Как найти неизвестное в уравнении с делением

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4+x=9,x=9−4,x=5.

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

План урока: 

Корни уравнения

Нахождение неизвестного компонента в уравнениях со сложением

Нахождение искомой составляющей в равенствах с вычитанием

Вычисление неизвестной составляющей в равенствах с умножением

Нахождение неизвестного компонента в уравнениях с делением

Минутка истории

Узнаем, что такое уравнение и как решить уравнение.

Рассмотрим первый пример.                                                                     

В 5 классе, спортивной школы 14 учеников посещают бассейн, 10 человек занимаются футболом, а остальные увлечены баскетболом. Всего в классе 36 человек. Можно ли узнать, сколько в классе баскетболистов?

Давайте подумаем. Чтобы получить общее количество учеников, нужно сложить количество детей во всех спортивных секциях, то есть: бассейн + футбол + баскетбол = 36. Следует помнить, что мы не знаем количество детей, занимающихся баскетболом. В таких случаях неизвестный компонент принято обозначать прописными буквами латиницы x,y,z.

Получается, 14+10+х=36. Составленное выражение, имеющее неизвестный компонент и называется уравнением. Суммируем известные слагаемые: 14+10=24.

Значит, 24+х=36.

Если от общего количества детей отнять число посещающих бассейн и секцию футбола,то получим количество учеников, посещающих секцию баскетбола.

Х=36-24;

Х=12.

Следовательно,в классе 12 баскетболистов. Вот так, на самые простые жизненные вопросы, находятся ответы с помощью математических выражений.

Давайте дадим правильное определение понятию уравнение.

Уравнение – это математическое равенство, имеющее неизвестный компонент, обозначаемый на письме буквой латиницы.

х-11=22 8+у=1256-z=10

Корни уравнения

Корни деревьев, корни растений – это все понятно. А что же такое корни уравнений, для чего они нужны, как их найти?

В саду росло 48 деревьев, несколько деревьев были очень старыми, их пришлось выкорчевать. После этого в саду осталось 22 дерева. Сколько же деревьев выкорчевали?

Мы знаем, общее число деревьев (48), число выкорчеванных деревьев неизвестно (х),так же знаем остаток растущих деревьев (22).Если из общего количества деревьев, вычесть выкорчеванные, то в результате получим число оставшихся. Составим уравнение:

48-х=22.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из общего количества деревьев (48) вычесть число оставшихся (22) :

х=48-22;

х=26.

Выкорчевали 26 деревьев.

Получается,

если х=26,

выражение 48-х=22

становится верным равенством 48-26=22.

Числовое значение искомого компонента, преобразующее математическое выражение с искомым компонентом, в верное равенство и называют корнем уравнения.

Корень уравнения – точно подобранное число, преобразующее уравнение в верное равенство.

Теперь мы знаем, правильные определения и постараемся их запомнить. А как же найти корень уравнения? Какие действия нужно выполнить? Внимательно прочитав определение корня, приходим к выводу, что определить числовое значение корня можно только подобрав верное значение для искомого компонента, то есть просто решить уравнение!

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Ну а чтобы такие математические равенства не огорчали вас, рассмотрим основные правила решения уравнений.

Исходя из того, какое математическое действие лежит в основе равенства, подберите правильный способ поиска искомой составляющей!

Нахождение неизвестного компонента в уравнениях со сложением

Дети играли кубиками. Они взяли 15 красных и несколько желтых. Всего у детей было 26 кубиков. Сколько желтых кубиков было у детей?

Чтобы дать верный ответ, важно правильно составить уравнение. Нужно сложить количество красных (15) кубиков и желтых (х) кубиков, а сумма должна равняться 26 кубикам.

15+х=26.

В составленном равенстве нужно определить число, удовлетворяющее искомой составляющей. Воспользуемся простым способом.

Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Найдем число соответствующее искомой составляющей равенства с применением данного способа:

15+х=26;

х=26-15;

х=11___;

15+11=26;

       26=26.

