного  a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1, тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d=a−b·c.

Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• делить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1;
• использовать формулу для остатка d=a−b·c.

Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1, тогда сможем произвести вычисления по формуле d=a−b·c.

Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.

Сформулируем данное правило в виде алгоритма:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя  с получением неполного частного с
• остатком;
• прибавление 1 к неполному частному;
• вычисление остатка, исходя из формулы d=a−b·c.

Данный алгоритм рассмотрим на примере.

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0≤d<b. При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап  не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a=b·c+d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Рассмотрим на примерах.

Деление чисел с остатком

О чем эта статья:

Деление с остатком целых положительных чисел

Деление — это разбиение целого на равные части.

Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

Теорема

a = b · q + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. 0 ⩽ r

Проверка деления с остатком

Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

Формула деления с остатком

a = b * c + d,

где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.

Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

Пример

Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

Попрактикуемся в решении.

Пример

Разделить 14671 на 54.

Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.

Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.

Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя
• получить неполное частное и остаток;
• записать число противоположное полученному.

Пример

Разделить 17 на −5 с остатком.

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

Проверка : a = b * q + r, 17 = −5 * (−3) + 2.

Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

Чтобы получить неполное частное q при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток r будет вычисляться по формуле:

r = a − b * q

Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1;
• использовать формулу для остатка r = a − b * q.

Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

Разделим заданные числа по модулю.

Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

Так как получили 3, противоположное ему −3.

Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, q = −4, тогда:

r = a − b * q = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

Проверка: a = b * q + r, −17 = 5 * (−4) + 3.

Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:

r = a − b * q

Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя;
• получить неполное частное и остаток;
• прибавить 1 к неполному частному;
• вычислить остаток, исходя из формулы r = a − b * q.

Пример

Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

Применим алгоритм для деления с остатком.

Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим r = a − b * q = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

Проверка: a = b * q + r, −17 = −5 * 4 + 3.

Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

Деление с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

Пример 1

Рассмотрим выражение: 10 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

Пример 2

Рассмотрим выражение: 11 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Деление с остатком

Содержание

И так, мы уже познакомились с тем, что же такое деление. Но есть еще один важный и нужный вид деления — это деление с остатком.

Представим, что мы купили 10 яблок. К нам пришли друзья и мы захотели поделиться с ними яблоками, и при этом дать каждому равное количество.

Если друга всего 2, то каждому дадим по 5 яблок; если их 5, то по 2; а если 10, то по одному.

Но что делать, если друзей будет 3, 7 или 9? Нам не получится разделить 10 яблок поровну на такое количество человек.

Откуда берется остаток

Предположим, что в итоге у нас 7 друзей и 10 яблок. Чтобы никого не обидеть, мы можем дать каждому по одному и у нас останется 3 яблока. Теперь давайте рассмотрим пример:

В данном случае, 10 яблок — это делимое, 7 друзей — делитель, а 1 — неполное частное. Что же означает цифра 3 и откуда она взялась?

То число, которое осталось при делении, называют остатком.

Соответственно, в нашем случае 3 яблока и будут остатком.

Как найти остаток

Рассмотрим другой пример:

Давайте попробуем найти $x$ и $y$:

1. Сначала нужно проверить, будет ли остаток равен нулю или нет. В нашем случае 42 не делится нацело на 9, значит остаток есть.
2. Теперь подберем самое большое число, которое можно разделить нацело на делитель. При этом данное число должно быть меньше самого делимого. 36 — самое большое число, которое делится нацело на 9.
3. Чтобы получить 36, нужно 9 умножить на 4, значит 4 и будет неполным частным $x$.
4. Из 42 вычтем произведение делителя и неполного частного (42 — 36). В ответе получаем 6 — это как раз таки и будет остаток $y$. Пример решен!

Запомним еще 2 правила, которые необходимы при работе с остатком:

Остаток всегда меньше делителя.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, то есть нацело.

Как найти делимое

Нужно уметь находить не только частное и остаток, но и делимое. На самом деле, здесь также все просто.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, нужно умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Чтобы найти делимое $x$, нам нужно умножить делитель на частное, а затем прибавить остаток. Умножаем 11 на 3 — получаем 33. К этому значению прибавляем 9, и в ответе получается 42. Это и есть искомый $x$!

Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка.

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:
а) Делим столбиком:

258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6 Category: 5 класс, Натуральные числа Leave a comment

[spoiler title=”источники:”]

http://obrazavr.ru/matematika/5-klass-matematika/naturalnye-chisla/umnozhenie-delenie-stepen/delenie-s-ostatkom/

http://tutomath.ru/5-klass/delenie-s-ostatkom-formula-deleniya-s-ostatkom-i-proverka.html

[/spoiler]