Как найти неизвестное по двум разностям

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

Рассмотрим задачи, в которых по двум разностям (одна из которых известна) находят неизвестное. Такие задачи имеют два варианта решения.

Математика, 4 класс

Урок №49. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– решение задач на нахождение неизвестных по двум разностям

– представление текста задачи в схемах, таблицах

Глоссарий по теме:

Задача – математическое высказывание, состоящее из двух частей. Первая часть – условие. Оно содержит известные числа задачи, связанные между собой сюжетом. С условием связан вопрос задачи. Вторая часть – вопрос. Он содержит неизвестное число задачи.

Разность  чисел – это результат вычитания меньшего числа из большего числа .

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Математика: 4 класс: учебник в 2 ч. Ч.2/ М.И. Моро, М. А. Бантова. – М. Просвещение, 2015. – с. 46-47

2. Светлячок. Комплексный тренажёр Математика. 4 класс/ под. ред. А. М. Горохова – М.; Эксмо, 2016. – с. 60-61

3. Сборник текстовых задач по математике. 4 класс. Т. Н. Максимова. – М.ВАКО, 2011 -с. 21 -23

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Отгадайте ребус и вы узнаете тему урока:

На уроке мы научимся: решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.

Сможем: записывать условия таких задач в виде таблицы или схемы.

Рассмотрим первую задачу.

В мастерской сшили одинаковые плащи из двух кусков ткани. Во втором куске было на 4 метра ткани больше, и из него сшили на 2 плаща больше. Сколько ткани расходовали на 1 плащ?

Запишем условие задачи в таблицу:

Расход на 1 плащ	Количество плащей	Общий расход
Одинаковый	I -?	?
II -? на 2 больше	? на 4м больше

Первая графа в таблице – это расход ткани на 1 плащ. Так как сшили одинаковые плащи, то расход ткани на каждый плащ будет одинаковым.

Вторая графа таблицы – это количество плащей. Нам неизвестно, сколько плащей сшили из каждого куска ткани, но известно, что из большего куска сшили на два плаща больше.

Третья графа – общий расход ткани. Нам неизвестно, сколько ткани было в каждом куске, но известно, что второй кусок ткани на 4 метра больше первого.

Нам известны две разности: одна разность показывает, что плащей сшили на 2 больше, другая разность показывает, что один кусок ткани на 4 метра больше другого.

Почему из одного куска ткани сшили на 2 плаща больше? Потому что этот кусок ткани больше на 4 метра. Можно сделать вывод, что на 2 плаща расходовали 4 метра ткани. Для того чтобы найти, сколько ткани расходуют на 1 плащ, необходимо 4 разделить на 2:

Усложним задачу:

В мастерской сшили одинаковые плащи из двух кусков ткани длиной 6 метров и 10 метров. Из большего куска сшили на 2 плаща больше. Сколько плащей сшили из каждого куска?

Запишем условие задачи в таблицу:

Расход на 1 плащ	Количество плащей	Общий расход
Одинаковый	I -?	6м
II -? на 2 больше	10м

Первая графа в таблице – это расход ткани на 1 плащ. Так как сшили одинаковые плащи, то расход ткани на каждый плащ будет одинаковым.

Вторая графа таблицы – это количество плащей. Нам неизвестно, сколько плащей сшили из каждого куска ткани, но известно, что из большего куска сшили на два плаща больше.

Третья графа – общий расход ткани. Нам известно, что один кусок ткани имеет длину 6 метров, а второй кусок – 10 метров. Условие задачи можно проиллюстрировать, изобразив куски ткани отрезками.

Для того чтобы узнать, сколько плащей сшили из каждого куска ткани, необходимо знать, сколько ткани расходуют на 1 плащ.

Расход ткани на один плащ можно найти по двум разностям. Однако нам дана только одна разность – это разность количества плащей. Вторую разность (разность длин тканей) необходимо найти. Для этого из длины большего куска ткани нужно вычесть длину меньшего куска.

10 – 6 = 4 (м)

Теперь нам известна и вторая разность, которая показывает, что один кусок ткани на 4 метра длиннее другого. Если один кусок ткани на 4 метра длиннее другого и плащей из этого куска сшили на два больше, то можно сделать вывод, что на 2 плаща расходовали 4 метра ткани. Для того чтобы найти, сколько ткани расходуют на 1 плащ, необходимо 4 разделить на 2.

4 : 2 = 2 (м) – расходуется на 1 плащ.

Нам известен расход ткани на один плащ, – это 2 метра, и длина ткани в одном куске – это 6 метров, то можно найти, сколько из этого куска ткани сшили плащей. Для этого 6 м разделим на 2.

