Как найти неопределенность координаты - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Квантовая механика
Введение^[en] История^[en] Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Локальная^[en] Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения Глоссарий^[en] ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного полей). Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостей^{[* 1]} задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней физической квантовой механики^[1]^[2]. Является следствием принципа корпускулярно-волнового дуализма^[3]^[4].

Краткий обзор[править | править код]

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений^{[* 2]}.

Согласно принципу неопределённости, у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс)^{[* 3]}. Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определённый импульс и полностью неопределённая пространственная координата или полностью неопределённый импульс и полностью определённая координата).

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление!^{[* 4]}), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована в пределах всего пространства коробки, то есть её координаты не имеют определённого значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределённостей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье^{[* 5]}.

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например, звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и квантово-механическому импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что $p_{x}=hbar k_{x},$ то есть импульс в квантовой механике, — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни, наблюдая макроскопические объекты или микрочастицы, перемещающиеся в макроскопических областях пространства, мы обычно не замечаем квантовую неопределённость потому, что значение hbar чрезвычайно мало, поэтому являющиеся следствием соотношений неопределённости эффекты настолько ничтожны, что не улавливаются измерительными приборами или органами чувств^[5].

Определение[править | править код]

Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения Delta x координаты и среднеквадратического отклонения Delta p импульса, мы найдём, что

{displaystyle Delta xDelta pgeqslant hbar /2}

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — в нерелятивистской физике состояние может быть таким, что может быть измерен со сколь угодно большой точностью, но тогда будет известен только приблизительно; или, наоборот, может быть определён со сколь угодно большой точностью, в то время как — нет. Во всех же других состояниях и , и могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В релятивистской физике в системе отсчёта, покоящейся относительно микрообъекта, существует минимальная погрешность измерения его координат ${displaystyle Delta qsim {frac {hbar }{mc}}}$ . Этой погрешности отвечает неопределённость импульса , соответствующая минимальной пороговой энергии для образования пары частица-античастица, в результате чего сам процесс измерения теряет смысл.

В системе отсчёта, относительно которой микрообъект движется с энергией epsilon , минимальная погрешность измерения его координат ${displaystyle Delta qsim {frac {hbar c}{epsilon }}}$ . В предельном случае ультрарелятивистских энергий энергия связана с импульсом соотношением и ${displaystyle Delta qsim {frac {hbar }{p}}}$ , то есть погрешность измерения координаты совпадает с де-бройлевской длиной волны микрообъекта^[6].

Когда достигается равенство[править | править код]

Равенство в соотношении неопределённостей достигается тогда и только тогда, когда форма представления вектора состояния системы в координатном представлении совпадает с формой его представления в импульсном представлении (не меняется при преобразовании Фурье)^[7].

Варианты и примеры[править | править код]

Обобщённый принцип неопределённости[править | править код]

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: и , и любого элемента из , такого, что ABx и BAx оба определены (то есть, в частности, и также определены), имеем:

$langle x|AB|xrangle langle x|BA|xrangle =left|langle Bx|Axrangle right|^{2}leqslant left|langle Ax|Axrangle right|left|langle Bx|Bxrangle right|=|Ax|^{2}|Bx|^{2}$

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 году Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

${frac {1}{4}}|langle x|AB-BA|xrangle |^{2}leqslant |Ax|^{2}|Bx|^{2}.$

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор AB-BA называют коммутатором и и обозначают как [A,B] . Он определён для тех , для которых определены оба ABx и BAx .

Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, и — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если ABpsi и BApsi определены, тогда:

$Delta _{{psi }}A,Delta _{{psi }}Bgeqslant {frac {1}{2}}left|leftlangle left[A,{B}right]rightrangle _{psi }right|$

где:

$leftlangle Xrightrangle _{psi }=leftlangle psi |X|psi rightrangle$

— среднее значение оператора величины в состоянии psi системы, и

$Delta _{{psi }}X={sqrt {langle {X}^{2}rangle _{psi }-langle {X}rangle _{psi }^{2}}}$

— оператор стандартного отклонения величины в состоянии psi системы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится, однако, более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например, координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов и , которые имеют один и тот же собственный вектор psi . В этом случае psi представляет собой чистое состояние, являющееся одновременно измеримым для и .

Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости[править | править код]

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно определить значения пар переменных и , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

$Delta x_{i}Delta p_{i}geqslant {frac {hbar }{2}}$

Из принципа неопределённости между импульсом и координатой следует, что чем меньше исследуемые расстояния, тем большей энергией должны обладать элементарные частицы. В ультрарелятивистской области ( pgg Mc ) энергия пропорциональна импульсу : E=cp и соотношение неопределённости для энергии и координаты принимает вид ${displaystyle Delta EDelta xgeqslant c{frac {hbar }{2}}}$ , так что $Delta Egeqslant {frac {10^{{-14}}}{Delta x}}$ , где Delta E выражено в ГэВ, а Delta x в см. Этим соотношением определяется энергия элементарных частиц, необходимая для достижения заданных малых расстояний между ними. Для сближения элементарных частиц на расстояния $10^{{-14}}$ см и меньше нужно сообщить им энергию, большую ГэВ^[8].

отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

$Delta J_{i}Delta J_{j}geqslant {frac {hbar }{2}}left|leftlangle J_{k}rightrangle right|$

где

различны и $J_{i}$

обозначает угловой момент вдоль оси $x_{i}$

следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

$Delta E Delta t geqslant frac{hbar}{2}$

Это соотношение можно понимать одним из трёх возможных способов^[9]:

— неопределённость энергии состояния микрообъекта, пребывающего в этом состоянии время .
— неопределённость энергии микрообъекта в некотором процессе длительностью .
— максимальная точность определения энергии квантовой системы, достижимая путём процесса измерения, длящегося время .

Единого мнения о выводимости этого соотношения из остальных аксиом квантовой механики нет^[10].

{displaystyle Delta NDelta Phi geqslant 1}

Это соотношение следует из соотношения неопределённостей для энергии и времени. Для измерения энергии любого квантового объекта с точностью Delta E надо затратить время ${displaystyle Delta tgeqslant {frac {hbar }{Delta E}}}$ . Неопределённость энергии коллектива фотонов , где –
неопределённость числа фотонов. Чтобы её измерить, необходимо время ${displaystyle Delta tgeqslant {frac {hbar }{hbar omega Delta N}}}$ . За это время изменение фазы волны . Получаем ${displaystyle Delta Phi geqslant {frac {1}{Delta N}}}$ ^[11].

Соотношение неопределенностей между гравитационным радиусом и радиальной координатой частицы: ${displaystyle Delta r_{g}Delta rgeqslant ell _{P}^{2}}$ ,

где $r_{g}$ — гравитационный радиус, — радиальная координата, $ell _{{P}}$ — планковская длина, которое является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга между импульсом и координатой применительно к планковскому масштабу.^[12] Действительно, это соотношение можно написать в следующем виде: ${displaystyle Delta (2Gm/c^{2})Delta rgeqslant Ghbar /c^{3}}$ , где — гравитационная постоянная, — масса тела, — скорость света, hbar — постоянная Дирака. Сокращая слева и справа одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга . Установленное соотношение неопределенностей предсказывает появление виртуальных черных дыр и червоточин (квантовой пены) на планковском масштабе.

${displaystyle langle {dot {S}}_{e}rangle {mathfrak {T}}geq k_{B}}$

Было экспериментально проверено.^[14]

$langle (Delta L_{z})^{2}rangle langle (Delta sin varphi )^{2}rangle geqslant {frac {hbar ^{2}}{4}}langle (cos varphi )^{2}rangle$

Однако при $langle (varphi )^{2}rangle ll pi ^{2}$

условие периодичности несущественно, и принцип неопределённости принимает привычный вид:

$langle (Delta L_{z})^{2}rangle langle (Delta varphi )^{2}rangle geqslant {frac {hbar ^{2}}{4}}$

Замечание[править | править код]

Для трёхмерного осциллятора принцип неопределённости принимает вид:

$langle Delta L_{z}rangle {frac {langle Delta varphi rangle }{(1-{frac {3(langle Delta varphi rangle )^{2}}{pi ^{2}}})}}geqslant {frac {hbar }{2}}$

а для оператора числа частиц и угла varphi вид:

${frac {[(langle Delta nrangle )^{2}+(langle nrangle +{frac {1}{2}})^{2}]^{{frac {1}{2}}}langle Delta varphi rangle }{(1-{frac {3(langle Delta varphi rangle )^{2}}{pi ^{2}}})}}geqslant {frac {hbar }{2}}$

(см. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. Рассеяние, реакции и распады
в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд., М., Наука, 1971. С. 58-59.)

Вывод в квантовой теории оценивания[править | править код]

Принцип неопределённости координата-импульс альтернативно выводится как оценка максимального правдоподобия в квантовой теории оценивания^[15].

Принцип неопределённости время-энергия альтернативно выводится как выражение квантового неравенства Крамера — Рао в квантовой теории оценивания, в случае когда измеряется положение частицы^[16].

Интерпретации[править | править код]

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. Дискуссия Бора и Эйнштейна): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом, время уже точно известно. Мы всё ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдёт, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой копенгагенской интерпретации квантовой механики принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей или возможностей. Например, картина (распределение вероятности), произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель, может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «Бог не играет в кости»^{[** 2]}. Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать»^{[** 3]}.