У детей было 11 желтых кубиков. Мы решили уравнение, то есть, нашли его корни.

Нахождение искомой составляющей в равенствах с вычитанием

На стройку привезли песок. 8 тонн песка использовали. Осталось 23 тонны. Сколько тонн песка привезли на стройку?

Чтобы узнать, сколько песка привезли на стройку нужно составить уравнение.

Сколько песка привезли, мы не знаем, поэтому принимаем за х. Количество использованного и оставшегося песка известно. Если от привезенного количества отнять использованное, то получим оставшееся количество песка:

х-8=23.

Помощником в вычислении таких равенств, станет правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к вычитаемому прибавить разность.

Используя описанный способ вычислим:

х-8=23;

х=23+8;

х=31;

31-8=23;

   23=23.

На стройку привезли 31 тонну песка.

Рассмотрим следующий пример.

Перед поездкой водитель влил в бак 60 литров бензина. После прохождения всего пути осталось 6 литров. Сколько бензина израсходовал водитель?

Нам известно количество влитого бензина (60), количество израсходованного неизвестно (х), известен остаток 6 литров. Если из влитого бензина, вычесть израсходованный, то получим оставшийся. Составим уравнение:

60-х=6.

Для решения уравнений с неизвестным вычитаемым, используют правило:

Определить числовое значение искомого вычитаемого, можно отняв от уменьшаемого разность.

Применив правило, получаем:

60-х=6;

х=60-6;

х=54;

60-54=6;

       6=6.

Водитель использовал 54 литра бензина.

Вычисление неизвестной составляющей в равенствах с умножением

Мама купила 10 килограммов картофеля. За покупку заплатила 240 рублей. Найдите цену 1 кг.картофеля.

Нам известно количество купленного картофеля (10), цена за 1 кг не известна (х), так же известна стоимость покупки (240). Если стоимость 1 кг картофеля мы умножим на количество кг.купленного картофеля, то получим стоимость покупки. Составим уравнение:

y× 10 =240.

Найти подходящее, искомое значение будет легче, если вы запомните простое правило:

Найти подходящее значение искомому множителю, можно разделив произведение на известный множитель.

Применив правило, получаем:

y× 10 =240;

y=240:10;

y=24.

24× 10 =240;

     240=240.

Цена 1 кг картофеля составляет 24 рубля.

Нахождение неизвестного компонента в уравнениях с делением

На поле собрали 300 кг томатов. Их разложили в ящики по 20кг в каждом. Сколько получилось ящиков?

Нам известен общий вес помидоров(300), количество ящиков мы не знаем(х), известен вес каждого ящика(20).Если общий вес помидоров разделить на количество ящиков, то получим вес одного ящика. Составим уравнение:

300:х=20.

Чтобы решать уравнения с неизвестным делителем, необходимо пользоваться правилом:

Определить соответствующее значение искомого делителя, можно разделив делимое на частное.

Применим правило к данному уравнению:

300:х=20;

х=300:20;

х=15.

300:15=20;

       20=20.

Все томаты разложили в 15 ящиков.

Рассмотрим еще одну задачу.

Добытый на шахте уголь погрузили в 25 вагонов по 10 тонн в один вагон. Какое количество угля добыли на шахте?

Общий вес добытого угля нам неизвестен(х), но известно количество вагонов(25), и вес угля в каждом вагоне (10).Если общий вес угля мы разделим на количество вагонов, то получим вес одного вагона. Составим уравнение:

х:25=10.

Упростить вычисление математического равенства с искомой составляющей можно следующим образом:

Вычислить, числовое значение искомого делимого можно умножив делитель на частное.

Найдем число, соответствующее искомой составляющей:

х:25=10;

х=25×10;

х=250.

250:25=10;

       10=10.

Значит, вес добытого угля равен 250 тоннам.

Постарайтесь запомнить эти способы нахождения искомой составляющей, и тогда любое математическое равенство вызовет у вас только интерес, а чувство беспомощности останется в прошлом!