6 : 2 = 3 (п.) – сшили из первого (меньшего) куска ткани.

Другой кусок ткани имеет длину 10 метров, поэтому можно найти, сколько из этого куска ткани сшили плащей.

10 : 2 = 5 (п.) сшили из второго (большего) куска ткани

Ответ: из одного куска ткани сшили 3 плаща, а из другого – 5 плащей.

Задания тренировочного модуля:

1.Решите задачу, отвечая на вопросы.

В одном куске 3м ткани, а в другом 7 м такой же ткани. Второй кусок ткани был дороже на 249 р. Сколько стоил каждый кусок ткани?

1) Сколько метров ткани стоят 240 р.?

2) Сколько стоит 1 м ткани?

3) Сколько стоит первый кусок ткани?

4) Сколько стоит второй кусок ткани?

Правильный ответ:

1) Сколько метров ткани стоят 240 р.?

7 – 3 = 4 (м)

2) Сколько стоит 1 м ткани?

240 : 4 = 60 (р.)

3) Сколько стоит первый кусок ткани?

60 · 3 = 180 (р.)

4) Сколько стоит второй кусок ткани?

60 · 7 = 420 (р.)

2. Ползуясь таблицей, заполни пропуски в тексте:

Катя купила цветной бумаги на……руб., а Настя – такой же бумаги на …. руб. Катя купила на …. листов больше, чем Настя. Сколько листов бумаги купили Настя и Катя?

	Цена	Количество	Стоимость
Катя	одинаковая	?на 5 больше	60 руб.
Настя	?	35руб.

Правильный ответ:

Катя купила цветной бумаги на 60 руб., а Настя – такой же бумаги на 35 руб. Катя купила на 5 листов больше, чем Настя. Сколько листов бумаги купили Настя и Катя?

Задачи
на нахождение неизвестных по двум
разностям включают две переменные и
одну или несколько постоянных величин,
причём даны два значения одной переменной
и разность соответствующих значений
другой переменной, а сами значения этой
переменной являются искомыми. По
отношению к каждой тройке величин,
находящихся в пропорциональной
зависимости, можно выделить шесть видов
задач
на нахождение неизвестных по
двум разностям [1].

Таблица
3

Вид задачи	Величины	Задача
Цена	Количество	Стоимость
I	Постоянная	Даны два значения.	Дана разность значений, соответст. количеству. Найти каждое значение.	Купили по одинаковой цене 5 м шелка и 3 м полотна. За шелк заплатили на 240 р. больше, чем за полотно. Сколько заплатили за шелк и полотно в отдельности?
II	Постоянная	Дана разность значений, соответст. стоимости. Найти каждое значение.	Даны два значения.	Купили по одинаковой цене шелк и полотно. За шелк заплатили 600 р., за полотно 360 р. Шелка было на 2 м больше, чем полотна. Сколько купили метров шелка и полотна в отдельности?

Задача.
Купили по одинаковой цене 14 м полотна
и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на
280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько
заплатили за полотно и шерсть в
отдельности?

Задачи
этого типа представляют определённую
трудность для детей в связи с тем, что
стоимость и количество заданы в виде
разностей: купили больше и заплатили
больше. В связи с этим работу над задачами
данного типа нужно построить так, чтобы
дети осознали, что (на примере данной
задачи) за полотно, купленное сверх 10 м
заплатили 280 р. В связи с этим до формального
разбора при поиске решения задачи на
этапе ознакомления целесообразно
выполнить разбор по существу, позволяющий
развязать этот «трудный узел» задачи.
Приведём полное рассуждение ученика
при решении задачи данного типа, но
прежде выполним разбор по существу,
который осуществляется по вопросам
учителя.

После
выделения условия, требования задачи
и выполнения краткой записи задачи в
виде таблицы, учитель ставит вопросы:

Объекты задачи	Цена	Количество	Стоимость
Полотно Шерсть	Одинаковая	14 м 10 м	? р., на 280 р. б. ? р.

–
За какое количество полотна уплатили
столько же, сколько за всю шерсть? ( За
10 м.)

–
Сколько уплатили за полотно, купленное
сверх 10 м?
(280 р.)

–
Если мы будем знать количество полотна,
купленного сверх 10м и знаем его стоимость,
то, что сможем узнать по этим данным?
(Цену 1 м полотна или шерсти.)

Далее
выполняется формальный разбор от
числовых данных.

4)
Знаю, что купили 14 м полотна и 10м шерсти.

5)
Могу узнать, сколько полотна купили за
280 р.

6)
Действием вычитания.

