Как найти неизвестную часть в треугольнике - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

Найти все стороны треугольника.
Найти все углы треугольника.
Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
Найти радиус (r) вписанной окружности.
Найти радиус (R) описанной окружности.
Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Три стороны треугольника.
Две стороны треугольника и угол между ними.
Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://poschitat.online/storony-pryamougolnogo-treugolnika

[/spoiler]

Источник

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a, b, c – стороны произвольного треугольника

α, β, γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a, b – катеты

c – гипотенуза

α, β – острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы для катета, (b):

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины равных сторон , (a):

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β, γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр – точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H – высота из прямого угла

a, b – катеты

с – гипотенуза

c₁, c₂ – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β – углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

L– биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b – стороны треугольника

с – сторона на которую опущена биссектриса

d, e – отрезки полученные делением биссектрисы

γ – угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L – биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b – катеты прямоугольного треугольника

с – гипотенуза

α – угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L – биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b – катеты прямоугольного треугольника

с – гипотенуза

α, β – углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

L – высота = биссектриса = медиана

a – одинаковые стороны треугольника

b – основание

α – равные углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L – высота=биссектриса=медиана

a – сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Медиана – отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M – медиана, отрезок |AO|

c – сторона на которую ложится медиана

a, b – стороны треугольника

γ – угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M – медиана

R – радиус описанной окружности

O – центр описанной окружности

с – гипотенуза

a, b – катеты

α – острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Формула длины через катеты, (M):

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):

длины катетов a и b
длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

для катета:

длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b²

следовательно: c = √a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

c = ^a/_cos(β) = ^b/_cos(α)

Пример

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

c = ^a/_sin(α) = ^b/_sin(β)

Пример

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

См. также

Источник

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным^[1]. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников[править | править код]

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника^[2] общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон a,b,c ) и 3 угловые (). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная^[3].

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов^[4]:

три стороны;
две стороны и угол между ними;
две стороны и угол напротив одной из них;
сторона и два прилежащих угла;
сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы[править | править код]

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников^[5]:

Теорема косинусов: ${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }$; ${displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }$; ${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }$
Теорема синусов: ${frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}$
Сумма углов треугольника: $alpha +beta +gamma =180^{circ }$

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания[править | править код]

Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус^[6]. Например, если то угол может быть как $30^{circ }$ , так и $150^{circ }$ , потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от $0^{circ }$ до $180^{circ }$ значение косинуса определяет угол однозначно.
При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем $180^{circ }$ .

Три стороны[править | править код]

Пусть заданы длины всех трёх сторон a,b,c . Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

{displaystyle a<b+c,quad b<a+c,quad c<a+b.}

Чтобы найти углы , надо воспользоваться теоремой косинусов^[7]:

${displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},quad beta =arccos {frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}$

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна ${displaystyle 180^{circ }colon }$

${displaystyle gamma =180^{circ }-(alpha +beta ).}$

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть для определённости известны длины сторон a,b и угол gamma между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны применяется теорема косинусов^[8]:

${displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}.}$

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

${displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=arccos {frac {b-acos gamma }{sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}}.}$

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: $beta =180^{circ }-alpha -gamma$ .

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них[править | править код]

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны b,c и угол beta . Тогда уравнение для угла gamma находится из теоремы синусов^[9]:

${displaystyle sin gamma ={frac {c}{b}}sin beta .}$

Для краткости обозначим ${displaystyle D={frac {c}{b}}sin beta }$ (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D^[10]^[11].

Задача не имеет решения (сторона «не достаёт» до линии ) в двух случаях: если или если угол $beta geqslant 90^{circ }$ и при этом
Если существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: ${displaystyle gamma =arcsin D=90^{circ }.}$

Если то возможны 2 варианта.
1. Если , то угол имеет два возможных значения: острый угол и тупой угол ${displaystyle gamma '=180^{circ }-gamma }$ . На рисунке справа первому значению соответствуют точка , сторона и угол , а второму значению — точка , сторона и угол .
2. Если , то (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для исключён и решение единственно.