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут всё ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что в квантовой механике существуют скрытые переменные, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости — результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной литературе[править | править код]

Принцип неопределённости часто неправильно^{[источник не указан 3958 дней]} понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка состоит в том, что наблюдение события изменяет само событие^{[источник не указан 3227 дней]}. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (см. выше). Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузного семечка пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечко исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала «Звёздный Путь» в телепортаторе. Однако неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала Джина Родденберри спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

В романе «Дюна» Фрэнка Герберта (Книга II, глава 10): «Предвидение, понял он, было озарением, но таким, которое воздействовало на то, что оно же и озаряло. Источник сразу и точной информации, и ошибок в ней. Вмешивалось что-то вроде принципа неопределённости Гейзенберга: для восприятия картины грядущего требовалась какая-то проникающая туда энергия, а эта энергия воздействовала на само грядущее и изменяла его.»^[17]

Научный юмор[править | править код]

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро вы ехали, сэр?» На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!».

См. также[править | править код]

Принцип дополнительности
Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена
Квантовая физика
Преобразование Фурье
Гейзенбаг
Закон Гудхарта

Примечания[править | править код]

↑ Для каждой пары сопряжённых величин имеется своё соотношение неопределённостей, хотя и имеющее один и тот же вид
; поэтому этот термин часто употребляется во множественном числе (соотношения неопределённостей), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределённостей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары.
↑ Существуют, однако, способы частичного обхода этих ограничений, связанные со слабыми измерениями.
↑ Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы — канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.
↑ В примере с частицей в коробке модуль импульса, правда, определён, но зато не определено его направление.
↑ Проще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция f(x) и её фурье-образ (спектр) F(k) — то есть $f(x)=int F(k)e^{{ikx}}dk.$ Очевидно, что если мы «сожмём функцию f» по x в A раз, то есть перейдём к функции f_A(x) = f(Ax), то её спектр растянется во столько же раз: F_A(k) = const·F(k/A), поскольку частота каждой спектральной гармоники $e^{{ikx}}$ этого разложения должны будут, очевидно, умножиться на A. Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов, показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределённостей Гейзенберга, только без ħ в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношение неопределённостей Гейзенберга при ħ = 1).

Литература[править | править код]

Источники

↑ А. С. Давыдов Квантовая механика, 2-ое изд., — М.: Наука, 1973.
↑ Точнее: «Теория даёт много, но к таинствам Старика она не подводит нас ближе. Во всяком случае, я убеждён, что [он] не играет в кости» (Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich überzeugt davon, dass der nicht würfelt). Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
↑ Chad Meister Introducing philosophy of religion. Дата обращения: 9 мая 2011. Архивировано 16 мая 2011 года.

Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
Яворский Б. М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.
Пономарёв Л. И. По ту сторону кванта. — М.: Молодая гвардия, 1971. — 304 с.

Журнальные статьи

Heisenberg W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. — Zeitschrift für Physik. — 1927. — Vol. 43. — P. 172—198. (Англ. перевод в кн.:: Wheeler J. A., Zurek H. Quantum Theory and Measurement. — Princeton Univ. Press. — 1983. — P. 62-84).
Мандельштам Л. И., Тамм И. Е. Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике. — Изв. Акад. наук СССР (сер. физ.). — 1945. — Т. 9. — С. 122—128.
Folland G., Sitaram A. The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey. — Journal of Fourier Analysis and Applications. — 1997. — P. 207—238.
Суханов А. Д. Новый подход к соотношению неопределённостей энергия-время. — Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2001. — Том 32. Вып. 5. — С. 1177.

О соотношениях неопределённостей Шрёдингера

Шрёдингер Э. К принципу неопределённостей Гейзенберга // Избранные труды по квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 210—217.
Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределённостей в квантовой механике. — Труды ФИАН СССР. — 1987. — Том 183. — С. 5-70.
Суханов А. Д. Соотношения неопределённостей Шрёдингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний. — Теоретическая и математическая физика. — 2002. — Том 132, № 3. — С. 449—468.
Суханов А. Д. Соотношение неопределённостей Шрёдингера для квантового осциллятора в термостате. — Теоретическая и математическая физика. — 2006. — Том 148, № 2. — С. 295—308.
Tarasov V. E. Uncertainty relation for non-Hamiltonian quantum systems. (недоступная ссылка) — Journal of Mathematical Physics. — 2013. — Vol. 54. — No. 1. — 012112.
Тарасов В. Е. Вывод соотношения неопределённостей для квантовых гамильтоновых систем. — Московское научное обозрение. — 2011, № 10. — C. 3-6.