Минутка истории

1. Научно доказано, в Древнем Вавилоне более 2000 лет до нашей эры люди уже с легкостью решали математические равенства с искомой составляющей.
2. Древние индийцы,в 499 году устраивали массовые состязания на вычисление математических заданий путем составления математических равенств с искомой составляющей.
3. Задания, которые сегодня принято вычислять, применяя равенство с искомой составляющей, в Древней Греции, с легкостью высчитывали с использованием линейки (без нанесенных делений) и циркуля.

Простые уравнения на умножение и деление. 2 класс.

Большие затруднения для младшего школьника вызывает умение решать данный вид уравнений.

Мы уже знаем, что простые уравнения – это равенства, где есть одна переменная (неизвестное число).

Во 2 классе дети учатся решать простые уравнения на умножение и деление (5 • х = 10, х: 3 = 12, 12 : х = 4)
Для решения этих уравнений правила о части и целом использовать нельзя, потому что второй множитель (х • 3 = 12) — это не часть, а число равных частей, на которое разбили целое.

Сегодня мы рассмотрим несколько вариантов решения:

1. Как никогда не путаться в выборе действий.

Если вы видите уравнение х: 4 = 8 и сомневаетесь, нужно х = 8 • 4 или х = 8 : 4, поступайте так: пишите на черновике простой пример на то действие, которое хочет вас запутать. Действие у нас – деление. Давайте напишем 6 : 2 = 3 и закроем число, которое в нашем уравнении неизвестно — это первое число, значит, закрываем число 6. И как шестерку найти, имея 2 и 3? Надо – перемножить тройку с двойкой. Значит, и в нашем уравнении нужно перемножать числа, но никак не делить:

Этот способ выручает, когда мы решаем вот такие уравнения: 4857 + у = 10208.
Большие числа часто пугают, а они живут по тем же законам, что и маленькие числа. Поэтому пишем, например 4 + 1 = 5. И закрываем число 1. Чтобы его найти, нужно из 5-и вычесть 1. Значит, 10208 – 4857:
у = 10208 — 4857
у = 5351

2. Зная правила нахождения стороны и площади прямоугольника.

3. Используя взаимосвязи между компонентами действий.

Этот способ необходим при ответе у доски.
Ученики младших классов обязаны овладеть математической речью, а для этого нужно знать, как называются компоненты при различных действиях:
Слагаемое, слагаемое, сумма.

Уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Множитель, множитель, произведение.

Делимое, делитель, частное.

Например, в решении уравнения x • 3 = 6 объясняем так: чтобы найти первый множитель, надо значение произведения разделить на второй множитель.

В уравнении неизвестно слагаемое:

чтобы найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое:

4. Использование памятки:

х + 6 = 124 х – 3 = 71 х × 3 = 183 х : 2 = 15	Если переменная х находится вначале уравнения, то находи ее действием, противоположным тому, что в уравнении. То есть для сложения – вычитанием и наоборот. Для умножения – делением и наоборот.
12 + х = 138 146 – х = 59 30 × х = 3000 500 : х = 4	Если х находится посередине уравнения, то или вычитай, или дели.

Использовать памятку – самый простой и легкий способ решать простые уравнения правильно.

Данная памятка – результат многолетней работы в школе.

Поэтому вы можете ее скачать, распечатать и постоянно ей пользоваться.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.9 / 5. Количество оценок: 75

Решение уравнений вида х : 6 = 18 – 5 и 48 : х = 92 : 46

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим решение уравнений с неизвестным делимым и неизвестным делителем. Повторим, что такое уравнение и что такое «решить уравнение». Вспомним компоненты деления и их связи между собой. Решим несколько уравнений на нахождение неизвестного делимого и нахождение неизвестного делителя.

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Готовиться с нами – ЛЕГКО!

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Определение

Рассмотрим произвольное уравнение вида

[a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0=0 qquad qquad (1)]

где (a_n, a_,dots,a_0) – некоторые числа, причем (a_nne 0) , называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) (n) -ой степени.

