Как найти необходимые условия экстремума

Содержание:

• Необходимое условие экстремума
• Первое достаточное условие экстремума
• Второе достаточное условие экстремума

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума –
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) lt fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>fleft(x_{0}right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Необходимое условие экстремума

Точки, в которых производная равна нулю: $f^{prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки – это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{prime}(x)$ не существует.

Первое достаточное условие экстремума

Если производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:

Второе достаточное условие экстремума

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

1. Стационарные точки функции.
   Необходимое условие локального
   экстремума функции

2. Первое достаточное условие локального
   экстремума

3. Второе и третье достаточные условия
   локального экстремума

4. Наименьшее и наибольшее
   значения функции на сегменте

5. Выпуклые функции и точки перегиба

1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

_{Определение 1.}
Пусть функция
определена на _{.
Точка
называется стационарной точкой функции
,
если
дифференцирована в точке
и .}

Теорема 1 (необходимое
условие локального экстремума функции).
Пусть функция
определена на
_{и имеет в точке
локальный экстремум. Тогда выполняется
одно из условий:}

1. функция
   _{не имеет в точке
   производной;}

2. функция
   _{имеет в точке
   производную и .}

_{Таким образом, для того,
чтобы найти точки, которые являются
подозрительными на экстремум, надо
найти стационарные точки функции и
точки, в которых производная функции
не существует, но которые принадлежат
области определения функции.}

_{Пример.
Пусть .
Найти для нее точки, которые являются
подозрительными на экстремум. Для
решения поставленной задачи, в первую
очередь, найдем область определения
функции: .
Найдем теперь производную функции:}

_.

_{Точки, в которых производная
не существует: .
Стационарные точки функции:}

_.

_{Поскольку и ,
и
принадлежат области определения функции,
то они обе будут подозрительными на
экстремум. Но для того, чтобы сделать
вывод, будет ли там действительно
экстремум, надо применять достаточные
условия экстремума.}

2. Первое достаточное условие локального экстремума

Теорема 1 (первое достаточное
условие локального экстремума).
Пусть функция
определена на
_{и дифференцирована на этом интервале
везде за исключением, возможно, точки
,
но в этой точке
функция является
непрерывной. Если
существуют такие правая и левая
полуокрестности точки ,
в каждой из которых
сохраняет определенный знак, то}

_{1) функция
имеет локальный экстремум в точке ,
если
принимает значения разных знаков в
соответствующих полуокрестностях;}

<sub>2) функция
не имеет локальный экстремум в точке
,
если справа и слева от точки

имеет одинаковый знак.</sub>

_{Доказательство.
1) Предположим, что в полуокрестности
производная ,
а в
.}

_{Таким образом в точке
функция
имеет локальный экстремум, а именно –
локальный максимум, что и нужно было
доказать.}

_{2) Предположим, что слева
и справа от точки
производная сохраняет свой знак,
например, .
Тогда на
и
функция
строго монотонно возрастает, то есть:}

_,

_.

_{Таким образом экстремума
в точке
функция
не имеет, что и нужно было доказать.}

_{Замечание 1.
Если производная
при прохождении через точку
меняет знак с «+» на «-», то в точке
функция
имеет локальный максимум, а если знак
меняется с «-» на «+», то локальный
минимум.}

_{Замечание 2.
Важным является условие непрерывности
функции
в точке .
Если это условие не выполняется, то
теорема 1 может не иметь места.}

_{Пример.
Рассматривается функция (рис.1):}

Эта функция определена на
<sub>и непрерывна везде, кроме точки ,
где она имеет устранимый разрыв. При
прохождении через точку

меняет знак с «-» на «+», но локального
минимума в этой точке функция не имеет,
а имеет локальный максимум по определению.
Действительно, около точки
можно построить такую окрестность, что
для всех аргументов из этой окрестности
значения функции будут меньше, чем
значение .
Теорема 1 не сработала потому, что в
точке
функция имела разрыв.</sub>

_{Замечание 3.
Первое достаточное условие локального
экстремума не может быть использовано,
когда производная функции
меняет свой знак в каждой левой и каждой
правой полуокрестности точки .}

_{Пример.
Рассматривается функция:}

_{Поскольку ,
то ,
а потому ,
но .
Таким образом:}

_,

_{т.е. в точке
функция
имеет локальный минимум по определению.
Посмотрим, сработает ли здесь первое
достаточное условие локального
экстремума.}

_{Для :}

_.

