Как найти неизвестное вычитаемое с примером

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике для начальной школы
4. Вычитание

Советуем посмотреть:

Табличное вычитание

Письменное вычитание в столбик

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 39. ПР 2. Вариант 2,
Волкова, Проверочные работы

Страница 103,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 27,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 32. Урок 21,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страницы 38. Урок 20,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 40. Урок 21,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 55. Урок 28,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 58. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 70. Урок 36,
Петерсон, Учебник, часть 3

2 класс

Страница 65,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 87,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 89,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 24. Тест 1. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 24,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 44,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 9,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 11,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 31. Урок 12,
Петерсон, Учебник, часть 2

3 класс

Страница 4,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 22,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 42,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 24,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 34,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 51,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 98,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 52,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 13. Урок 4,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 73. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3

4 класс

Страница 63,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 73,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 90,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 82. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 84. Тест 3. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 85. Тест 3. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 13,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 51,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 91,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4+x=9,x=9−4,x=5.

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

Математика, 3 класс

Урок № 3.Решение уравнений с неизвестным уменьшаемым.

Решение уравнений с неизвестным вычитаемым

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– Что такое уравнение?

– Как найти неизвестное уменьшаемое?

– Как найти неизвестное вычитаемое?

Глоссарий по теме:

Уравнение – равенство с неизвестным.

Уменьшаемое – компонент вычитания. Число, из которого производят вычитание.

Вычитаемое – компонент вычитания. Число, с помощью которого вычитают.

Разность – результат вычитания.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 8-9.
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 7.
3. М. И. Моро, С. И. Волкова. Для тех, кто любит математику 3 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.; Просвещение, 2018. – с. 4-6.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим группы уравнений. Чем они отличаются?

В первой группе записана сумма чисел. Неизвестный компонент в уравнениях – слагаемое.

Вспомним: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. В первом уравнение х = 29; во втором – х = 23.

Во второй группе уравнений записана разность чисел. Компоненты вычитания: уменьшаемое, вычитаемое. Результат вычитания – разность. Неизвестным в уравнениях может быть уменьшаемое или вычитаемое.

Рассмотрим рисунок и составим равенства

8 – 6 = 2 2 + 6 = 8 8 – 2 = 6

Вывод: если к разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое.

Это правило позволит решать уравнения, в которых неизвестное число – уменьшаемое.

Вывод: если из уменьшаемого вычесть разность, то получим вычитаемое.

Это правило позволит решать уравнения, в которых неизвестное число – вычитаемое.

При решении любого уравнения обязательно пользуемся алгоритмом решения уравнения.

Алгоритм:

1. Прочитать уравнение и определить компоненты действий;
2. Определить неизвестный компонент;
3. Вспомнить правило для его нахождения;
4. Применить это правило;
5. Выполнить вычисления;
6. Записать ответ;
7. Выполнить проверку правильности решения.

Применим знания в решении уравнений.

Х – 36 = 40

В уравнение неизвестно уменьшаемое. Вспоминаем правило: чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Применяем правило и вычисляем.

Х = 40 + 36

Х = 76

Необходимо выполнить проверку.

76 – 36 = 40

Производим вычисления в левой части равенства.

40 = 40

Уравнение решено верно.

Решим следующее уравнение.

82 – х = 5

В уравнение неизвестно вычитаемое. Вспоминаем правило для его нахождения: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Применяем правило и производим вычисление.

Х = 82 – 5

Х = 77

Выполняем проверку.

82 – 77 = 5

5 = 5

Выполним тренировочные задания.

1. Выберите значения х, которые получатся при решении уравнения:

Х – 28 = 40

Х = 16;

Х = 68;

Х = 12.

Правильный ответ:

Х = 68.

2. Образуйте пары: компоненты вычитания – их названия. Соедините линиями.