Обозначим (P_n(x)=a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0) . Таким образом, сокращенно уравнение ((1)) можно записать в виде (P_n(x)=0) .

Замечание

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна (2) , а линейное — степень которого равна (1) .
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

Теорема

Если уравнение ((1)) имеет корень (x=x_0) , то оно равносильно уравнению

где (P_(x)) – некоторый многочлен степени (n-1) .

Для того, чтобы найти (P_(x)) , необходимо найти частное от деления многочлена (P_n(x)) на ((x-x_0))
(т.к. (P_n(x)=(x-x_0)cdot P_(x)) ).

Следствие: количество корней уравнения

Любое алгебраическое уравнение степени (n) может иметь не более (n) корней.

Замечание

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

Пример

Известно, что (x=2) является корнем уравнения (2x^3-9x^2+x^4-x+6=0) . Найдите частное от деления (2x^3-9x^2+x^4-x+6) на (x-2) .

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала (x^4) , затем (2x^3) и т.д.
Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.
Т.к. делитель (x-2) состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

Посмотрим, на что необходимо домножить (x-2) , чтобы после вычитания из (x^4+2x^3) полученного многочлена уничтожилось слагаемое (x^4,) .
На (x^3) . Тогда после вычитания (x^4+2x^3-x^3(x-2)) останется (4x^3) . Снесем слагаемое (-9x^2) :

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить (x-2) , чтобы после вычитания из (4x^3-9x^2) полученного многочлена уничтожилось слагаемое (4x^3) .
На (4x^2) : (quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2) .
Опять снесем следующее слагаемое (-x) :

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть (-x)

Четвертое слагаемое в частном должно быть (-3) :

Таким образом, можно сказать, что (x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)) .

Замечание

1) Если (x=x_0) действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть (0) . В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен (0) ) на (x+a) , то он также будет делиться без остатка на (c(x+a)) для любого числа (cne 0) . Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на (2x-4) , то получили бы в частном (frac12 x^3+2x^2-frac12x-frac32) .
Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим (10) на (2) , то получим (5) ; а если разделим (10) на (3cdot 2) , то получим (frac53) .

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения (x^4+2x^3-9x^2-x+6=0) , необходимо найти корни уравнения (x^3+4x^2-x-3=0) .
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

Теорема

Если число (x=1) является корнем уравнения ((1)) , то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

Доказательство

Действительно, так как (x=1) является корнем уравнения ((1)) , то после подстановки (x=1) в него мы получим верное равенство. Так как (1) в любой степени равен (1) , то слева мы действительно получим сумму коэффициентов (a_i) , которая будет равна нулю.

Пример

У уравнения (x^2-6x+5=0) сумма коэффициентов равна нулю: (1-6+5=0) . Следовательно, (x=1) является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: (1^2-6cdot 1+5=0quadLeftrightarrowquad 0=0) .

Теорема

Если число (x=-1) является корнем уравнения ((1)) , то сумма коэффициентов при четных степенях (x) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях (x) .

Доказательство

1) Пусть (n) – четное. Подставим (x=-1) :

(a_ncdot (-1)^n+a_cdot (-1)^+a_cdot (-1)^+dots+a_1cdot (-1)+a_0=0 quadRightarrow) (a_n-a_+a_-dots-a_1+a_0=0 quad Rightarrow) (a_n+a_+dots+a_0=a_+a_+dots+a_1)

2) Случай, когда (n) – нечетное, доказывается аналогично.

Пример

В уравнении (x^3+2x^2-8x+5=0) сумма коэффициентов равна нулю:

Значит, число (x=1) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик (x^3+2x^2-8x+5) на (x-1) :

[begin x^3+2x^2-8x+5&&negthickspaceunderline<qquad x-1 qquad>\ underline phantom<00000000>&&negthickspace quad x^2 + 3x -5\[-3pt] 3x^2 – 8x,phantom<000>&&\ underline<3x^2 – 3x,>phantom<000>&&\[-3pt] -5x + 5&&\ underline<-5x +5>&&\[-3pt] 0&&\ end]

Таким образом, (x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)) . Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения (x^2+3x-5=0) .