Дополнительно

↑ Клайн Б. В поисках. Физики и квантовая теория. — М., Атомиздат, 1971. — Тираж 58000 экз. — с. 192—216
↑ Гейзенберг В. Развитие интерпретации квантовой теории // Нильс Бор и развитие физики. — М., ИЛ, 1958. — c. 23-45
↑ Широков, 1972, с. 20.
↑ Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — С. 63.
↑ Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю. И. Дика. — 5-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — ISBN 5-9221-0382-2. — С. 136—139.
↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 264—265
↑ Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9. — С. 453.
↑ Широков, 1972, с. 262.
↑ Яворский, 2007, с. 744.
↑ Воронцов Ю. И. Соотношение неопределённости энергия — время измерения Архивная копия от 14 сентября 2013 на Wayback Machine, УФН, 1981, т. 135, с.337
↑ Тарасов Л. В. Соотношения неопределённостей // Основы квантовой механики. — М: Высшая школа, 1978. — С. 42.
↑ Philosophy Documentation Center, Western University, Canada, 2017, pp.25-30. Дата обращения: 29 ноября 2020. Архивировано 1 июля 2019 года.
↑ Gianmaria Falasco, Massimiliano Esposito The dissipation-time uncertainty relation // Phys. Rev. Lett. 125, 120604 (2020)
↑ L.-L. Yan, J.-W. Zhang, M.-R. Yun, J.-C. Li, G.-Y. Ding, J.-F. Wei, J.-T. Bu, B. Wang, L. Chen, S.-L. Su, F. Zhou, Y. Jia, E.-J. Liang, and M. Feng Experimental Verification of Dissipation-Time Uncertainty Relation Архивная копия от 8 марта 2022 на Wayback Machine // Phys. Rev. Lett. 128, 050603 — Published 4 February 2022
↑ Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Оценка максимального правдоподобия. Принцип неопределённостей // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 272—277.
↑ Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Квантовое неравенство Крамера — Рао. Параметр смещения и соотношение неопределённости время-энергия // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 301—302.
↑ Фрэнка Герберт. «Дюна»

Ссылки[править | править код]

Стэнфордская энциклопедия философии (англ.)
aip.org: Квантовая механика 1925—1927 — Принцип неопределённости (англ.)
Мир физики Эрика Вайсштейна — Принцип неопределённости (англ.)
Уравнение Шрёдингера из точного принципа неопределённости (англ.)
Джон Бэз о соотношении неопределённости время-энергия (англ.)

Источник

Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях. Появление и бурное развитие квантовой механики открыло перед нами целый мир, системное устройство которого попросту не укладывается в рамки здравого смысла и полностью противоречит нашим интуитивным представлениям. Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, — ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения. Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.

Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат — зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку — и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь — взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).

В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:

неопределенность значения координаты x неопределенность скорости > h/m,

математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Δx х Δv > h/m

где Δx — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δv — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10^–34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.

Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System — навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку — в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, — и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность. В принципе, в нашем обыденном мире свести неопределенность к нулю и определить точные координаты книги можно.

И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).

В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина. Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, Δx), тем более неопределенной становится другая переменная (Δv), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части. На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.

На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость — на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени — назовем его Δt. За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется — происходят ее флуктуация, — и выявить ее мы не можем. Обозначим погрешность измерения энергии ΔЕ. Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для ΔЕ и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:

ΔЕΔt > h

Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:

он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы — пространственное местоположение или скорость — нельзя измерить сколь угодно точно;

принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.

Иногда вам могут встретиться утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или что эти величины абсолютно непознаваемы. Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс. Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.

См. также:

Источник

Соотношение неопределённостей

Обнаружение волновых
свойств микрочастиц означает, что
классическая механика не может дать
правильного описания поведения
микрообъектов. Новая физическая теория,
устанавливающая законы движения и
взаимодействия микрочастиц и фотонов
с учетом их волновых и корпускулярных
свойств, была разработана, главным
образом, тремя физиками: Э. Шредингером
(австр.), В. Гейзенбергом (нем.) и П. Дираком
(англ.) в начале ХХ века и получила
название волновой или квантовой
механики.

В
классической механике всякая частица
движется по определённой траектории,
так что ее координаты и импульс могут
быть точно рассчитаны для любого момента
времени. Совсем по иному обстоит дело,
если рассматривается вопрос о локализации
волнового процесса, т.е. о месте нахождения
волны в данный момент времени. Ведь
волна не имеет ни определенной траектории,
ни определенной координаты. Т.о. возникает
необходимость внести некоторые
ограничения в применении к объектам
микромира понятий классической механики.

Эти
ограничения сформулированы Гейзенбергом
и получили название соотношений
неопределенностей. Основное из них
гласит: чем
точнее определены какие-либо из координат
частицы, тем больше неопределенность
в значении составляющей импульса (или
скорости) в том же направлении, и наоборот.
Количественно это записывается так:

Δx·Δp_x≥ ђ Δx·Δυ_x≥ ђ/m,

Δy·Δp_y≥ ђ
Δy·Δυ_y≥ ђ/m,
(3)

Δz·Δp_z≥ ђ
Δz·Δυ_z≥
ђ/m,

где
Δx,
Δy,
Δz
– неопределенности координат; Δp_x,
Δp_y,
Δp_z
– неопределенности проекций импульса
на оси – x,
y,
z;
Δυ_x,
Δυ_y
, Δυ_z
– неопределенности проекций скоростей
на соответствующие оси; m – масса
микрочастицы; ђ = h/2π – постоянная Планка
с крышечкой.

Из
соотношения неопределенностей следует:
если
положение частицы точно известно
(Δx=0),
то в этом состоянии проекция импульса
на ось х-ов совершенно не определена
(Δp_х→
∞), и
наоборот.

