Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4+x=9,x=9−4,x=5.
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Например, у нас есть уравнение x-6=10. Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6, получим 16. То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x−6=10,x=10+6,x=16.
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16-6=10. Равенство 16-16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10-x=8. Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10-8=2. Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10-x=8,x=10-8,x=2.
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10-2=8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Решим с его помощью уравнение x:3=5. Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15, которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x:3=5,x=3·5,x=15.
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5. Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Возьмем простой пример – уравнение 21:x=3. Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7. Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21:x=3,x=21:3,x=7.
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21:7=3, так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:
(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.
Памятка по нахождению неизвестных компонентов действий.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
- Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- Мне нравится
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Вычитание
Познакомимся с вычитанием.
Рассмотрим числовой ряд и вспомним, в каком порядке идут числа.
Числа идут слева направо, по порядку, как при счёте.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Посмотри на числовой ряд, по которому идёт заяц.
Какое действие выполняет заяц?
Вычитает число 6.
Из какого числа он вычитает число 6?
Из числа 9. Мы поставили зайчика на число 9.
В какую сторону он пойдёт?
Влево, потому что у него на табличке знак минус.
Сколько шагов влево сделает зайчик? 6.
На каком делении он остановится? На числе 3.
Когда вычитаем, становится меньше.
Чем левее, тем числа меньше.
9 – 6 = 3
Рассмотрим еще один пример.
Какое действие выполняет заяц?
Вычитает число 3.
Из какого числа он вычитает число 3?
Из числа 7. Мы поставили зайчика на число 7.
В какую сторону он пойдёт?
Влево, потому что у него на табличке знак минус.
Сколько шагов влево сделает зайчик? 3.
На каком делении он остановится? На числе 4.
Когда вычитаем, становится меньше.
Чем левее, тем числа меньше.
7 – 3 = 4
Как называются числа при вычитании?
Число, из которого вычитают, становится МЕНЬШЕ, уменьшается, поэтому его называют “уменьшаемое”.
Число, которое вычитают, называют “вычитаемое”.
Число, которое получается в результате вычитания, называют “разность”.
Рассмотри рисунок.
У жонглёра было 9 шариков.
Когда несколько шариков упало, осталось ещё 5 шариков.
Сколько шариков упало?
Каким действием будем находить? Вычитанием.
9 – 4 = 5
Как называются числа при вычитании?
9 – уменьшаемое
4 – вычитаемое
5 – разность
Как найти неизвестное вычитаемое
Рассмотри рисунок.
У жонглера было 9 шариков. Когда несколько шариков упало, осталось 5. Упали, значит, убрали.
Решаем вычитанием. Что нужно найти?
Нужно найти вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
9 – 5 = 4
Вычитаемое равно 4.
Упало 4 шарика.
Как найти неизвестное уменьшаемое
Что известно?
Вычитаемое – 4.
Разность – 5.
Нужно найти уменьшаемое.
Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
5 + 4 = 9
Проверка вычитания
Если к разности прибавить вычитаемое, получится уменьшаемое.
Именно эта связь между разностью, уменьшаемым и вычитаемым используют для проверки вычитания.
Например, 35 – 15 = 20.
Правильно ли произведено вычисление? Можно проверить так:
20 + 15 = 35, мы к разности прибавили вычитаемое и получили уменьшаемое. Значит, вычисление произведено верно и пример решен правильно.
Советуем посмотреть:
Табличное вычитание
Письменное вычитание в столбик
Правило встречается в следующих упражнениях:
1 класс
Страница 40. Тест. Вариант 1,
Волкова, Проверочные работы
Страница 47,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 59,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 73,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2
Страница 7,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 23,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 33. Урок 17,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 61. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 31. Урок 16,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 67. Урок 34,
Петерсон, Учебник, часть 3
2 класс
Страница 74,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 89,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 35,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 39,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 70. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 84,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 96,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 101,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 106,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 42,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
3 класс
Страница 19,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 78,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 82,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 86,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 97,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 105,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 45,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 8. Урок 2,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 21. Урок 9,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 32. Урок 15,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 60,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 90,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 10,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 9. ПР 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 42. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 43. Тест 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 83. Тест 2. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 84. Тест 3. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 51,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 62,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Добрый
день, ребята!