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

Пример

В уравнении (x^3-x^2+x+3=0) сумма коэффициентов при четных степенях (-1+3=2) , а при нечетных: (1+1=2) . Таким образом, число (x=-1) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик (x^3-x^2+x+3) на (x+1) :

[begin x^3-,x^2+ x+3phantom<0>&&negthickspaceunderline<qquad x+1 qquad>\ underline phantom<00000000>&&negthickspace quad x^2 -2x +3\[-3pt] -2x^2 + xphantom<0000>&&\ underline<-2x^2 -! 2x>,phantom<000>&&\[-3pt] 3x + 3&&\ underline<3x +3>&&\[-3pt] 0&&\ end]

Таким образом, (x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 – 2x +3)) . Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения (x^2-2x+3=0) .
Но это уравнение не имеет корней ( (D ), значит, исходное уравнение имеет всего один корень (x=-1) .

Замечание

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

Теорема

Если алгебраическое уравнение

[a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0=0,] где (a_n, dots, a_0) — целые числа,
имеет рациональный корень (x=dfrac pq) , то число (p) является делителем свободного члена (a_0) , а число (q) — делителем старшего коэффициента (a_n) .

Пример

Рассмотрим уравнение (2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0) .

В данном случае (a_0=-3, a_n=2) . Делители числа (-3) — это (pm 1, pm 3) . Делители числа (2) – это (pm 1, pm 2) . Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

[pm 1, pm dfrac12, pm 3, pmdfrac32]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что (pm1) не являются корнями. Подставив (x=-dfrac12) в уравнение, получим:

[2cdot dfrac1<16>+5cdot dfrac18-dfrac 14+5cdot dfrac12-3=0 quad Leftrightarrow quad 0=0]

Значит, число (x=-frac12) является корнем уравнения.

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения (x=3) . Значит, уравнение можно представить в виде

[left(x+frac12right)(x-3)cdot Q_2(x)=0 quad text<или>quad (2x+1)(x-3)cdot P_2(x)=0] (тогда (P_2(x)=frac12 Q_2(x)) ). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

После деления в столбик (2x^4-5x^3-x^2-5x-3) на ((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3) :

получим, что (P_2(x)=x^2+1) . Данный многочлен не имеет корней, значит, уравнение имеет только два корня: (x=-frac12) и (x=3) .

Замечание

Заметим, что если, пользуясь предыдущей схемой, не удалось подобрать рациональный корень уравнения, это вовсе не значит, что уравнение не имеет корней.
Например, уравнение (x^3-2=0) имеет корень — это (x=sqrt[3]2) , и он не рациональный.
Для подбора иррациональных корней не существует универсального алгоритма.

Пример

Найдите корни уравнения (4x^3-3x^2-frac<23>6x-1=0) .

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при (x) равен (-frac<23>6) ). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на (6) :

[24x^3-18x^2-23x-6=0]
Делители свободного члена: (pm 1, pm 2, pm 3, pm 6) .
Делители старшего коэффициента: (pm 1, pm 2, pm 3, pm4, pm 6, pm 8, pm 12, pm 24) .
Получилось достаточно много (:))
Выпишем некоторые возможные рациональные корни уравнения:

[pm 1, pm dfrac12, pm dfrac13, pm dfrac 16, pmdfrac18, pm2, pmdfrac23, pm dfrac14, pm3quad text<small<и т.д.>>]

Перебирая варианты, убеждаемся, что (frac32) подходит. Значит, многочлен (24x^3-18x^2-23x-6) должен без остатка поделиться на (x-frac32) . Для удобства разделим на (2(x-frac32)=2x-3) (чтобы не работать с дробями):

Таким образом, (24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)) . Уравнение (12x^2 +9x +2=0) в свою очередь корней не имеет. Значит, (x=frac32) – единственный корень исходного уравнения.