Для первого слагаемого правой
части полученной формулы имеем:

_,

_{а потому в малой окрестности
точки
знак производной определяется знаком
второго слагаемого, то есть:}

_,

<sub>а это означает, что в любой
окрестности точки

будет принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Действительно,
рассмотрим произвольную окрестность
точки :
.
Когда</sub>

_,

_то

_{(рис.2), а
меняет свой знак здесь бесконечно много
раз. Таким образом, нельзя использовать
в приведенном примере первое достаточное
условие локального экстремума.}

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Экстремум функции
2. Необходимые условия экстремума
3. Достаточные условия экстремума
4. Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума
5. Общая постановка задачи оптимизации и основные положения
6. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума

Экстремум функции

Понятие экстремума:

Будем рассматривать непрерывные функции, которые не меняются монотонно, то есть такие, которые на отдельных промежутках возрастают, а на других убывают. Графики таких функций схематически можно изобразить рисунком 9.

Тогда существуют такие значение функции f (x), которые по сравнению с другими соседними значения являются наибольшими или наименьшими. Такие значения называют соответственно максимумами и минимумами.

  Рис. 9.
На рисунке 9   — максимумы, — минимумы.

Определение 1. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (), которое не меньше всех значений функции в точках, достаточно близких к . При этом выполняется неравенство для любых достаточно малых .

Точка , в которой функция f (x) достигает максимума f (), называется точкой максимума.

Определение 2. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (), которое не больше всех значений функции в точках, достаточно близких к . При этом имеем  для любых достаточно малых .

Точка , в которой функция f (x) достигает минимума f (), называется точкой минимума.

Максимумы и минимумы вместе называют экстремумами. Функция может иметь внутри интервала (a, b) несколько экстремумов.

Необходимые условия экстремума

Для отыскания экстремумов рассмотрим сначала необходимые условия экстремума.

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума). Если функция f (x) имеет в точке экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, или не существует.

Доказательство. Пусть в точке функция f (x) имеет производную и достигает максимума. Это означает, что при достаточно малом  имеем  Из этого следует, что отношение  ,   если и ,  если Переходя в неравенствах к пределам, получим
  и  

А это может одновременно выполняться только при

Аналогично доказывается первая часть теоремы в случае, когда функция f (x) достигает в точке минимума.

Но непрерывная функция f (x) может иметь экстремум в точках, в которых производная не существует. Например, функция в точке x = 0 не дифференцируема, но достигает в ней минимума, что видно из графика (рис. 3). Такие точки называют угловыми. Но эти условия не являются достаточными. Производная может быть равна нулю не только в точках экстремума.

Так производной функции является . В точке x = 0   y’= 0, но в этой точке функция не достигает экстремального значения.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются стационарными или критическими точками первого рода.

Достаточные условия экстремума

ТЕОРЕМА (первое правило). Если производная функции f ‘(x) при переходе через критическую точку слева направо изменяет знак с «+» на «-», то f (x) имеет максимум в точке , если изменение знака происходит с «-» на «+», то функция имеет минимум в этой точке. Отсутствие изменения знака указывает на отсутствие экстремума.

Доказательство. Если производная f ‘(x) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то это означает, что при достаточно малом    производная f’ (x) положительная на промежутке и отрицательная на промежутке Следовательно, функция f (x) возрастает на промежутке и убывает на промежутке , то есть в точке достигает максимума.

Аналогично доказывается утверждение теоремы относительно минимума функции.

ТЕОРЕМА (второе правило). Если в точке первая производная f ‘(x) функции f (x) равна нулю, а ее вторая производная f “(x) непрерывна в окрестности этой точки и f “(x) ≠ 0, то функция f (x) имеет максимум в точке , когда и минимум, когда

Доказательство. Пусть и . Тогда в результате непрерывности  f ”(x) она положительная на малом интервале  Это означает, что f ‘(x), для которой f” (x) является производной, возрастает на этом интервале.  Поскольку  то на промежутке  производная  а на промежутке  производная f'(x) > 0.

Поэтому f (x) в интервале  убывает, а в интервале возрастает. Значит, в точке функция f (x) имеет минимум.

Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума

Замечание. Надо иметь в виду, что вторым правилом нельзя пользоваться в случае, когда критическая точка получена от того, что в ней производная не существует, а также если Тогда пользуются первым правилом.

Пример. Найти максимум и минимум функции 
Решение. Данная функция определена на промежутке ( ). Находим производную и приравниваем ее к нулю.

Корни данного уравнения

Сначала используем первое правило

Область определения функции критическими точками делится на промежутки (рис. 10). Найдем знаки производной в каждом из этих промежутков, подставив конкретные числа из них в производную.