Покажем, что
соотношение неопределенностей
действительно вытекает из волновых
свойств микрочастиц.
Рассмотрим мысленный опыт по дифракции
потока электронов на щели шириной Δx
~ λ, расположенной
перпендикулярно к направлению движения
частиц (рис. 3).

До
прохождения через щель p_х= 0; ∆p_х= 0, а координатаxне определена, т.е. ∆x→ ∞. В
момент прохождения через щель координата
электрона имеет неопределенность ∆xравную ширине щели. В то же время, из-за
дифракции, электроны отклоняются от
первоначального направления и будут
двигаться в пределах угла 2φ, где φ –
угол дифракции. Теперь появляется
неопределенность в значении составляющей
импульса вдоль осиx-ов:

∆p_х
= p∙sinφ = h sinφ /λ_Б
. (4)

Если
даже ограничиться электронами,
попадающими на экран в пределах
центрального максимума, то sinφ найдем
из условия 1-ого минимума на щели (bsinφ
= kλ,
где b
– ширина щели, k
– порядок минимума):

∆x∙sinφ
= λ_Б. (5)

Подставляя
выражение для sinφ в (4), после преобразования
получим

Δx·Δp_x= h
(6)

Учитывая
главные max более высоких порядков, куда
тоже попадают электроны, окончательно
будем иметь:

Δx·Δp_x
≥ h≥
ђ (7)

Следует
подчеркнуть, что невозможность
одновременного и точного определения
координаты и соответствующей составляющей
импульса не связана с несовершенством
наших знаний или неточностью приборов,
а является следствием специфических
и вместе с тем объективных свойств
микрообъектов.

Проиллюстрируем
оценку границ применимости теории на
примерах.

Скорость
движения электрона в электроннолучевой
трубке составляет υ_х=10⁶м/с и
определена с точностью до Δυ_х=10²м/с. Тогда
неопределенность координаты:

Δx·Δυ_x≥ ђ/m,
.

Т.е.
в данном случае можно говорить о точке
падения каждого отдельного электрона
на экран и о траектории.

Скорость
движения электрона в атоме водорода
υ_х~ 10⁶м/с,
неопределенность координаты порядка
диаметра атома Δx
= d ~10^-10м. Тогда
неопределенность величины скорости

Т.е.
неопределенность скорости соизмерима
с самой скоростью. Это означает, что
электрон не может теперь рассматриваться
как дискретная частица.

Соотношение
неопределенностей может быть записано
для любой пары взаимосвязанных
характеристик состояния микрочастиц,
например, для энергии и времени пребывания
в этом энергетическом состоянии:

ΔЕ·Δt≥ ђ. (8)

Из
данного соотношения видно, что разброс
энергии ΔЕ = ђ/Δt возрастает с уменьшением
среднего времени пребывания системы в
состоянии с энергией Е. Отсюда, следует,
что частота излученного фотона также
должна иметь неопределенность:

Δv
= ΔЕ / h,
(9)

т.е. линии
спектра, обусловленные переходом
электронов между уровнями Е₁и
Е₂с ΔЕ = Е₁– Е₂, будут
иметь размытие по частоте равное Δv=
v₀ ±ΔЕ / h, что подтверждается
опытом.

ВОЛНОВАЯ
ФУНКЦИЯ

Дифракционная картина, наблюдаемая для
микрочастиц, характеризуется неодинаковым
распределением рассеянных частиц по
разным направлениям. С точки зрения
волновой теории это означает, что
направлениям максимумов соответствует
наибольшая интенсивность волн де Бройля,
а минимумам – наименьшая. Т.е. интенсивность
волны де Бройля в данной точке пространства
определяет число частиц, попавших в эту
точку. Т.о. дифракционная картина
для микрочастиц является проявлением
статистической закономерности. Это
означает, что описание поведения
микрочастиц должно носить вероятностный
характер, что и является важнейшей
отличительной особенностью квантовой
механики от классической.

Состояние микрочастиц в квантовой
механике описывается с помощью, так
называемой, волновой функции вида ψ =
f(x,y,z,t). Ее называют
еще ψ-функция. Квадрат модуля ψ-функции
определяет вероятность обнаружения
частицы в момент времени t в области с
координатами:xиx+ dx;yиy+ dy;z иz+ dz–
т.е. в элементе объема dV = dxdydz:

dW = | ψ |²dV. (10)

Величина
| ψ |²
= dW /dV – имеет смысл плотности вероятности,
т.е. определяет вероятность нахождения
частицы в единичном объеме в окрестностях
точки с координатами x,y,z.
Т.о. физический
смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат
её модуля –
|ψ|²,
которым и задается интенсивность волн
де Бройля.
Теперь вероятность найти частицу в
момент времени t в объеме V будет:

. (11)

Очевидно, что
объективность существования частицы
во времени и в пространстве будет
выражаться вероятностью достоверного
события:

. (12)

Это соотношение
является условием нормировки ψ- функции.