Правильный ответ:

В последнее время Интернет просто ломится от желающих поделиться секретами простого обучения школьников любого возраста. Больше достаётся малышам. Один советует не учить таблицу умножения, а выполнять умножение многозначных чисел диковинным японским способом — при помощи подсчёта точек пересечения прямых.

При этом советующий не думает о последствиях, ведь надо будет учить не только умножению, но и делению, где используется умножение, а также действиям с обыкновенными и десятичными дробями.

https://zen.yandex.ru/media/shevkin/tablica-umnojeniia-bolshe-ne-nujna-5f8dee7cb5e4d5370eefe9f6

Второй предлагает складывать и вычитать обыкновенные дроби по правилу «бабочки».

И при этом не задумывается о громоздкости вычислений даже в простом примере: 5/36 + 7/72.

https://zen.yandex.ru/media/tehno_chtivo/genialnyi-metod-slojeniia-drobei-i-ego-podvodnye-kamni-5f5f94295622142b93db0f92

Разумеется, я прокомментировал и это предложение. Критикуя, предложил, как надо учить сложению и вычитанию дробей самым традиционным способом — без лайфхаков, вызывающих у читателей этих лайфхаков оглушительные восторги.

https://zen.yandex.ru/media/shevkin/sovet-protiv-laifhaka-5f5a36b98279b40946603e1a

Про ролик, прославивший молодого учителя миллионными просмотрами, написала МК (10.09.2020) и блогер, указавший на “подводные камни” метода на примере 4/6 + 2/12 = 60/72. Блогер решил задачу проще: 4/6 + 2/12 = 10/12, но не заметил ещё более простого решения: 4/6 + 2/12 = 4/6 + 1/6 = 5/6.

Хорошо, что у него были внимательные читатели. Вот и решайте, чему надо учить: тупо применять единственный алгоритм, показанный учителем, или учить анализировать ситуацию и поступать по ситуации.

На днях я прочитал на Дзене предложение некоей KUMONo-мамы об упрощении запоминания правил нахождения уменьшаемого и вычитаемого. Вот начало статьи Как находить уменьшаемое и вычитаемое — Простая техника запоминания для малышей.

«Ваши первоклашки уравнения уже решают по Петерсон? Ну второклашки-то уж точно!

Малыши, не знакомые с отрицательными числами, решают уравнения, запоминая адские правила про «сложить разность и вычитаемое».

Ага, осталось только запомнить, что из них что…

Я, кстати, в школе была отличницей и прекрасно знала математику… и до сих пор помню, как чудовищно сложно (и, главное, в 1-2 классе непонятно, ради чего) было запомнить эти слова: вычитаемое, уменьшаемое…»

https://zen.yandex.ru/media/kumon/kak-nahodit-umenshaemoe-i-vychitaemoe-prostaia-tehnika-zapominaniia-dlia-malyshei-5f85864fa144c35a271d1920

Итак, мама видит проблему в том, что ребёнку, не знающему отрицательных чисел, трудно запомнить термины «уменьшаемое» и «вычитаемое». Она старается помочь, называя уменьшаемое, вычитаемое и разность одинаково — «числа».

Неужели так сложно донести до ребёнка, наученного вычитать, что при вычитании первое число уменьшается, его называют уменьшаемое? Это надо делать обязательно, так как развитие понятийного мышления, если хотите, научного мышления, предполагает использования терминов для обозначения изучаемых объектов. Станет ли ребёнку легче учиться, если мы избавим его от заучивания двух терминов из десяти, используемых для обозначения компонентов арифметических действий? Ребёнок и дальше будет обходиться без терминологии и называть словом «числа» каждое из чисел в следующих равенствах?

4 + 3 = 7
6 – 1 = 5
3 ∙ 2 = 6
8 : 4 = 2

Без терминов, которыми советчица пользуется, ребёнку станет легче выражать свои мысли и описывать свои действия? Чем же именно? Или термины знать всё-таки надо, но трудно запомнить, какое действие надо выполнить при поиске неизвестного компонента?