Рис. 10.

Например,

Итак, в точке x = 1 — максимум.

В точке x = 3 — минимум.   
При применении второго правила находим вторую производную
y” = 2x – 4.

Подставляем значение  и  во вторую производную:

В точке — максимум, в точке  — минимум.

Общая постановка задачи оптимизации и основные положения

Постановка задачи поиска минимума функций содержит:

Требуется найти такой вектор из множества допустимых решений, которому соответствует минимальное значение целевой функции на этом множестве:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Замечания 1.1.

1. Задача поиска максимума функции сводится к задаче поиска минимума путем замены знака перед функцией на противоположный (рис. 1.1):

2. Задача поиска минимума и максимума целевой функции называется задачей поиска экстремума

3. Если множество допустимых решений X задается ограничениями (условиями), накладываемыми на вектор , то решается задача поиска условного экстремума. Если , т.е. ограничения (условия) на вектор х отсутствуют, решается задача поиска безусловного экстремума.

4. Решением задачи поиска экстремума является пара , включающая точку и значение целевой функции в ней.

5. Множество точек минимума (максимума) целевой функции на множестве X обозначим . Оно может содержать конечное число точек (в том числе одну), бесконечное число точек или быть пустым.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Определение 1.1. Точка называется точкой глобального (абсолютного) минимума функции на множестве X, если функция достигает в этой точке своего наименьшего значения, т.е.

Определение 1.2. Точка называется точкой локального (относительного) минимума функции на множестве X, если существует , такое, что если – евклидова норма вектора х.

Замечания 1.2.

1. В определении 1.1 точка сравнивается по величине функции со всеми точками из множества допустимых решений X, а в определении 1.2 – только с принадлежащими ее е – окрестности (рис. 1.2).

2. Если в определениях 1.1 и 1.2 знак неравенства заменить на , то получатся определения глобального (абсолютного) и локального (относительного) максимумов.

3. Глобальный экстремум всегда является одновременно локальным, но не наоборот.

Определение 1.3. Поверхностью уровня функции называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. . Если поверхность уровня изображается линией уровня на плоскости .

Пример с решением

Пример 1.1.

Построить линии уровня функций:

а)

В)

Уравнения линий уровня имеют следующий вид:

а) – уравнение окружностей с центром в точке и радиусом, равным (рис. 1.3, );

Пример 1.2.

На рис. 1.4 изображены линии уровня функции. Цифры указывают значение функции на соответствующей линии. Точкам Л и 5 соответствуют значения функции . Требуется классифицировать точки экстремума.

Функция рассматривается на множестве , т.е. решается задача поиска безусловного экстремума.

В точке А с координатами достигается локальный минимум; в точке В с координатами достигается локальный и глобальный минимум одновременно; в точке С нет ни минимума, ни максимума, так как по одним направлениям функция убывает, а по другим возрастает. Заметим, что изображенная структура линий уровня типична для так называемых многоэкстремальных задач.

Пример 1.3.

На рис. 1.5 изображен график функции , определенной на множестве X = R. Требуется классифицировать точки экстремума.

Решается задача поиска безусловного экстремума. На рис. 1.5 выделим -окрестности точек A,B,…,F и проверим выполнение определений 1.1 и 1.2 с учетом пп. 1, 2 замечаний 1.1, 1.2. В результате получаем: точка А – точка локального минимума; точки В, Е – точки локального максимума; бесконечное множество точек из отрезка CD – точки локального минимума; точка F – точка локального и одновременно глобального минимума; глобальный максимум отсутствует.

Пример 1.4.

Найти точки экстремума функций и на множестве . Обе целевые функции имеют в точке локальный и одновременно глобальный минимум, а локальных и глобальных максимумов не имеют (см. рис. 1.3 а,6}.

Пример 1.5.

Найти точки экстремума функции на множестве Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции представляются окружностями (см. рис. 1.3, о), а множество допустимых решений X – параболой с уравнением . В точке достигается глобальный минимум (рис. 1.6). Заметим, что эта точка является точкой касания линии уровня и кривой, описывающей множество X. Глобальный максимум на данном множестве не достигается. Если поменять знак перед функцией на противоположный, то в точке функция будет достигать глобального максимума на множестве X, что соответствует п. 1 замечаний 1.1.

Пример 1.6.

Найти точки экстремума функции на множестве

Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции представляются окружностями (см. рис. 1.3, о), а множество допустимых решений X – графиком прямой. В точке достигается глобальный минимум (рис. 1.7). Глобальный максимум на данном множестве не существует. Заметим, что, как и в, примере 1.5, в точке линии уровня касаются кривой, описывающей ограничения.