Волновая функция
позволяет рассчитать вероятность
реализации тех или иных значений
параметров микрообъекта или их средние
величины, например, расстояние электрона
от ядра атома или вероятность перехода
электрона с одного энергетического
уровня на другой, что в свою очередь
позволяет оценить относительную
интенсивность спектральных линий.

Что бы ψ-функция
являлась объективной характеристикой
состояния микрочастицы она должна
удовлетворять следующим условиям: быть
1) конечной, т.к. W ≤ 1; 2) однозначной,
т.к. вероятность не может быть неоднозначной;
3) непрерывной, т.к. вероятность не может
изменяться скачком.

Соседние файлы в папке Физика

Источник

§ 1.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Таким образом, в предыдущем параграфе показано, что «материализовать» Ψ-волны де-Бройля не удалось ни в виде самостоятельного поля, ни в виде частиц. Для выяснения физического смысла волн де-Бройля необходимо вновь вернуться к эксперименту по дифракции электронов и провести его анализ.

Рис. 2. К выводу соотношения неопределенностей

Будем считать, что нам удалось подобрать такую «щель», проходя через которую поток электронов, пущенных как поодиночке, так и в пучке, образует на экране картину дифракции.

Замена реальной кристаллической решетки на обыкновенную щель (для простоты рассуждений) не изменяет сущности процесса. Принципиально, эксперимент с одной щелью сохраняет все основные особенности реальной экспериментальной установки.

На рис. 2 изображены: щель, размеры которой равны Δx, угол рассеяния электронов θ, характеризующий «n»-й порядок дифракции, экран, на котором фиксируется картина рассеяния и график интенсивности (почернений) на экране.

Если щель Δx относительно λ велика, то дифракционная картина «сжата» и тогда . Приближенная оценка позволит связать размеры щели с наблюдаемыми размерами дифракционной картины:

а) AC = nλD (условие максимума);

б) ;

в)

г)

Полученный результат дает возможность качественно провести анализ дифракции. Более точные количественные оценки экспериментов, а затем и последующие вычисления в рамках теории квантовой механики, позволили записать окончательно соотношение, впервые полученное Гейзенбергом:

ΔxΔpx ≥ ħ (соотношение Гейзенберга). (1.2.1)

В рассмотренном эксперименте Δx – набор возможных значений x – координат объекта, а Δpx – набор возможных значений проекции импульса. Более точно измерить одновременно значение x и px невозможно, поэтому величины Δx и Δpx характеризуют неопределенности в значениях координат и импульсов микрообъекта, измеренных в момент прохождения его через щель. Если пытаться уменьшать неопределенность Δx (сужать размеры щели), то возрастает Δpx, дифракционная картина становится значительно более широкой, то есть, «размывается» (этот же вывод следует и из экспериментов по дифракции света на щели).

Вывод: произведение неопределенностей в значении координат и соответствующих проекций импульсов микрообъекта, измеренных в один и тот же момент времени, не меньше ħ, где .

Итак, представления о том, что каждому движению частицы сопутствует некоторый волновой процесс с волновой Ψ-функцией и входящей в нее волной де-Бройля, привели к соотношению неопределенностей, запрещающему точное одновременное измерение координат и соответствующих проекций импульса. Это, с точки зрения классической механики, запрещает и точную фиксацию состояния микрообъекта, так как она, как мы это знаем из законов классической механики, определяется координатами и импульсами частиц. Более того, с точным заданием начальных значений координат и импульсов при решении уравнений движения частиц, мы связываем причинно-следственные отношения.

Возникают дополнительные трудности и философского характера. Нет ли в микромире нарушений причинно-следственных связей? Познаваем ли микромир? Возможны два принципиально разных ответа на эти вопросы. Первый ответ действительно признает непознаваемость микромира вследствие невозможности точного определения состояния движения. Второй ответ может быть основан на признании того факта, что состояние микрообъекта определяется не так, как у макрообъекта. Невозможность точного измерения координат и импульсов означает, что эти переменные исключают друг друга, они «не существуют» одновременно. К последнему можно лишь добавить, что уменьшение размеров объектов (и их масс соответственно) привело к появлению новых волновых свойств. Поэтому состояние должно быть описано с помощью волновой функции, которая для движения свободной частицы совпадает с «плоской монохроматической волной»:

. (1.2.2)

Будем придерживаться второй, более позитивной оценки действия закона соотношений неопределенностей (1.2.1). В этом случае для характеристики состояния объекта необходимо разобраться в используемых нами терминах. Новым является понятие неопределенности. В каких единицах ее измерить? Как математически связать неопределенности с волновой функцией?

Из соотношения неопределенностей следует, что неопределенность координаты связана с набором возможных ее значений от 0 до Δx и заранее не определено лишь то, какое из этих значений «появится» у пролетающего электрона. Эта ситуация похожа на неопределенности исхода при бросании игральной кости («кубика») случайным образом. В последнем примере «мерой неопределенности» исхода являлась вероятность появления случайной величины (цифры на грани кубика). Если применить ту же схему к движению электрона и считать координаты и импульсы случайными непрерывными величинами, то вместо вероятности необходимо ввести функцию плотности вероятности , где dF характеризует вероятность обнаружения у микрообъекта случайной координаты x в интервале dx (от x до x + dx).