4а)
Знаю стоимость полотна (280 р.) и буду
знать количество, за которое уплатили
280 р.

5а)
Могу узнать цену полотна.

6а)
Действием деления.

4б)
Буду знать цену полотна и знаю его
количество.

5б)
Могу узнать стоимость полотна.

6б)
Действием умножения.

4в)
Буду знать стоимость полотна и знаю,
что за полотно заплатили на 280 р. больше,
чем за шерсть. Значит, за шерсть заплатили
на 280 р. меньше.

5в)
Могу узнать стоимость шерсти.

6в)
Действием вычитания.

7.
Составляю план решения: сначала действием
вычитания узнаю, за какое количество
полотна уплатили 280 р., затем действием
деления узнаю цену полотна или шерсти,
потом действием умножения узнаю стоимость
полотна, затем действием вычитания
узнаю стоимость шерсти.

8.
Запишу решение по действиям с полным
пояснением:

1)
14-10=4(м)- за столько полотна заплатили
280 р.;

2)
280:4=70(р.) – цена полотна (шерсти);

3)
70•14=980(р.) – стоимость полотна;

4)
980-280=700 (р.) – стоимость шерсти.

Ответ:
980 р. и 700 р.

На
основе анализа содержания задачи и
деятельности по её решению можно увидеть,
что необходимые знания, умения и навыки
у детей уже сформированы (знания связи
между величинами цена, количество,
стоимость и умение находить одну из них
по двум значениям других величин) в
процессе решения задач на нахождение
четвёртого пропорционального и на
пропорциональное деление. Однако в
задачах данного типа дано не значение
одной из переменных величин, а разность
двух её значений, что и составляет
проблему задачи (нужно найти цену, имея
не значения стоимости и количества, а
значения разности стоимостей и разности
количеств).

В
связи с этим на подготовительном
этапе к введению задач данного типа
необходимо предусмотреть специальные
задания, с помощью которых раскрывается
основная проблема задачи:

1)
Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей
в клетку и 5 тетрадей в линейку. Каких
тетрадей ученик купил больше? За какие
тетради он уплатил денег больше?

1. Ученик
   купил по одинаковой цене тетрадей в
   клетку на 4 больше, чем тетрадей в
   линейку, и уплатил за них на 16 р. больше,
   чем за тетради в линейку. Сколько стоила
   одна тетрадь? К первой задаче ученики
   выполняют чертёж, затем отвечают на
   поставленные вопросы (Ученик купил
   тетрадей в клетку на 4 тетради больше,
   чем в линейку; за тетради в клетку он
   уплатил больше, потому что он купил их
   больше, а цена одинаковая.). Далее
   выясняется, за сколько тетрадей в клетку
   он уплатил столько же, сколько за все
   тетради в линейку.

К. 9
т.

Л. 5
т.

Учитель
предлагает прочитать вторую задачу и,
обращаясь к тому же чертежу, проводит
беседу:

–
Как вы понимаете выражение «тетрадей
в клетку купил на 4 больше, чем тетрадей
в линейку»(тетрадей в клетку столько
же, сколько в линейку и ещё 4). Покажите
это на чертеже.

–
Что значит «уплатил за тетради в клетку
на 16 р. больше»? (Уплатил за тетради в
клетку столько же, сколько за тетради
в линейку, и ещё 16 р.) Покажите это на
чертеже.

–
За сколько тетрадей ученик уплатил 16
р.? (За 4 тетради.)

–
Значением какой величины является 16
р.? (16 р, – значение стоимости.)

–
Значением какой величины является 4 т.?
(4 тетради – значение количества.)

–
Значит, нам известны значения двух
величин – стоимости и количества – и
знаем, что цена одинаковая. Что можно
найти по этим данным? (Цену.) Каким
действием? Учитель может предложить
аналогичные задания из учебника, а также
составленные им с другими величинами.

Ознакомление
с решением задач на нахождение неизвестных
по двум разностям можно выполнить
разными путями: можно сначала составить
задачу на нахождение неизвестных по
двум разностям, преобразовав её из
задачи на нахождение четвёртого
пропорционального, а можно сразу
предложить готовую задачу. В том и другом
случае работа над задачей ведётся по
одному и тому же плану: выделение
условия, требования задачи, её иллюстрации
в виде краткой записи (в виде таблицы)
и чертежа, затем разбор по существу,
формальный разбор и т.д. (см. выше).