Пример 1.7.

Найти точки экстремума функции на множестве Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции /(х) представляются окружностями (см. рис. 1.3, а), а множество X – гиперболой (рис. 1.8). Имеются две точки глобального минимума:

В них выполняется свойство касания линий уровня и кривых, описывающих множество X, отмеченное при решении примеров 1.5, 1.6. Точки глобального и локального максимума отсутствуют.

Пример 1.8.

Найти точки экстремума функции на множестве допустимых решений

Решается задача поиска условного экстремума. Линии уровня функции имеют уравнение и представляются прямыми, параллельными оси . Множество допустимых решений, где все ограничения выполняются одновременно, заштриховано на рис. 1.9. В точке достигается глобальный максимум, на множестве точек отрезка АВ достигается глобальный минимум с значением целевой функции

Пример 1.9.

Найти точки экстремума функции на множестве

Решается задача поиска условного экстремума. Глобальный максимум достигается в точке В при . Локальный минимум достигается в точке С при , а глобальный минимум – в точке А при (рис. 1.10).

Пример 1.10.

Найти точки экстремума функции на множестве

Решается задача поиска условного экстремума. Функция не имеет точек локального и глобального экстремума, так как не выполняются определения 1.1 и 1.2 (рис 1.11). При приближении к левой границе значение функции стремится к (функция является неограниченной снизу), а при приближении к правой границе функция возрастает, но не имеет максимума, так как точка не принадлежит множеству X.

Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума

Постановка задачи  

Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция , определенная на множестве .

Требуется исследовать функцию на экстремум, т.е. определить точки ее локальных минимумов и максимумов на :

Стратегия решения задачи

Находятся точки локальных экстремумов с помощью необходимых условий первого и второго порядка (порядок условий определяется порядком используемых производных), а также достаточных условий безусловного локального экстремума. Вычисляются значения функции в найденных точках локальных экстремумов. Утверждение 2.1 (необходимые условия экстремума первого порядка).

Пусть есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве и дифференцируема в точке . Тогда градиент функции в точке равен нулю, т.е.

или

Определение 2.1. Точки , удовлетворяющие условию (2.2) или (2.3), называются стационарными.

Утверждение 2.2 (необходимые условия экстремума второго порядка).

Пусть точка есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве и функция дважды дифференцируема в этой точке. Тогда матрица Гессе функции , вычисленная в точке , является положительно полуопределенной (отрицательно полуопределенной), т.е.

Утверждение 2.3 (достаточные условия экстремума).

Пусть функция в точке дважды дифференцируема, ее градиент равен нулю, а матрица Гессе является положительно определенной (отрицательно определенной), т.е.

Тогда точка есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве .

Определение 2.2. Рассмотрим определитель матрицы Гессе , вычисленной в стационарной точке

1. Определители называются угловыми минорами.

2. Определители -го порядка , получающиеся из определителя матрицы вычеркиванием каких-либо строк и столбцов с одними и теми же номерами, называются главными минорами.

Для проверки выполнения достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка используются два способа.

Первый способ (с помощью угловых и главных миноров).

А. Критерий проверки достаточных условий экстремума (критерий Сильвестра). 1. Для того чтобы матрица Гессе была положительно определенной и точка являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров были строго положительны:

2. Для того чтобы матрица Гессе была отрицательно определенной и точка являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:

Б. Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка.

1. Для того чтобы матрица Гессе была положительно полуопределенной и точка может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.

2. Для того чтобы матрица Гессе была отрицательно полуопределенной и точка может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечетного порядка – неположительны. Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе).

Определение 2.3. Собственные значения матрицы размера находятся как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения степени):

Замечание 2.1. Собственные значения вещественной симметрической матрицы вещественны.

Оба способа проверки достаточных и необходимых условий экстремума второго порядка приведены в табл. 2.1.

Алгоритм решения задачи

Шаг 1. Записать необходимые условия экстремума первого порядка в форме (2.3) и найти стационарные точки в результате решения системы в общем случае нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными. Для численного решения системы могут использоваться методы простой итерации, Зейделя, Ньютона. Имя Шаг 2. В найденных стационарных точках проверить выполнение достаточных, а если они не выполняются, то необходимых условий второго порядка с помощью одного из двух способов (см. табл. 2.1).

Шаг 3. Вычислить значения в точках экстремума.