Таким образом, приходим к математическому описанию движения микрочастиц на основе аппарата теории вероятностей. Остается только связать комплексную волновую функцию состояния объекта с вещественной функцией плотности вероятности. Как известно, в эксперименте, связанном с фиксацией волны, у нее обычно измеряется квадрат ее модуля (вспомним, что для волны напряженности электрического поля фиксируется плотность энергии .

Подобные соображения позволили М. Борну и В. Гейзенбергу предположить, что функция плотности вероятности совпадает с квадратом модуля волновой функции . В этом случае, измеряемые величины вероятностей являются вещественными.

Таким образом, волновые свойства микрообъектов можно считать вероятностными свойствами, волны де-Бройля можно назвать «волнами вероятности», а смысл волновой Ψ-функции заключается в том, что квадрат ее модуля является функцией плотности вероятности обнаружения микрообъекта в определенном состоянии.

Выводы:

1) микрообъекты обладают волновыми свойствами, подтвержденными опытами по дифракции электронов;

2) состояние микрообъектов определяется волновой функцией, квадрат модуля которой характеризует функцию плотности вероятности обнаружения микрообъекта в определенном состоянии;

3) соотношения неопределенностей Гейзенберга представляет собой новый экспериментальный физический закон, фиксирующий наличие у микрообъектов волновых вероятностных свойств.

Подтверждением правильности открытия нового закона явился факт существования «естественной ширины спектральной линии». Действительно, физиками-спектроскопистами было замечено, что существуют ограничения на точность определения длин волн в спектре излучения вещества, как призматическими спектрографами, так и дифракционными. Простое решение нашлось при использовании соотношения Гейзенберга. Формально, по «размерности», заменяя переменные в соотношении неопределенностей x = ct и (для фотонов), имеем: , получим ΔEΔt ≥ ħ.

Оказывается, что чем дольше существует система в состоянии с энергией En, т.е. чем стабильнее состояние, тем меньше «разброс» или «неопределенность» в значении энергии. И наоборот, например, в атоме водорода стационарные состояния с n ≥ 2 являются нестабильными, неустойчивыми, длящимися в течение τ = Δt = 10–8 c (время «возбужденного состояния» оценено «классически»).

Тогда минимальный «разброс» в значении энергии будет определяться из соотношения (ΔE)minΔt = ħ. При Δt = τ, , что позволяет перейти к соответствующей «поправке» для каждой длины волны: . Эта величина (Δλ)min называется «естественной шириной спектральной линии» (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость естественной ширины спектральной линии Δλ от λ

4. Состояния в системе микрообъектов (атомной системе) квантованы, то есть переменные состояния принимают дискретный ряд значений, что подтверждается опытами Франка и Герца, а также наличием линейчатой структуры спектра излучения атомов. Используем полученную информацию для решения задачи.

Задача. Оценить время «жизни» волнового пакета в вакууме, используя соотношение неопределенностей.

Решение. Ограничимся для простоты нерелятивистским приближением: p << m0c, m0 – масса покоя частицы. Тогда, в отсутствии внешнего взаимодействия, полная энергия частицы совпадает с кинетической, и , откуда следует: . Для оценки времени расплывания волнового пакета получаем (согласно соотношению неопределённостей):

В случае макроскопической частицы, имеющей массу, например 1 грамм, и размер Δr = 0,1 см, время расплывания окажется, то есть такой волновой пакет фактически не будет расплываться. В случае же микрочастицы вроде электрона, чья масса порядка 10–30 кг, Δr = 10–13 см, волновой пакет расплывется почти мгновенно: Δt ~ 10–26 с. Из-за того, что волновой пакет микрочастицы в общем случае расплывается весьма быстро, для их (частиц) успешного описания следует составлять волновой пакет из волн, разброс значений волновых чисел которых невелик, то есть Δk << k0.

Для фотона, энергия которого, выраженная через импульс равна Eγ = pc и групповая, и фазовая скорости в вакууме совпадают и равны с.

Источник

Квантовая механика

${displaystyle Delta xcdot Delta pgeqslant {frac {hbar }{2}}}$

Принцип неопределённости

Введение …

Математическая формулировка …

Основа
Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан

Фундаментальные понятия

Квантовое состояние · Волновая функция · Суперпозиция · Запутанность ·

Измерение · Неопределённость ·
Запрет Паули · Дуализм ·
Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннелирование

Эксперименты
Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга ·Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки
Картина Шрёдингера · Картина Гейзенберга · Картина взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям

Уравнения
Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака

Интерпретации
Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая

Сложные темы
Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные
Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг· Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

Просмотр • Обсуждение • Править

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) — в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим ансамбль невзаимодействующих эквивалентных частиц, приготовленных в определённом состоянии, с каждой из которых производятся два последовательных измерения. Первое определяет импульс частицы, а второе, сразу после этого, её координату. Измерение импульса даст некоторое распределение с характерной дисперсией. Второе же измерение даст распределение значений, дисперсия которого ${displaystyle d_{q}^{2}}$ будет связана с дисперсией импульса ${displaystyle d_{p}^{2}}$ так, что ${displaystyle d_{q}^{2}d_{p}^{2}geq {frac {hbar ^{2}}{4}}}$ .