Третий угол определяется по формуле ${displaystyle alpha =180^{circ }-beta -gamma }$ . Третью сторону можно найти по теореме синусов:

$a=b {frac {sin alpha }{sin beta }}$

В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла[править | править код]

Пусть задана сторона и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше $180^{circ }$ . В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы , то ${displaystyle gamma =180^{circ }-alpha -beta }$ . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов^[12]:

${displaystyle a=c {frac {sin alpha }{sin gamma }},quad b=c {frac {sin beta }{sin gamma }}.}$

Решение прямоугольных треугольников[править | править код]

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

два катета;
катет и гипотенуза;
катет и прилежащий острый угол;
катет и противолежащий острый угол;
гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой , гипотенузу — . Катеты обозначаются и , а величины противолежащих им углов — alpha и beta соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

и определения основных тригонометрических функций:

$sin alpha =cos beta ={frac {a}{c}},quad cos alpha =sin beta ={frac {b}{c}},$

${displaystyle operatorname {tg} alpha =operatorname {ctg} beta ={frac {a}{b}},quad operatorname {ctg} alpha =operatorname {tg} beta ={frac {b}{a}}.}$

Ясно также, что углы alpha и beta — острые, так как их сумма равна $90^{circ }$ . Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета[править | править код]

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

$c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

${displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {a}{b}},quad beta =operatorname {arctg} {frac {b}{a}}}$

или же по только что найденной гипотенузе:

$alpha =arcsin {frac {a}{c}}=arccos {frac {b}{c}},quad beta =arcsin {frac {b}{c}}=arccos {frac {a}{c}}.$

Катет и гипотенуза[править | править код]

Пусть известны катет и гипотенуза — тогда катет находится из теоремы Пифагора:

$a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}.$

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет и прилежащий к нему угол alpha .

Гипотенуза находится из соотношения

$c={frac {b}{cos alpha }}.$

Катет может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

Острый угол beta может быть найден как

$beta =90^{circ }-alpha .$

Катет и противолежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет и противолежащий ему угол beta .

Гипотенуза находится из соотношения

$c={frac {b}{sin beta }}.$

Катет и второй острый угол alpha могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол[править | править код]

Пусть известны гипотенуза и острый угол beta .

Острый угол alpha может быть найден как

$alpha =90^{circ }-beta .$

Катеты определяются из соотношений

Решение сферических треугольников[править | править код]

Стороны сферического треугольника a,b,c измеряют величиной опирающихся на них центральных углов

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника a,b,c принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера^[13] и формула половины стороны^[14].

Три стороны[править | править код]

Если даны (в угловых единицах) стороны a,b,c , то углы треугольника определяются из теоремы косинусов^[15]:

$alpha =arccos left({frac {cos a-cos b cos c}{sin b sin c}}right)$

$beta =arccos left({frac {cos b-cos c cos a}{sin c sin a}}right)$

$gamma =arccos left({frac {cos c-cos a cos b}{sin a sin b}}right)$

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны a,b и угол gamma между ними. Сторона находится по теореме косинусов^[15]:

c=arccos left(cos acos b+sin asin bcos gamma right)

Углы можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

${displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {2sin a}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(b+a)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(b-a)}},}$

${displaystyle beta =operatorname {arctg} {frac {2sin b}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(a+b)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(a-b)}}.}$

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны b,c и угол beta . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

{displaystyle b>arcsin(sin c,sin beta ).}

Угол gamma получается из теоремы синусов:

${displaystyle gamma =arcsin left({frac {sin c,sin beta }{sin b}}right).}$

Здесь, аналогично плоскому случаю, при b<c получаются два решения: gamma и ${displaystyle 180^{circ }-gamma }$ .

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера^[16]:

$a=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(b-c)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(beta +gamma )right)}{sin left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right)}}right}$

$alpha =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(b+c)right)}{sin left({frac {1}{2}}(b-c)right)}}right}$

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы[править | править код]

В этом варианте задана сторона и углы . Угол gamma определяется по теореме косинусов^[17]:

{displaystyle gamma =arccos(sin alpha sin beta cos c-cos alpha cos beta ).}

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

$a=operatorname {arctg} left{{frac {2sin alpha }{operatorname {ctg} (c/2)sin(beta +alpha )+operatorname {tg} (c/2)sin(beta -alpha )}}right}$

$b=operatorname {arctg} left{{frac {2sin beta }{operatorname {ctg} (c/2)sin(alpha +beta )+operatorname {tg} (c/2)sin(alpha -beta )}}right}$

или, если использовать вычисленный угол gamma , по теореме косинусов:

${displaystyle a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),}$

${displaystyle b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right).}$

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними[править | править код]

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона и углы . Сторона определяется по теореме синусов^[18]:

${displaystyle b=arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}$

Если угол для стороны острый и , существует второе решение:

${displaystyle b=pi -arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}$

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

${displaystyle c=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(a-b)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(alpha +beta )right)}{sin left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right)}}right}.}$

${displaystyle gamma =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(a+b)right)}{sin left({frac {1}{2}}(a-b)right)}}right}.}$

Три угла[править | править код]

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

$a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right)$

$b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right)$

$c=arccos left({frac {cos gamma +cos alpha cos beta }{sin alpha sin beta }}right)$

Другой вариант: использование формулы половины угла^[19].

