Как найти нейтральный элемент матрицы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Тема: Найдите нейтральный элемент (Прочитано 3203 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Как найти нейтральный элемент для следующей операции *
х*у = ху+7х+7у+42

Знаю, что нейтральный элемент – это элемент Е удовлетворяющий условию А*Е=Е*А=А
Ну и как же найти этот нейтральный элемент?

« Последнее редактирование: 24 Мая 2011, 23:35:43 от NELL »

Не знаком с нейтральными элементами, но хорошо знаю алгебру. Чтобы выполнялось тождество, должно быть: 7х+7у+42=0 и, следовательно,
y=-x-6

За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

xy сокращаются и остается 7х+7у+42=0. Отсюда y=-x-6

За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

нееет! Вы не поняли.

В условии дается такая бинарная операция ” * ” (умножения), которая определяется выражением
х*у = ху+7х+7у+42

т.е. х * у – это не такое обычное умножение, а это операция, которая определяется этим вот большим выражением

« Последнее редактирование: 25 Мая 2011, 02:03:00 от NELL »

Тишина…

ex=e*x+7x+7e+42=x
e(x+7)=-42-6x
e = -(42+6x)/(x+7)
e = -6(x+7)/(x+7)
e = -6

Ого! Спасибо большое!

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 июля 2021 года; проверки требуют 3 правки.

Запрос «Единичный элемент» перенаправляется сюда; про элемент «1» в кольцах и алгебрах см. единица (алгебра).

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение[править | править код]

Пусть — множество с определённой на нём бинарной операцией « cdot ». Элемент ein M называется нейтральным относительно cdot (умножения), если

{displaystyle xcdot e=ecdot x=x,quad forall xin M}

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент ${displaystyle e_{mathrm {l} }}$ , для которого

${displaystyle e_{mathrm {l} }cdot x=x,quad forall xin M}$

и правый нейтральный элемент ${displaystyle e_{mathrm {r} }}$ , для которого

${displaystyle xcdot e_{mathrm {r} }=x,quad forall xin M}$

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент $e_{{{mathrm l}}}$ , и нейтральный справа элемент $e_{{{mathrm r}}}$ , то они обязаны совпадать (так как $e_{{{mathrm r}}}=e_{{{mathrm l}}}cdot e_{{{mathrm r}}}=e_{{{mathrm l}}}$ ).

Примеры[править | править код]

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	(сложение)	число 0
Вещественные числа	(умножение)	число 1
Вещественные числа	(вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	$a^{b}$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	(деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	(сложение векторов)	(нуль-вектор)
Матрицы размера	(матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера	(матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида	(композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	(минимум) или (инфимум)
Расширенная числовая прямая	(максимум) или (супремум)
Подмножества множества	(пересечение множеств)
Множества	(объединение множеств)	(пустое множество)
Исчисление высказываний	(конъюнкция)	(истина)
Исчисление высказываний	(дизъюнкция)	(ложь)

Терминология[править | править код]

В алгебре[править | править код]

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.

В теории решёток[править | править код]

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также[править | править код]

Поглощающий элемент
Обратный элемент
Моноид
Группа

Ссылки[править | править код]

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 “Нейтральные элементы”
http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity (рус.)
http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html (рус.)
https://brilliant.org/wiki/identity-element/ (англ.)
Weisstein, Eric W. “Identity Element.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource (англ.)

Источник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент ее называется регулярным справа относительно операции если для любых элементов b, с множества А из следует Элемент называется регулярным слева относительно Т, если для любых элементов b, с множества А из следует

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент называется регулярным относительно операции если он регулярен слева и справа относительно Т.

Таким образом, в случае регулярности элемента а в равенствах типа и возможно «сокращение» на а.

Примеры. 1. Всякое целое число регулярно относительно сложения.

2. Всякое целое число, отличное от нуля, регулярно относительно умножения; число нуль не регулярно относительно умножения.

ТЕОРЕМА 1.3. Если элементы а и b регулярны относительно ассоциативной операции Т, то их композиция также является регулярным элементом относительно

Доказательство. Пусть а и b — элементы, регулярные относительно Пусть с, d — элементы из А, удовлетворяющие условию

Поскольку операция Т ассоциативна, . В силу регулярности элемента а имеем Отсюда в силу регулярности элемента b следует равенство

Итак, для любых элементов с, d множества А из (1) следует (2), следовательно, элемент регулярен справа. Аналогично убеждаемся, что этот элемент регулярен слева.

Источник

Нейтральный элемент

Элемент eM
называется нейтральным
относительно рассматриваемой операции
,
если для любого
xM
выполняются равенства xe=x
и

ex
=x.