На
этапе закрепления
умения
решать задачи на нахождение неизвестных
по двум разностям можно использовать
задания аналогичные тем, которые
предлагались при решении задач на
пропорциональное деление. После введения
задач на нахождение неизвестных по
двум разностям второго вида по аналогичной
методике следует провести работу по
сравнению задач этих двух видов и
сравнению их решений. Полезно также
выполнить задания по сравнению задач
на пропорциональное деление и задач с
соответствующими величинами на нахождение
неизвестных по двум разностям.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Слайд 1

СОГБПОУ “Гагаринский многопрофильный колледж” Проект на тему: ” Методика обучения решения задач на нахождение неизвестно по 2 разностям” Выполнили: Студентка 41ПНК Ананьева Ксения 2022 г. Гагарин

Слайд 2

Учителю необходимо : Формировать знания о задачах, методах и способах решения, о процессе решения, этапах этого процесса, о содержании и целях каждого этапа; Вырабатывать умения разбиения задачи на составные части, использовать различные методы решения, применять разнообразные приемы, помогающие понять задачу, формировать умения решать задачи последовательно.

Слайд 3

Подготовительная работа Включает в себя задачи вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые позволяют учащимся уяснить, соответствие между двумя разностями.

Слайд 4

Задача на нахождение неизвестного по двум разностям включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

Слайд 5

Способы решения: Алгебраический Арифметический

Слайд 6

Программное содержание 4 кл 2 часть с 46 стр номера 169

Слайд 7

№ 169. 1) В мастерской сшили одинаковые плащи из двух кусков ткани. В одном куске было на 4 м ткани больше, и из него сшили на 2 плаща больше. Сколько метров ткани расходовали на 1 плащ? На 6 плащей? 2) В мастерской сшили одинаковые плащи из двух кусков ткани длиной 6 м и 10 м. из большего куска сшили на 2 плаща больше. Сколько метров ткани израсходовали на 8 плащей? № 170. В одну столовую привезли 5 одинаковых ящиков фруктов, в другую – 2 таких же ящика. В первую столовую привезли на 24 кг фруктов больше, чем во вторую. Сколько килограммов фруктов привезли в каждую столовую? Сделайте рисунок и реши задачу. № 175. Два самолёта летели с одинаковой скоростью. Первый самолет был в воздухе 4 ч, второй – 6ч. Первый самолёт пролетел на 140 км меньше второго. Какое расстояние пролетел каждый самолёт?

Слайд 8

Разбор задачи 169

Слайд 10

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

Слайд 11

Закрепление На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать задания аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида по аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решений. Полезно также выполнить задания по сравнению задач на пропорциональное деление и задач с соответствующими величинами на нахождение неизвестных по двум разностям.

Слайд 12

Спасибо за внимание!

Здравствуйте, ребята!

Представляете, заболели мои друзья – Плюс и Минус. А дело в
том, что они вчера наелись мороженого. Минус съел три порции, а Плюс – пять.
Как вы думаете, у кого горло болит сильнее? Конечно, кто больше мороженого
съел, тот сильнее заболел. У Плюса такая высокая температура, что он лежит в
постели и не может подняться.

Обидно, что Плюс и Минус заболели, но нам-то всё равно надо
новую тему разобрать.

И сегодня мы с вами решим несколько задач.

Как вы уже поняли, Плюс заболел сильнее, чем Минус, потому
что съел больше порций мороженого. А как вы думаете, кто из них заплатил больше
денег за свои порции? Я думаю, всем понятно, что Плюс.

Плюс за свои пять порций мороженого заплатил на шесть мэтиков
больше, чем Минус за три порции. Как вы думаете, сколько стоит одна порция мороженого?
И сколько мэтиков заплатили Плюс и Минус за все порции?

Посмотрите на рисунок.

На нём хорошо видно, что Плюс съел больше мороженого, чем
Минус. Сейчас мы узнаем, на сколько больше порций он съел. На рисунке, конечно,
это видно. Но в математике числа с потолка не падают. Каждое число в задаче
либо дано, либо получается в результате выполнения какого-то действия.

Итак, пять минус три, равно два. На столько порций Плюс съел
больше.

1) 5 – 3 = 2 (п.) – больше съел Плюс.

За эти две порции он заплатил шесть мэтиков. И мы можем
узнать, сколько стоит одна порция. Так как порции одинаковые, мы
шесть делим на два. Каждая порция стоит три мэтика.

2) 6 : 2 = 3 (мэт.) – стоит 1 порция мороженого.

Теперь узнаем, сколько всего порций мороженого купили Плюс и
Минус.

3) 5 + 3 = 8 (п.) – всего купили.

Теперь мы знаем цену мороженого и количество порций. Давайте
посчитаем, сколько знаки заплатили за все порции.