На
прошлом уроке вы решали уравнения на нахождение неизвестного слагаемого.
Сегодня
мы вновь будем решать усложнённые уравнения. Только на этот раз в них надо
будет находить неизвестное уменьшаемое или неизвестное вычитаемое.
Конечно, мы должны вспомнить, как их находить. Посмотрите на формулу вычитания.
В
ней а – это уменьшаемое, б – вычитаемое, ц – разность.
Мы
видим, что целым, то есть наибольшим из трёх чисел является уменьшаемое, а
вычитаемое и разность – это части. Целое мы находим сложением, а части
– вычитанием. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к
вычитаемому прибавить разность. А чтобы найти неизвестное вычитаемое,
надо из уменьшаемого вычесть разность.
А
теперь мы с вами решим вот такие уравнения:
х
– 27 = 56 : 4 93
– у = 6 · 8
Начнём
с первого уравнения. Прежде всего, мы должны упростить его, выполнив
действие справа от знака равно. Находим частное чисел пятьдесят шесть и четыре.
Оно равно четырнадцати. Записываем полученное простое уравнение и начинаем его
решать. В уравнении надо найти неизвестное уменьшаемое. Находить
его будем сложением. К вычитаемому прибавляем разность. Икс равен сорока
одному. Выполняем проверку. Переносим вниз наше уравнение, заменив икс на число
сорок один. Разность чисел сорок один и двадцать семь равна четырнадцати.
Частное чисел пятьдесят шесть и четыре тоже равно четырнадцати.
x – 27 = 14
x = 27 + 14
x = 41
41
– 27 = 56 : 4
14
= 14
Смело
ставим между ними знак равно. Уравнение решено верно.
Переходим
к следующему уравнению. Начинаем работу, как и в предыдущем уравнении с того,
что упростим его. Находим произведение чисел шесть и восемь. Оно равно
сорока восьми. Записываем полученное простое уравнение. В нём надо найти
неизвестное вычитаемое. Его мы находим вычитанием. Из уменьшаемого
вычитаем разность. Игрек равен сорока пяти. Проверяем уравнение. Переносим вниз
уравнение, заменив игрек на число сорок пять. Разность чисел девяносто три и
сорок пять равна сорока восьми. Произведение чисел шесть и восемь тоже равно
сорока восьми.
93
– у = 48
у
= 93 – 48
у
= 45
93
– 45 = 6 · 8
48
= 48
Ставим
знак равно. Уравнение решено верно!
Вот
я вам и рассказала, как решать уравнения, в которых надо найти неизвестное
уменьшаемое или неизвестное вычитаемое. А теперь попробуйте решить
такие уравнения самостоятельно. Вот они:
z – 24 = 14 · 3 81
– х = 56 : 2
Не
забывайте: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Чтобы
найти неизвестное уменьшаемое, надо к вычитаемому
прибавить разность.
Чтобы
найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого
вычесть разность.
Проверьте
ваши уравнения:
z – 24 = 42 81
– х = 28
z = 24 + 42 х
= 81 – 28
z = 66
х
= 53
66
– 24 = 14 · 3 81 – 53 = 56 : 2
42
= 42 28 = 28
Я
надеюсь, вы не просто вписали числа, а выполняли действия в левой и правой частях
полученного равенства. Ведь это помогает вовремя обнаружить ошибку, если вы
случайно её допустите.
Я
не только сама решила и проверила эти уравнения, но и попросила посмотреть мою
работу нашу царицу Математику. Она проверила и сказала, что в ней всё верно.
А
у вас такое же решение? Я надеюсь, что да. А если вы где-то ошиблись – не беда.
Сравните моё решение с вашим и разберитесь, в чём причина ошибки.
Это
очень важное занятие. Ведь недаром говорят, что «На ошибках учатся».
Ну
а я сегодня говорю вам: «До свидания! До новых встреч, друзья!»