Теорема

Любой многочлен (P_n(x)=a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0) можно разложить на произведение множителей: линейных ( (ax+b, ane 0) ) и квадратичных ( (cx^2+px+q, cne 0) ) с отрицательным дискриминантом.

Следствие

Кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

Замечание

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше (4) .

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, – на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

[spoiler title=”источники:”]

http://interneturok.ru/lesson/matematika/4-klass/reshenie-uravneniy/reshenie-uravneniy-vida-h-6-18-5-i-48-h-92-46

http://shkolkovo.net/theory/kubicheskie_uravneniya_metod_deleniya_v_stolbik_algebraicheskie_uravneniya_stepeni_n_primery

[/spoiler]

Множитель,
множитель, произведение. Делимое, делитель, частное.

Привет,
ребята!

Сегодня
у нас непростой урок, ведь нам предстоит разобраться, как находить неизвестные: множитель, делимое или делитель.
А для чего это надо уметь? Догадались? Ну конечно для того, чтобы уверенно решать
уравнения! И мы, конечно же, решим несколько уравнений. Но прежде надо
кое-что вспомнить.

Я предлагаю вам посмотреть на буквенную запись
действия умножения.

А и Б в этой записи являются множителями,
Ц – произведением. Понятно, что произведение мы получаем
действием умножения. Это – целое, то есть наибольшее число. А вот множители
являются частями. Значит, их мы находим обратным действием, делением.

То есть, если нужно найти неизвестный
множитель, мы произведение делим на известный множитель.

А теперь посмотрим на буквенную запись деления:

Обычно, целое можно разделить на части. Поэтому
К, делимое, является целым, а М и Н – это части. И, естественно, что целое мы находим
умножением. Поэтому, если надо найти неизвестное делимое, мы
перемножаем делитель с частным.

А вот делитель является частью. И, если надо найти
неизвестный делитель, то его мы найдём, разделив делимое на частное.

Ну а теперь пришло время решать уравнения.
Давайте разберём вот это уравнение:

х · 9 = 126 : 2

Посмотрите, это у нас осложнённое уравнение.
Поэтому, прежде всего, надо его упростить, то есть, выполнить действие в правой
части уравнения. Сто двадцать шесть разделить на два равно шестьдесят три. Переписываем
уравнение, заменив действие деления на его результат. Здесь надо найти
неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, мы
произведение делим на известный множитель.

Шестьдесят
три делим на девять, получается семь.

х
· 9 = 63

х
= 63 : 9

х
= 7

7
· 9 = 126 : 2

63
= 63

Не
забываем выполнить проверку уравнения. Сначала переписываем его, заменив икс на
его значение, которое мы получили – семь. Семью девять – шестьдесят три. Сто
двадцать шесть разделить на два – шестьдесят три. Левая и правая части
уравнения равны, значит, уравнение решено верно. Решаем следующее уравнение:  

х
: 7 = 15 · 4

Упрощаем:

х
: 7 = 60

х
= 60 · 7   

х
= 420

Неизвестное
делимое находим умножением.

Проверяем.

420
: 7 = 15 · 4

60
= 60

Ну, а следующее уравнение я предлагаю вам решить
самостоятельно.

360 : х = 96 + 24

Какой компонент здесь надо найти? Неизвестный
делитель. А его мы находим

делением.

Проверьте,
ребята, так ли решено у вас уравнение?

360
: х = 90

х
= 360 : 90

х
= 4

360
: 4 = 66 + 24

90
= 90

Видите,
как помогает при решении уравнений знание
правил.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный
множитель.

Чтобы
найти неизвестное делимое, надо делитель
умножить на частное.

Чтобы
найти неизвестный делитель, надо делимое
разделить на частное.

Выучите
их, ребята, и не забывайте пользоваться при решении уравнений. Пока! До новых
встреч!