4) 3 · 8 = 24 (мэт.) – заплатили за все порции.

Ответ: 24 мэтика заплатили Плюс и Минус за все порции
мороженого.

В этой задаче две разности помогли узнать нам и
цену, и стоимость мороженого. Вы спросите – какие разности? Первая
разность – между тем, сколько заплатил Плюс и тем, сколько заплатил
Минус. Это шесть мэтиков, о которых говорилось в условии задачи. Вторую
разность мы узнали – между количеством порций мороженого, которое купил
Плюс и тем, которое купил Минус. И эти две разности помогли нам узнать цену
одной порции мороженого.
А уж потом и стоимость всех порций.

Разберём ещё одну задачу. Мы с Матюшей тоже купили себе по
несколько порций мороженого. Правда, не стали есть всё сразу, а дома аккуратно,
не торопясь, съели только по одной порции, а остальные будем есть по одной в
течение нескольких дней. Поэтому я сейчас и сижу перед вами здоровёхонькая. Но
вернёмся к нашей задаче.

Я заплатила за свои порции мороженого двадцать один мэтик, а
Матюша заплатил тридцать мэтиков. Ведь он купил на три порции мороженого
больше. Но нам надо купить ещё пятнадцать порций для предстоящего званого
ужина, который собирается дать царица Математика. Сколько мэтиков нам
понадобится для их покупки?

Для того, чтобы разобраться в решении этой задачи, выполним чертёж.

В задаче неизвестно, сколько порций мороженого куплено,
поэтому количество порций обозначим просто отрезками. Я думаю, вы поняли, что
если я заплатила меньше, чем Матюша, то и мороженого я тоже купила меньше.
Поэтому отрезок, обозначающий количество порций, которые я купила (выделить),
меньше отрезка, который обозначает количество порций, купленных Матюшей. Он купил
на три порции больше. Видите, в условии задачи уже есть одна разность
– на три порции мороженого больше у Матюши, чем у меня. И теперь можно узнать ещё
одну разность – на сколько больше он заплатил.

1) 30 – 21 = 9 (мэт.) – больше заплатил Матюша.

Но ведь это то, что уплачено за три порции мороженого. Ну а
теперь всё просто! Если три порции мороженого стоят девять мэтиков, то одна
порция три мэтика.

2) 9 : 3 = 3 (мэт.) – цена мороженого.

И теперь, зная цену порции мороженого, можно узнать
стоимость пятнадцати таких же порций.

3) 3 · 15 = 45 (мэт.) – стоимость 15 порций мороженого.

Ответ: за 15 порций мороженого надо заплатить 45 мэтиков.

Ребята, вы, конечно, понимаете, что одним мороженым сыт не
будешь, поэтому к званому вечеру на столы приказано поставить пять тарелок с
бутербродами с сыром и девять – с бутербродами с ветчиной. На каждой тарелке бутербродов
будет поровну. Сколько всего бутербродов будет приготовлено, если с ветчиной
сделают на сорок восемь бутербродов больше, чем с сыром?

Давайте выполним рисунок и к этой задаче, а
потом вы сами попробуете её решить.

Вот бутерброды с сыром. Они будут лежать на пяти тарелках. А бутерброды
с ветчиной – на девяти тарелках. Бутербродов с ветчиной на сорок восемь больше.
Надо узнать, сколько бутербродов с сыром и сколько с ветчиной.

Ну что ж, приступайте к решению.

А теперь давайте проверим. Нам известно, на сколько
бутербродов с ветчиной больше, чем с сыром. На сорок восемь. И мы можем узнать,
на сколько больше тарелок с бутербродами с ветчиной, чем с сыром.

1) 9 – 5 = 4 (т.) – больше с ветчиной.

Именно на этих тарелках будут лежать сорок восемь
бутербродов.

Узнаем, сколько бутербродов на каждой тарелке.

2) 48 : 4 = 12 (б.) – на каждой тарелке.

А теперь узнаем, сколько бутербродов с сыром.

3) 12 · 5 = 60 (б.) – с сыром.

И сколько бутербродов с ветчиной.

4) 12 · 9 = 108 (б.) – с ветчиной.

Ответ: будет 60
бутербродов с сыром и 108 бутербродов с ветчиной.

Вот задача и решена. С сыром – шестьдесят бутербродов, а с
ветчиной – сто восемь. Хватит на всех!

Ну а нам пора закругляться. Вам ещё нужно позаниматься, а я
пойду навестить Плюса и Минуса. Напою их чаем с малиной. Думаю, они теперь
никогда столько мороженого сразу есть не будут.

До свидания, ребята!