Описанный алгоритм отображен на рис. 2.1, где показана последовательность действий в случаях выполнения и невыполнения соответствующих условий экстремума при применении первого способа.

Замечания 2.2.

1. Продолжение исследований, которое требуется в ряде случаев, разобранных в табл. 2.1, при решении практических задач, как правило, не проводится, за исключением небольшого числа модельных примеров. 2. Если требуется определить глобальные экстремумы, то они находятся результате сравнения значений функции в точках локальных минимумов и максимумов с учетом ограниченности функции на .

3. Для случая функции одной переменной можно сформулировать правило, заменяющее п. 2 алгоритма:

Если функция и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума тогда и только тогда, когда число – четное, где – порядок первой не обращающейся в нуль в точке производной. Если , то в точке – локальный минимум, а если , то в точке – локальный максимум. Если число нечетное, в точке нет экстремума.

4. Часто на практике, особенно при применении численных методов поиска экстремума, рассматриваемых в последующих разделах, требуется проверить, выполняются ли необходимые и достаточные условия экстремума в некоторой точке. Такой анализ необходим, так как многие численные методы позволяют найти лишь стационарную точку, тип которой требует уточнения.

Пример 2.1.

Найти экстремум функции на множестве .

1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

В результате решения системы получаем стационарную точку 2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Первый способ. Матрица Гессе имеет вид . Так как то в точке локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (2.10):

Отсюда Так как все собственные значения положительны, то в точке локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1). Из примера 1.19 следует, что функция является строго выпуклой на множестве . Поэтому точка локального минимума является и точкой глобального минимума (см. п. 3 утверждения 1.1).

3. Вычислим значение функции в точке глобального минимума: .

Пример 2.2.

Найта экстремум функции на множестве .

1. Запишем необходимые условия первого порядка: В результате решения системы получаем стационарную точку .

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка. Первый способ. Матрица Гессе имеет вид Так как выполняются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (рис. 2.1)?проверим выполнение необходимых условий второго порядка. Главные миноры первого порядка () получаются из Д 2 в результате вычеркивания строк и столбцов с одинаковыми номерами: -2, 2. Главный минор второго порядка () получается из в результате вычеркивания строк и столбцов, т.е. совпадает с : -4. Отсюда следует, что необходимые условия экстремума второго порядка не выполняются (строки 3 и 4 в табл. 2.1). Так как матрица Гессе не является нулевой, то можно сделать вывод о том, что в точке нет экстремума (строка 6 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (2.10):

Отсюда т.е. собственные значения имеют разные знаки. Поэтому точка не является точкой минимума или максимума (строка 6 в табл. 2.1), а является седловой точкой (аналогична изображенной на рис. 1.3, в). 3. Так как экстремум не достигается ни в одной точке, не вычисляется.

Пример 2.3.

Найти экстремум функции на множестве

1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

В результате решения системы получаем стационарную точку

2. Проверим выполнение достаточных и необходимых условий второго по-Матрица Гессе имеет вид Так как , то достаточные условаия экстремума не выполняются (строки 1 и 2 в табл. 2.1). Согласно схеме (рис. 2.1) проверим выполнение необходимых условий экстремума второго порядка. Аналогично решению примера 2.2 получаем главные миноры первого порядка: 2, 0 и главный минор второго порядка: 0. Так как все главные миноры неотрицательные, то в точке х’ может быть минимум и требуется дополнительное исследование (строка 3 в табл. 2.1).

3. Вычислим значение целевой функции в точке и рассмотрим -окрестность точки х’, а также поведение функции на множестве При любых имеем: (см. рис. 1.2), что соответствует не только определению 1.2, но и определению 1.1. Поэтому точка является точкой глобального минимума.

Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.^[1]

Определения[править | править код]

Пусть дана функция и  — внутренняя точка области определения Тогда

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание[править | править код]

Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов[править | править код]

• Из леммы Ферма вытекает следующее^[2]:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции .

Достаточные условия существования локальных экстремумов[править | править код]

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке .

и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

Если чётно и , то  — точка локального максимума.
Если чётно и , то  — точка локального минимума.
Если нечётно, то экстремума нет.

См. также[править | править код]

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.

Чтобы определить характер функции  и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров  и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1  равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.

Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность  при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.

Точки экстремума, экстремумы функции

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

• когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
• когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

• найти область определения;
• найти производную функции на этой области;
• определить нули и точки, где функция не существует;
• определение знака производной на интервалах;
• выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.

Третье достаточное условие экстремума

Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка  в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.