В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это — один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в 1927 г.^{[источник?]}

Краткий обзор

Принцип неопределённости в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц приготовленных в одном и том же состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс, либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью, и для дисперсий d_p и d_q верно отношение неопределённости.

Отношения неопределённости Гейзенберга — это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана. Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау.

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна. (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни каким-либо определённым значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как, например, в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

${displaystyle Delta xDelta pgeq {frac {hbar }{2}}}$ ,

где — постоянная Дирака. В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе h/2π. Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение h чрезвычайно мало.

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера — Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера. См. также полная физическая информация.

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: A:H → H и B:H → H, и любого элемента x из H такого, что A B x и B A x оба определены (то есть, в частности, A x и B x также определены), имеем:

${displaystyle langle BAx|xrangle langle x|BAxrangle =langle ABx|xrangle langle x|ABxrangle =left|langle Bx|Axrangle right|^{2}leq |Ax|^{2}|Bx|^{2}}$

Это — прямое следствие неравенства Коши-Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

${displaystyle {frac {1}{4}}|langle (AB-BA)x|xrangle |^{2}leq |Ax|^{2}|Bx|^{2}.}$

Это неравенство называют отношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор AB–BA называют коммутатором A и B и обозначают как [A,B]. Он определен для тех x, для которых определены оба ABx и BAx.

Из отношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует отношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, A и B — две переменные состояния, которые связаны с самосопряжёнными (и что важно — симметричными) операторами. Если ABψ и BAψ определены, тогда:

${displaystyle Delta _{psi }A,Delta _{psi }Bgeq {frac {1}{2}}left|leftlangle left[A,{B}right]rightrangle _{psi }right|}$

где:

${displaystyle leftlangle Xrightrangle _{psi }=leftlangle psi |Xpsi rightrangle }$

среднее значение оператора переменной X в состоянии ψ системы, и:

${displaystyle Delta _{psi }X={sqrt {langle {X}^{2}rangle _{psi }-langle {X}rangle _{psi }^{2}}}}$

оператор стандартного отклонения переменной X в состоянии ψ системы

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B, которые имеют один и тот же собственный вектор ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B.

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

${displaystyle Delta x_{i}Delta p_{i}geq {frac {hbar }{2}}}$

отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

${displaystyle Delta J_{i}Delta J_{j}geq {frac {hbar }{2}}left|leftlangle J_{k}rightrangle right|}$

где i, j, k отличны и J_i обозначает угловой момент вдоль оси x_i.

следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

${displaystyle Delta EDelta tgeq {frac {hbar }{2}}}$

Интерпретации

главная статья: Интерпретация квантовой механики

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «я уверен, что Бог не бросает кости» (Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, das der Alte nicht würfelt)^[1]. Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Это может быть верным в некоторых случаях для некоторых событий, но это не имеет никакого отношения к принципу неопределённости в квантовой механике.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!».

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название, сделали его источником нескольких шуток. Говорят, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости, квантового физика останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

Литература

Использованная литература

↑ Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3

Журнальные статьи

W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172—198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62-84.
Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм «daarb.narod.ru/mandtamm-rus.html Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике», Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9, 122—128 (1945).
G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207—238.

Внешние ссылки

Стэнфордская энциклопедия философии (англ.)
daarb.narod.ru/tcpr-rus.html Принцип определённости (обзор)
aip.org: Квантовая механика 1925—1927 — Принцип неопределённости (англ.)
Мир физики Эрика Вайсштейна — Принцип неопределённости (англ.)
Уравнение Шредингера из точного принципа неопределённости (англ.)
Джон Бэз о соотношении неопределённости время-энергия (англ.)

См. также

Квантовая механика
Квантовая физика
Гейзенбаг

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Принцип неопределённости Гейзенберга. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Источник

Краткий обзор[править | править код]

Определение[править | править код]

Когда достигается равенство[править | править код]

Варианты и примеры[править | править код]

Обобщённый принцип неопределённости[править | править код]

Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости[править | править код]

Замечание[править | править код]

Вывод в квантовой теории оценивания[править | править код]

Интерпретации[править | править код]

Принцип неопределённости в популярной литературе[править | править код]

Научный юмор[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Соотношение неопределённостей

§ 1.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Краткий обзор

Определение

Другие характеристики

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Обобщённый принцип неопределённости

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Интерпретации

Принцип неопределённости в популярной культуре

Научный юмор

Литература

Использованная литература

Журнальные статьи

Внешние ссылки

См. также

Вам также может понравиться

Как найти рака в воде

Найдите 3 необычных клыка как пройти

Не зарегистрирован в сети мегафон как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