Относительно
сложения чисел нейтральным является
число 0, относительно сложения векторов
– нуль-вектор 0,
относительно сложения матриц – нулевая
матрица надлежащего размера (т.е. матрица,
заполненная нулями), относительно
умножения чисел – число 1, относительно
умножения квадратных матриц –
единичная матрица E
надлежащего порядка.

Имеются ли
нейтральные элементы относительно
операций НОД и НОК на множестве натуральных
чисел N?
Относительно НОД такого элемента нет
хотя бы потому, что НОД(x,y)min(x,y).
Относительно НОК нейтральным элементом
является 1, поскольку НОК(x,1)=x.

Относительно
векторного умножения 
нейтрального элемента нет.

Относительно
сложения многочленов нейтральным
элементом является нулевой многочлен,
относительно их умножения – многочлен
нулевой степени, константа 1. Относительно
композиции многочленов _
нейтральным элементом является
тождественная функция e(x)=x
(многочлен
степени 1).

В алгебре логики
нейтральным элементом относительно
конъюнкции 
является “истина “, т.е. 1, а относительно
дизъюнкции 
и XOR
– “ложь”, т.е. 0. Относительно
импликации 
нейтрального элемента нет.

Относительно
сложения по модулю n
нейтральным элементом является 0,
относительно умножения по модулю n
нейтральным элементом является 1.

Относительно
формальной операция 
на множестве
M={a,b,c},
заданной таблицей 1.4, нейтральным
элементом является a,
поскольку строка таблицы, соответствующая
этому элементу, совпадает с шапкой
таблицы, а столбец, соответствующий
этому элементу, совпадает с боковиком
таблицы.

В алгебре множеств
относительно объединения и относительно
симметрической разности нейтральным
элементом является пустое множество
,
относительно пересечения нейтральным
элементом является универс U.

Следующий пример
имеет нестандартный характер. Рассмотрим
множество целых чисел Z
(можно было бы взять множество рациональных
чисел Q
или множество вещественных чисел R
или даже множество комплексных чисел
C)
и определим на нем операцию: xy=x+y–1.
Вопрос: имеется ли для этой операции
нейтральный элемент e?
Для него должно выполняться равенство
xe=x
при любом x.
В левой части xe=x+e–1,
в правой части просто x.
Приравнивая, получим x+e–1=x,
откуда e=1.
Таким образом нейтральный элемент
относительно операции 
существует, это 1.

Симметричный элемент

Для произвольного
элемента xM
симметричным
элементом
называется такой

M,
что x
=e
и

x=e
(существование
нейтрального элемента e
предполагается).

Если операция есть
сложение чисел, то
e=0,
симметричным к числу x
является число –x.

Если операция есть
сложение векторов, то
e=0
(нуль-вектор), симметричным к вектору x
является вектор –x.

Если операция есть
умножение чисел, то
e=1,
симметричным к числу x
является число x^–1.
Поскольку x^–1существует
только для x0,
необходимо более аккуратно определить
базовое множество M.
Потребуем, например, чтобы это были
рациональные (или вещественные, или
комплексные) числа, отличные от нуля.
Если x0
и y0,
то и z=xy0,
так что операция на этом множестве
определена корректно (множество замкнуто
относительно операции).

Аналогично обстоит
дело в случае, когда операция есть
умножение квадратных матриц. Нейтральным
элементом e
является единичная матрица E,
симметричной к матрице X
является обратная матрица X^–1.
Но обратная матрица существует только
в случае, когда матрица X
невырождена, т.е. detX0.
Пусть базовое
множество M
состоит из квадратных невырожденных
матриц некоторого порядка n.
Замкнуто ли это множество относительно
операции умножения матриц? Иными словами,
если detX0
и detY0,
а Z=XY,
можно ли быть уверенным, что detZ0?
Ответ положительный, поскольку в алгебре
матриц доказывается, что определитель
произведения равен произведению
определителей, т.е. det(XY)=detXdetY.

Относительно
операции НОК на множестве натуральных
чисел существует нейтральный элемент
– это e=1.
Однако для
произвольного xN
не существует
симметричного элемента

,
для которого выполняется условие

НОК(x,

)=1
– хотя бы потому, что НОК(x,y)max(x,y).

В алгебре многочленов
относительно операции сложения, где
нейтральный элемент – нулевой многочлен,
симметричным к многочлену f(x)
является многочлен –f(x),
получающийся сменой знаков у всех
коэффициентов. Относительно операции
умножения симметричные многочлены
существуют только для многочленов
нулевой степени, т.е. для чисел, отличных
от 0. В самом деле, если взять f(x)=x+2,
то функция

не является многочленом.

