Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4+x=9,x=9−4,x=5.
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Например, у нас есть уравнение x-6=10. Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6, получим 16. То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x−6=10,x=10+6,x=16.
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16-6=10. Равенство 16-16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10-x=8. Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10-8=2. Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10-x=8,x=10-8,x=2.
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10-2=8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Решим с его помощью уравнение x:3=5. Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15, которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x:3=5,x=3·5,x=15.
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5. Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Возьмем простой пример – уравнение 21:x=3. Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7. Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21:x=3,x=21:3,x=7.
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21:7=3, так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:
(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.
Памятка по нахождению неизвестных компонентов действий.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- Мне нравится
Нахождение неизвестного слагаемого
- Задачи на неизвестное слагаемое
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Пример:
| 3 | + | ? | = | 7 |
| Первое слагаемое |
Второе слагаемое |
Сумма |
|---|
Для нахождения второго слагаемого, вычтем из суммы первое слагаемое:
| 7 | – | 3 | = | 4 |
| Сумма | Первое слагаемое |
Второе слагаемое |
|---|
Чтобы узнать правильно ли было найдено второе слагаемое, надо сложить первое слагаемое со вторым. Если получится данная сумма, то действие было выполнено верно:
3 + 4 = 7.
Задачи на неизвестное слагаемое
Задача 1. На столе лежит 9 карандашей: зелёные и 4 синих. Сколько зелёных карандашей лежит на столе?
Решение:
9 – 4 = 5.
Ответ: 5 зелёных карандашей лежит на столе.
Задача 2. За два дня Маша прочитала 15 страниц. За первый день она прочитала 9 страниц. Сколько страниц она прочитала за второй день?
Решение:
15 – 9 = 6.
Ответ: 6 страниц.
Задача 3. В парке рабочие сажали деревья — берёзы и дубы. Они посадили 4 ряда берёз, по 3 дерева в каждом ряду. Всего в парке посадили 25 деревьев. Сколько дубов посадили рабочие?
Решение: Первым действием надо посчитать, сколько берёз посадили рабочие. Для этого нужно 3 берёзы умножить на 4, потому что по 3 берёзы посажены в каждом из 4 рядов:
1) 3 · 4 = 12 (берёз).
Вторым действием нужно из общего количества деревьев вычесть количество берёз:
2) 25 – 12 = 13 (дубов).
В результате вычитания мы узнали, сколько дубов посадили рабочие в парке.
Ответ: 13 дубов.
Правило нахождения неизвестного слагаемого используется для проверки сложения вычитанием.
Задачи решаемые по действиям могут быть решены с помошью уравнений.
1. Как найти неизвестное слагаемое?
Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно от суммы вычесть известное слагаемое.
Если n + x = k, то x = k – n
2. Как найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно к разности прибавить вычитаемое.
Если x – n = k, то x = k + n
3. Как найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно от уменьшаемого вычесть разность.
Если m – x = k , то x = m – k
4. Как найти неизвестное делимое?
Чтобы найти неизвестное делимое нужно частное умножить на делитель.
Если x/n = k , то x = k × n
5. Как найти неизвестный сомножитель?
Чтобы найти неизвестный сомножитель нужно произведение разделить на известный сомножитель.
Если n x x = k , то x = k/n
6. Как найти неизвестный делитель?
Чтобы найти неизвестный делитель надо делимое разделить на частное.
Если m/x = k, то x = m/k
7. Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого?
Чтобы узнать на сколько единиц одно число больше или меньше другого надо из большего числа вычесть меньшее.
8. Как узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого?
Чтобы узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого надо большее число разделить на меньшее.
Необходимость находить неизвестные компоненты действий приводят к простейшим уравнениям.
Можно сформулировать 6 правил нахождения неизвестных компонент.
1. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно от суммы вычесть известное слагаемое.
2. Чтобы найти неизвестное вычитаемое надо от уменьшаемого отнять разность
3. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо к разности прибавить вычитаемое.
4. Чтобы найти неизвестный сомножитель, надо произведение разделить на известный сомножитель
5. Чтобы найти неизвестное делитель, надо делимое разделить на частное.
6. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Например
Найти неизвестный сомножитель
56 * х = 504 х * 43 = 559 х * 15 = 555
47 * х = 611 х* 51 = 612 27 * х = 999
Найти х
х : 52 = 35 5643 : х = 99 5226 : х = 402
х : 37 = 111 29319 : х = 87 х : 7005 = 30
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ВЫЧИТАЕМОГО И СЛАГАЕМОГО (175-218)
1. На полке было 10 книг. Когда несколько книг забрали, то на полке осталось 3 книги. Сколько книг забрали?
