Как найти неизвестный компонент при умножении

• Мне нравится 

Инфоурок

›

Начальные классы

›Другие методич. материалы›Памятка по математике. Как найти неизвестный компонент умножения.

Памятка по математике. Как найти неизвестный компонент умножения.

Множитель,
множитель, произведение. Делимое, делитель, частное.

Привет,
ребята!

Сегодня
у нас непростой урок, ведь нам предстоит разобраться, как находить неизвестные: множитель, делимое или делитель.
А для чего это надо уметь? Догадались? Ну конечно для того, чтобы уверенно решать
уравнения! И мы, конечно же, решим несколько уравнений. Но прежде надо
кое-что вспомнить.

Я предлагаю вам посмотреть на буквенную запись
действия умножения.

А и Б в этой записи являются множителями,
Ц – произведением. Понятно, что произведение мы получаем
действием умножения. Это – целое, то есть наибольшее число. А вот множители
являются частями. Значит, их мы находим обратным действием, делением.

То есть, если нужно найти неизвестный
множитель, мы произведение делим на известный множитель.

А теперь посмотрим на буквенную запись деления:

Обычно, целое можно разделить на части. Поэтому
К, делимое, является целым, а М и Н – это части. И, естественно, что целое мы находим
умножением. Поэтому, если надо найти неизвестное делимое, мы
перемножаем делитель с частным.

А вот делитель является частью. И, если надо найти
неизвестный делитель, то его мы найдём, разделив делимое на частное.

Ну а теперь пришло время решать уравнения.
Давайте разберём вот это уравнение:

х · 9 = 126 : 2

Посмотрите, это у нас осложнённое уравнение.
Поэтому, прежде всего, надо его упростить, то есть, выполнить действие в правой
части уравнения. Сто двадцать шесть разделить на два равно шестьдесят три. Переписываем
уравнение, заменив действие деления на его результат. Здесь надо найти
неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, мы
произведение делим на известный множитель.

Шестьдесят
три делим на девять, получается семь.

х
· 9 = 63

х
= 63 : 9

х
= 7

7
· 9 = 126 : 2

63
= 63

Не
забываем выполнить проверку уравнения. Сначала переписываем его, заменив икс на
его значение, которое мы получили – семь. Семью девять – шестьдесят три. Сто
двадцать шесть разделить на два – шестьдесят три. Левая и правая части
уравнения равны, значит, уравнение решено верно. Решаем следующее уравнение:  

х
: 7 = 15 · 4

Упрощаем:

х
: 7 = 60

х
= 60 · 7   

х
= 420

Неизвестное
делимое находим умножением.

Проверяем.

420
: 7 = 15 · 4

60
= 60

Ну, а следующее уравнение я предлагаю вам решить
самостоятельно.

360 : х = 96 + 24

Какой компонент здесь надо найти? Неизвестный
делитель. А его мы находим

делением.

Проверьте,
ребята, так ли решено у вас уравнение?

360
: х = 90

х
= 360 : 90

х
= 4

360
: 4 = 66 + 24

90
= 90

Видите,
как помогает при решении уравнений знание
правил.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный
множитель.

Чтобы
найти неизвестное делимое, надо делитель
умножить на частное.

Чтобы
найти неизвестный делитель, надо делимое
разделить на частное.

Выучите
их, ребята, и не забывайте пользоваться при решении уравнений. Пока! До новых
встреч!

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4+x=9,x=9−4,x=5.

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

Цели и задачи: продолжить формирование
навыков нахождения неизвестных компонентов
умножения и деления, уяснение взаимосвязи
умножения и деления. Развивать у учащихся умение
применять знания на практике, творческие
способности и приёмы быстрых вычислений.

Воспитывать положительное отношение к знаниям.