Многочлен

,
симметричный многочлену f(x)
относительно композиции, должен
удовлетворять соотношениям

и

.
Пусть f(x)=x².
Тогда этим соотношениям более или менее
удовлетворяет функция

,
но, во-первых, это не многочлен, а
во-вторых, есть проблема с областью
определения и с неоднозначностью
функции

.
Поэтому, чтобы иметь симметричные
элементы относительно композиции,
ограничим базовое множество многочленами
первой степени, т.е. линейными функциями
вида f(x)=ax+b.
Тогда, если y=ax+b,
то

.
Чтобы получить функцию

,
симметричную линейной функции f(x)=ax+b
относительно композиции, переобозначим
переменные в выражении x
через y
и получим

.
Ясно, что симметричная функция существует
только при a0.
Линейные функции с коэффициентом a0
будем называть невырожденными (а с a=0
– вырожденными).

Множество
невырожденных линейных функций замкнуто
относительно композиции. В самом деле,
пусть f(x)=a₁x+b₁
а g(x)=a₂x+b₂, тогда их
композиция f_g
задается выражением

f(g(x))=a₁(a₂x+b₂)+b₁=a₁a₂x+
(a₁b₂+b₁),

т.е. снова получается
невырожденная линейная функция.

В алгебре логики,
если операция есть конъюнкция 
(нейтральный элемент e=1),
симметричного элемента для произвольного
x
нет. Если операция есть дизъюнкция
(нейтральный элемент e=0),
симметричного элемента для произвольного
x
также нет. Если операция есть XOR
(нейтральный элемент e=0),
симметричным элементом для произвольного
x
является он сам: x
XOR
x=0.

Для формальной
операции 
на множестве
M={a,b,c},
заданной таблицей 1.4, где нейтральным
элементом является a,
симметричным для
b
является c,
а для c
симметричным является b,
поскольку согласно этой таблице bc
= cb
= a,
симметричным элементом для
a
является
сам a.

В алгебре множеств
относительно объединения и пересечения
симметричных элементов нет, относительно
симметрической разности симметричным
элементом для любого множества A
является оно само, поскольку AA=,
а нейтральным элементом относительно

как раз и является пустое множество .

Снова рассмотрим
операцию: xy=x+y–1.
Вопрос: имеется ли относительно этой
операции симметричный элемент для
любого числа x?
Должно существовать такое число

,
что x
=e.
В левой части x
=x+
–1,
в правой части e=1.
Приравнивая, получим x+
–1=1,
откуда

=2–x.
Таким образом, симметричный элемент
относительно операции 
существует для любого числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — это элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении к ним этой бинарной операции.

Содержание

1 Определение
2 Замечания
3 Примеры
4 См. также

Определение

Пусть – множество с определённой на нём бинарной операцией . Элемент называется нейтральным относительно , если

Иногда различают нейтральный слева элемент ${displaystyle e_{mathrm {l} }}$ , для которого

${displaystyle e_{mathrm {l} }cdot x=x,quad forall xin M,}$

и нейтральный справа элемент ${displaystyle e_{mathrm {r} }}$ , для которого

${displaystyle xcdot e_{mathrm {r} }=x,quad forall xin M.}$

Замечания

Если существует только левый или только правый нейтральный элемент, то в общем случае их может быть больше одного. Если одновременно существуют левый и правый нейтральный элементы, то они совпадают.

В приведённой выше мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть «единицей». Если для обозначения операции используется аддитивная нотация , то нейтральный элемент называют «нулём».

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	(сложение)	0
Вещественные числа		1
Вещественные числа	${displaystyle a^{b}}$ (возведение в степень)	1 (нейтральный справа)
Матрицы размера	(матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера	(матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида	(композиция функций)	Тождественное отображение
Функции вида	* (свёртка)	(дельта-функция)
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	или
Расширенная числовая прямая	или
Подмножества множества	(пересечение множеств)
Множества	(объединение множеств)	(пустое множество)
Булева логика	(логическое и)	(истина)
Булева логика	(логическое или)	(ложь)

См. также

Обратный элемент;
Моноид;
Группа.

ar:عنصر حيادي
bg:Неутрален елемент
ca:Element neutre
cs:Neutrální prvek
et:Ühikelement
he:איבר יחידה
hu:Neutrális elem
lmo:Elemeent néutar
nl:Neutraal element
pl:Element neutralny
simple:Identity element
sk:Neutrálny prvok
sl:Nevtralni element
sr:Неутрал
sv:Neutralt element
uk:Нейтральний елемент
vi:Phần tử đơn vị
yi:נאטוראלע עלעמענט

Источник

Определение[править | править код]

Примеры[править | править код]

Терминология[править | править код]

В алгебре[править | править код]

В теории решёток[править | править код]

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Нейтральный элемент

Симметричный элемент

Содержание

Определение

Замечания

Примеры

См. также

Вам также может понравиться

Триколор ошибка 21 как исправить через интернет причина

Как найти активы пассивы

Как найти дополнительный ток

Добавить комментарий Отменить ответ