Раскрою секрет: обсуждаемые здесь термины гораздо важнее для развития речи и мышления школьника, чем для изучения математики, так как в старших классах эти правила уже не используются. Там говорят о переносе слагаемого в другую часть уравнения с противоположным знаком, о прибавлении к двум частям уравнения одного и того же числа, об умножении (делении) обеих частей уравнения на одно и то же число. Очевидно, что с этого нельзя начинать в начальной школе. А вот приучать малыша использовать речевые «шаблоны»: «чтобы найти… надо…» полезно именно для развития речи и мышления обучаемого.

В чём суть предложения KUMONo-мамы? Она записывает на листке уравнение х – 6 = 22 «на нахождение уменьшаемого», далее пишет: «Скажите ребенку, что числа стоят рядышком — так просто представить, что они ВМЕСТЕ, так и просят сложиться, чтобы стать ещё поближе друг к другу».

Интересный аргумент! А в уравнении x ∙ 2 = 6 числа 2 и 6 стоят так же близко. Они тоже будут просить сложиться? Ведь основание для выбора действия (они близко) одно и то же. А вот и рисунок, советующий ребёнку действие, а под ним умилительная запись с использованием тех самых терминов, которые детям трудно запомнить.

Что из этого поймёт ребёнок ещё вопрос, и поймёт ли?

Ещё изобретательнее KUMONo-мама объясняет нахождение вычитаемого. Она пишет на листке уравнение 12 – x = 7 «на нахождение вычитаемого». Далее пишет: «Предложите ребенку представить, что минус пытается выыыытянуться и дотянуться до ближайшего числа:

Теперь можно вычесть и получить вычитаемое.

Осталось только запомнить, как искать слагаемые. Если знаете такие же техники про них — обязательно напишите в комментариях».

Наша советчица ещё не придумала, как объяснять поиск неизвестного слагаемого. А там ещё неизвестные множители, делимое и делитель…

Но ещё больше, чем советы блогерши, меня огорчили «лайки» и восторги читателей.

Я оставил краткий комментарий: «Прекрасные примеры того, как не надо учить детей. Пытаясь придумать про “рядышком” и “выыыытянуть” автор хочет дать детям какой-то рецепт, никак не связанный с математикой. Не проще ли показывать связь операций на очевидных примерах?

1 + 2 = 3.

Накроем пальцем (монеткой…) первое слагаемое:

x + 2 = 3.

Каким действием можно найти спрятанное слагаемое?

И вопреки мнению автора, надо формулировать: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Также со вторым слагаемым, уменьшаемым,… всего шесть правил. Это и развитие речи, и развитие наблюдательности, умения замечать закономерности».

Развиваю мысль. В начале 80-х годов прошлого века я недолго увлекался идеей использования опорных конспектов (В.Ф. Шаталов). В 5 классе у меня был такой опорный конспект, возникавший в процессе работы с классом.

Глядя на него, ребята лучше запоминали упомянутые выше термины (первая буква термина стоит над числом), а также действия, с помощью которых находится неизвестная компонента (знак действия под числом). Ребята на отметку сдавали мне зачёт — формулировали каждое правило и приводили пример на его применение, я уточнял: а как называется это число, а это? Первые сдавшие зачёт увлечённо и строго экзаменовали одноклассников…

Может быть, и в начальной школе стоит попробовать применить этот опорный конспект? Только надо двигаться постепенно. Изучили сложение и вычитание — учим правила нахождения неизвестных слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.

Вместо заключения. Говорят, что лечить и учить умеет каждый. Не знаю, как насчёт лечить, но желающих учить — хоть отбавляй. Это явление, к сожалению, подстёгивают наши «учёные», твердящие из каждого утюга: «учитель утратил монополию на знание». Ну и чего хорошего мы дождёмся от этой утраты? От появления новых непрофессиональных желающих “сеять разумное, доброе, вечное”? Чему радуемся? Много ли пользы получим от непрофессионалов?