Р е ш е н и е :
1)Если на полке было 10 книг и после того как, несколько книг забрали, осталось 3 книги, то с полки забрали
10 – 3 = 7 книг.
Можно решить задачу с помощью уравнения
Составляем уравнение, было 10 книг, несколько книг х забрали и осталось 3, этим условиям отвечает уравнение:
10 – x = 3
Чтобы найти неизвестное вычитаемое надо от уменьшаемого отнять разность
10 – 3 = 7
О т в е т: с полки забрали 7 книг
2. (185) На полке было 5 книг. Когда на ещё несколько книг поставили на полку их стало 8. Сколько книг поставили на полку?
1)Если на полке было 5 книг и когда ещё несколько книг поставили на полку их стало 8, то 8 – 5 = 3 книги поставили на полку.
Если на полке было 5 книг и туда поставили ещё неизвестно сколько книг х и книг стало 8, то этим условиям отвечает уравнение
5 + х =8
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известое слагаемое.
8 – 5 =3.
О т в е т: на полку поставили 3 книги
3. (202) В классе 25 учеников. Несколько детей заболело и в школу пришло 20 учеников. Сколько детей заболело?
1)Если в классе 25 учеников и в школу пришло только 20 учеников, то детей заболело 25 – 20 = 5 учеников?
Если в классе 25 учеников и несколько детей заболело х и в школу пришло только 20 учеников, то эим условиям соответствует уравнение
25 – х = 20
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность
25-20 = 5
О т в е т: заболело 5 учеников
4. (203) В автобусе ехало 20 человек. Когда несколько человек вышло, осталось 15. Сколько человек вышло?
1)Если в автобусе ехало 20 человек и после того как несколько человек вышло, осталось 15, то 20 – 15 = 5 человек вышло.
Если в автобусе ехало 20 человек и когда несколько человек вышло х и осталось 15, то имеем уравнение
20 – х = 15
х = 20 – 15 = 5
О т в е т: вышло 5 человек
Другие задачи решаются точно также.
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ УМЕНЬШАЕМОГО (219-255)
1. Когда с полки сняли 3 книги, то на полке осталось 7 книг. Сколько книг было на полке?
1)Если с полки сняли 3 книги и на полке осталось 7 книг, то на полке было
3 + 7 = 10 книг
О т в е т: на полке было 10 книг
2. (230) В вазе было несколько груш. Когда 2 груши съели, их осталось 8. Сколько груш было в вазе?
1)Если две груши съели и их после этого осталось 8, то в вазе было 8 + 2 = 10 груш.
О т в е т: в вазе было 10 книг.
3. (242) Когда из трамвая вышло 6 человек, в трамвае осталось 32 человека. Сколько человек было в трамвае?
1)Если в трамвае осталось осталось 32 человека , а вышло 6, то всего в трамвае первоначально было 32 + 6 = 42 человека.
О т в е т: в трамвае было 42 человека.
Составные задачи на нахождение вычитаемого и слагаемого.
За д а ч а 486.
Р е ш е н и е.
1)Если у собаки бы 5 белых щенков и 4 коричневых, то всего у неё было
5 + 4 = 9 щенков.
2)Если у собаки было 9 щенков и у неё осталось 6 щенков, то продали 9 – 6 = 3 щенка.
О т в е т : продали 3 щенка
З а д а ч а 487
Р е ш е н и е.
1) Если в ларьке было 9 ящиков с фруктами и до обеда продали 3 ящика, то в ларьке к обеду осталось 9 – 3 = 6 ящиков с фруктами.
2)Если после обеда было 6 ящиков с фруктами, а (и) к вечеру осталось 2 ящика, то после обеда продали 6 – 2 = 4 ящика.
О т в е т: после обеда продали 4 ящика с фруктами.
1. Задачи на увеличение числа на несколько единиц
2. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ВЫЧИТАЕМОГО И СЛАГАЕМОГО.
3. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ УМЕНЬШАЕМОГО.
4. ЗАДАЧИ НА РАЗНОСТНОЕ СРАВНЕНИЕ.
5. СОСТАВНЫЕ (сложные) ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ. 1 (или 2) класс
6. СОСТАВНЫЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ СЛАГАЕМОГО И ВЫЧИТАЕМОГО.
7. СОСТАВНЫЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ТРЕТЬЕГО СЛАГАЕМОГО.
8. СОСТАВНЫЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ УМЕНЬШАЕМОГО.
9. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО (№113-160)
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Сложение
Познакомимся со сложением.
Рассмотрим числовой ряд.
Числа идут слева направо, по порядку, как при счёте.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Посмотри на числовой ряд, по которому идёт заяц.
Какое действие выполняет заяц?
Прибавляет число 2.
К какому числу он прибавляет число 2?
К числу 4.
Наш зайчик стоит на числе 4 и думает, в какую сторону ему идти.
Подскажи ему.
В какую сторону пойдёт зайчик?
Вправо, потому что у него на табличке знак +.
Сколько шагов вправо сделает заяц?
2, потому что ему нужно прибавить 2.
На каком делении остановится заяц?
На числе 6.
Когда прибавляем, становится больше.
Чем правее, тем числа больше.
4 + 2 = 6
Рассмотрим еще один пример.
Какое действие выполняет заяц?
Прибавляет число 5.
К какому числу он прибавляет число 5?
К числу 3. Мы поставили зайчика на число 3.
В какую сторону он пойдёт?
Вправо, потому что у него на табличке знак +.
Сколько шагов вправо сделает зайчик? 5.
На каком делении он остановится? На числе 8.
3 + 5 = 8
Как называются числа при сложении?
Первое слагаемое и второе слагаемое.
Результат называется суммой.
Рассмотрите рисунок.
Представь части домика как слагаемые и сумму.
Как найти неизвестное слагаемое
Второе слагаемое неизвестно.
Рассмотри рисунок и догадайся, как его можно найти.
Нужно из суммы вычесть первое слагаемое.
Рассмотри рисунок.
Неизвестно первое слагаемое.
Как его можно найти?
Нужно из суммы вычесть второе слагаемое.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Проверка сложения
Если из суммы двух слагаемых, вычесть одно из слагаемых, то получится второе слагаемое.
8 + 4 = 12
12 – 4 = 8
12 – 8 = 4
Именно эта связь между суммой и слагаемыми используют для проверки вычислений.
Например, 35 + 7 = 42.
Правильно ли произведено вычисление? Можно проверить так:
42 – 7 = 35, мы из суммы вычли одно из слагаемых и получили ВТОРОЕ слагаемое. Значит, вычисление произведено верно и пример решен правильно.
Перестановка слагаемых
Сделаем запись к рисунку.
3 + 2 = 5
Сделаем запись к этому рисунку.
2 + 3 = 5
Теперь рассмотрим обе записи к рисункам:
3 + 2 = 5
3 – первое слагаемое
2 – второе слагаемое
5 сумма
2 + 3 = 5
2 – первое слагаемое
3 – второе слагаемое
5 – сумма
Мы заметили, что сумма в обеих записях одинаковая, хотя слагаемые мы записывали по-разному.
Это переместительный закон сложения, который гласит:
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Сочетательный закон сложения
Рассмотрим пример: (37 + 29) + 1 = …. (читаем: к сумме чисел 37 и 29 прибавить
1) Какие числа удобно сложить сначала, чтобы получился удобный способ? Числа 29 и 1.
Сумму чисел 29 и 1 возьмем в скобки.
37 + (29 + 1) = … (читаем: к 37 прибавить сумму чисел 29 и 1)
Решаем. Сначала выполним действие в скобках.
29 + 1 = 30
37 + 30 = 67, значит,
(37 + 29) + 1 = 67
Вывод: два соседних слагаемых можно заменить их суммой.
Советуем посмотреть:
Табличное сложение
Письменное сложение в столбик
Правило встречается в следующих упражнениях:
1 класс
Страница 47,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 58,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 76,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 86,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 25,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 43. Урок 27,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 59. Урок 36,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 61. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 12. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 3
2 класс
Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 56,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 65,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 73,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 90,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 46. ПР 3. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 16,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 49,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 62,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 9. Урок 4,
Петерсон, Учебник, часть 1
3 класс
Страница 4,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 90,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 111,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 23,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 41,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 43,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 52,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 98,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 73. Урок 25,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 37. Урок 17,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 7,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 8,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 10,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 14. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 82. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 85. Тест 3. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 13,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 66,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
5 класс
Задание 219,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