1. Организационный момент. (2 мин.)
   Постановка цели урока и мотивация учебной
   деятельности учащихся.
2. Устный счёт. (3 мин.)
3. Этап актуализации опорных знаний и умений
   учащихся. (4 мин.)
4. Этап формирование умений и знаний). (7 мин.)
5. Физминутка. (2 мин.)
6. Игра-сказка “Волшебное число”. (22 мин.)
7. Подведение итогов урока. (2 мин)
8. Рефлексия. (1 мин.)
9. Домашнее задание. (3 мин.)

1. Каждое из данных чисел разделите на 10, на 100, на
1000: 595 000; 370 000; 13 000; 907 000; 650 000.

2. Угадайте неизвестное число: 15 • а = 15 : а; х •
10 = х : 10.

3. Учебник № 228.

III. Актуализация знаний.

1. Используя данное равенство, найдите значения
двух следующих выражений:

Опорная схема:

Делимое : делитель = частное

Частное · делитель = делимое

делимое : частное = делитель

2. Найдите неизвестное число: а) 1190 : с = 34; б) b : 17 =
201. Как найти неизвестное делимое? делитель?

IV. Формирование умений и навыков.

1. Найдите неизвестное число, пользуясь приемом
“маленького примера”:

34 • х= 136 Учитель показывает прием на доске

х = 136: 34     2• 3 = 6

х = 4     3 = 6:2

2. Учебник, № 232 (в, е, и) (самостоятельно). Трое
учащихся выполняют задание на переносных досках.
Проверка выполнения.

Физкультминутка.

Положите голову на руки. Руки на парте. Закройте
глаза. Отдохните. А пока вы отдыхаете, я расскажу
вам сказку. В некотором царстве, в некотором
государстве жил-был Иван-царевич. Повстречал
Иван-царевич Елену Прекрасную. Они полюбили друг
друга. Но злой Кощей Бессмертный похитил Елену.
Иван-царевич взял верных воинов и поехал
выручать свою любимую. Вы отдохнули? Тогда
давайте поможем Ивану-царевичу.

1. Игра-сказка “Волшебное число”. Для
проведения игры можно использовать проектор.
Заранее подготовить рисунки по сюжету сказки.

Вышли Иван-Царевич и его спутники к реке, а там
огромный камень закрыл дорогу на мост. На камне
надписи:

81 • а = 162;     х • 18 = 360;
      12 • b= 2640.

Если правильно найти волшебное число, то камень
повернется и освободит дорогу. (С каждого ряда
вызывается по одному ученику, которые решают
уравнения. Остальные учащиеся решают на местах.)

Долго ехали они по лесу, пока дорога не привела
их к избушке Бабы-яги. Она давно враждовала с
Кощеем и согласилась помочь Ивану-царевичу, но
только в том случае, если его воины разгадают
волшебные числа, написанные на избушке:

х : 16 =30;    144 : а = 6;    b: 20=9.

(Работа проходит аналогично.)

Прощаясь с Иваном-царевичем, Баба-яга
рассказала ему о силе волшебных чисел: “Коль
нужно тебе запор отпереть или закрыть накрепко,
произнеси вслух волшебное число. Мигом
исполнится”. Черный ворон подслушал этот
разговор и рассказал обо всем Кощею. Тот
подстерег Ивана-царевича и его воинов, схватил их
и бросил в глубокое подземелье. Замкнул на шесть
замков.

Узники подземелья решают уравнения, написанные
на замках:

4 · а = 416;    32 · b = 6464;    33 · х; = 132.

Иван-царевич назвал волшебные числа. Двери
подземелья открылись. И стали воины перед
воротами Кощеева дворца, на которых написано: у +
12 705 : 121 =105.

Иван-царевич произнес волшебное число. Двери
подземелья открылись. Освободил он Елену
Прекрасную, и в тот же день сыграли свадьбу. Стали
они жить-поживать и добра наживать.

V. Домашнее задание. Учебник № 231 (а, б), 232 (а, б,
ж, з), 244 (а).

Презентация