Решение прямоугольных сферических треугольников[править | править код]

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол ) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений^[20]:

{displaystyle sin a=sin ccdot sin alpha =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} beta ,}

{displaystyle sin b=sin ccdot sin beta =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} alpha ,}

{displaystyle cos c=cos acdot cos b=operatorname {ctg} alpha cdot operatorname {ctg} beta ,}

{displaystyle operatorname {tg} a=sin bcdot operatorname {tg} alpha ,}

{displaystyle operatorname {tg} b=operatorname {tg} ccdot cos alpha ,}

{displaystyle cos alpha =cos acdot sin beta =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} c,}

{displaystyle cos beta =cos bcdot sin alpha =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} c.}

Вариации и обобщения[править | править код]

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

Примеры практического применения[править | править код]

Триангуляция[править | править код]

Чтобы определить расстояние от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние между которыми известно, и измерить углы alpha и beta между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника^[23]:

$d={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(alpha +beta )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} alpha +operatorname {tg} beta }},l$

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние^[23].

Другой пример: требуется измерить высоту горы или высокого здания. Известны углы наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии . Из формул того же варианта, что и выше, получается^[24]:

$h={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(beta -alpha )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} beta -operatorname {tg} alpha }},l$

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара[править | править код]

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре^[25]:

Точка

: широта $lambda _{mathrm {A} },$

долгота $L_{mathrm {A} },$

Точка

: широта $lambda _{mathrm {B} },$

долгота $L_{mathrm {B} },$

Для сферического треугольника ABC , где — северный полюс, известны следующие величины:

${displaystyle a=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {B} }}$

${displaystyle b=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {A} }}$

${displaystyle gamma =L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }}$

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

$mathrm {AB} =Rarccos left{sin lambda _{mathrm {A} },sin lambda _{mathrm {B} }+cos lambda _{mathrm {A} },cos lambda _{mathrm {B} },cos left(L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }right)right}$

где — радиус Земли.

История[править | править код]

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.^[26]

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии^[27]. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников^[28]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее^[29]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке^[30].

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков^[31]. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут^[1].

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных^[32].

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию^[33]. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов^[34]. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров^[35]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус^[36]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для . В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась^[37].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории^[38]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс^[36].

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века^[29]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника^[39]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения^[40].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году^[41]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам^[42]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10″^[43]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»^[44]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также[править | править код]

Признаки подобия треугольников
Площадь треугольника
Сферическая тригонометрия
Сферический треугольник
Триангуляция
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции
Формулы Мольвейде

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Выгодский М. Я., 1978, с. 266—268.
↑ Плоский треугольник иногда называют прямолинейным.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 487.
↑ Solving Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 июня 2019 года.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 488.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 133.
↑ Solving SSS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Solving SAS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Solving SSA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012). Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Выгодский М. Я., 1978, с. 294.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 493—496.
↑ Solving ASA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 87—90.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 102—104.
↑ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 545.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 121—128.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 115—121.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 128—133.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 104—108.
↑ Основные формулы физики, 1957, с. 14—15.
↑ Цейтен Г. Г., 1932, с. 223—224.
↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 126—127.
↑ ¹ ² Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260—261.
↑ Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260.
↑ Степанов Н. Н., 1948, с. 136—137.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
↑ ¹ ² Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
↑ История математики, том I, 1970, с. 143.
↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 366. — 456 с.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 25—27.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 33—36.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
↑ ¹ ² Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 79.
↑ Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 160. — 448 с.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 96—98.
↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
↑ Рыбников К. А., 1960, с. 105.
↑ История математики, том I, 1970, с. 320.
↑ Степанов Н. Н. § 42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87—90. — 154 с.

Литература[править | править код]

Теория и алгоритмы

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

История

Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
- История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.

Источник